UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA ANÁLISE NÃO-LINEAR DO CAMPO DE TEMPERATURAS DESENVOLVIDAS DURANTE A SOLDAGEM DO TIPO TIG CONTÍNUO EM PLACAS DELGADAS TADEU FÉLIX DOS SANTOS NATAL 2015

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA ANÁLISE NÃO-LINEAR DO CAMPO DE TEMPERATURAS DESENVOLVIDAS DURANTE A SOLDAGEM DO TIPO TIG CONTÍNUO EM PLACAS DELGADAS Dissertação submetida à UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE Como parte dos requisitos para a obtenção do grau de MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA TADEU FÉLIX DOS SANTOS Orientadora: Profa. Dra. SELMA HISSAE SHIMURA NÓBREGA Natal, mês de 2015

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA ANÁLISE NÃO-LINEAR DO CAMPO DE TEMPERATURAS DESENVOLVIDAS DURANTE A SOLDAGEM DO TIPO TIG CONTÍNUO EM PLACAS DELGADAS TADEU FÉLIX DOS SANTOS Esta dissertação foi julgada adequada para a obtenção do título de MESTRE EM ENGENHARIA MECÃNICA sendo aprovada em sua forma final. Profa. Dra. SELMA HISSAE SHIMURA NÓBREGA Orientador BANCA EXAMINADORA Profa. Dra. SELMA HISSAE SHIMURA NÓBREGA Presidente Prof. Dr. ROBERTO SILVA DE SOUSA Examinador Externo Prof. Dr. JOSÉ UBIRAGI DE LIMA GUERRA Examinador Interno Prof. Dr. LUIZ GUILHERME MEIRA DE SOUZA Examinador Interno

Existem muitas pessoas orando para que as montanhas de dificuldades sejam removidas, quando o que elas realmente precisam é de determinação para escalá-las. O importante em relação a um problema não é a sua solução, mas a força adquirida ao superá-lo. (Anônimo)

Agradecimentos Aos amigos e família, pela paciência e carinho; À CAPES por compreender a situação pela qual passei no período compreendido entre 2008 2010; Ao amigo Leonardo Chagas da Silva e Antônio de Araújo Filho pelo auxílio na elaboração das figuras presentes neste estudo e revisão da normas da ABNT, respectivamente; Ao Professor coordenador do PPGEM, Dr. paciência em atender aos inúmeros requerimentos que solicitei; Luiz Guilherme Meira de Souza, pela Ao secretário acadêmico, Luiz Henrique, pela paciência em ouvir minhas quase infinitas dúvidas e queixas; Finalmente, à minha orientadora Prof a Dr a Selma Hissae Shimura da Nóbrega pelos sábios ensinamentos e paciência com a qual conduziu a orientação.

Sumário Sumário........................................ 5 Lista de tabelas.................................... 7 Lista de ilustrações.................................. 8 1 INTRODUÇÃO.................................. 11 1.1 Motivação para a Pesquisa........................... 11 1.2 Objetivos.................................... 14 1.3 Abordagem do Trabalho............................ 15 2 ANÁLISE TÉRMICA............................... 16 2.1 Modelo bidimensional proposto para a soldagem TIG............. 16 2.2 Modelagem Matemática da Entrada da Calor................ 17 2.2.1 Distribuição Simétrica do Fluxo de Calor (Arco Estacionário, v = 0) 19 2.2.2 Distribuição Assimétrica do Fluxo de Calor (Arco Móvel, v 0).. 22 2.3 Equação Governante Relativa ao Sistema de Coordenadas (x, y, z) Fixo à Placa....................................... 23 2.4 Equação Governante Relativa ao Sistema de Coordenadas (ζ, y, z) em Movimento em Relação a Placa.......................... 27 2.4.1 Condições de Contorno em Termos de θ............... 30 2.4.1.1 Condições de Contorno Internas, r < r h.......... 30 2.4.1.2 Condições de Contorno Externas, r > r h.......... 31 2.4.1.3 Condições de Contorno na Fronteira Comum, r = r h... 31 2.4.2 Condições de Contorno em Termos de φ............... 32 2.4.2.1 Condições de Contorno Internas, r < r h.......... 32 2.4.2.2 Condições de Contorno Externas, r > r h.......... 32 2.4.2.3 Condições de Fronteiras Comuns, r = r h.......... 32 2.5 Solução Analítica da Equação do Calor.................... 33 2.5.1 Região Externa, r > r h :........................ 33 2.5.1.1 Caso Adiabático, h 1 = 0 = h 2 :................ 35 2.5.1.2 Caso Não-Adiabático, h 1.h 2 0:.............. 36 2.5.2 Região Interna, r < r h :......................... 36 2.5.2.1 Parte I:............................ 36 2.5.2.1.1 Caso Não-Adiabático................ 39 2.5.2.1.2 Caso Adiabático.................. 39 2.5.2.2 Parte II:............................ 39 2.5.2.2.1 Caso Adiabático:.................. 41 2.5.2.2.2 Caso Não-Adiabático:............... 41

2.5.3 Região de Correspondência, r = r h :.................. 41 3 MATERIAIS E SUAS PROPRIEDADES TERMOFÍSICAS.......... 44 3.1 Aço AISI 316L................................. 45 3.2 Alumínio 2024 T 3............................... 46 4 IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL DO MODELO ANALÍTICO... 50 4.1 Descrição do Modelo Físico Utilizado..................... 50 4.1.1 Para o Metal de Base Constituído de Aço 316L........... 50 4.1.2 Para o Metal de Base Constituído de Alumínio 2024 T 3...... 51 4.2 Resultados e Discussão das Simulações.................... 53 4.2.1 Aço Austenítico AISI 316L...................... 53 4.2.2 Liga de Alumínio 2024 T 3....................... 57 5 CONCLUSÃO................................... 59 5.1 Sugestões para Futuras Pesquisas....................... 60 Anexos 61 ANEXO A DETERMINAÇÃO DA ABRANGÊNCIA DE APLICAÇÃO DO VALOR CARACTERÍSTICO, ω n, NA SOLUÇÃO OBTIDA PARA A REGIÃO EXTERNA........................ 62 ANEXO B CÁLCULO ENVOLVIDO NA DETERMINAÇÃO DA CONSTANTE D n PRESENTE NA SOLUÇÃO ENCONTRADA PARA A REGIÃO INTERNA............................... 66 ANEXO C CÓDIGO COMPUTACIONAL.................... 69 Referências...................................... 85

Lista de tabelas Tabela 1 Desenvolvimento da teoria do fluxo de calor na soldagem a arco elétrico enre as décadas de 40 e 80......................... 14 Tabela 2 Composição química referente ao aço austenítico 316L.......... 45 Tabela 3 Propriedades termofísicas dependentes da temperatura do aço AISI 316L..................................... 46 Tabela 4 Composição química referente a liga de Alumínio 2024 T 3........ 47

Lista de ilustrações Figura 1 Configuração da placa sob soldagem.................... 16 Figura 2 Modelos de distribuições superficiais de entrada de calor......... 18 Figura 3 Modelos de distribuições volumétricas de entrada de calor........ 19 Figura 4 Distribuição Gaussiana do Fluxo de Calor durante a soldagem...... 19 Figura 5 Representação esquemática para a geometria envolvida nos valores de contorno................................... 30 Figura 6 Superposição usada na solução interna.................. 37 Figura 7 Efeito da temperatura nas propriedades físicas da liga de Alumínio 2024 T 3................................... 47 Figura 8 Condutividade Linearizada para o Alumínio 2024 T 3.......... 48 Figura 9 Apresentação da configuração geométrica da placa sob análise bem como da seção de referência......................... 51 Figura 10 Configuração dos pontos analisados.................... 52 Figura 11 Ciclo térmico modelado analiticamente em diferentes pontos (y 1 = 10mm, y 2 = 20mm e y 3 = 30mm) medidos em relação a linha de solda (eixo-x) e situados em uma secção transversal localizada em x = 95mm do eixo-y................................... 53 Figura 12 Comparação feita com dados experimentais do Depradeux (2004) para o ponto situado a 10 mm da linha de solda................ 54 Figura 13 Comparação feita com dados experimentais do Depradeux (2004) para o ponto situado a 20 mm da linha de solda................ 55 Figura 14 Comparação feita com dados experimentais do Depradeux (2004) para o ponto situado a 30 mm da linha de solda................ 55 Figura 15 Resultado encontrado para um ponto situado sobre a linha de solda... 57 Figura 16 Ciclo térmico modelado analiticamente em diferentes pontos (y 1 = 10mm, y 2 = 20mm e y 3 = 30mm) medidos em relação a linha de solda (eixo-x) e situados em uma secção transversal localizada em x = 76mm do eixo-y................................... 58 Figura 17 Elemento de área considerado na análise.................. 62

Resumo Este estudo oferece uma abordagem analítica que visa determinar o campo de temperaturas desenvolvido durante a soldagem TIG DC sobre uma placa fina de Alumínio. As características não-lineares do fenômeno, tais como a dependência das propriedades termofísicas e mecânicas do material com a temperatura, são consideradas nesse estudo. Além do processo de troca de calor por condução, são levadas em consideração as trocas por convecção natural e radiação. Uma análise transiente foi realizada a fim de se avaliar o comportamento temporal do campo de temperatura. Também uma modelagem tridimensional para a fonte de calor foi discutida. Com a finalidade de validar os resultados obtidos através do modelo analítico, foi feito o confronto destes com aqueles obtidos experimentalmente e os disponíveis na literatura. As respostas analíticas obtidas apresentam uma boa correlação com as experimentais disponíveis na literatura, comprovando assim a viabilidade e eficiência deste método analítico na simulação do ciclo térmico para este tipo de soldagem. Palavras-chave: Soldagem TIG DC. Modelagem térmica.

