Nome: Ano: º Ano do E.M. Escola: Data: / / 3º Ano do Ensino Médio Aula nº06 Assunto: Noções de Estatística 1. Conceitos básicos Definição: A estatística é a ciência que recolhe, organiza, classifica, apresenta e interpreta conjuntos de dados. MAS AFINAL, O QUE SÃO DADOS? Quando falamos de determinado universo de dados, há dois conceitos importantes: População: conjunto de elementos que tem pelo menos uma característica em comum. Amostra: subconjunto de elementos de uma população, que são representativos para se estudar determinada característica de interesse da população. VOCÊ CONSEGUE IDENTIFICAR EXEMPLOS? A PARTIR DE UMA AMOSTRA, O QUE CONCLUÍMOS A RESPEITO DA POPULAÇÃO? Grau de incerteza: Não podemos dizer que as afirmações feitas são falsas ou verdadeiras, pois foi estudado um grupo restrito de indivíduos. Existe, portanto, um grau de incerteza que é medido através da probabilidade. 1
Exemplos de sala a) Estudo de mercado Contexto: O fabricante de álbuns de figurinha da copa quer estimar a percentagem de potenciais compradores do produto. População: conjunto de toda a população do país. Amostra: conjunto aleatório de uma parte da população Problema: pretende-se, a partir da percentagem de respostas afirmativas, obter uma estimativa do número de compradores na População. b) Medicina Contexto: Pretende-se estudar o efeito de um novo medicamento para curar determinada doença. É selecionado um grupo de 20 doentes, administrando-se o novo medicamento a 10 desses doentes escolhidos ao acaso e o medicamento habitual aos restantes. População: Amostra: Problema: c) Controle de Qualidade Contexto: O administrador de uma fábrica de parafusos pretende assegurar-se de que a percentagem de peças defeituosas não excede um determinado valor, a partir do qual determinada encomenda poderia ser rejeitada. População: Amostra: Problema: 2
2. Medidas de Posição Representação: Para fins de representação dos elementos de uma amostra, utilizaremos a seguinte notação: Dada uma amostra, representada pelo conjunto A, podemos representar seus elementos, de maneira ordenada, da seguinte maneira: =,,,, EXEMPLO DE APLICAÇÃO: Considere as notas de uma avaliação de matemática aplicada em determinada sala: Nome Nota Antônio 1 João 7 José 5 Maria 3 Otávio 7 Paula 9,5 Pedro 3 Rafael 6 Roberto 8 Utilizando a notação de conjuntos, ordene a amostra das notas apresentadas. A partir do ordenamento de uma amostra, utilizamos medidas de posição para estudar este conjunto. Vejamos as principais. Moda: A moda de um conjunto de valores é o valor que apresenta a maior frequência, podendo ou não ser única. Com relação ao exemplo anterior, qual será o valor da moda do conjunto de notas? Mediana: Ordenados os elementos da amostra, a mediana é o valor (pertencente ou não à amostra) que a divide ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 50% são maiores ou iguais à mediana. 3
Com relação ao exemplo dado, qual será o valor da mediana do conjunto de notas? PARA PENSAR: E se o número de elementos do conjunto for par? Média aritmética: A média aritmética é calculada somando-se os valores dos dados da amostra e dividindo-se o resultado pelo número de valores (n). Ela é representada pela notação: = + + + Com relação ao exemplo dado, qual será o valor da média das notas do conjunto? PARA PENSAR: Comparando os valores da moda, mediana e média do exemplo dado, o que podemos afirmar? 4
Exercícios de sala 1. (ENEM 2010) O quadro seguinte mostra o desempenho de um time de futebol no último campeonato. A coluna da esquerda mostra o número de gols marcados e a coluna da direita informa em quantos jogos o time marcou aquele número de gols. Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e a moda desta distribuição, então: a) X = Y < Z b) Z < X = Y c) Y < Z < X d) Z < X < Y e) Z < Y < X 2. Considere um grupo de pessoas apresenta as idades de 17, 15, 13, 10 e 15 anos. a) Determine a moda, a mediana e a média aritmética desse conjunto. b) Se uma pessoa de 20 anos se juntar ao grupo, o que acontecerá com as medidas de posição? Calcule os novos valores da moda, mediana e média aritmética. 5
