MÓDULO 5 Verificação da segurança aos estados limites últimos de elementos (pilares) 1. Flexão Composta (Flexão com esforço normal de tracção ou compressão) 1.1. ROTURA COVECIOAL ε s 10 ε c (-) 3.5 Quando toda a secção estiver sujeita a tensões de compressão: 2 ε c (-) 3.5 Tensões uniformes Tensões não uniformes σc εc σc 2 εc 3.5 σc εc = 3.5 (-) (-) ou (-) 2 0 0 1.2. DIAGRAMAS DE DEFORMAÇÕES A ROTURA Com base nas extensões máximas para o betão e armaduras, podem ser definidas 5 zonas com diagramas associados à rotura: Compressão Tracção 3.5 2 0 10 As2 M 2 1 3 As1 5 4 2 εyd 10 Zona 1 - Tracção com pequena excentricidade (ε s1 = 10, ε s2 10 ) Zona 2 - Tracção e compressão com grande ou média excentricidade (ε s1 = 10, ε c (-) 3.5 ) Zona 3 - Tracção e comp. com grande ou média excentricidade (ε yd ε s1 10, ε c (-) = 3.5 ) Zona 4 - Compressão com média ou pequena excentricidade (ε s1 ε yd, ε c (-) = 3.5 ) Zona 5 - Compressão com pequena excentricidade (2 ε c máx 3.5 ) 143
Conclusão: Zonas 1, 2 e 3: ε s > ε yd rotura dúctil Zonas 4 e 5: ε s < ε yd rotura frágil 1.3. DETERMIAÇÃO DOS ESFORÇOS RESISTETES (i) Consideração de um determinado diagrama de rotura, para uma secção de betão armado com dois níveis de armadura (A s1 e A s2 ) As2 MRd Rd εs2 εc (-) Fs2 Fc yc ys2 As1 (+) εs1 Fs1 ys1 ota: A coordenada y pode ser medida em relação ao centro geométrico da secção ou em relação ao nível da armadura inferior. Equações de Equilíbrio Equilíbrio axial: F c + F s2 F s1 = Rd Equilíbrio de momentos: F c y c + F s2 y s2 + F s1 y s1 = M Rd Para um dado diagrama de rotura obtém-se um par de esforço Rd M Rd (ii) Varrendo a secção com os possíveis diagramas de rotura obtém-se um diagrama de interacção Rd M Rd (-) Rd M Rd 144
(iii) Repetindo o processo para vários níveis de armadura obtêm-se os diagramas de dimensionamento (-) Rd M Rd Grandezas adimensionais: Esforço normal reduzido ν = Rd b h f cd Momento flector reduzido µ = M Rd b h 2 f cd Percentagem mecânica de armadura ω TOT = A stot b h f yd f cd 1.4. DISPOSIÇÕES COSTRUTIVAS DE PILARES 1.4.1. Armadura longitudinal (i) Quantidades mínimas e máximas de armadura As quantidades mínimas de armadura em pilares, podem ser quantificadas através de percentagens mínimas de armadura, que variam consoante o tipo de aço utilizado: ρ min = 0.8% para A235 ρ min = 0.6% para A400 e A500 Quantidade máxima de armadura: ρ máx = 8% (incluindo todas as armaduras nas secções de emenda) ota: evitar que ρ > 4%, caso contrário não será possível emendar todos os varões na mesma secção transversal. 145
A percentagem de armadura define-se através da expressão ρ = A s b h 100. (ii) Disposição da armadura, diâmetros e espaçamento 1. Mínimo número de varões na secção transversal 1 varão em cada ângulo da secção (saliente ou reentrante) ou 6 varões em secções circulares (ou a tal assimiláveis) 2. Diâmetro mínimo dos varões 12mm para A235 10mm para A400 e A500 3. Espaçamento máximo dos varões s máx = 30 cm, excepto em faces com largura igual ou inferior a 40cm (basta dispor varões junto dos cantos). 1.4.2. Armadura transversal (i) Espaçamento das cintas s máx = min (12 φ L,menor ; b min ; 30cm) (ii) Diâmetro Se φ L 25mm, φ cinta 8mm (iii) Forma da armadura / cintagem mínima Cada varão longitudinal deve ser abraçado por ramos da armadura transversal, formando um ângulo em torno do varão, não superior a 135. ão é necessário cintar varões longitudinais que se encontrem a menos de 15cm de varões cintados. Em pilares circulares não é necessário respeitar a condição do ângulo. 146