Abstract This study offers an analytical approach in order to provide a determination of the temperature field developed during the DC TIG welding of a thin plate of aluminum. The non-linear characteristics of the phenomenon, such as the dependence of the thermophysical and mechanical properties with temperature were considered in this study. In addition to the conductive heat exchange process, were taken into account the exchange by natural convection and radiation. A transient analysis is performed in order to obtain the temperature field as a function of time. It is also discussed a three-dimensional modeling of the heat source. The results obtained from the analytical model were be compared with the experimental ones and those available in the literature. The analytical results show a good correlation with the experimental ones available in the literature, thus proving the feasibility and efficiency of the analytical method for the simulation of the heat cycle for this welding process. Key words: DC TIG welding. Thermal modeling.

11 1 INTRODUÇÃO A soldagem representa um dos mais complexos processos de fabricação em termos de variáveis e fatores envolvidos. Comparado com os métodos de união mecânica, ela oferece algumas vantagens significativas incluindo flexibilidade ao desenho, melhoria na integridade estrutural e economia de massa e custo em estruturas onde a solda se faz presente. Além do mais, é um processo de grande importância na fabricação mecânica na indústria de engenharia, por causa do seu uso universal. Grande parte das estruturas metálicas encontradas têm suas uniões processadas através dos diversos tipos de soldas existentes. Dos produtos obtidos através dos processos de fabricação envolvendo soldagem podemos citar: trilhos, pontes, navios, vasos de pressão, naves espaciais, reatores nucleares, plataforma de petróleo entre outros. A soldagem, entretanto, induz deformações térmicas no metal de base em regiões próximas à linha de solda, resultando em tensões que, por sua vez, se combinam e interagem de forma a produzir esforços internos de flexão, tração e torção. Estes deslocamentos são nomeados como distorções de soldagem. Apesar do reconhecimento da soldagem como um dos mais importantes processos de fabricação na indústria da engenharia, há pouca compreensão científica presente na literatura. Atualmente, o processo TIG (Tungsten Inert Gás), usado com sucesso para soldagem de aços inoxidáveis e metais não-ferrosos é largamente empregado, tendo a técnica apresentado um grande desenvolvimento após 1940 devido a necessidade da implementação de processos de soldagem para materiais de difícil soldabilidade, como o Alumínio e o Magnésio. Neste processo, hoje, é usado um eletrodo de tungstênio não consumido protegido por uma atmosfera de gás inerte que pode ser argônio, hélio ou mistura destes dois. A soldagem TIG é utilizada em situações onde é exigido um bom acabamento, ausência de respingos, menor aquecimento da peça soldada e em processos passíveis de automatização principalmente na indústria aeroespacial e de aviação. 1.1 Motivação para a Pesquisa Pela natureza deste processo as partes da estrutura unidas por soldagem são submetidas a um histórico térmico extremamente severo, resultado direto do fluxo de calor intenso e localizado na zona soldada. Dessa forma, problemas como deformações plástica, redução da resistência mecânica da estrutura na região de soldagem (ou em seu entorno) e tensões residuais de alta magnitude nas juntas recém unidas (conformadas) são motivos de grande preocupação na indústria da soldagem. Em particular, as tensões residuais têm enorme influência sobre o comportamento da estrutura soldada quando em serviço,

Capítulo 1. INTRODUÇÃO 12 pois reduzem o tempo de vida da estrutura ou até mesmo a torna inutilizável, uma vez que, de acordo com Li et al. (2004), as propriedade mecânicas tais como a resistência à fadiga, a tenacidade à fratura, a resistência à flambagem e resistência à corrosão são demasiadamente afetadas por tais tensões. Assim, uma análise cuidadosa do ciclo térmico se faz necessária, uma vez que através dela é possível realizar previsões precisas da tensão residual e, portanto, antecipar o comportamento da estrutura pós soldagem. Além do mais, a determinação da distribuição de temperatura bem como do histórico térmico (ciclo térmico) também se faz necessário nos processos de controle em soldagem. Tais processos vêm substituindo a soldagem manual cada vez mais, pois eles garantem uma melhoria tanto na qualidade quanto na produtividade. A soldagem por controle adaptável consiste em um sistema de controle que determina automaticamente, em tempo-real, e através de seus sensores, as mudanças nas condições de soldagem e direciona o equipamento para compensar o desvio das condições normais de operação. Ajustar os parâmetros de processo em resposta às mudanças detectadas pelos sensores requer, portanto, conhecimento de como tais parâmetros afetam o ciclo térmico. A presente pesquisa considera duas possibilidade para a composição do metal de base, a saber, o aço austenítico AISI 316L e liga de alumínio 2024 T 3. O aço inoxidável 316L é amplamente usado em aplicações que exigem alta resistência à corrosão, ou uma boa resistência a temperaturas elevadas. Os usos típicos incluem coletores de escapamento, peças de fornos, trocadores de calor, peças de motor a jato, produtos farmacêuticos e equipamentos fotográficos, válvula e bomba de compensação, peças expostas a ambientes marinhos e tubos (AK, 2007). No presente trabalho o aço austenítico AISI 316L será usado na etapa relativa à validação do modelo apresentado, devido a presença de resultados experimentais consistentes na literatura recente. Por outro lado, a liga de alumínio 2024 T 3 é empregada em muitas áreas de fabricação como a indústria automobilística, aeronáutica e militar, em seus elementos estruturais devido a suas características tais como: alta razão resistência/densidade, boas propriedades mecânicas para aplicações em estruturas, excelente resistência à corrosão, tolerância ao dano e alta resistência à propagação de fissura por fadiga (YANG et al., 2011). Embora a liga 2024 T 3 seja um material de alta relevância nas aplicações da indústria aeronáutica, o seu uso na fuselagem de estruturas deve levar em consideração algumas variáveis de interesse, tais como mudanças nas microestruturas ou as características da Zona Termicamente Afetada (ZTA). Assim, no que diz respeito a este alumínio, uma simulação será conduzida tendo como propósito a disponibilização de dados referentes ao seu histórico térmico para emprego em futuras verificações experimentais. Além disso, esta simulação poderá ser útil para aplicação direta na caracterização da microestrutura ou mesmo na predição das característica mecânicas da ZTA. A modelagem e predição matemática dos ciclos térmicos que ocorrem no metal de base como resultado dos processos de soldagem a arco tem sido estudada por anos, sendo

Capítulo 1. INTRODUÇÃO 13 o primeiro trabalho relevante no tópico publicado por Rosenthal (1941). As primeiras análises do histórico térmico provocado pela soldagem foram feitas sob a consideração de hipóteses bastante simplificadoras e, em geral, conduzidas considerando apenas uma dimensão (unidimensionais). Os trabalhos desenvolvidos durante a década de 40 e 50 eram de natureza predominantemente analítica e diziam respeito apenas ao estabelecimento da distribuição de calor na solda. Do início dos anos 60 até meados da década 80, o método de modelagem analítica continuou a ser importante na análise do ciclo térmico durante a soldagem, mas a abordagem numérica do problema era também vigorosamente explorada. Um resumo dos trabalhos mais relevantes, no período compreendido entre a década de 40 e 80, envolvendo a modelagem do processo de soldagem foi apresentado em um artigo por Myers, Uyehara e Borman (1967) e é apresentado na Tabela 1. De acordo com a Tabela 1 a primeira tentativa de utilização do computador para a análise térmica foi feita por Hibbitt e Marcal (1973). Em seu trabalho, a equação diferencial termo-mecânica foi resolvida através de um programa de computador desenvolvido para implementar o Método dos Elementos Finitos. Ele usou um calor específico efetivo para levar em conta o calor latente de fusão. Entretanto, sua solução bidimensional apenas se aplicava a soldagem com fonte estacionária e sua análise foi, principalmente, dedicada à obtenção da deformação térmica e das tensões residuais. Assim, desde o advento do computador, uma nova ferramenta de cálculo tornou-se disponível a qual, quando combinada com esforços experimentais mínimos, pode resultar em soluções para muitos problemas provenientes da soldagem. À vista disto, houve um gradual e crescente abandono da abordagem analítica no estudo do ciclo térmico na soldagem e, portanto, os trabalhos sobre o tema têm se dedicado, no momento atual, exclusivamente a abordagem numérica.