3. Medidas de dispersão Além das medidas de posição, é importante compreender os parâmetros de dispersão de uma amostra, ou seja, se há grande variabilidade de dados com relação aos parâmetros de posição, como, por exemplo, a média. As principais medidas de dispersão são: Variância: A variância (representada por ) analisa o grau de variabilidade dos dados com relação à média. É calculada por: = + + + Desvio padrão: O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância. S = + + + VOLTANDO AO EXEMPLO DE APLICAÇÃO: Considerando as notas das avaliações de matemática, qual será o valor da variância e do desvio padrão? Nome Nota Antônio 1 João 7 José 5 Maria 3 Otávio 7 Paula 9,5 Pedro 3 Rafael 6 Roberto 8 Média = 5,5 Somatório = PARA PENSAR: O que significa o desvio padrão de um conjunto de dados? 6
VOLTANDO AO EXEMPLO DE APLICAÇÃO: Imagine três cenários distintos a respeito das notas da avaliação de matemática, Nome Cenário 1 Cenário 2 Cenário 3 Antônio 1 0 5,5 João 7 0 5,5 José 5 0 5,5 Maria 3 0 5,5 Otávio 7 9,5 5,5 Paula 9,5 10 5,5 Pedro 3 10 5,5 Rafael 6 10 5,5 Roberto 8 10 5,5 Média = Variância = Desvio Padrão = O que é comum aos três cenários? E o que é diferente? Exercícios de sala 1. (ENEM 2010) Marcos e Paulo foram classificados em um concurso. Para classificação no concurso o candidato deveria obter média aritmética na pontuação igual ou superior a 14. Em caso de empate na média, o desempate seria em favor da pontuação mais regular. No quadro a seguir são apresentados os pontos obtidos nas provas de Matemática, Português e Conhecimentos Gerais, a média, a mediana e o desvio padrão dos dois candidatos. O candidato com pontuação mais regular, portanto mais bem classificado no concurso, é: a) Marco, pois a média e a mediana são iguais. b) Marco, pois obteve menor desvio padrão. c) Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 19 em Português. d) Paulo, pois obteve maior mediana. e) Paulo, pois obteve maior desvio padrão. 2. Calcule o desvio-padrão das notas da turma 1 e da turma 2: Turma 01 Turma 02 6 7 6 6 6 5 6 3 6 9 7
4. Tipos de médias Nas medidas de posição, vimos como calculamos a média aritmética de um conjunto de dados. Apesar de ser uma das mais recorrentes, a média aritmética não é o único tipo de média existente. Dessa forma, em ordem de relevância, citamos os principais tipos de médias. Média aritmética: A média aritmética é calculada somando-se os valores dos dados da amostra e dividindo-se o resultado pelo número de valores. Ela é representada pela notação:!"é!$ = + + + Média ponderada: Assemelha-se ao cálculo da média aritmética, no entanto, há pesos (representados por ) para cada elemento. %&'( ' = + + + + + + Média geométrica: Define-se média geométrica como sendo a raiz n-ésima do produto dos termos do conjunto analisado., )(&"é! $ = * Média harmônica: Define-se como média harmônica de n termos do conjunto analisado como sendo: - "ô$ = 1 1 + 1 + + 1 PARA TREINAR: Na Poli, temos 3 provas durante o semestre. Suponha que um aluno tenha tirado 8 na primeira prova, 9 na segunda prova e 3 na terceira prova. Sendo a média igual a 6, em quais situações ele seria aprovado? a) A média aritmética do aluno b) A média ponderada caso sejam atribuídos os pesos 1, 2 e 3 para as provas P1, P2 e P3, respectivamente. 8
c) A médica geométrica d) A média harmônica Exercícios de sala 1. Com base no exemplo anterior, considerando outro aluno da Poli que tirou 4 na P1 e 6 na P2, calcule: a) Quanto o aluno precisa tirar na P3 para passar segundo o critério da média aritmética? b) Mantendo-se os critérios de pesos do exemplo anterior, quanto o aluno precisa tirar na P3 para passar segundo o critério da média ponderada? 2. Uma pesquisa visa saber a média de livros que os estudantes leem por ano. Em uma sala de aula temos 15 meninas que leem em média 7 livros por ano. Nessa mesma sala, a média de livros lidos pelos meninos é 4. Qual a média total dos livros que todos os alunos da sala leem anualmente? 9
Exercícios de Casa 1. O gráfico abaixo apresenta o comportamento de emprego formal surgido, segundo o CAGED, no período de janeiro de 2010 a outubro de 2010. Com base no gráfico, o valor da parte inteira da mediana dos empregos formais surgidos no período é: a) 212.952 b) 229.913 c) 240.621 d) 255.496 e) 298.041 2. A tabela a seguir mostra a evolução da receita bruta anual nos três últimos anos de cinco microempresas (ME) que se encontram à venda. Um investidor deseja comprar duas das empresas listadas na tabela. Para tal, ele calcula a média da receita bruta anual dos últimos três anos (de 2009 até 2011) e escolhe as duas empresas de maior média anual. As empresas que este investidor escolhe comprar são: a) Balas W e Pizzaria Y. b) Chocolates X e Tecelagem Z. c) Pizzaria Y e Alfi netes V. d) Pizzaria Y e Chocolates X. e) Tecelagem Z e Alfinetes V. 3. A média das notas dos 50 alunos de uma classe é 7,7. Se considerarmos apenas as notas dos 15 meninos, a nota média é igual a 7. Qual a média das notas se considerarmos apenas as meninas? a) 8,0 b) 7,5 c) 7,7 d) 7,0 e) 8,5 10