Função da armadura transversal Cintar o betão; Impedir a encurvadura dos varões longitudinais; Manter as armaduras longitudinais na sua posição durante a montagem e betonagem; Resistir ao esforço transverso. ota: As cintas devem ser mantidas na zona dos nós de ligação com as vigas. 147
EXERCÍCIO 15 Considere a secção rectangular representada, sujeita a flexão composta conforme indicado. Dimensione e pormenorize a secção. As/2 As/2 0.30 0.50 M sd sd sd = -1200 k M sd = 150 km Materiais: A400 C20/25 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 15 Flexão composta de secções rectangulares (Tabelas) d 1 0.05m h = 0.50m d 1 h = 0.10 ; A400 Esforço normal reduzido: ν = sd b h f = -1200 cd 0.30 0.50 13.3 10 3 = -0.60 Momento flector reduzido: µ = M sd b h 2 f = 150 cd 0.30 0.50 2 13.3 10 3 = 0.15 ω TOT = 0.20 A stot = ω TOT b h f cd f yd = 0.20 0.30 0.50 13.3 348 104 = 11.47cm 2 a rotura ε c2 ε s1 = -3.5 0 a 1 rotura pelo betão armaduras não atingem a cedência Zona 148
EXERCÍCIO 16 Considere um pilar com secção transversal circular com = 0.50 m. Dimensione as armaduras do pilar para os seguintes esforços: sd = -1400k; M sd =250 km Considere os seguintes materiais: C25/30, A400R RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 16 d 1 = 0.05 d 1 h = 0.10 ν = µ = sd π r 2 f = -1400 cd π 0.25 2 16.7 10 3 = 0.427 M Sd 2π r 3 f = 250 cd 2 π 0.25 3 16.7 10 3 = 0.152 ω TOT = 0.30 A stot = ω TOT πr 2 f cd f yd = 0.30 π 0.252 16.7 348 104 = 28.3cm 2 149
1.5. EFEITO FAVORÁVEL DE UM ESFORÇO AXIAL MODERADO DE COMPRESSÃO A RESISTÊCIA À FLEXÃO Considere-se o seguinte diagrama de interacção ν - µ, bem como os diagramas de tensão na rotura para as situações A e B ilustradas. ν As2 h As1 b 0.4 A B µ A Fs2,A B Fs2,B Fc,A Fc,B Rd As1 fyd MRd,A As1 fyd MRd,B M Rd,B > M Rd,A A existência de um esforço axial aumenta as resultantes de compressão (F c e F s2 ) e, consequentemente, o M Rd apesar da diminuição do braço de F c. 150
2. Verificação da segurança dos pilares aos estados limite últimos 2.1. COMPORTAMETO DE ELEMETOS ESBELTOS os elementos de betão armado solicitados apenas à flexão, os esforços são, em geral, determinados na estrutura não deformada (Teoria de 1ª ordem). Sempre que as deformações tenham um efeito importante nos esforços solicitantes (p. ex. no caso de pilares esbeltos), as hipóteses lineares da teoria de 1ª ordem não devem ser aplicadas. Exemplos: Teoria de 1ª ordem: M = e Teoria de 2ª ordem: v L L M = (e + v) M = e + v e momento de 1ª ordem v momento de 2ª ordem v ota: na teoria de 2ª ordem as condições de equilíbrio devem ser satisfeitas na estrutura deformada. Os efeitos de 2ª ordem dependem da esbelteza dos pilares: λ = L 0 i - λ pequeno efeitos de 2ª ordem desprezáveis e 1 (Teoria de 1ª ordem) e v 2 - λ médio/elevado efeitos de 2ª ordem relevantes (Teoria de 2ª ordem) M Consideram-se os efeitos de 2ª ordem desprezáveis se: M 2ªordem 0.10 M 1ªordem ( v 0.1 e) 151
2.2. TIPOS DE ROTURA 1 2 3 e1 e2 e1 e2 e1 e1 e1 1 1 u, Mu e2 2 2 u, Mu 2 2 CR, M CR e1 e2 3 3 CR, M CR u, 3 Mu 3 M Relação - M para e 2 = 0 (análise de 1ª ordem) M u / u = e 1 Relação - M para e 2 0 (elemento pouco esbelto) rotura da secção Relação - M para e 2 0 (elemento muito esbelto) rotura por instabilidade 2.3. ESBELTEZA A esbelteza de um pilar é dada por: λ = L 0 i onde, L 0 representa o comprimento efectivo da encurvadura (distância entre pontos de momento nulo ou pontos de inflexão da configuração deformada) i representa o raio de giração da secção i = ota: Deve ser considerado o momento de inércia da secção segundo o eixo perpendicular ao plano de encurvadura. I A Maior λ maior sensibilidade aos efeitos de 2ª ordem. 152