Capítulo 1. INTRODUÇÃO 14 Tabela 1 Desenvolvimento da teoria do fluxo de calor na soldagem a arco elétrico enre as décadas de 40 e 80. Ivestigadores Rosenthal (1941) Wells (1953) Grosh e Trabant (1956) Adams e Clyde (1958) Davies, Christensen e Gjermundsen (1965) Rykalin (1960) Pavelic e Tsao (1979) Malmuth et al. (1974) Hibbitt e Marcal (1973) Masubuchi (1977) Friedman (1975) Kou, Kanevsky e Fyfitch (1982) Comentário Teoria da fonte pontual e linear. Equação empírica relacionando a largura da solda com a velocidade de deslocamento. Efeito das propriedades térmicas não-constantes. Taxa de resfriamento. Comparação da teoria da fonte pontual com resultados experimentais. Formulação da temperatura de pico na linha de solda. Cálculo numérico do campo térmico na ZTA. Efeito do calor latente de fusão. Introdução do computador na resolução de problemas em soldagem. Transiente térmico e tensão residual. Efeito da magnitude e da distribuição de calor para uma solda estacionária. solidificação na zona fundida. Fonte: (MYERS; UYEHARA; BORMAN, 1967 apud TSAI, 1983, p. 128) Dessa forma, o presente estudo propõe a retomada do emprego de métodos analíticos na resolução dos problemas relativos à soldagem, tendo em vista que este método possui aplicações de grande relevância dentre as quais pode-se destacar a validação de casos limites de modelos numéricos. Tal instrumento também pode auxiliar no desenvolvimento de soluções numéricas cada vez mais robustas. Outra vantagem significativa é que, uma vez obtida uma solução em forma fechada, os tempos computacionais exigidos são minimizados. Por fim, se um método analítico for suficiente para resolver o problema de interesse, dentro de níveis de precisão e exigência requeridos, ele deve ser o escolhido, pois a complexidade do método deve se adequar ao tamanho do problema a ser resolvido. 1.2 Objetivos O escopo desta pesquisa é a modelagem analítica do processo de soldagem mediante consideração de uma fonte de calor distribuída. A determinação do ciclo térmico obtido a partir de desenvolvimento analítico constitui seu foco principal. No entanto, este estudo se restringirá à soldagem de uma placa fina plana e a um único passo de solda. Dessa forma, buscar-se-á desenvolver um modelo analítico capaz de prever o campo transiente de temperatura ao longo de uma placa de alumínio 2024 T 3 devido ao pro-

Capítulo 1. INTRODUÇÃO 15 cesso de soldagem TIG autógeno com uma fonte tridimensional de calor em movimento. A determinação de tal campo é realizada mediante simulação computacional feita por intermédio do código computacional em Fortran IV. A validação do modelo analítico aqui apresentado é feita mediante comparação de resultados experimentais obtidos na tese do Depradeux (2004) para liga AISI 316L. Os principais objetivos da pesquisa são enumerados a seguir: 1. Modelagem tridimensional da fonte de calor; 2. Previsão da distribuição de temperaturas oriunda do movimento de uma fonte de calor tridimensional levando em conta a dependência de temperatura do material e suas perdas de calor; 3. Simulação do modelo apresentado para uma liga de alumínio 2024 T 3 buscando estimar o campo de temperaturas desenvolvido. 1.3 Abordagem do Trabalho O processo de soldagem TIG será investigado através do uso de uma abordagem analítica e implementada computacionalmente para uma placa fina e plana. O ciclo térmico desenvolvido durante a soldagem é investigado para dois materiais diferentes. Desta forma, esta dissertação está organizada nos seguinte capítulos: CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO. Neste capítulo são apontadas as razão que motivaram a pesquisa, os objetivos propostos e uma retrospectiva histórica sobre o problema. CAPÍTULO 2 ANÁLISE TÉRMICA. Neste capítulo, uma modelagem para a fonte de calor é definida, em um primeiro momento. Em seguida, apresenta-se uma descrição matemática do problema físico com relação à um sistema de coordenadas móvel. Por fim, são discutidos os detalhes envolvidos na solução da equação governante envolvida. CAPÍTULO 3 MATERIAIS E SUAS PROPRIEDADES TERMOFÍSICAS. Neste capítulo são apresentadas as propriedades termofísicas, bem como a composição dos materiais estudados. CAPÍTULO 4 IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL DO MODELO ANALÍTICO. Neste capítulo, apresenta-se uma descrição do procedimento de modelagem do sistema físico estudado, bem como dos valores assumidos para as propriedades termofísicas envolvidas. Também são discutidos os resultados provenientes da simulação para as ligas sob análise. CAPÍTULO 5 CONCLUSÕES. As principais conclusões desta dissertação são apresentadas neste capítulo bem como algumas recomendações para trabalhos futuros.

16 2 ANÁLISE TÉRMICA 2.1 Modelo bidimensional proposto para a soldagem TIG. Na Figura 1 apresenta-se o objeto de estudo para o qual admite-se que o arco de solda se desloca ao longo da linha de soldagem, a uma velocidade constante, v, em relação a um sistema de coordenadas (x, y, z) fixo à placa no ponto onde a soldagem se inicia (o qual é referido como sistema fixo); e cuja posição não varia com o tempo. No entanto, é prática comum na análise do fluxo de calor em soldagem, expressar as equações em termos de um sistema de coordenadas móveis (ζ, y, z ), que se desloca com a fonte de calor. Dessa forma, uma vez conhecidos a posição, x, de um ponto genérico sobre a placa e a velocidade v, a relação entre os dois referenciais pode ser escrita, através da transformação de Galileu, como ζ = x v.t, y = y, z = z (2.1) Figura 1 Configuração da placa sob soldagem. Fonte:Adaptado de Papazoglou (1981)

Capítulo 2. ANÁLISE TÉRMICA 17 De acordo com (2.1), pode-se ainda escrever o sistema de coordenadas móvel como (ζ, y, z), uma vez que as coordenadas y e z coincidem com as coordenadas y e z, durante o processo. Algumas considerações básicas serão feitas de forma a obter soluções analíticas da equação governante da condução de calor. Tais condições são descritas: 1. Um estado quasi-estacionário é estabelecido; 2. A entrada de calor se dará através da fonte móvel de calor tridimensional descrita por meio da eq. (2.12); 3. A condutividade térmica do material será considerada como sendo uma função linear da temperatura; 4. A difusividade térmica do material será considerada constante; 5. A perda de calor por convecção e radiação será levada em conta através da introdução de um novo parâmetro denominado como coeficiente de transferência de calor convecto-radiante; 6. A transformação de fase e o aquecimento por efeito Joule serão ignorados; 7. A temperatura inicial da placa, θ 0, poderá ser diferente da temperatura ambiental, θ e, para possibilitar situações com pré-aquecimento. 2.2 Modelagem Matemática da Entrada da Calor Uma das mais importantes variáveis de entrada envolvida na análise térmica da soldagem é a magnitude da entrada total de calor que atua sobre a placa ou seção submetida a soldagem. É costumeiro expressar esta total entrada de calor, Q, através da fórmula Q = η a V I (2.2) onde V é a diferença de potencial entre um eletrodo e a peça a ser soldada e I a corrente produzida pelo arco elétrico induzido pela tensão desenvolvida pela fonte elétrica. O produto resultante entre essas magnitudes representa a energia elétrica total entregue pela fonte. O outro parâmetro, η a, é conhecido como eficiência do arco; este parâmetro provém de uma forma semi-empírica que considera as várias formas de perda de calor decorrentes do aquecimento da ponta do eletrodo, radiação de calor para a atmosfera vizinha, respingos metálicos, etc. Além disso por ser altamente dependente do processo de soldagem usado, da profundidade da penetração atingida, da proteção oferecida pelo gás entre muitos outros fatores,

Capítulo 2. ANÁLISE TÉRMICA 18 e sua determinação torna-se difícil de ser realizada. Portanto, o método experimental conhecidos como Método Calorimétrico, que consiste na medição da elevação da temperatura do banho aquoso após a imersão de um espécime metálico recém soldado, é usado na determinação de η a. As referências da literatura mostram uma grande variação nos valores de eficiência arco determinados, independentemente se eles foram determinados através de experimentos calorimétricos ou alcançado por estudos de modelagem e simulação. No presente trabalho o valor utilizado para a eficiência térmica, η a, foi obtido na pesquisa do Cantin e Francis (2005) sendo a ela atribuido o valor de η a = 0, 63. Segundo Rykalin (1960), tão importante quanto a magnitude total do calor que entra é a sua distribuição, uma vez que a intensidade do fluxo de calor diminui com o aumento da distância ao centro da zona fundida. Dessa forma, um ponto muito importante para a simulação da soldagem é a modelagem da fonte de calor ou, mais especificamente, a distribuição da entrada de calor. Em geral, a distribuição da entrada de calor pode ser classificada como superficial (considerando essencialmente a contribuição do plasma) e volumétrica (incluindo também a contribuição da poça de fusão). De acordo com Depradeux (2004), dentre os modelos de distribuição superficial mais frequentemente utilizadas, pode-se mencionar a repartição constante sobre um disco de raio, R d, a repartição gaussiana infinita e a repartição gaussiana finita sobre um raio, R g, as quais estão ilustradas na Fig. 2. Figura 2 Modelos de distribuições superficiais de entrada de calor. Fonte:(DEPRADEUX, 2004) Para uma distribuição volumétrica, as repartições gaussianas 3D finitas sobre um elipsóide e sobre um duplo elipsóide são os modelos mais comumente usados Fig. 3. A escolha de um modelo e suas características (dimensões e intensidades) depende do processo de soldagem e dos parâmetros utilizados e, conforme observado no trabalho de Depradeux, tem grande influência sobre os resultados da simulação numérica. No presente trabalho adotou-se o modelo superficial de distribuição, uma vez que busca-se determinar o ciclo térmico em placas finas e para tal geometria esta escolha

