Programa de Pós-Graduação Sticto Sensu Mestrado em Ensino de Ciências Campus Nilópolis

Programa de Pós-Graduação Sticto Sensu Mestrado em Ensino de Ciências Campus Nilópolis Marcelo Alberto Vieira de Macedo Junior TÓPICOS ATUAIS EM FÍSICA QUÂNTICA: das ondas de matéria à realidade quântica Nilópolis - RJ 2012

. Marcelo Alberto Vieira de Macedo Junior TÓPICOS ATUAIS EM FÍSICA QUÂNTICA: das ondas de matéria à realidade quântica Dissertação apresentada como parte dos requisitos necessários para a obtenção do título de mestre em Ensino de Ciências. Orientador: Prof. Dr. João Alberto Mesquita Pereira. Nilópolis - RJ 2012

Marcelo Alberto Vieira de Macedo Junior TÓPICOS ATUAIS EM FÍSICA QUÂNTICA: das ondas de matéria à realidade quântica Dissertação apresentada como parte dos requisitos necessários para a obtenção do título de mestre em Ensino de Ciências. Data de aprovação: 11 de outubro de 2012. Prof. Dr. João Alberto Mesquita Pereira (Presidente) Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio de Janeiro (IFRJ) Campus Nilópolis Prof. Dr. Alexandre Lopes de Oliveira Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio de Janeiro (IFRJ) Campus Nilópolis Prof.ª Dr.ª Ana Mónica Ferreira da Silva Napole Rodrigues Universidade Federal do Estado do Rio de Janeiro (UNIRIO) Prof. Dr. Jose Abdalla Helayël Neto (Suplente) Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas (CBPF) Nilópolis - RJ 2012

DEDICATÓRIA Aos meus pais Sandra e Marcelo e ao meu irmão Matheus pelo incentivo recebido ao longo destes anos. Obrigado pelo amor, carinho e atenção sem reservas. À Anna Caroline de Almeida Salles pelo amor e carinho libertos de seus braços e de suas palavras, imprescindíveis nos momentos de incerteza e aflição. Agradeço pela caminhada conjunta realizada nesses últimos meses, pela paciência e, principalmente, por compreender a minha ausência em muito momentos.

AGRADECIMENTOS Ao Prof. Dr. João Alberto Mesquita Pereira, orientador desta dissertação, agradeço pelo incentivo, dedicação e, principalmente, pela paciência durante a elaboração deste trabalho. Agradeço pelas valiosas contribuições dadas não somente ao trabalho em si, mas à vida. Agradeço, acima de tudo, por estimular o meu interesse pelo conhecimento e pela vida acadêmica. Aos docentes do Programa de Mestrado Profissional em Ensino de Ciências (PRO- PEC) do IFRJ - Campus Nilópolis que tanto se dedicaram para toná-lo uma referência em qualidade. A todos, obrigado pela oportunidade de aprender com vocês. Aos colegas de turma, agradeço pelas palavras de apoio e incentivo durante os momentos de angústia e aflição, em especial, aos colegas professores de física: Leonardo de Almeida Prata, Luciano Sebastião de Castro Silva, Ramsés Rufino de Oliveira e Vinícius Munhoz Fraga.

EPÍGRAFE Man s mind, once stretched by a new idea, never regains its original dimensions. (Oliver Wendell Holmes)

MACEDO JUNIOR, M. A. V. Tópicos atuais em física quântica: das ondas de matéria à realidade quântica. 99 p. Dissertação. Programa de Pós-Graduação Stricto Sensu em Ensino de Ciências, Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio de Janeiro (IFRJ), Campus Nilópolis, Nilópolis, RJ, 2012. RESUMO Apesar de a mecânica quântica (MQ) ser indiscutivelmente uma das teorias fundamentais mais bem sucedidas da física, as dificuldades de compreensão de seus fundamentos são lendárias. Além da estranheza causada por sua natureza paradoxal, a forma como a MQ é apresentada aos estudantes, tem por base, a aprendizagem de métodos matemáticos de resolução de casos típicos, com pouca ou nenhuma discussão relacionada às suas bases filosóficas mais fundamentais. Além do mais, entre as diferentes interpretações existentes para a teoria quântica, a interpretação de Copenhague é a única que figura nos livros-textos mais comumente utilizados. A interpretação ortodoxa, como também é conhecida, demanda sete postulados fundamentais para produzir resultados. Nem todos estes postulados estão de acordo com as noções de localidade, causalidade e mesmo de realidade do bom-senso comum. Daí vem o estranhamento do aprendiz e, até mesmo, do físico experiente em relação à MQ. Outras interpretações para a teoria dos quanta possuem características similares à ortodoxa, porém, em contra partida, oferecem respostas mais satisfatórias a respeito dos fenômenos quânticos, necessitando de menos postulados para produzir explicações semelhantes. Neste trabalho, alguns elementos de uma dessas interpretações são apresentados. É o caso da teoria quântica de David Bohm, onde a função de onda possui um duplo papel, dinâmico e cinemático, evidenciado quando se escrevem a equação de Schrödinger na forma hamiltoniana. O objetivo deste trabalho é o de apresentar questionamentos relevantes à interpretação ortodoxa da mecânica quântica e contribuir para a quebra deste ciclo vicioso que tem se constituído o ensino desta disciplina com a introdução da interpretação Bohmiana como complemento curricular para os cursos de mecânica quântica. Palavras-chave: Mecânica Quântica. Interpretação de Copenhague. Interpretação Bohmiana. Ensino de Física.