2.4. COMPRIMETOS DE ECURVADURA DE ESTRUTURAS SIMPLES Estruturas de nós fixos L0 = L L0 = 0.7L L0 = L/2 Estruturas de nós móveis L0 = 2L L0 = L L0 = 2L 153
2.5. COSIDERAÇÃO DOS EFEITOS DE 2ª ORDEM Estruturas correntes (edifícios, em geral) Métodos de dimensionamento a partir dos resultados de uma análise linear de 1ª ordem, corrigindo a excentricidade para ter em conta os efeitos de 2ª ordem. (Método das excentricidades adicionais - REBAP, EC2) e v e e+ead M sd = sd (e + e ad ) Outras (esbelteza grande) Métodos de análise não linear de estruturas, tendo em conta as não linearidades geométricas e as não linearidades físicas dos materiais. 2.5.1. Determinação da excentricidade de 2ª ordem A excentricidade de 2ª ordem destina-se a ter em conta a deformação do elemento e, consequentemente, a existência de efeitos de 2ª ordem, podendo ser calculada como se indica em seguida. Considere-se a seguinte coluna biarticulada perfeita x v L Para = E, tem-se v A sen π x L (Deformada do tipo sinusoidal) 154
A curvatura é dada por: 1 r = d2 v dx 2 = A π2 L 2 sen π x L 1 r L2 π 2 = A sen π x L Pelo que, v = 1 r L2 π 2 1 r L 2 10 Deste modo, a flecha na secção crítica é dada por: v sc = 1 r sc A curvatura na secção crítica pode ser obtida de forma aproximada pela expressão: L 2 10 1 r 5 h 10-3 η onde h representa a altura na secção no plano de encurvadura. Este valor foi obtido com base no seguinte modelo: yd (+) d (-) εc=3.5 1 r = 0.0035 + ε yd d = 0.0045 d 0.0052 d 0.0057 d A235 A400 A500 η coeficiente de redução que tem em conta a redução da curvatura (dada pela expressão anterior), quando o esforço axial é elevado (ν > 0.4) η = 0.4 ν = 0.4 f cd A c sd 1.0 (A c área da secção transversal do pilar) ota: se ν ( sd ) for grande, a curvatura é menor (no limite, toda a secção pode estar comprimida). Para além dos efeitos de 2ª ordem, é necessário considerar ainda quer os efeitos das imperfeições geométricas de execução devido à existência de tolerâncias construtivas (excentricidade acidental), quer o acréscimo de deformação dos pilares ao longo do tempo, devido ao efeito da fluência (excentricidade de fluência). Apresenta-se em seguida as expressões propostas para cálculo destas excentricidades. 155
2.5.2. Cálculo das restantes excentricidades adicionais 1. Excentricidade Acidental A excentricidade acidental destina-se a ter em conta os efeitos das imperfeições geométricas de execução (tolerâncias construtivas) e pode ser determinada através de e a = max L 0 / 300 0.02m onde L 0 representa o comprimento efectivo de encurvadura. 2. Excentricidade de fluência A excentricidade de fluência destina-se a ter em conta o acréscimo de deformação do pilar devido aos efeitos da fluência e determina-se através da expressão, e c = M sg + e a sg exp ϕ c sg 1 E sg onde sg, M sg representam os esforços devidos às acções com carácter de permanência (que provocam fluência), não afectados do coeficiente γ f e a representa a excentricidade acidental ϕ c representa o coeficiente de fluência (em geral, ϕ c = 2.5) E representa a carga crítica de Euler E = 10 EI 2 L (EI da secção de betão) 0 A consideração da excentricidade de fluência só é importante para elementos muito esbeltos (em geral despreza-se). Poderá deixar de ser considerada nos casos em que se verifique uma das seguintes condições: M sd / sd 2.0 h ou λ 70. 156