Capítulo 2. ANÁLISE TÉRMICA 19 Figura 3 Modelos de distribuições volumétricas de entrada de calor. Fonte:(DEPRADEUX, 2004) apresenta-se mais apropriada. 2.2.1 Distribuição Simétrica do Fluxo de Calor (Arco Estacionário, v = 0) Uma abordagem bastante realista foi proposta por Friedman (1975) e consiste em modelar a distribuição do fluxo de calor em torno da poça de fusão através da distribuição gaussiana de probabilidade vista na fig. (4). Figura 4 Distribuição Gaussiana do Fluxo de Calor durante a soldagem. Fonte:(PAPAZOGLOU, 1981) Matematicamente, a distribuição do fluxo de calor é descrita por: q(r) = q 0 e Cr2 (2.3) onde, q 0 = q max é o valor máximo assumido pela função de distribuição do fluxo de calor e corresponde ao centro, r = 0, da superfície submetida ao fluxo [ ] W cm ; 2

Capítulo 2. ANÁLISE TÉRMICA 20 C = coeficiente de concentração do fluxo de calor [cm 2 ]; r = distância radial medida a partir do centro da poça [cm]; O coeficiente de concentração, C, quantifica a concentração da fonte: quanto maior é o valor de C, mais concentrada é a fonte de calor e menor é o diâmetro d h da região aquecida. A distância r h = d h pode ser definida para todas as finalidades práticas como aquela 2 para a qual o fluxo de calor q(r h ) assume 0,05 do valor do fluxo máximo q 0. Dessa forma, q(r h ) = q 0 e Cr h 2 = 0, 05q 0 q 0 e Cr h 2 = 0, 05q 0 e Cr h 2 = 0, 05 ) ln (e Cr h 2 = ln (0, 05) Cr h 2 = 3, 0 r h = 3 C (2.4) Ou ainda, d h = 2 3 C = 3, 46 C (2.5) O diâmetro convencional da região aquecida d h é, portanto, inversamente proporcional à raiz quadrada do coeficiente de concentração, C. Além disso, se a energia total absorvida pela peça, Q, é conhecida, a função de distribuição, dada pela eq. (2.3), pode ser integrada sobre a superfície submetida ao fluxo de calor de forma que Q = q (r) ds = = 0 S q (r) 2πrdr =

Capítulo 2. ANÁLISE TÉRMICA 21 = 2π 0 q 0 e Cr2 rdr = = 2πq 0. 0 re Cr2 dr (2.6) onde, 0 re Cr2 dr = lim t t 0 re Cr2 dr (2.7) pode-se ainda através da substituição dada a seguir na integral (2.7) obter e Cr2 rdr = u = Cr 2 du = 2Crdr e u eu e Cr2 du = 2C 2C = 2C rdr = du 2C assim, tem-se que t lim t 0 re Cr2 dr = lim e Cr2 t = t 2C 0 ) (e Ct2 e 0 = = 1 2C lim t 0 re Cr2 dr = 1 2C (2.8) Por fim, fazendo-se a substituição da eq. (2.8) em (2.6), tem-se Q = 2πq 0 1 2C Q = q 0π C para qual o fluxo máximo de calor no centro da região aquecida pode ser calculado por (2.9)

Capítulo 2. ANÁLISE TÉRMICA 22 q 0 = CQ π e, portanto, pode-se, a partir das equações (2.2) e (2.5), reescrever a eq. (2.3) como (2.10) q(r) = 3.η a.i.v πr h 2 e ( ) 3r2 r 2 h (2.11) 2.2.2 Distribuição Assimétrica do Fluxo de Calor (Arco Móvel, v 0) Tendo por base experimentos de cinematografia de alta velocidade, Tsai e Eagar (1985) observaram que o arco elétrico em movimento não é radialmente simétrico e, assim, propuseram a seguinte equação para a distribuição de calor no arco móvel q (r, ζ) = q 0 e Cr2 λvζ (2.12) onde, ζ é a coordenada pertencente a um sistema de coordenadas móvel previamente apresentado através da transformação (2.1), λ é o parâmetro que se relaciona com a difusividade térmica, κ, por (2λ = 1 ), e r representa a coordenada radial associada a κ fonte móvel de calor e é expressa por r = ( y 2 + ζ 2) 1 2 (2.13) Para o caso especial de um ponto situado sob a linha de solda (y = 0), a Equação 2.13 torna-se r = ζ 0 (2.14) Assim, o fluxo máximo de calor no arco pode ser encontrado através da substituição do resultado expresso pela Equação 2.14 na eq. (2.12) q (r, ζ) r=ζ = q (ζ) = q 0 e Cζ2 λvζ com máximo valor localizado em dq (ζ) dζ dq (ζ) dζ = 0 = q 0. ( 2Cζ λv).e cζ2 λvζ = 0 ζ = λv 2C (2.15)

Capítulo 2. ANÁLISE TÉRMICA 23 com localização atrás do centro do arco. E, por fim, com valor máximo assumindo magnitude de q max = q 0 e (λv)2 λv C 4C2 λv( = q 0 e (λv)2 4C + (λv)2 2C = 2C ) = q max = q 0 e (λv)2 4C (2.16) é fácil observar, a partir da eq. (2.16), que q max > q 0, uma vez que e (λv)2 4C > 1. 2.3 Equação Governante Relativa ao Sistema de Coordenadas (x, y, z) Fixo à Placa A distribuição de calor durante a soldagem é um problema de fluxo de calor nos corpos. Sua característica particular é que o seu fornecimento, não ocorre de forma estacionária. Aqui a fonte de energia térmica se move com velocidade, v, geralmente, constante na superfície da peça. O problema é dito solucionado quando é possível indicar, em para todo instante, a temperatura, θ, de um ponto qualquer da peça (distribuição de temperatura). A forma tradicional para se obter o resultado é assumir que para cada volume elementar da peça, o aumento da temperatura, durante um curto intervalo de tempo, é proveniente do calor ganho que excede o calor perdido passando através das superfícies de controle das fronteiras do volume. Isto resulta em uma EDP dada por: ( k θ ) + ( k θ ) + ( k θ ) = ρc θ x x y y z z t W i (2.17) nesta equação W i é a geração de calor interna por unidade de volume, ρ é a densidade, c o calor específico e k é a condutividade térmica. Deve ser mencionado, ainda, que é importante para solução levar-se em conta a possibilidade do caso de pré-aquecimento da placa uma vez que esta operação é extensamente usada quando se deseja prevenir trincas ou mesmo reduzir as distorções. Dessa forma, buscando incorporar essa consideração,uma nova variável é introduzida T (θ) = θ θ 0 (2.18)

Capítulo 2. ANÁLISE TÉRMICA 24 onde θ 0 é a temperatura inicial da superfície. E as variáveis estão relacionadas conforme mostra o diagrama a seguir: T θ x y z t de forma que pela regra da cadeia e a partir do resultado dt (θ) dθ = 1, tem-se T x = dt θ dθ x T x = θ x T y = dt θ dθ y T y = θ y T z = dt θ dθ z T z = θ z T t = dt θ dθ t T t = θ t consequentemente, a eq. (2.17) pode ser escrita como (2.19a) (2.19b) (2.19c) (2.19d) ( k T ) + ( k T ) + ( k T ) = ρc T x x y y z z t W i (2.20) A eq.(2.20) pode ser reduzida à uma equação diferencial linear através de uma nova temperatura, u, relacionada a T através da definição dada a seguir u = 1 T k (η) dη (2.21) k 0 0 onde k 0 é o valor da condutividade térmica para a temperatura T = 0 (θ = θ 0 ) e k (η) é a função que descreve a dependência da condutividade térmica do material com a temperatura, η. Assumindo que esta dependência é linear k (T ) = k 0 (1 + γt ) ou k (θ) = k 0 [1 + γ (θ θ 0 )] Assim, a eq. (2.21) pode ser resolvida conforme visto a seguir

Capítulo 2. ANÁLISE TÉRMICA 25 u = 1 T k (η) dη = 1 T k 0 (1 + γη) dη = k 0 k 0 = 0 T 0 (1 + γη) dη = 0 [η + γη2 2 ] T 0 no intuito de isolar T na eq. (2.22), tem-se: u = T + γt 2 2 (2.22) 2u = 2T + γt 2 2γu = 2 (γt ) + (γt ) 2 1 + 2γu = 1 + 2 (γt ) + (γt ) 2 1 + 2γu = (γt + 1) 2 1 + 2γu = γt + 1 T = 1 γ ( 1 + 2γu 1 ) (2.23) Além disso, verifica-se que du dt = 1 + 2 γt 2 du dt = 1 + γt (2.24) que ainda pode ser reescrito da seguinte forma k 0 du dt = k 0 (1 + γt ) du dt = k (T ) k 0 (2.25) Aplicando, agora, a regra da cadeia e fazendo uso do diagrama a seguir

Capítulo 2. ANÁLISE TÉRMICA 26 u T x y z t juntamente com a eq.(2.25), tem-se u x = du T dt x u y = du T dt y u z = du T dt z u t = du T dt t u x = k (T ) dt k 0 dx u y = k (T ) dt k 0 dy u z = k (T ) dt k 0 dz u t = k (T ) dt dt k 0 (2.26a) (2.26b) (2.26c) (2.26d) que quando substituídos na eq. (2.20), resulta em A partir da eq. (2.26d) pode-se ainda escrever T t = k 0 k que quando substituída em (2.27), resulta em 2 u x + 2 u 2 y + 2 u 2 z = ρc T 2 k 0 t W i (2.27) k 0 u t ou ainda, 2 u x + 2 u 2 y + 2 u 2 z = ρc 2 k 0 k 0 k u t W i k 0 2 u = 1 u κ t W i (2.28) k 0 onde: κ = k ρc é a difusidade térmica, que será assumida como sendo constante; e 2 é o operador Laplaciano.