MACEDO JUNIOR, M. A. V. Tópicos atuais em física quântica: das ondas de matéria à realidade quântica. 99 p. Dissertação. Programa de Pós-Graduação Stricto Sensu em Ensino de Ciências, Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio de Janeiro (IFRJ), Campus Nilópolis, Nilópolis, RJ, 2012. ABSTRACT Although quantum mechanics (QM) is unarguably one of the most successful fundamental theories of physics, difficulties in understanding their fundamentals are legendary. Besides the awkwardness caused by his paradoxical nature, the way how QM is presented to students, is based on the learning of mathematical methods for solving typical cases, with little or no discussion related to their most fundamental philosophical bases. Moreover, between the different interpretations of the quantum theory, the Copenhagen interpretation is the only interpretation that is presented in the textbooks most commonly used. The orthodox interpretation, as it is also known, demand seven fundamental postulates to produce results. Not all of these assumptions are consistent with the notions of locality, causality and even reality of common good sense. Hence the strangeness of the learner and even the experient physicist in relation to QM. Other interpretations of quantum theory have similar characteristics to the Orthodox, but in counterpart, offer more satisfactory answers about the quantum phenomena, requiring less postulated to produce similar explanations. In this work, some elements of these interpretations are presented. This is the case of quantum theory of David Bohm, where the wave function has a dual role, dynamic and kinematic, evidenced when the Schrödinger s equation is writing in the Hamiltonian form. The objective of this work is to present relevant questions to the orthodox interpretation of quantum mechanics and to help in break of this vicious cycle that has constituted the teaching of this discipline with the introduction of Bohmian interpretation as a complement for quantum mechanics courses. Keywords: Quantum Mechanics. Copenhagen Interpretation. Bohmian Interpretation. Physics Teaching.

LISTA DE FIGURAS 2.1 Sistema de coordenadas: (a) cartesianas - com coordenadas tridimensionais (x 1, x 2, x 3 ) e versores {ˆ1, ˆ2, ˆ3 } e (b) esféricas - com coordenadas tridimensionais (r, θ, φ) e { } versores ˆr, ˆθ, ˆφ................................. 32 2.2 Transformação de coordenadas cartesianas em coordenadas polares........ 33 2.3 Trajetória descrita por uma partícula livre x = x 2 e y = x 3............ 39 3.1 Difração de elétrons. P 1 e P 2 representam, respectivamente, as distribuições de probabilidade dos elétrons quando se tem somente a fenda 1 ou 2 abertas. Quando as duas fendas são abertas simultaneamente tem-se a distribuição de probabilidade representada por P 12. Adaptado de Feynman, Leighton e Sands (1965)....................................... 46 3.2 Representação ondulatória de uma partícula de acordo com o postulado de De Broglie para as ondas de matéria......................... 47 3.3 Superposição de duas ondas harmônicas...................... 49 3.4 O transporte de energia feito por i) uma onda clássica ii) uma partícula clássica e iii) uma partícula-onda ou partícula quântica. A energia é emitida a partir do ponto O em todos os casos. Observadores em pontos diametralmente opostos a O (pontos A e B) perceberão a chegada da energia em suas respectivas posições de diferentes maneiras. A onda clássica, cuja frente de onda está representada em i (círculo de cor preta), será percebida nas duas posições A e B. A partícula clássica carrega a energia em apenas uma direção. Assim, a energia carregada por ela só poderá ser percebida em apenas um dos pontos (A não B). No caso ilustrado em ii, a partícula deixa O em direção a A de forma que não haverá possibilidade de percebê-la em B. Já a partícula quântica segue uma distribuição de probabilidades ditada por Ψ (x, t), cuja frente de onda está representada em iii (círculo de cor cinza). Com isso, ela pode ser percebida em qualquer um dos dois pontos referidos na figura já que a função de onda é não nula em cada um deles (A ou B). A mecânica quântica não nos diz como prever onde a partícula será percebida, ela diz respeito somente à dinâmica seguida pela função de onda. iv) Se a partícula quântica for percebida em A, a função de onda perde sua extensão espacial e passa a ficar concentrada em torno de A instantaneamente....... 55 3.5 Poço de potencial infinito de largura a..................... 62 4.1 Princípio da Complementaridade......................... 73 4.2 (a) Evolução de um pacote de ondas (b) medida Bohmiana (c) medida ortodoxa. 73 4.3 Conexão entre teoria e realidade. Retirado e adaptado de (BLUMEL, 2010)... 76 9

5.1 (a) Partícula livre movendo-se com velocidade v x. (b) Partícula confinada a mover-se entre as posições x = a e x = b...................... 78 5.2 Diagramas ilustrativos da função de onda e do potencial quântico para os estados estacionários do poço quadrado infinito...................... 83 I.1 Caminho variado. A função y(x) é o caminho que torna o funcional J um extremo. Qualquer função vizinha à função y(x) pode ser escrita na forma genérica y(x) + αη(x).................................... 96

LISTA DE TABELAS 1.1 LDB de 1996 e PCN de 2000........................... 17 1.2 Contribuições para o desenvolvimento da mecanica quântica........... 25 1.3 A medida quântica na visão ortodoxa, realista e agnóstica............. 26 3.1 Valores médios para a posição, momento e energia cinética............ 56 3.2 Exemplos de aplicações da equação de continuidade na física........... 58 5.1 Teste de continuidade para ψ n.......................... 79 5.2 Teste de continuidade para ψ n.......................... 80 5.3 Teste de continuidade para ψ n.......................... 80 11

SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 14 1.1 O IMPACTO DA MECÂNICA QUÂNTICA NA SOCIEDADE CONTEM- PORÂNEA................................... 14 1.1.1 Panorama da física no ensino médio.................. 15 1.1.2 Panorama da física no ensino superior................ 16 1.1.3 Contribuição da proposta....................... 17 1.2 ASPECTOS HISTÓRICOS, FILOSÓFICOS E METODOLÓGICOS DO DESENVOLVIMENTO DA MECÂNICA QUÂNTICA........... 18 1.2.1 Primórdios da teoria quântica..................... 19 1.2.2 "Idade média" da teoria quântica................... 20 1.2.3 A crise quântica............................. 23 1.2.4 A mecânica quântica moderna.................... 24 1.3 O ENSINO DA MECÂNICA QUÂNTICA.................. 26 1.3.1 Justificativa do projeto de mestrado.................. 29 2 AS BASES DA MECÂNICA CLÁSSICA 31 2.1 O PARADIGMA DA MECÂNICA CLÁSSICA E AS LEIS DE NEWTON 31 2.2 COORDENADAS GENERALIZADAS E A EQUAÇAO DE EULER- LAGRANGE.................................. 32 2.2.1 Transformação de coordenadas cartesianas em coordenadas polares 33 2.2.2 Mudança de variáveis.......................... 35 2.2.3 Tratamento da partícula livre em coordenadas polares........ 37 2.3 LEIS DE CONSEVAÇÃO NA FORMULAÇÃO LAGRANGEANA DA MECÂNICA................................... 40 2.4 A FORMULAÇÃO HAMILTONIANA DA MECÂNICA.......... 43 3 A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER 45 3.1 RELAÇÕES DE EINSTEIN-DE BROGLIE................. 45 3.2 CONSTRUÇÃO DO PACOTE DE ONDAS................. 48 3.3 A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER E O PRINCÍPIO DA CONSERVA- ÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA....................... 51 3.4 A INTERPRETAÇÃO DA FUNÇÃO DE ONDA.............. 54 3.5 DENSIDADE DE CORRENTE DE PROBABILIDADE.......... 56 3.6 A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER INDEPENDENTE DO TEMPO... 58 3.7 APLICAÇÃO DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER - O POÇO QUA- DRADO INFINITO.............................. 62 12

4 DAVID BOHM E A TEORIA QUÂNTICA 65 4.1 A FORMA POLAR DA FUNÇÃO DE ONDA................ 66 4.2 A PARTE REAL E O POTENCIAL QUÂNTICO.............. 69 4.3 A PARTE IMAGINÁRIA E A EQUAÇÃO DE CONTINUIDADE..... 71 4.4 ALGUMAS COMPARAÇÕES......................... 72 4.5 PARADOXO EPR............................... 74 5 APLICAÇÃO DA MECÂNICA QUÂNTICA BOHMIANA 78 5.1 CASO ESTACIONÁRIO............................ 78 6 ETAPAS DE ELABORAÇÃO DA DISSERTAÇÃO E DO PRODUTO DIDÁTICO 86 Referências Bibliográficas 91 I O CÁLCULO VARIACIONAL 95 II PUBLICAÇÕES 99

CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO 1.1 O IMPACTO DA MECÂNICA QUÂNTICA NA SOCIEDADE CONTEMPORÂ- NEA O século passado foi um período marcado por grandes inovações científicas e tecnológicas. No campo da tecnologia, não há dúvidas que a invenção do computador, da Word Wide Web (WWW), do laser, do transistor entre outros, certamente transformaram o cotidiano do planeta em definitivo. A natureza do funcionamento destes aparatos tecnológicos, que já incorporamos ao nosso dia-a-dia, está ligada a alguns dos conceitos revolucionários estabelecidos pelas inovações científicas ocorridas na virada do último século. É o caso dos fenômenos que se manifestam em escalas diminutas, denominados fenômenos quânticos. Estima-se que na última década, cerca de 30% da economia mundial, de algum modo, dependiam da compreensão dos fenômenos quânticos, ou seja, da mecânica quântica (MQ) (TUDO..., 1999). Com o advento de novas tecnologias como a de objetos nano-estruturados, que seguem a MQ rigorosamente, este número tende a aumentar. A MQ está presente no funcionamento de diversos aparelhos, desde os circuitos integrados encontrados em praticamente todos os dispositivos eletrônicos, até a utilização da física nuclear nos tratamentos e diagnósticos em medicina. Além da física, pode-se dizer que a MQ está relacionada com quase todo campo de conhecimento científico atual como astronomia, química, biologia, medicina e engenharias, e, mais ainda, com campos de desenvolvimento futuros como a nanotecnologia e a computação quântica. Como será visto ao longo desse trabalho, esta situação de rápida evolução tecnológica e científica, contrasta com a estagnação do ensino dessa disciplina. Além da estagnação educacional, uma preocupação adicional com este tema é a de que, em geral, essa disciplina tem sido tratada pelo ensino de maneira excessivamente pragmática. Isso acaba causando uma formação conceitual muitas vezes deficitária, para os padrões de conhecimento atuais, nos profissionais que devem lidar com os fenômenos quânticos. O desenvolvimento de material didático para o ensino de mecânica quântica foi, portanto escolhido como principal tarefa deste trabalho. A escolha dos tópicos aqui desenvolvidos foi pensada de modo a fornecer atualização conceitual e formal de temas relacionados à mecânica quântica. Enfim, este trabalho se dirige, principalmente, a formação continuada de professores de física e também aos entusiastas deste assunto. Um diagnóstico panorâmico do ensino de tópicos relacionados à física quântica no ensino médio e superior é apresentado no restante desta seção. 14