2.6. VERIFICAÇÃO DA SEGURAÇA AO ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE ECURVADURA 1. Verificação do estado limite último de flexão composta na secção crítica (secção mais esforçada), para os esforços sd = sd M sd = M sd + sd (e a + e 2 + e c ) 2. Secção crítica (i) Estruturas de nós fixos A localização da secção crítica depende do diagrama de M sd (conforme se pode observar na figura seguinte, em geral a secção crítica localiza-se numa zona intermédia, e não junto das extremidades). sd M sd,a 1ª ordem M sd 2ª ordem M sd TOTAL M sd M cálculo 0.6 M sd,a + 0.4 M sd,b = máx sd 0.4 M sd,a (secção crítica) ead + = com M sd,a M sd,b e M sd ' máx M sd (nós) = M sd,a M sd,b (ii) Estruturas de nós móveis ad 1ª ordem M sd 2ª ordem M sd A secção crítica situa-se no nó em que M sd é máximo 157
3. Dispensa da verificação da segurança ao estado limite último de encurvadura A consideração da excentricidade de 2ª ordem pode ser dispensada, caso se verifique uma das seguintes condições: a) (i) Estruturas de nós fixos λ 35 se M sd,b = M sd,a vmáx λ 50 15 M sd,b M sd.a vmáx λ 65 se M sd,a = M sd,b (ii) Estruturas de nós móveis λ 35 ou b) M sd sd 3.5 h para λ 70 M sd 3.5 h λ sd 70 para λ > 70, h altura da secção transversal (o momento de 1ª ordem é condicionante). 158
EXERCÍCIO Dimensione o pilar indicado sujeito aos seguintes esforços: H Secção transversal 0.40 0.30 3.00 Esforços característicos: = 800 k; H = 20k Materiais: C 25/30; A 400R RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 1. Cálculo da esbelteza λ = L 0 i = 2 3.0 0.0866 = 69.3 i = I A = 9 10-4 0.30 0.40 = 0.0866 m; I = bh3 12 = 0.4 0.33 12 = 9 10-4 m 4 2. Determinação dos esforços de dimensionamento 1ª ordem sd = 800 1.5 = 1200 k; M = 20 3 1.5 = 90.0 k sd 2.1.Verificação da necessidade de consideração dos efeitos de 2ª ordem uma estrutura de nós móveis para dispensar a verificação da segurança à encurvadura, é necessário verificar as seguintes condições: M sd = 90 sd 1200 = 0.075 / 3.5 h = 3.5 0.3 = 1.05 e λ / 35 os efeitos de 2ª ordem não são desprezáveis 159
2.2. Quantificação dos esforços de cálculo sd = 1200k M sd = M sd + sd (e a + e 2 + e c ) = 90 + 1200 (0.02 + 0.04 + 0) = 162km (i) Cálculo da excentricidade acidental e a = max L 0 / 300 = 6 / 300 = 0.02 m 0.02 m e a = 0.02m (ii) Cálculo da excentricidade de 2ª ordem e 2 = 1 r L 0 2 10 = 11.13 10-3 (2 3.0)2 10 = 0.04 m 1 r = 5 h 10-3 η = 5 0.30 10-3 0.668 = 11.13 10-3 η = 0.4 f cd A c = 0.4 16.7 103 0.3 0.4 sd 1200 = 0.668 1.0 (iii) Excentricidade de fluência - Desprezável dado que λ < 70 3. Cálculo da armadura (flexão composta) ν = µ = sd b h f = -1200 cd 0.3 0.4 16.7 10 3 = -0.60 M sd b h 2 f = 162 cd 0.4 0.3 2 16.7 10 3 = 0.27 ω TOT = 0.62 d 1 h = 0.05 0.3 = 0.167 0.15 ; A400 A STOT = ω TOT bh f cd f yd = 0.62 0.30 0.40 16.7 348 104 = 35.7cm 2 160
EXERCÍCIO Dimensione o pilar sujeito aos seguintes esforços: Secção transversal 0.25 0.25 5.00 Esforços característicos: = 600 k Materiais: C 20/25; A 400R RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 1. Cálculo da esbelteza λ = L 0 i = 5 0.0722 = 69.3 i = I A = 3.255 10-4 b h3 2 0.25 = 0.0722 m ; I = 12 = 0.254 12 = 3.255 10-4 m 4 2. Esforços de dimensionamento sd = 600 1.5 = 900 k 2.1.Verificação da necessidade de consideração dos efeitos de 2ª ordem uma estrutura de nós fixos para dispensar a verificação da segurança à encurvadura, é necessário verificar as seguintes condições: λ 50 15 M sd,b M sd,a = 50 e λ = 69.3 / 50 os efeitos de 2ª ordem não são desprezáveis 161