Capítulo 2. ANÁLISE TÉRMICA 27 2.4 Equação Governante Relativa ao Sistema de Coordenadas (ζ, y, z) em Movimento em Relação a Placa Os resultados experimentais, conduzidos por Rosenthal (1941), mostram que se a soldagem é realizada ao longo de um comprimento suficiente, um estado termodinâmico, conhecido como estado quasi-estacionário, é logo criado na peça soldada. De acordo com Rosenthal (1941), para defini-lo é assumido que um observador encontrase fixo na fonte de calor durante a soldagem. Então, se o estado quasi-estacionário é alcançado na peça, o observador não perceberá nenhuma mudança na distribuição de temperatura em volta da fonte de calor. Como consequência, os traços deixados na superfície por diferentes isotermas se tornarão linhas retas paralelas a direção de soldagem. O estabelecimento do estado quasi-estacionário pode facilmente ser demonstrado por meio das zonas de diferentes cores visualizadas na superfície polida de uma placa de metal durante a soldagem. Conforme é conhecido dos resultados experimentais, estas cores estão associadas às máximas temperaturas atingidas por diferentes pontos de uma placa, medidos a partir da linha de solda (eixo-x). Quando o estado térmico é quase estacionário, estas zonas se tornam paralelas à direção de soldagem. Para levar em consideração o estabelecimento deste estado na eq. (2.28), a origem do sistema de coordenadas é transferida da placa para a fonte de calor. Para essa finalidade, se o eixo-x está na direção da linha de solda, um novo sistema de coordenadas deve ser definido através da transformação e percebe-se que x = ζ + vt, y = y, z = z, t = t (2.29) x ζ = (ζ + vt ) ζ x = (ζ + vt ) t t dy = dz = dt = 1 dy dz dt x ζ = 1 x = v t O diagrama a seguir mostra a relação entre as variáveis envolvidas (2.30a) (2.30b) (2.30c) u x t y z ζ t y z

Capítulo 2. ANÁLISE TÉRMICA 28 fazendo uso da regra da cadeira e dos resultados obtidos nas eq. (2.30), têm-se u ζ = u x x ζ u = u dy y y dy u = u dz z z dz u = u x t x t + u dt t dt u x = u ζ u y = u y u z = u z u t u = v ζ + u t (2.31a) (2.31b) (2.31c) (2.31d) que substituídos na Equação 2.28 e retornando às variáveis originais do problema através da relações apresentadas na eq. (2.29), tem-se 2 u ζ + 2 u 2 y + 2 u 2 z = 1 ( v u 2 κ ζ + u ) W i t k 0 ou ainda, com 2λ = 1 κ 2 u ζ + 2 u 2 y + 2 u u = 2λv 2 z2 ζ + 2λ u t W i (2.32) k 0 Visando determinar uma solução para o estado quasi-estacionário, assume-se a temperatura como invariável com o tempo no novo sistema de coordenadas fixo à fonte de calor. Assim, a derivada com relação ao tempo, presente na Equação 2.32, é suprimida. Além disso, admite-se não haver geração de calor interno, e em consequência, o último termo da referida equação também pode ser retirado 2 u ζ + 2 u 2 y + 2 u u + 2λv 2 z2 ζ = 0 (2.33) No estado quasi-estacionário, para um observador posicionado no arco durante a soldagem, a distribuição de temperatura possui declividade mais acentuada na extensão posterior do arco que na anterior. Este comportamento é introduzido no modelo mediante o uso do fator e λvζ, além do que a resolução da eq. (2.33) é facilitada quando assume-se que a função u é dada por: u = e λvζ.φ (ζ, y, z) + (θ 0 θ e ) (2.34)

Capítulo 2. ANÁLISE TÉRMICA 29 onde θ e é a temperatura ambiente e θ e θ 0 e a função φ(ζ, y, z) se faz necessária no membro direito dessa igualdade para garantir que ambos os membros sejam de mesma natureza, ou seja, funções das coordenadas espaciais ζ, y e z. A partir da eq. (2.34) pode-se obter os resultados que se seguem u ζ = λve λvζ λvζ φ.φ + e ζ u ( ) φ ζ = e λvζ. ζ λvφ (2.35) 2 u ζ = 2 (λv)2 e λvζ λvζ φ φ.φ λve λve λvζ ζ ζ + 2 φ e λvζ ζ = 2 = (λv) 2 e λvζ λvζ φ.φ 2λve 2 u ζ 2 = e λvζ ζ + 2 φ e λvζ ζ 2 [ (λv) 2 φ 2λv φ ζ + 2 φ ζ 2 ] (2.36) 2 u y = 2 φ 2 e λvζ (2.37) y 2 Substituindo as equações (2.35) a (2.38) na eq. (2.33), tem-se 2 u z = 2 φ 2 e λvζ (2.38) z 2 (λv) 2 φ 2λv φ ( ) ζ + 2 φ ζ + 2 φ 2 y + 2 φ φ 2 z + 2λv 2 ζ λvφ = 0 2 φ ζ 2 + 2 φ y 2 + 2 φ z 2 (λv)2 φ = 0 (2.39) As eq. (2.34) e (2.39) podem então ser expressas em coordenadas cilíndricas, (r, ψ, z), como sendo e u = e λvζ.φ (r, z) + (θ 0 θ e ) (2.40) 2 φ r + 1 φ 2 r r + 2 φ z 2 (λv)2 φ = 0 (2.41)

Capítulo 2. ANÁLISE TÉRMICA 30 De acordo com Papazoglou (1981), a dependência do ângulo, ψ, pela função, φ, foi desconsiderada na eq. (2.41) para garantir a conservação da forma simétrica 1 apresentada pela eq. (2.39) com respeito às variáveis ζ e y, e também por causa da circularidade que será usada na próxima seção com respeito às condições de contorno. 2.4.1 Condições de Contorno em Termos de θ Seja r h o raio da entrada do fluxo de calor circular no topo na superfície superior da placa, z = H, conforme mostrado na Figura (5). A solução para a eq. (2.39) será, portanto, dividida em três partes: Figura 5 Representação esquemática para a geometria envolvida nos valores de contorno. Fonte:Adaptado de Papazoglou (1981) Uma solução interna, φ i (r, z), para r < r h ; Uma solução externa, φ o (r, z), para r > r h ; Uma solução na fronteira comum, r = r h. 2.4.1.1 Condições de Contorno Internas, r < r h Inicialmente, as condições de fronteira serão expressas em termos da variável original θ como segue 1 As Formas Simétricas de Lie foram introduzidas pelos matemáticos Lie e Scheffers e tinham por objetivo resolver equações diferenciais bem como possibilitar a sua identificação em diferentes classes de simetria.

Capítulo 2. ANÁLISE TÉRMICA 31 [k ( θ i) θ i z ĥ2. ( ] ) θ i θ e [ k ( θ i) θ i z + q 0e Cr2 λvζ ĥ1. ( ] ) θ i θ e 2.4.1.2 Condições de Contorno Externas, r > r h θ i r z=0 z=h = 0 (2.42a) = 0 (2.42b) = 0, z (2.42c) r=0 ] [k (θ o ) θo z ĥ2. (θ o θ e ) ] [ k (θ o ) θo z ĥ1. (θ o θ e ) z=0 z=h = 0 (2.43a) = 0 (2.43b) lim r [θo (r, z)] = θ 0, z (2.43c) 2.4.1.3 Condições de Contorno na Fronteira Comum, r = r h θ i (r h, z) = θ o (r h, z), z (2.44a) θ i = θo, r r=rh r r=rh z (2.44b) Nas condições de contorno apresentadas, ĥ 1 e ĥ2 são os coeficientes de transferência de calor convecto-radiantes existentes nas superfícies superior e inferior da placa, respectivamente. Nestes parâmetros, são levadas em conta as perdas de calor para a vizinhança através da convecção e radiação. Matematicamente, eles se relacionam por meio da expressão ĥ = h c + h r onde, h c é o coeficiente de transferência de calor por convecção e h r = σε (θ 2 + θe) 2 (θ + θ e ) é conhecido como coeficiente de transferência de calor por radiação. Por fim, pode-se escrever o coeficiente de transferência de calor convecto-radiante como sendo ĥ = h c + σε ( θ 2 + θe) 2 (θ + θe ) (2.45) onde, σ : constante de Stefan-Boltzmann (5, 67 10 8 [ ] W m 2.K ) ; 4