1.1.1 Panorama da física no ensino médio Apesar de todas as inovações alcançadas no século XX, o ensino praticado nas salas de aula do ensino médio, hoje em dia, se refere quase que exclusivamente aos conteúdos da física desenvolvida até o século XIX, neste caso, da física clássica. Em geral, a física do século XX, dita física moderna, que compreende a física dos fenômenos quânticos e a relatividade, é tratada como uma curiosidade e apresentada na forma de leituras suplementares. Ainda que um rápido exame dos livros didáticos costumeiramente utilizados para o ensino de física corrobore esta observação (GASPAR, 2009; MAXIMO; ALVARENGA, 2010), vale a pena observar o que alguns autores dizem sobre o assunto. Campos e Veiga (2009) consideram que [...] A não presença da Física Moderna e Contemporânea (FMC) no Ensino Médio (EM) das escolas públicas é uma falha grave, já que na sociedade atual é imprescindível que o aluno tenha este conhecimento para envolver-se com o desenvolvimento tecnológico que está vivenciando [...]. (CAMPOS; VEIGA, 2009, p. 2) Em outro artigo, publicado no começo da década de 90, Terrazzan (1992) vai mais longe afirmando que: [...] A prática escolar usual exclui tanto o nascimento da ciência, como a entendemos, a partir da Grécia Antiga, como as grandes mudanças no pensamento científico ocorridas na virada deste século e as teorias daí decorrentes. A grande concentração de tópicos se dá na física desenvolvida aproximadamente entre 1600 e 1850 [...]. (TERRAZZAN, 1992, p. 209) Percebe-se claramente uma imensa defasagem histórica e filosófica entre o desenvolvimento e o ensino das ciências físicas. Oliveira, Vianna e Gerbassi (2007) também apontam para esta defasagem, definindo-a como causadora de uma visão retrógada da física. Enfim, pode-se dizer que o ensino médio atual deixa a impressão que a física corresponde a algo centrado em roldanas, planos inclinados, circuitos elétricos resistivos, lentes etc, ou seja, a um conjunto de conhecimentos arcaicos e despossuídos de (ou de pouca) serventia do ponto de vista tecnológico. O resultado disso é que, no mundo inteiro, a abordagem dada pelo ensino de física aos seus conteúdos oferece uma visão inadequada de seu real papel no desenvolvimento científico e tecnológico (CHAVES; SHELLARD, 2007). Ainda segundo Terrazzan (1992) [...] A influência crescente dos conteúdos de Física Moderna e Contemporânea para o entendimento do mundo criado pelo homem atual, bem como a inserção consciente, participativa e modificadora do cidadão neste mesmo mundo define, por si só, a necessidade de debatermos e estabelecermos as formas de abordar tais conteúdos [...]. (TERRAZZAN, 1992, p. 210) 15

Nesse sentido, e no caso do ensino médio, Oliveira, Vianna e Gerbassi (2007, p. 447) afirmam que o ensino de Física [...] se distancia cada vez mais das necessidades dos alunos no que diz respeito ao estudo de conhecimentos científicos mais atuais [...]. 1.1.2 Panorama da física no ensino superior Durante os dois primeiros anos do ensino superior, também é a física clássica que domina o conteúdo programático dos cursos, tanto de licenciatura, quanto de bacharelado em física. Neste período, denominado ciclo básico, as disciplinas de física são compartilhadas por estudantes de várias áreas como engenharias, matemática e química. Grande parte do conteúdo de física aprendido no ensino médio é revisto com um teor conceitual aprofundado e o requinte do cálculo diferencial e integral. Isto é necessário para que a descrição dos fenômenos físicos se aproxime da realidade do mundo. Com a introdução dessas novas ferramentas matemáticas, pode-se, por exemplo, descrever o movimento de um projétil sem que a resistência do ar, ignorada no ensino médio, seja desprezada. É somente a partir do terceiro ano da graduação, etapa que recebe o nome de ciclo profissional, que tópicos da física moderna, e de MQ, começam a figurar nas ementas dos cursos de física. Deve-se notar que neste segundo momento do curso superior as disciplinas da física são cursadas apenas pelos estudantes da física. Em uma publicação organizada pela Sociedade Brasileira de Física em 2005 1, Chaves e Shellard (2007) analisam esta situação que é apontada como problemática em dois níveis. Os autores afirmam que, num primeiro momento [...] o problema é mais grave nas disciplinas de física básica a geralmente, as únicas oferecidas aos estudantes de engenharia e de outras ciências, o que contribui para o desprestígio da física frente ao público educado. [...] Tópicos como relatividade e física quântica, que já completam um século, são classificados como física moderna e quase omitidos nas ementas da física básica [...]. (CHAVES; SHELLARD, 2007, p. 222) a Entende-se como física básica o conjunto de disciplinas cursadas no ciclo básico. Vê-se que a problemática citada pelos autores é similar à apontada na seção 1.1.1 sobre o ensino médio. Novamente, um exame dos livros-texto tradicionalmente utilizados no ensino superior (NUSSENZVEIG, 2002; HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2008; MOSCA; TIPLER, 2009) corrobora estas observações. A segunda conclusão do trabalho é que [...] em relação à física contemporânea, tópicos como estrutura da matéria, campos de força, cosmologia, caos, complexidade, materiais, física computacional e outros, são pouco enfatizados, mesmo no ciclo profissional da graduação em física [...]. Mais ainda, 1 2005 foi o ano internacional da física em homenagem aos 100 anos da publicação dos trabalhos de Einstein sobre a relatividade, o efeito fotoelétrico entre outros. 16