2.2. Quantificação dos esforços de cálculo sd = 900 k M sd = M sd + sd (e a + e 2 + e c ) = 900 (0.02 + 0.018) = 34.2km (i) Cálculo da excentricidade acidental e a = max L 0 / 300 = 5 / 300 0.017m 0.02m e a = 0.02m (ii) Cálculo da excentricidade de 2ª ordem e 2 = 1 r L 0 2 10 = 7.39 10-3 52 10 = 0.018m 1 r = 5 h 10-3 η = 5 0.25 10-3 0.369 = 7.39 10-3 η = 0.4 f cd A c sd = 0.4 13.3 103 0.25 2 900 = 0.369 (iii) Excentricidade de fluência - Desprezável dado que λ < 70 3. Cálculo da armadura (flexão composta) d 1 h = 0.05 0.25 = 0.20 ; A400 Tabelas pág. 45 ν = µ = sd b h f = -900 cd 0.25 2 13.3 10 3 = -1.083 M sd b h 2 f = 34.2 cd 0.25 3 13.3 10 3 = 0.165 ω TOT = 0.82 A stot = ω TOT b h f cd f yd = 0.82 0.252 13.3 348 104 = 19.6cm 2 162
3. Estruturas em Pórtico 3.1. CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS 3.1.1. Estruturas contraventadas Estruturas com elementos verticais de grande rigidez com capacidade resistente para absorver grande parte das acções horizontais. Exemplo: paredes ou núcleos 3.1.2. Estruturas não contraventadas Estruturas sem elementos de contraventamento Para efeitos da verificação da segurança em relação ao estado limite último de encurvadura, o REBAP classifica as estruturas reticuladas em: (i) Estruturas de nós fixos: estruturas cujos nós sofrem deslocamentos horizontais desprezáveis (ii) Estruturas de nós móveis: caso contrário 163
3.2. COMPRIMETO DE ECURVADURA O comprimento de encurvadura é definido pela distância entre os pontos de momento nulo, da distribuição final de momentos ao longo do pilar, podendo ser determinado pela expressão, L 0 = ηl onde, L representa o comprimento livre do elemento η é um factor que depende das condições de ligação das extremidades do elemento Estruturas de nós fixos (contraventada) Estruturas de nós móveis (não contraventada) L L L 0 L L 0 L Estruturas de nós fixos η = min 0.7 + 0.05 (α 1 + α 2 ) 0.85 + 0.05 α min 1.0 η 1 Estruturas de nós móveis η = min 1.0 + 0.15 (α 1 + α 2 ) 2.0 + 0.3 α min η 1 164
α 1 e α 2 parâmetros relativos às extremidades 1 e 2 do pilar, dadas por: α i = ( EI / L ) pilares ( EI / L ) vigas nó i: pilar Este parâmetro pretende traduzir a maior ou menor dificuldade de rotação do nó: viga Maior rotação maior deformação maiores efeitos de 2ª ordem. Caso as extremidades do pilar estejam ligadas a elementos de fundação α = 1 fundações que confiram encastramento parcial α = 0 fundações que confiram encastramento perfeito α = 10 fundações cuja ligação ao pilar não assegure transmissão de momentos (liberdade de rotação). 165
Exemplo: 3.00 0.3 2 0.6 0.5 0.3 0.3 0.3 3.00 1 0.5 0.4 0.3 0.3 4.00 6.00 5.00 Classificação da estrutura: Estrutura de nós móveis α 1 = ( EI / L ) pilares = ( I / L ) pilares = ( EI / L ) vigas ( I / L ) vigas 0.3 4 12 0.3 0.5 3 12 1 4 + 0.34 12 1 6 1 3 + 0.3 0.43 12 1 5 = 0.468 α 2 = 0.3 0.6 3 12 0.3 4 12 1 6 1 3 2 + 0.3 0.53 12 1 5 = 0.295 η = min 1 + 0.15 (α 1 + α 2 ) = 1 + 0.5 (0.468 + 0.295) = 1.11 2.0 + 0.3 α min = 2 + 0.3 0.295 = 2.09 L 0 = 3 1.11 = 3.33m 166