Capítulo 2. ANÁLISE TÉRMICA 32 ɛ : emissividade da superfície (0 ɛ 1); θ e : temperatura ambiente. As condições de contorno apresentadas acima são não-lineares, por causa da dependência da temperatura dos coeficientes k, ĥ1 e ĥ2. Como primeiro passo no sentido de linearizar as condições de contorno, assume-se que os coeficientes de transferência de calor convecto-radiante ĥ1 e ĥ2 são constantes e iguais ao valor médio calculado para o intervalo de temperaturas desenvolvidas durante o processo. Esses valores médios serão denotados por h 1 e h 2. O segundo passo será fazer uso das equações (2.18), (2.21) e (2.34) para transformar as condições de contorno em termos da variável φ. 2.4.2 Condições de Contorno em Termos de φ 2.4.2.1 Condições de Contorno Internas, r < r h φ i = h 2 φ i z=0 (2.46a) z z=0 k 0 φ i = q 0 e Cr2 h 1.φ i z=h (2.46b) z z=h k 0 k 0 φ i = 0, z (2.46c) r r=0 2.4.2.2 Condições de Contorno Externas, r > r h.φ o = h 2.φ 0 z=0 z z=0 k 0.φ o = h 1.φ 0 z=h z z=h k 0 (2.47a) (2.47b) lim r [φo (r, z)] = 0, z (2.47c) 2.4.2.3 Condições de Fronteiras Comuns, r = r h φ o (r h, z) = φ i (r h, z), z (2.48a) φ o = φi, r r=rh r r=rh z (2.48b)

Capítulo 2. ANÁLISE TÉRMICA 33 2.5 Solução Anaĺıtica da Equação do Calor Através do uso do método da separação de variáveis 2 sobre a Equação 2.41 reproduzida a seguir 2 φ r + 1 φ 2 r r + 2 φ z 2 (λv)2 φ = 0 as equações diferenciais ordinárias seguintes serão obtidas [ 1 R (r) + 1 ] R(r) r R (r) (λv) 2 = ±ω 2 1 Z(z) Z (z) = ±ω 2 (2.49a) (2.49b) onde ω 2 é a constante de separação e R, R e Z, as derivadas espaciais das funções R(r) e Z(z). Os demais parâmetros presentes na equação já foram previamente definidos. 2.5.1 Região Externa, r > r h : Rearranjando as eq. (2.49a) e (2.49b) e assumindo que a constante de separação é designada como sendo positiva 3, tem-se R (r) + 1 r R (r) [ ω 2 + (λv) 2] R(r) = 0 Z (z) + ω 2 Z(z) = 0 (2.50a) (2.50b) que tem por solução geral: R(r) = A 1.I 0 (ξ n r) + A 2.K 0 (ξ n r) Z(z) = B 1.sen(ω n z) + B 2.cos(ω n z) (2.51a) (2.51b) onde ξ n 2 = ω n 2 + (λv) 2 são os valores característicos, I 0 e K 0 são as Funções Modificadas de Bessel de primeiro e segundo tipo, respectivamente, e de ordem zero. A 1, A 2, B 1 e B 2 são constantes a serem determinadas. 2 Neste método, supõe-se que a solução da EDP dada na eq. (2.39) pode ser escrita como o produto de funções de uma variável. Assim, será assumido que φ(r, z) = R(r).Z(z). 3 Neste caso, considerou-se a constante como sendo positiva (+ω 2 ), pois dessa forma serão obtidas, como soluções na direção homogênea z, funções trigonométricas (funções características) que são ortogonais (z) e, assim, o problema de valor de contorno levará a um problema de valores característicos. Vale salientar que direção homogênea é aquela que é expressa por uma equação diferencial homogênea e está sujeita a condições de contorno também homogêneas.

Capítulo 2. ANÁLISE TÉRMICA 34 As equações de contorno (2.47) serão expressas por lim R(r) = 0 r Z (0) h 2 k 0 Z(0) = 0 Z (H) + h 1 k 0 Z(H) = 0 Aplicando-se (2.52a) em (2.51a), tem-se [ ] lim A 1.I 0 (ξ n r) + A 2. r 0 K 0 (ξ n r) = 0 (2.52a) (2.52b) (2.52c) de forma que A 1. lim r I 0 (ξ n r) = 0 A 1 = 0 R(r) = A 2.K 0 (ξ n r) (2.53) Procedimento semelhante ao anterior é realizado em (2.51b) através do uso das condições de contorno externas dadas em eq.(2.52b) e eq.(2.52c), resultando em (k 0 ω n )B 1 h 2 B 2 = 0 (2.54) e [ ] h1 sen(ω n H) + ω n cos(ω n H) B 1 k 0 ou em forma matricial + [ ] h1 cos(ω n H) + ω n sen(ω n H) B 2 = 0 (2.55) k 0 h 1 k 0 ω n h 2 h 1 [ sen(ω n H) + ω n cos(ω n H) cos(ω n H) + ω n sen(ω n H) B 2 k 0 k }{{ 0 }}{{} b A ou ainda B 1 ] = 0 (2.56) para soluções não triviais, a condição a seguir é imposta A.b = 0 (2.57)

Capítulo 2. ANÁLISE TÉRMICA 35 det[a] = o assim, após o emprego de algumas manipulações algébricas, tem-se (k 2 0 ω 2 n h 1 h 2 ).tg(ω n H) = k 0 ω n.(h 1 + h 2 ) (2.58) A eq. (2.58) é conhecida como Equação Característica e duas situações serão consideradas na busca pelos Valores Característicos, ω n, raízes da referida equação: o caso Adiabático e o Não-Adiabático. 2.5.1.1 Caso Adiabático, h 1 = 0 = h 2 : Aqui, a eq. (2.58) se torna tg(ω n H) = 0, o que leva a identidade: ω n H = nπ e portanto, temos os valores característicos dados por ω n = nπ H Através da eq. (2.54), tem-se que com n = 0, 1, 2,... (2.59) e Z(z) = B 2 cos Portanto, a solução externa é expressa como B 1 = 0 (2.60) ( nπz ) H φ o (r, z) = R(r).Z(z) = A 2.B 2.K 0 (ξ n r).cos ( nπz ) H (2.61) Além do mais, combinando as constantes (A 2 e B 2 ) e admitindo que a constante resultante de tal combinação depende de n, obtém-se ( nπz ) φ o n(r, z) = C n.k 0 (ξ n r).cos (2.62) H A solução, apresentada na Equação 2.62, possui um número infinito de soluções que satisfazem a equação diferencial e as condições de contorno. Contudo, como o problema é linear, uma solução mais geral pode ser obtida por uma combinação linear (superposição) na forma φ o (r, z) = C 0.K 0 (λvr) + C n.k 0 (ξ n r).cos n=1 ( nπz ) H (2.63) onde C 0 é o valor assumido por C n quando n = 0 e sua obtenção é demonstrada no anexo A.

Capítulo 2. ANÁLISE TÉRMICA 36 2.5.1.2 Caso Não-Adiabático, h 1.h 2 0: Neste caso, a equação característica (2.58) não sofre modificação e os valores característicos, ω n, serão encontrados numericamente por meio do método da secante, uma vez que a referida equação é de natureza transcendental e não pode ser resolvida analiticamente de forma direta. No intuito de definir a função Z(z), para o presente caso, resolve-se a eq. (2.54) em termos de B 2 de forma que tem-se Por fim, a partir do resultado apresentado na eq. (2.51b), pode-se escrever B 2 = k 0ω n h 2 B 1 (2.64) [ Z(z) = B 1 sen(ω n z) + k ] 0ω n cos(ω n z) h 2 (2.64) e de sua substituição na eq. (2.65) Assim, portanto, pode-se escrever, a partir de uma analogia com o caso adiabático, que a solução é dada por φ o (r, z) = n=1 [ ] h2 C n.k 0 (ξ n r)..sen(ω n z) + cos(ω n z) k 0.ω n (2.66) Pode-se verificar que o somatório presente na Equação 2.66 não inclui o valor de n = 0, conforme ocorreu no caso adiabático. O limite inferior deste somatório assume valor unitário devido aos motivos apresentados no anexo A. 2.5.2 Região Interna, r < r h : Para o domínio interno, há duas condições de fronteira homogêneas e duas nãohomogêneas. As condições não-homogêneas ocorrem para r = r h e z = H, conforme pode ser visto na figura (6), portanto o método da separação de variáveis não pode ser aplicado. Uma vez que o problema é linear, é possível, portanto, a aplicação do princípio da superposição. Dessa forma, a solução interna será separada em duas partes, conforme pode ser visto na figura (6) φ i (r, z) = φ I (r, z) + φ II (r, z) (2.67) onde, as funções φ I e φ II possuem apenas uma condição de contorno não-homogênea. 2.5.2.1 Parte I: Por razões apresentadas anteriormente tem-se por direção homogênea a direção-r. A constante de separação, neste caso, será designada por χ 2 e foi escolhida como sendo