Nos cursos de licenciatura em física, a desconsideração da física moderna e contemporânea é muito grave, já que os professores formados para o ensino médio não estão preparados para mostrar essa disciplina como algo interessante e cuja validade de conteúdo é digna de consideração. (CHAVES; SHELLARD, 2007, p. 223) Finalmente, o ensino da física moderna, tanto no nível médio, quanto no superior, não tem se adequado às exigências da legislação (BRASIL, 1996, 2000) conforme se vê na transcrição da Tabela 1.1 abaixo. Tabela 1.1: LDB de 1996 e PCN de 2000. Ensino médio Inciso I, do 1º, do artigo 36 da Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional, no que se refere ao domínio dos princípios científicos e tecnológicos que presidem a produção moderna, e nos Parâmetros Curriculares Nacionais, [...] as novas tecnologias [...] exigem que a escola possibilite aos alunos integrarem-se ao mundo contemporâneo [através] da aprendizagem de concepções científicas atualizadas do mundo físico e natural [...]. Ensino superior Incisos I e VI, do artigo 43 da Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional: estimular [...] o desenvolvimento do espírito científico e do pensamento reflexivo e estimular o conhecimento dos problemas do mundo presente [...]. 1.1.3 Contribuição da proposta Com o intuito de reduzir as lacunas existentes no currículo de física, pelo menos no que se refere à abordagem de tópicos de física moderna e contemporânea, tanto no nível universitário quanto no ensino médio, o número de publicações na área tem crescido nos últimos anos, como relatam Mcdermott e Redish (1999) e ainda Pereira e Osterman (2009). Outros trabalhos se traduzem na confecção de material didático sobre tópicos de física moderna e contemporânea voltado para o ensino médio (BARRETO, 2009; BALTHAZAR; OLIVEIRA, 2010). De acordo com Campos e Veiga (2009), a atualização do currículo de física é um esforço necessário, mas não suficiente. Para que possamos contemplar um ensino de física atento aos problemas do mundo presente, as mudanças não devem se restringir ao currículo. Em outras palavras, não basta acrescentar mais capítulos nos livros didáticos. É preciso criar um corpo docente preparado e motivado para o entendimento da física de forma plena. Um professor bem formado e atualizado torna-se peça fundamental na aproximação do corpo discente com as pesquisas científicas que são feitas hoje, podendo, inclusive, despertar vocações em muitos estudantes para a carreira científica. Tal sentimento, também é compartilhado por Oliveira, Vianna e Gerbassi (2007): 17

Não basta introduzir novos assuntos que proporcionem análise e estudos de problemas mais atuais se não houver uma preparação adequada dos alunos das licenciaturas para esta mudança e se o profissional em exercício não tiver a oportunidade de se atualizar. Os professores precisam ser os atores principais no processo de mudança curricular, pois serão eles que as implementarão na sua prática pedagógica. (OLIVEIRA; VIANNA; GERBASSI, 2007, p. 448) No que se refere à mecânica, por exemplo, Campos e Veiga (2009) afirmam que a cinemática galileana e a mecânica newtoniana são mantidas como temáticas principais nas aulas de física, apesar do impacto estrondoso da teoria quântica e da mecânica relativística no campo científico mundial e na tecnologia moderna. Entretanto, devemos observar que o mundo percebido pela espécie humana é predominantemente clássico, o que justifica plenamente o ensino da física clássica em todos os níveis do ensino. Apesar do exposto acima, o domínio da física clássica como física aprendida não é errado ou prejudicial. No entanto, o claro descompasso entre a física ensinada e a física praticada atualmente, leva a uma estagnação do ensino. Oliveira, Vianna e Gerbassi (2007, p. 447) e Campos e Veiga (2009) apontam para a falta de capacitação adequada dos professores como um dos motivos que ocasionam a ausência de discussões de tópicos atuais nas salas de aula. Evidentemente, não desejamos algo assim, já que a dinâmica atual da sociedade solicita de seus cidadãos um grau de informação cada vez maior além da capacidade de adaptação aos novos conhecimentos. Em suma, não se deve deixar de dar atenção à física clássica, porém o tratamento de conteúdos atuais da física no ensino, de forma generalizada (nível médio, licenciaturas e bacharelados), é importante, se não vital, para que se possa estabelecer o progresso do conhecimento científico e desfrutar das novas tecnologias que ainda estão por vir. É importante que se ressalte, mais uma vez, a importância da atualização, da não-estagnação e da formalização conceitual dos profissionais que atuam no ensino de física. Nesse contexto, espera-se que a produção de um módulo didático, contendo atualizações históricas sobre a mecânica quântica e trazendo questionamentos atuais sobre esta disciplina, possa contribuir para o avanço no ensino de física praticado na atualidade. 1.2 ASPECTOS HISTÓRICOS, FILOSÓFICOS E METODOLÓGICOS DO DESEN- VOLVIMENTO DA MECÂNICA QUÂNTICA Nesta seção pretende-se esclarecer alguns conceitos-chaves relativos ao desenvolvimento histórico da mecânica quântica enquanto disciplina em quatro momentos. Neste sentido, tal abordagem visa complementar e aprofundar os conhecimentos adquiridos na graduação necessários para que desenvolvimentos futuros possam ser mais bem compreendidos. 18