3.3. COSIDERAÇÃO DOS EFEITOS DE 2ª ORDEM EM PÓRTICOS De acordo com o REBAP, a análise de pórticos tendo em consideração os efeitos de 2ª ordem deve ser efectuada da forma seguinte: Estruturas de nós fixos É possível analisar os pilares do pórtico isoladamente Estruturas de nós móveis Os pilares podem ser analisados isoladamente, tomando para a esbelteza de cada pilar a esbelteza média dos pilares do piso em causa. Problemas que surgem com este tipo de abordagem em pórticos de nós móveis: A análise de pilares isolados conduz a excentricidades diferentes, o que não é realista dado que as vigas e lajes do piso impõem igualdade de deslocamentos horizontais para os pilares. Assim, deverá considerar-se a mesma excentricidade de 2ª ordem em todos os pilares. A excentricidade a considerar deverá ser a correspondente ao pilar mais rígido; Os efeitos de 2ª ordem provocam um aumento de esforços nos pilares que, por equilíbrio, conduz a um aumento de esforços nas vigas adjacentes (a análise de pilares isolados não tem em conta este efeito). Formas mais correctas de ter em conta os efeitos da encurvadura 1. Análise da estrutura inclinada (deformada) θ 167
2. Aplicação de forças horizontais fictícias que conduzam aos valores dos esforços provocados pelas excentricidades acidentais e aos efeitos de 2ª ordem. H 2 H 1 θ Exemplos: (i) Consola e H M 2ª ordem = e L θ H L = e H = e L (ii) Pórtico e e H H L/2 L θ H L/2 M 2ª ordem = e H L 2 = e H = 2e L 168
EXERCÍCIO Dimensione os pilares do pórtico representado na figura. ± 30 k 500 k 400 k 35 k/m 0.6 ota: os valores indicados para as 0.4 0.3 0.3 0.3 0.3 4.00 acções, referem-se aos seus valores característicos. P1 P2 6.00 Materiais: C20/25; A400R RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 1. Classificação da estrutura Estrutura de nós móveis 2. Cálculo do comprimento de encurvadura dos pilares (i) Pilar P1 α 1 = ( EI / L ) pilares = ( EI / L ) vigas 0.3 0.4 3 12 0.3 0.6 3 12 1 4.0 1 6.0 = 0.444 ; α 2 = 1.0 (encastramento parcial) η = min 1.0 + 0.15 (α 1 + α 2 ) 1.0 + 0.15 (0.444 + 1.0) = 1.217 = min 2.0 + 0.3 α min 2.0 + 0.3 0.444 = 2.133 L 0 = ηl = 1.217 4.0 = 4.87m (ii) Pilar P2 α 1 = ( EI / L ) pilares = ( EI / L ) vigas 0.3 4 12 0.3 0.6 3 12 1 4 1 6 = 0.187 ; α 2 = 1.0 169
η = min 1.0 + 0.15 (α 1 + α 2 ) 1.0 + 0.15 (0.87 + 1.0) = 1.178 = min 2.0 + 0.3 α min 2.0 + 0.3 0.187 = 2.056 L 0 = ηl = 1.178 4.0 = 4.71m 3. Cálculo da esbelteza (i) Pilar P1 i = I A = 0.0016 0.3 0.4 = 0.115 m I = b h3 12 = 0.3 0.43 12 = 0.0016 m 4 λ = L 0 i = 4.87 0.115 = 42.3 (ii) Pilar P2 i = I A = 0.675 10-3 0.3 2 = 0.087m I = 0.34 12 = 0.675 10-3 m 4 λ = L 0 i = 4.71 0.087 = 54.1 4. Cálculo dos esforços de dimensionamento 4.1. Esforços de 1ª ordem Combinação 1 Acções e reacções de cálculo 45 k 750 k 52.5 k/m 600 k DMF [km] 114.9 18.3 (-) (+) 169.7 (-) 49.1 k 4.1 k 81.6 km 1.8 km 923.6 k 741.4 k (+) 81.6 1.8 170
Combinação 2 Acções e reacções de cálculo 45 k 750 k 52.5 k/m 600 k DMF [km] 8.7 (-) 79.9 (+) (-) 191.9 (-) 9.7 k 47.6 km 895.6 k 35.3 k 61.3 km 769.4 k 47.6 (+) 61.3 4.2. Verificação da necessidade de consideração dos efeitos de 2ª ordem (i) Pilar P1 λ = 42.3 </ 35 M sd = 47.6 sd 895.6 = 0.05 / 3.5 h = 3.5 0.4 = 1.4 (Combinação 2 mais desfavorável) é necessário verificar a segurança à encurvadura (ii) Pilar P2 λ = 54.1 </ 35 M sd = 18.3 sd 741.4 = 0.02 / 3.5 h = 3.5 0.3 = 1.05 (Combinação 1 mais desfavorável) é necessário verificar a segurança à encurvadura 4.3. Cálculo da excentricidade de 2ª ordem e 2 = 1 r L 0 2 10 com 1 r = 5 h 10-3 η e η = 0.4 f cd A c sd Combinação 1 Pilar L 0 [m] h [m] A c [m 2 ] sd [k] η 1/r [m -1 ] e 2 [m] P1 4.87 0.4 0.12 923.6 0.69 8.63 10-3 0.020 P2 4.71 0.3 0.09 741.4 0.65 10.83 10-3 0.024 171