Capítulo 2. ANÁLISE TÉRMICA 37 Figura 6 Superposição usada na solução interna Fonte:Adaptado de Papazoglou (1981) negativa para que o problema de valor de contorno da direção homogênea conduza a um problema de valor característico. R I (r) + 1 r R I + [ χ 2 (λv) 2].R I (r) = 0 Z I (z) χ.z I (z) = 0 (2.68a) (2.68b) As condições de contorno de acordo com as eq. (2.46) e a partir da fig. (6), podem ser expressas por R I(0) = 0 R I (r h ) = 0 Z I(0) h 2.Z I (0) = 0 k 0 φ I (r, z) = q 0.e Cr2 h 1.φ I (r, z) z z=h k 0 k 0 z=h (2.69a) (2.69b) (2.69c) (2.69d) As soluções gerais das eq. (2.68) podem ser escritas como R I (r) = A 1.J 0 (δ n r) + A 2.Y 0 (δ n r) Z I (z) = B 1.senh(χ n z) + B 2.cosh(χ n z) (2.70a) (2.70b) onde, J 0 e Y 0 são as funções de Bessel de ordem zero e de primeiro e segundo tipo, respectivamente. Os fatores A 1, A 2, B 1 e B 2 são constantes arbitrárias e os valores característicos, δ n, são dados por

Capítulo 2. ANÁLISE TÉRMICA 38 δ 2 n = χ 2 n (λv) 2 Far-se-á agora a substituição das condições de contorno (2.69) nas eq. (2.70). Dessa forma, fazendo-se a substituição da Equação (2.69a) em (2.70a) e observando que, em geral, as funções de Bessel possuem por derivadas as expressões dadas a seguir e o seguinte resultado é obtido dj ν (z) dz dy ν (z) dz = ν z.j ν(z) J ν+1 (z) = ν z.y ν(z) Y ν+1 (z) R I(0) = A 1δ n 0 J 1 (0) A 2δ n Y 1 (0) = 0 ou ainda A 2.δ n.y 1 (0) = 0 A 2 = 0 de forma que R I (r) = A 1.J 0 (δ n r) (2.71) Além disso, através substituição da eq. (2.69b) em eq. (2.70a), tem-se o que leva a R I (r h ) = A 1.J 0 (δ n r h ) = 0 J 0 (δ n r h ) = 0, n = 1, 2, 3,... (2.72) Portanto, resolvendo a equação caraterística (2.72) em termos dos valores característicos, δ n, tem-se δ n = ϱ n r h, n = 1, 2, 3,... (2.73) onde os valores ϱ n representam os n-ésimos zeros da função J 0 (z). Finalmente, fazendo-se a substituição da eq. (2.69c) em eq. (2.70b), tem-se [ ] [ ] Z I(0) Z I (0) = B 1. h2. k senh(0) 0 χ n.cosh(0) + B 2. h2. 0 k 1 cosh(0) χ n.senh(0) = 0 0

Capítulo 2. ANÁLISE TÉRMICA 39 o que resulta na seguinte relação entre B 1 e B 2 B 1 = h 2 χ n.k 0.B 2 (2.74) Assim, com a substituição da eq. (2.74) em (2.70b), pode-se escrever 2.5.2.1.1 Caso Não-Adiabático [ ] Z I (z) = B 2. h2.senh(χ n z) + cosh(χ n z) χ n.k 0 A primeira parte da solução interna pode, portanto, agora ser escrita como φ I (r, z) = n=1 [ ] h2 D n.j 0 (δ n r)..senh(χ n z) + cosh(χ n z) χ n.k 0 (2.75) (2.76) onde D n incorpora o produto entre as constantes A 1 e B 2 e é dependente de n, conforme foi feito anteriormente na obtenção da eq. (2.62). 2.5.2.1.2 Caso Adiabático Fazendo-se h 1 = h 2 = 0 na eq. (2.76), o resultado a seguir será obtido φ I (r, z) = D n.j 0 (δ n r).cosh(χ n z) (2.77) n=1 A condição de contorno (2.69d) é usada na determinação das constantes D n, conforme pode-se verificar no anexo B deste trabalho. 2.5.2.2 Parte II: De forma semelhante àquela ocorrida na solução para a região interna, a direção homogênea será z e portanto o sinal da constante de separação, ω 2, é assumido como sendo positivo, de forma que as soluções gerais encontradas aqui são semelhantes aquelas dadas através das eq. (2.51). R II (r) = A 1.I 0 ( ξ n r) + A 2.K 0 ( ξ n r) (2.78a) Z II (z) = B 1.sen( ω n z) + B 2.cos( ω n z) (2.78b) onde I 0 e K 0 são as Funções Modificadas de Bessel de primeiro e segundo tipo, respectivamente, e de ordem zero. A 1, A 2, B 1 e B 2 são constantes arbitrárias e os valores característicos, ξ n, são dados por ξ 2 n = ω 2 n + (λv) 2

Capítulo 2. ANÁLISE TÉRMICA 40 Vale salientar que as duas linhas que estão sobrescritas nestes coeficientes não significa que eles estão submetidos a dupla diferenciação. A presença destes símbolos é justificada como forma de fazer a distinção entre estas constantes e aquelas presentes na solução apresentada para a região externa. As equações de contorno apresentadas na fig. (6) e referentes ao presente caso são dadas por R II(0) = 0 Z II(0) h 2 k 0 Z II (0) = 0 Z II(H) + h 1 k 0 Z II (H) = 0 (2.79a) (2.79b) (2.79c) Fazendo-se a substituição da condição mostrada pela eq. (2.79a) na eq. (2.78a), tem-se ou ainda R II(0) = A 1. ξ n. 0 I 1 (0) A 2. ξ n.k 1 (0) = 0 De forma que A 2. ξ n.k 1 (0) = 0 A 2 = 0 R II (r) = A 1.I 0 ( ξ n r) (2.80) Além disso, fazendo-se a substituição das condições de contorno apresentadas pelas eq. (2.79b) e (2.79c) na eq. (2.78b), obtém-se e B 1 = h 2.B 2 ω.k 0 (k 02 ω 2 n h 1 h 2 ).tg( ω n H) = k 0 ω n.(h 1 + h 2 ) Comparando a equaçao acima com a eq. (2.58), pode-se concluir que ω n = ω n, n = 1, 2, 3,... ξ n = ξ n, n = 1, 2, 3,... Neste ponto, far-se-á uso de comparação entre as condições de contorno na direçãoz aqui apresentadas através das eq. (2.79) e aquelas observadas para solução externa, (r > r h ), de forma que pode-se concluir, por analogia, que as soluções para os casos adiabático e não-adiabáticos são escritas conforme apresentado a seguir.

Capítulo 2. ANÁLISE TÉRMICA 41 2.5.2.2.1 Caso Adiabático: φ II (r, z) = E 0.I 0 (λvr) + E n.i 0 (ξ n r).cos n=1 ( nπz ) H (2.81) 2.5.2.2.2 Caso Não-Adiabático: φ II (r, z) = n=1 [ ] h2 E n.i 0 (ξ n r)..sen(ω n z) + cos(ω n z) ω n.k 0 (2.82) Finalmente, a solução interna, φ i, pode ser expressa explicitamente mediante substituição das eq. (2.76) e (2.82) na eq.(2.67) que para o caso não-adiabático se torna φ i (r, z) = n=1 { [ ] h2 D n.j 0 (δ n r)..senh(χ n z) + cosh(χ n z) + χ n.k 0 [ ]} h2 E n.i 0 (ξ n r)..sen(ω n z) + cos(ω n z) ω n.k 0 (2.83) A solução interna, φ i, para o caso adiabático é obtida mediante substituição das equações (2.77) e (2.81) na eq.(2.67) φ i (r, z) = E 0.I 0 (λvr) + {D n.j 0 (δ n r).cosh(χ n z) n=1 2.5.3 Região de Correspondência, r = r h : + E n.i 0 (ξ n r).cos ( nπz )} H (2.84) Por fim, para obtenção da solução completa é necessária a determinação das constantes C n e E n. Através do uso da condição de contorno (2.48a), φ o (r h, z) = φ II (r h, z), z tem-se que n=1 [ ] h2 C n.k 0 (ξ n r h )..sen(ω n z) + cos(ω n z) = ω n.k 0 n=1 [ ] h2 E n.i 0 (ξ n r h )..sen(ω n z) + cos(ω n z) ω n.k 0 (2.85)