1.2.1 Primórdios da teoria quântica A mecânica quântica consiste no estudo de sistemas físicos cujas dimensões são equivalentes, ou menores, à da escala atômica, como é o caso dos sistemas envolvendo átomos e suas partículas constituintes, moléculas e fótons. Na grande maioria dos livrostexto sobre mecânica quântica e, portanto, dos respectivos cursos, a teoria é apresentada aos estudantes dentro de uma perspectiva histórico-cultural, começando com a hipótese dos quanta. Tal hipótese foi formulada no ano de 1900, quando o físico alemão Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858-1947), estudava a chamada radiação de corpo negro 2 (ou radiação térmica). A motivação desse estudo era relacionada ao problema da iluminação pública. Havia um debate sobre a adoção da luz elétrica em detrimento do uso de lâmpadas a gás naquela época. Assim, houve um esforço de vários laboratórios destinado a encontrar um padrão universal que pudesse ser usado para comparar esses dois tipos de iluminação. Este padrão era exatamente o do corpo negro e, conseqüentemente, esse tipo de radiação foi muito bem estudado do ponto de vista experimental (ZEILINGER, 2005). Não obstante, o modelo clássico de emissão de radiação térmica é incapaz de explicar uma das características mais marcantes dessa radiação: a denominada catástrofe do ultravioleta. A teoria clássica prevê que uma grande quantidade de raios UV seria emitida por um corpo negro enquanto a observação experimental era exatamente a oposta. Em seu artigo Sobre a Teoria da Lei de Distribuição de Energia do Espectro Normal, Planck propôs que, na natureza, a energia assume valores discretos, ou seja, não é gerada ou absorvida de forma contínua, mas sim em pequenos pacotes denominados quanta 3. A adoção do modelo dos quanta para a luz era contra-intuitiva do ponto de vista da física clássica, entre outras coisas por que na teoria clássica a energia luminosa não depende da freqüência da luz, enquanto na suposição do quantum de Planck a energia e a freqüência da luz são proporcionais. No entanto, o quantum explicava com extrema precisão matemática a catástrofe do ultravioleta. O próprio Planck resumiu seu trabalho como um ato de desespero para possibilitar uma explicação, ainda que puramente numérica, desse fenômeno natural (EISBERG; RESNICK, 1994) como pode ser visto no trecho de sua leitura ao receber o Prêmio Nobel. 2 Quando uma radiação incide em um corpo opaco, parte é refletida e parte é absorvida. Os corpos de cor clara refletem a maior parte da radiação visível incidente, enquanto os corpos escuros são bons absorvedores. A radiação absorvida pelo corpo causa o aumento da energia cinética dos átomos que o constituem, fazendo-os oscilar em torno de sua posição de equilíbrio. Como a temperatura de um corpo é determinada pela energia cinética média de seus átomos, a absorção de radiação faz a temperatura do corpo aumentar. Os átomos ao oscilarem, põem seus elétrons também em oscilação. De acordo com a teoria eletromagnética, partículas carregadas aceleradas emitem radiação. Neste caso, a emissão de radiação pelos átomos causa a redução de sua energia cinética e, conseqüentemente, da temperatura do corpo. Um corpo que absorve toda a radiação incidente é chamado de corpo negro ideal. Assim, um corpo que é um bom absorvedor de radiação também é um bom emissor. 3 A palavra quanta tem origem latina e representa o plural de quantum. 19

[...] Se a fórmula da radiação [de corpo negro] fosse provada como sendo absolutamente acurada, ela ainda seria uma feliz escolha para uma interpolação de valor limitado [...] ou o quantum da ação seria uma quantidade ficcional, e então toda a dedução da lei de radiação seria ilusória, e não seria nada além de uma manipulação de fórmulas vazias e sem significado, ou a derivação desta lei era baseada em sólidas bases físicas [...] neste caso, o quantum de ação deveria ter um papel fundamental na física [...]. (PLANCK, 1918, tradução nossa) a a O texto em língua inglesa é: [... ] If the [thermal] radiation formula should prove itself to be absolutely accurate, it would still only have, within the significance of a happily chosen interpolation formula, a strictly limited value [...] either the quantum of action was a fictional quantity, then the whole deduction of the radiation law was in the main illusory and represented nothing more than an empty non-significant play on formulae, or the derivation of the radiation law was based on a sound physical conception [...] in this case the quantum of action must play a fundamental role in physics [... ]. Outros momentos históricos importantes no desenvolvimento inicial da teoria quântica, como a explicação de Einstein para o efeito fotoelétrico, a hipótese de De Broglie sobre o dualismo partícula-onda e o modelo do átomo de hidrogênio formulado por Bohr, são devidamente discutidos num curso superior sobre física quântica. Até este momento, o ensino da mecânica quântica é baseado na apresentação de modelos semi-empíricos para a explicação de fenômenos associados à luz e a partículas diminutas como elétrons e átomos. Enfim, trata-se de uma descrição de fatos históricos, que pode ser classificada como uma aprendizagem mecânica segundo Ausubel 4. O objetivo é o de embasar uma nova estrutura conceitual necessária para o entendimento de estudos mais avançados. A fenomenologia quântica, por assim dizer, é dessa forma utilizada para incutir nos estudantes a noção do quantum ou, em linguagem mais moderna, do dualismo partícula-onda. Costuma-se usar também o termo onda de matéria para designar uma partícula-onda. Deve-se mencionar nesse momento que o conceito de partícula-onda, além de contra-intuitivo, é uma contradição lógica (PESSOA-JUNIOR, 2004) já que, entre outras coisas, partículas e ondas possuem muitas propriedades que são mutuamente excludentes. 1.2.2 "Idade média" da teoria quântica O passo seguinte de um curso superior de mecânica quântica é formalizar matematicamente uma equação que possa descrever os fenômenos associados ao comportamento dinâmico de um quantum. Para tanto, introduz-se a noção matemática do pacote de ondas, mais comumente chamado de função de onda, e, finalmente apresenta-se a equa- 4 Quando o conteúdo escolar a ser aprendido não consegue ligar-se a algo já conhecido, ocorre o que Ausubel chama de aprendizagem mecânica, ou seja, quando as novas informações são aprendidas sem interagir com conceitos relevantes pré-existentes na estrutura cognitiva. Assim, o indivíduo passa a memorizar fórmulas e leis passivamente até acostumar-se com os novos conceitos e aprender a manipulálos (PELIZZARI et al., 2001-2002). 20