Combinação 2 Pilar L 0 [m] h [m] A c [m 2 ] sd [k] η 1/r [m -1 ] e 2 [m] P1 4.87 0.4 0.12 895.6 0.71 8.88 10-3 0.021 P2 4.71 0.3 0.09 764.9 0.63 10.5 10-3 0.023 ota: É o pilar mais rígido que condiciona o deslocamento horizontal. Para um determinado deslocamento horizontal o pilar mais rígido atinge primeiro a cedência (a curvatura é igual nos dois pilares, logo, as extensões são maiores no pilar mais rígido). 4.4. Cálculo da excentricidade acidental e a = max L 0 /300 0.02m e a = 0.02 m 4.5. Determinação da força horizontal equivalente H 2(e2+ea) θ M 2ª ordem = (e 2 + e a ) H = 2 (e 2 + e a ) L H = H 1 + H 2 = ( 1 + 2 ) 2 (e 2 + e a ) L Combinação 1 H = (923.6 + 741.4) 2 (0.02 + 0.02) 4.0 = 33.3 k Combinação 2 H = (895.5 + 769.4) 2 (0.021 + 0.02) 4.0 = 34.1 k Esforços provocados por uma força unitária DMF [km] 1 k 1.2 (-) (+) (-) 0.7 (-) 1.4 (+) 0.7 172
4.6. Esforços de dimensionamento Combinação 1 (i) Pilar P1 (secção crítica secção de topo) sd = 923.6 k M sd ' = 114.9 + 33.3 1.2 = 154.9 km (ii) Pilar P2 (Secção crítica secção do topo) sd = 741.4 k M sd ' = 18.3 + 33.3 0.7 = 41.6 km Combinação 2 (i) Pilar P1 (secção crítica secção da base) sd = 895.6 k M sd ' = 47.6 + 34.1 1.4 = 95.3 km (ii) Pilar P2 (Secção crítica secção do topo) sd = 769.4 k M sd ' = 80 + 34.1 0.7 = 103.9 km 5. Determinação das armaduras longitudinais (i) Pilar P1 (combinação mais desfavorável: combinação 1) ν = µ = 923.6 0.3 0.4 13.3 10 3 = 0.58 154.9 0.3 0.4 2 13.3 10 3 = 0.24 d 1 h = 0.05 0.40 = 0.125, A400 0.44 para d 1/h = 0.10 ω TOT = 0.52 para d 1 /h = 0.15 ω TOT = 0.48 A STOT = ω TOT b h f cd f yd = 0.48 0.3 0.4 13.3 348 104 = 22.01 cm 2 Adoptam-se 8φ20 173
(ii) Pilar P2 (combinação mais desfavorável: combinação 2) ν = µ = 769.4 0.3 0.3 13.3 10 3 = 0.66 103.9 0.3 3 13.3 10 3 = 0.29 d 1 h = 0.05 0.30 = 0.167 0.15 ω TOT = 0.72 A STOT = 24.77cm 2 Adoptam-se 8φ20 6. Determinação das armaduras transversais 6.1. Verificação da segurança ao estado limite último de esforço transverso (i) Pilar P1 D M'sd [km] 154.9 (-) DET [k] 70.8 (+) M sd ' base = 81.6 + 33.3 1.4 = 128.2 km V sd = 154.9 + 128.2 4 = 70.8 k (+) 128.2 Verificação das compressões σ c = V sd b w z cos θ sen θ = 70.8 = 1901.5 k/m2 0.3 0.9 0.35 cos 26 sen 26 0.6 f cd = 0.6 13.3 10 3 = 7980k/m 2 Cálculo da armadura transversal A sw s = V sd z cotg θ f = 70.8 yd 0.9 0.35 cotg 26 348 10 3 10 4 = 3.15 cm 2 /m Adoptam-se cintas φ6//0.15 174
(ii) Pilar P2 D M'sd [km] 103.3 (+) DET [k] M sd ' base = 61.3 + 33.3 0.7 = 84.6 km 47.0 (-) V sd = 103.3 + 84.6 4 = 47.0 k (-) 84.6 Verificação das compressões σ c = V sd b w z cos θ sen θ = 47.0 = 1767.2 k/m2 0.3 0.9 0.25 cos 26 sen 26 Cálculo da armadura transversal A sw s = V sd z cotg θ f = 47.0 yd 0.9 0.25 cotg 26 348 10 3 10 4 = 2.92 cm 2 /m Adoptam-se cintas φ6//0.15 175
3.4. COSIDERAÇÃO DOS EFEITOS DE 2ª ORDEM EM ESTRUTURAS DE ÓS FIXOS Conforme se referiu anteriormente, uma estrutura de nós fixos é aquela que possui elementos verticais de grande rigidez com capacidade resistente para absorver grande parte das acções horizontais e cujos nós sofrem deslocamentos horizontais desprezáveis. Lpilar Lparede o que respeita à verificação da segurança dos pilares, os deslocamentos dos nós podem ser desprezados, o mesmo não acontecendo quando se pretende verificar a segurança das paredes. As paredes, por se tratarem de elementos com grande rigidez, terão uma deformada semelhante à de uma consola, e os pequenos deslocamentos horizontais serão importantes. 3.4.1. Verificação da segurança dos elementos verticais (i) Pilares Os pilares de pórticos de nós fixos podem ser analisados como pilares isolados. Possíveis configurações deformadas e diagramas de momentos flectores correspondentes δ Msd M'sd δ Msd M'sd 176