4. Em uma corrida de regularidade, a equipe campeã é aquela em que o tempo dos participantes mais se aproxima do tempo fornecido pelos organizadores em cada etapa. Um campeonato foi organizado em 5 etapas, e o tempo médio de prova indicado pelos organizadores foi de 45 minutos por prova. No quadro, estão representados os dados estatísticos das cinco equipes mais bem classificadas Dados estatísticos das equipes mais bem classificadas (em minutos): Utilizando os dados estatísticos do quadro, a campeã foi a equipe: a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V. 5. Um estudo caracterizou 5 ambientes aquáticos, nomeados de A a E, em uma região, medindo parâmetros, físico-químicos de cada um deles, incluindo o ph. O gráfico I representa o ph dos 5 ambientes. Utilizando o gráfico II, que representa a distribuição estatística de diferentes espécies em diferentes faixas de ph, pode-se esperar um maior número de espécies no ambiente: a) A. b) B. c) C. d) D. e) E. 6. A distribuição dos salários de uma empresa é dada na tabela abaixo: Salário em R$ Nº De funcionários 50 3 100 2 150 1 200 1 Total: 7 Qual é a média e a mediana dos salários da empresa? a) 125 e 125 b) 100 e 100 c) 100 e 50 d) 100 e 125 e) 125 e 100 7. Considerando os dados da questão anterior, qual será o valor do desvio padrão? (Utilize 2 1,4 e 7 2,6). a) 20,0 b) 33,45 c) 49,82 d) 53,84 e) 62,97 11 RESPOSTAS 1. D) 2. D) 3. A) 4. C) 5. D) 6. B) 7. D)
1. Equações de primeiro grau Raciocínio Lógico Assunto: Equações de 1º Grau Definição: Equação do primeiro grau é toda equação que pode ser reduzida à forma 6 = 7, onde: = incógnita 6 8 7 = coeficientes da equação, sendo números reais com 6 9 0 Princípio da Igualdade: Devemos ter em mente que, jamais tornaremos falsa uma igualdade quando da realização de qualquer operação em ambos os membros. Acompanhe: 8 = 8 [+2 a cada membro]: 8+2=8+2 10 = 10 (a igualdade permanece verdadeira!) [-3 a cada membro]: 83 = 83 5=5 (a igualdade permanece verdadeira!) [+5 a cada membro]: 8+5 = 8+5 40 = 40 (a igualdade permanece verdadeira!) [?2 a cada membro]: 8?4 = 8?4 2 = 2 (a igualdade permanece verdadeira!) Um tanto quanto óbvio, não? Mas vejamos o caso de uma equação do tipo 6+7 = @ Para isolarmos o x, vamos utilizar o princípio da igualdade. [b a cada membro]: ax+bb = cb ax = cb (a igualdade deve permanece verdadeira!) [?6 a cada membro]: EF = GH$ = GH$ (a igualdade deve permanece verdadeira!) De maneira geral: Buscamos isolar a incógnita e, para isso, utilizamos o princípio da igualdade, ou, de maneira mais prática, fazemos operações inversas. No 1º membro o número é somado no 2º membro é subtraído. No 1º membro o número é multiplicado no 2º membro é dividido. Exemplo: 3x+5 = 2 3x = 25 x = HJ x = 1 Equivalência de razões: Quando temos uma igualdade envolvendo razões, a partir do princípio da igualdade, podemos concluir que temos uma multiplicação cruzada. Por exemplo: 12 K = L MNJ L Exemplos: 8+1 = 2+4 8 = 8 = MNJ 3+3+5 = 4+2+5 9+15 = 8+20 = 5
1. Calcule, detalhando as etapas de cálculo: Exercícios de casa a) 3 + 8 = 17 b) 18 43 = 65 c) 23 16 = 14 17 d) 10P 5 (1 + P) = 3 (2P 2) 20 e) MHR = MHL J MHJ f) + HM S J = HM L 2. A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têm uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B? a) 20.000 b) 25.000 c) 28.000 d) 30.000 e) 33.000 3. Um número cuja soma de sua metade, seu triplo e sua quinta parte com 26 é igual ao quíntuplo do próprio número vale: a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24 4. Em uma família há 3 irmãos. O irmão do meio tem o dobro da idade do caçula. Por sua vez, o irmão mais velho nasceu 16 anos após o irmão caçula. Sabendo que, hoje, a soma das idades dos três irmãos é igual ao quádruplo da idade do irmão do meio, as idades dos três irmãos são: a) 5, 10 e 21 anos b) 4, 8 e 20 anos c) 6, 12 e 22 anos d) 5, 12 e 20 anos e) 4, 10 e 21 anos 13