ção de Schrödinger 5. Além disso, é necessário dar uma interpretação para a função de onda 6. Os estudantes são então apresentados à interpretação probabilística da função de onda, definida por Max Born, e ao princípio da incerteza de Heisenberg, inerente ao uso do pacote de ondas como descrição do movimento. Entretanto, o pioneiro na elaboração de um arcabouço conceitual lógico e consistente para a mecânica quântica foi o físico dinamarquês Niels Henrik David Bohr (1885-1962) que, no início do século XX, ocupava o cargo de diretor do Instituto de Física Teórica da Universidade de Copenhague, Dinamarca. Por esse motivo, sua teoria quântica ficou conhecida como Interpretação de Copenhague 7. Além da contribuição para a descrição do átomo de hidrogênio, Bohr formulou o princípio da complementaridade segundo o qual os aspectos, corpuscular e ondulatório, de uma partícula-onda não podem ser observados simultaneamente sendo, portanto, complementares. Isso resolvia a contradição lógica embutida no conceito do quantum e dava um sentido concreto à interpretação probabilística de Born. Mais ainda, este princípio era o elemento que faltava para dar sentido à teoria quântica. A idéia, por traz do que se chama o princípio da complementaridade, é a de que o aspecto ondulatório da partícula-onda define sua propagação, exibindo interferência e difração, de maneira análoga à de uma onda clássica que se distribui no espaço. É claro que uma partícula não pode estar distribuída pelo espaço, pela própria definição de partícula, que é a de um objeto bem localizado. A conciliação entre onda e a partícula é feita dandose um caráter puramente probabilístico à onda. Assim a propagação da onda define regiões onde a partícula poderá ser encontrada. Já quando a partícula-onda interage com algum objeto, ou quando ocorre uma medição, é o aspecto corpuscular que domina. A interação provoca uma mudança súbita na onda de probabilidade, já que, com a medição realizada, tem-se a certeza de se ter encontrado a partícula-onda, antes incógnita, numa posição bem definida. Com isso, a partícula-onda é percebida numa medição como uma partícula apenas, pois a onda de probabilidade acaba por se concentrar na posição da partícula. Esta é uma descrição sucinta do chamado colapso da função de onda, que pode ser visto 5 De acordo com Bloch (1976), a motivação que levou à elaboração de uma equação que fosse capaz de representar as ondas de matéria de De Broglie surgiu de um questionamento que Debye fez a Schrödinger ao final de um colóquio em 1926. Debye comentou que quando era estudante de Sommerfeld ele tinha aprendido que, para lidar adequadamente com ondas, tinha que existir uma equação de onda. Schrödinger, evidentemente, pensou um pouco mais sobre a idéia e, depois de poucas semanas, apresentou-se em um novo colóquio iniciando com as seguintes palavras: Meu colega Debye sugeriu que deve-se ter uma equação de onda; bem, eu encontrei uma! 6 A operacionalização da função de onda Ψ (x, t) tem sido a base dos cursos de mecânica quântica. Entretanto, o mistério acerca do real significado de tal função perdura até os dias de hoje. Até mesmo Schrödinger viu-se atormentado por seus resultados como mostra o poema escrito por Erich Hückel, Felix Bloch e outros durante um passeio de barco no verão de 1926 (BLOCH, 1976): Erwin with his psi can do Calculations quite a few. But one thing has not been seen: Just what does psi really mean? Erwin com sua [função de onda] psi pode fazer Cálculos muito poucos. Mas uma coisa não tem sido vista: Apenas o que psi realmente significa? 7 Alguns livros-textos se referem à Interpretação de Copenhague como Interpretação Ortodoxa. 21

como uma das conseqüências do princípio da complementaridade e, constitui, um dos sete postulados fundamentais da teoria quântica. O exemplo padrão de complementaridade, abordado em muitos livros-texto, é o do experimento de difração com fenda dupla para um feixe de elétrons onde os aspectos apresentados acima são exaustivamente discutidos (COHEN-TANNOUDJI; DIU; LALOë, 1977; EISBERG; RESNICK, 1994; TIPLER; LLEWELLYN, 2006). Nesse ponto, a compatibilidade experimental e a estrutura lógica alcançadas pela teoria quântica eram suficientemente concisas para esta merecer um status tão alto quanto o das leis de Newton. Isto pode ser percebido na fala de Heisenberg em um curso por ele ministrado na universidade de Chicago em 1930: [...] Nenhuma mudança essencial nos princípios da mecânica quântica aconteceu desde os estudos conclusivos de Bohr em 1927, e muitos novos experimentos têm confirmado importantes conseqüências da teoria. A proposta desse livro me parecerá alcançada se ele contribuir para a difusão do espírito copenhaguense da teoria quântica [...]. (HEI- SENBERG; ECKART; HOYT, 1930, tradução nossa, grifo nosso) a. a O texto em língua inglesa é: [... ] Since the conclusive studies of Bohr in 1927 there have been no essential changes in these [quantum mechanical] principles, and many new experiments have confirmed important consequences of the theory. The purpose of this book seems to me to be fulfilled if it contributes to the diffusion of that Kopenhagener Geist der Quantentheorie [... ]. Percebe-se no texto de Heisenberg um sentido de que a interpretação ortodoxa da teoria quântica (a interpretação de Copenhague) estaria pronta para ser difundida como sendo o paradigma essencial para explicar os fenômenos quânticos em sua plenitude. Este momento é inclusive celebrado numa peça de teatro Copenhague onde o autor M. Frayn recria um dialogo entre Heisenberg e Bohr durante um encontro em 1941 (FRAYN, 2000). De fato, muito do que se seguiu corroborou esta observação inicial de Heisenberg e a partir daí, a física conheceu novos rumos como o desenvolvimento da física atômica, da física do estado sólido etc. que são ramos da física contemporânea calcados na teoria quântica de Bohr. É nesse ponto, também, que a fundamentação teórico-conceitual praticada no ensino de mecânica quântica de hoje atinge seu ápice, e, a partir daí, os cursos de mecânica quântica passam a ser excessivamente pragmáticos, tratando apenas de aplicações da equação de Schrödinger em diversas situações. Pouca (ou nenhuma) atenção é dada no ensino da mecânica quântica ao debate entre Bohr e Einstein que seguiu a formulação do princípio da complementaridade. Este debate, ausente na quase totalidade dos livrostextos dirigidos aos alunos de graduação 8, trata de um questionamento fulminante de Einstein sobre a coerência entre a interpretação de Copenhague e as noções de localidade, causalidade e mesmo de realidade, tão caras ao autor da teoria da relatividade e ao bom-senso comum. 8 Exceções podem ser encontradas em Hey e Walters (2003), Whitaker (2006), Oliveira (2010). 22