Esforços de dimensionamento - ós: sd ; M sd - Secção crítica: sd ; M sd = M cálculo sd onde M cálculo sd + sd (e 2 + e a ) 0.6 M sd,a + 0.4 M sd,b = máx com M sd,a M sd,b 0.4 M sd,a ota: A secção crítica (onde os efeitos de 2ª ordem são mais desfavoráveis) ocorre entre nós. (ii) Paredes Comprimento de encurvadura: L 0 = 2 L parede Lparede ota: a determinação dos esforços de dimensionamento, devem ser consideradas as excentricidades adicionais. 177
4. Flexão Desviada 4.1. ROTURA COVECIOAL ε s 10 ε c (-) 3.5 Quando toda a secção estiver sujeita a tensões de compressão: 2 ε c (-) 3.5 Problema: o momento não está a actuar segundo as direcções principais de inércia. 4.2. DETERMIAÇÃO DOS ESFORÇOS RESISTETES (i) Consideração de um determinado diagrama de rotura, para uma secção de betão armado My ε Mz (+) Fs1 (-) Fs2 σc Fc Através das equações de equilíbrio, para um dado diagrama de rotura obtém-se um par de esforço M Rd,y M Rd,z (ii) Varrendo a secção com os possíveis diagramas de rotura obtém-se um diagrama de interacção M Rd,y M Rd,z (iii) Repetindo o processo para vários níveis de armadura obtêm-se os diagramas de dimensionamento Flexão composta desviada: os processos anteriores são repetidos para vários níveis de esforço axial. 178
Grandezas adimensionais: Esforço normal reduzido: ν = Rd b h f cd Momentos flectores reduzidos: µ y = M Rd,y b h 2 f cd ; µ z = M Rd,z b 2 h f cd Percentagem mecânica de armadura ω TOT = A stot b h f yd f cd ota: Simplificadamente, é possível dividir o problema nas duas direcções e resolver como se se tratasse de um problema de flexão composta em cada direcção. este caso, é necessário verificar no final a seguinte condição: M sd,y M Rd,y α + α M sd,z M Rd,z 1.0 onde α é um coeficiente que depende da forma da secção transversal e que toma os seguintes valores: Secções transversais circulares ou elípticas: α = 2 Secções transversais rectangulares sd / Rd 0.1 0.7 1.0 α 1.0 1.5 2.0 179
EXERCÍCIO 14 Dimensione e pormenorize a seguinte secção de um pilar para os esforços de cálculo indicados. z sd = -1200 k M sd,y = 150 km M sd,z = 100 km y 0.50 Materiais: A400 C20/25 0.30 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 14 Flexão desviada com esforço axial (Tabelas) Msdz Msdy Astot/4 ν = µ y = µ z = sd b h f = -1200 cd 0.30 0.50 13.3 10 3 = -0.60 M sdy b h 2 f = 150 cd 0.30 0.50 2 13.3 10 3 = 0.15 M sdz b 2 h f = 150 cd 0.30 2 0.50 13.3 10 3 = 0.167 Como µ z > µ y µ 1 = µ z = 0.167 e µ 2 = µ y = 0.15 ν = -0.6 µ 1 = 0.167 µ 2 = 0.15 ω TOT = 0.60 A stot = ω TOT b h f cd f yd = 0.60 0.30 0.50 13.3 348 104 = 34.4cm 2 180
EXERCÍCIO 19 Considere um pilar com secção transversal circular com = 0.50 m. Dimensione as armaduras do pilar para os seguintes esforços: sd = -1400k; M sdz = 150 km; M sdy = 200 km Considere os seguintes materiais: C25/30, A400R RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 19 M sd = 150 2 + 200 2 = 250 km Flexão composta d 1 = 0.05 d 1 h = 0.10 ν = µ = sd π r 2 f = -1400 cd π 0.25 2 16.7 10 3 = 0.427 M Sd 2π r 3 f = 250 cd 2 π 0.25 3 16.7 10 3 = 0.152 ω TOT = 0.30 A stot = ω TOT πr 2 f cd f yd = 0.30 π 0.252 16.7 348 104 = 28.3cm 2 181