Capítulo 2. ANÁLISE TÉRMICA 42 De forma que a seguinte identidade pode ser obtida: E n = K 0(ξ n r h ) I 0 (ξ n r h ).C n, n = 1, 2, 3,... (2.86) A eq. (2.86) estabelece uma relação entre as constantes E n e C n. Através desta relação é possível reescrever a solução interna, φ i, presente nas eq. (2.83) e (2.84) em termos de C n e D n. Dessa forma, as constantes E n são eliminadas destas equações e apenas será necessária a determinação da constante C n. A segunda condição de contorno expressa por meio da eq. (2.48b) estabelece que φ o r = φi (2.87) r=rh r r=rh Dessa forma, através da substituição das eq. condições de ortogonalidade apresentadas a seguir (2.66) e (2.83) em (2.87) e uso das H [ ] [ ] h2 h2.sen(ω n z) + cos(ω n z)..sen(ω m z) + cos(ω m z) dz = 0 ω n.k 0 ω m.k 0 0, se ω m ω n H (1 + h 2 2 ) + 1 (1 h 2 2 ) 2.sen(2ω n H) + h 2 sen 2 (ω n H), se ω m = ω n 2 ω n2.k 0 4ω n ω n2.k 0 ω n2.k 0 É possível obter C n = 1 a n Nesta equação, m=1 2.q 0.K m.δ m. [r mn.tgh(χ m H) + s mn ], n = 1, 2, 3... (2.88) (χ m2 + ω n2 ).J 1 (δ m r h ). [d m + e m.tgh(χ m H)] a n = b n.c n (2.89) [ b n = ξ n. K 1 (ξ n r h ) + K 0 (ξ n r h ). I ] 1(ξ n r h ) I 0 (ξ n r h ) (2.90) c n = H 2. ( 1 + h 2 2 ω n2.k 0 2 ) + 1 (1 h 2 2 ) 2.sen(2ω n H) 4ω n ω n2.k 0 + h 2 ω n2.k 0.sen 2 (ω n H) (2.91)

Capítulo 2. ANÁLISE TÉRMICA 43 d m = k 0.χ m.(h 1 + h 2 ) (2.92) r mn = h 2. (ω n + χ ) m 2.sen(ω n.h) + ω n e m = k 0 2.χ m 2 + h 1.h 2 (2.93) (k 0 χ m 2 h 2 2 k 0 ).cos(ω n.h) (2.94) s mn = χ m. (k 0.ω n + h 2 2 ).sen(ω n.h) (2.95) k 0.ω n Para o caso adiabático, uma substituição das eq. (2.63) e (2.84) será feita em (2.87) de forma a obter o seguinte resultado C n = ( 1) n 4q 0 k 0.H.b n m=1 K m.δ m (χ m2 + ω n2 ).J 1 (δ m r h ) (2.96) Por fim, pode-se escrever através da substituição das eq. (2.18) e (2.40) na eq. (2.23) que o campo de temperaturas resultante é dado por θ = θ 0 + 1 γ ( 1 + 2γ.e λvζ.φ (r, z) 1) (2.97) onde φ (r, z) é dado por φ (r, z) = φ i (r, z). [u(r) u(r r h )] + φ 0 (r, z).u(r r h ) (2.98) E os demais parâmetros foram previamente introduzidos. A função degrau, u(r), e suas combinações presentes na eq. (2.98) foram introduzidas para especificar φ(r, z) que possui descrições matemáticas distintas em diferentes intervalos. Para tal caso pode-se utilizar a função degrau unitário para especificar φ(r, z) através de uma única expressão válida para todo r.

44 3 MATERIAIS E SUAS PROPRIEDADES TERMOFÍSICAS Além da propriedade termofísica, ĥ, associada às condições de contorno e apresentada na seção 2.4.1, a condutividade térmica, o calor específico e a densidade têm um papel fundamental na determinação do campo de temperatura durante o processo de soldagem e estão associadas ao domínio do problema. Estes parâmetros são fortemente dependentes da temperatura, de forma que assumir tais propriedades como sendo constantes é consideravelmente irreal, especialmente nas regiões próximas à fonte de calor onde o material está submetido a altas temperaturas e a intensos gradientes térmicos. A maior dificuldade encontrada nesta etapa é a escassez de dados referentes ao comportamento dos materiais em temperaturas superiores a 1473K, no caso do aço, e maiores que 755, 37K para o alumínio. A presente simulação, feita a partir do modelo analítico, requer valores precisos da condutividade térmica, calor específico e densidade. Para altas temperaturas existe uma limitação no tocante à disponibilidade dos dados referentes a estas propriedades. Dessa forma, o comportamento dos materiais para altas temperaturas deve ser estimado a partir dos dados disponíveis em baixas temperaturas. Grosh e Trabant (1956) formularam uma expressão analítica para a distribuição de temperatura durante a soldagem assumindo que a condutividade, k, e o produto, ρc, comumente chamado de capacidade calorífica volumétrica, variam de forma independente com a temperatura, muito embora a sua razão conhecida como difusividade térmica, κ, permaneça constante. Assim, em busca de simplificar os cálculos envolvidos e pelo o que foi exposto anteriormente, os parâmetros ρc e k serão considerados como variando linearmente com a temperatura (com coeficientes angulares distintos) e serão expressos através de equações matemáticas específicas dadas por e k(t ) = k 0 [1 + γt ] (3.1) ρc(t ) = (ρc) 0 [1 + γt ] (3.2) se γ for considerado constante (assumindo mesmo valor em ambas os casos), tem-se κ = k 0 [1 + γt ] (ρc) 0 [1 + γt ]

Capítulo 3. MATERIAIS E SUAS PROPRIEDADES TERMOFÍSICAS 45 κ = k 0 (ρc) 0 (3.3) onde, k 0 e (ρc) 0 representam o valor da condutividade e o valor assumido pela capacidade calorífica volumétrica, respectivamente, para uma dada temperatura de referência, T 0. A presente pesquisa considera duas possibilidade para a composição do metal de base, a saber, o aço austenítico AISI 316L e liga de alumínio 2024 T 3. O aço será usado na etapa relativa à validação do modelo. No que diz respeito à liga de alumínio, uma simulação será conduzida tendo como propósito a disponibilização de dados referentes ao histórico térmico desta liga para emprego em futuras investigações experimentais. A dependência das propriedades com a temperatura para ambas as ligas foi obtida a partir da literatura. homogêneos e isotrópicos. Além do mais, os materiais envolvidos nesta pesquisa são considerados 3.1 Aço AISI 316L O aço austenítico 316L possui a composição química dada na Tabela 2. Tabela 2 Composição química referente ao aço austenítico 316L. Composição Química (nominal) % C Si Mn P S Cr Ni Mo N Min. - - - - - 16,00 10,00 2,00 - Max. 0,03 1,00 2,00 0,045 0,03 18,00 14,00 3,00 0,10 Fonte: (AK, 2007) A influência da temperatura na condutividade térmica, k, calor específico, c, e a densidade, ρ, do aço AISI 316L estão apresentadas na Tabela 3 para temperaturas compreendidas no intervalo 293K - 1473K.

Capítulo 3. MATERIAIS E SUAS PROPRIEDADES TERMOFÍSICAS 46 Tabela 3 Propriedades termofísicas dependentes da temperatura do aço AISI 316L. Temp. [K] Cond. Térm. [W/mK] Dens. [ Kg/m 3] Calor Específ. [J/Kg.K] 293 14 8000 450 373 15,2 7970 490 473 16,6 7940 525 573 17,9 7890 545 673 19,0 7850 560 773 20,6 7800 570 873 21,8 7750 580 973 23,1 7700 595 1073 24,3 7660 625 1173 26,0 7610 650 1273 27,3 7570 660 1473 29,9 7450 677 Fonte: (DEPRADEUX, 2004) 3.2 Alumínio 2024 T 3 As ligas de alumínio são cada vez mais empregadas em muitas áreas de fabricação, como a indústria automobilística, aeronáutica e militar, por causa da sua baixa densidade e boas propriedades mecânicas. O alumínio 2024 T 3 é uma liga tipicamente aeronáutica usada em elementos estruturais ou na superfície inferior das asas de aeronaves devido a suas características tais como: tolerância ao dano e alta resistência a propagação de fissura por fadiga. O termo T 3 indica a classificação da têmpera pela qual a liga foi submetida. De acordo com a NBR 6835 (ABNT), o T significa que a liga foi tratada termicamente e o 3 indica a sequência específica de tratamentos. Resumidamente, os processos metalúrgicos incorridos sobre a liga foram os seguintes (SMITH, 1998): Solubilização: a liga obtida por fundição ou trabalho mecânico é aquecida e mantida a uma temperatura na qual se forma uma estrutura uniforme de solução sólida; Resfriamento e cristalização: a liga é rapidamente resfriada até uma temperatura mais baixa, normalmente a temperatura ambiente, sendo em geral utilizada água como líquido refrigerante; Envelhecimento controlado: esta etapa é necessária para que se formem precipitados finamente dispersos conferindo à liga resistência mecânica.

Capítulo 3. MATERIAIS E SUAS PROPRIEDADES TERMOFÍSICAS 47 A liga de Alumínio 2024 T 3, de acordo com os padrões exigidos pela aviação, possui a composição química dada na Tabela 4 conforme visto a seguir Tabela 4 Composição química referente a liga de Alumínio 2024 T 3. Composição Química (nominal) % Cu Mg Mn Fe Si Zn Zr Ti Cr 4,35 1,50 0,60 0,50 0,50 0,25 0,20 0,15 0,10 Fonte: (ALCOA, 2000). A influência da temperatura tanto para a condutibilidade térmica, bem como para o calor específico podem ser obtidos a partir da Figura 7 apresentada a seguir Figura 7 Efeito da temperatura nas propriedades físicas da liga de Alumínio 2024 T 3. Fonte: (WILLIAM, 2010) É possível verificar, através de inspeção da Figura 7 bem como de algumas fontes provenientes da literatura (DAVIS, 1990; JOHN; TIM, 1996; BOYER; GALL, 1985), que a condutividade térmica assume valor k 0 = 72 BT U h.ft. F = 121W/m.K e a capacidade