1.2.3 A crise quântica Segundo Einstein, uma teoria sobre o mundo físico deve possuir elementos, ou variáveis, que possam ser definidos com precisão e associados à realidade física independentemente da medição 9. A natureza probabilística e o colapso da função de onda não permitem que isso aconteça. Mais ainda, a própria noção do princípio da incerteza contradiz (ou melhor, proíbe) este entendimento de realidade (denominado realidade objetiva) e a conclusão de Einstein era a de que a mecânica quântica ortodoxa era uma teoria incompleta. Deve-se notar que na concepção de Einstein a teoria quântica não estava errada, porém deveriam existir outros elementos de realidade, desconhecidos dos físicos até aquele momento, que trariam um maior esclarecimento sobre os fenômenos quânticos, tornando o princípio da incerteza algo desnecessário para a descrição da natureza. Estes elementos receberam a denominação de variáveis ocultas. Em 1935, Einstein publicou, juntamente com o russo Boris Podolski e o norteamericano Nathan Rosen, um artigo sobre o assunto (EINSTEIN; PODOLSKY; ROSEN, 1935). O artigo, que ficou conhecido como EPR, continha uma situação que levava a interpretação de Bohr a um paradoxo onde a questão da localidade 10 era violada. O argumento EPR envolvia duas partículas, em um estado dito emaranhado, que possuíam correlações instantaneamente transmitidas através do espaço. Tratava-se de uma violação dos princípios da relatividade. A reação de Bohr aos argumentos EPR foi a de abandonar outros trabalhos e se concentrar em dar uma resposta que veio um pouco mais tarde (BOHR, 1935). A estrutura lógica montada por Bohr para a teoria quântica acabou por prevalecer e Einstein recuou passando a se ocupar da teoria do campo unificado (WHITAKER, 2006). Assim, a interpretação de Copenhague ficou cristalizada ainda que tivesse que se abrir mão da noção de realidade que temos cotidianamente como apontado por Max Born em seu discurso durante a cerimônia do prêmio Nobel de 1954 [...] não só o determinismo clássico deve ser abandonado, mas também o ingênuo conceito de realidade que encara as partículas da física atômica como se elas fossem pequenos grãos de areia [...]. (BORN, 1954, tradução nossa) 11. Alguns autores apontam que esse recuo de Einstein se deu por causa de impossibilidades ligadas a física experimental da época (RAE, 2004). No entanto, o questionamento de Einstein é tão natural que é difícil não querer aceita-lo. Afinal, o que está em jogo 9 Ao observamos um objeto, por exemplo, uma bola de futebol, podemos querer descrever alguma característica material desse objeto através de um número. Poderia ser seu volume ou sua cor. Neste caso, o número obtido estaria associado ao espaço ocupado por este corpo, no caso do volume, ou ao comprimento de onda da luz que ela reflete, no caso da cor. 10 Eventos medidos em pontos diferentes do espaço não podem influenciar um ao outro instantaneamente. 11 O texto em língua inglesa é: [...] not only the determinism of classical physics must be abandonded, but also the naive concept of reality which looked upon the particles of atomic physics as if they were very small grains of sand [...]. 23

é a própria idéia do que é realidade. Assim, alguns autores continuaram seus ataques a interpretação ortodoxa. Um desses autores foi o próprio Schrödinger que, também em 1935, montou o seguinte gedankenexperiment 12. Na situação imaginada, um gato era colocado dentro de uma caixa juntamente com um mecanismo que poderia liberar um gás venenoso, matando o animal. Trata-se do famoso gato de Schrödinger. O mecanismo seria controlado por uma fonte radioativa, que é então naturalmente governado por eventos quânticos. O sinal de um detector de partículas radioativas seria responsável pelo acionamento da válvula que libera o gás após o eventual decaimento radioativo. Na interpretação ortodoxa, a função de onda deve possuir toda a informação possível sobre o sistema quântico. Assim, a função de onda deve conter as possibilidades de uma fonte decair somada as da fonte não decair. Enquanto a caixa não for aberta, ou seja, enquanto não for feita uma medida, o fato de o gato estar vivo ou morto está relacionado ao fato da fonte ter decaído ou não decaído. Seguindo a interpretação ortodoxa somos obrigados a concluir que o gato está vivo, e simultaneamente, morto. A situação de vida ou morte do gato só seria definida quando a caixa fosse aberta. Nem mesmo essa situação paradoxal abalou a comunidade da época sobre a teoria quântica desenvolvida até aquele momento. 1.2.4 A mecânica quântica moderna Anos mais tarde, o físico irlandês J. S. Bell (BELL, 1964) percebeu uma maneira de definir um experimento capaz de colocar a prova a interpretação de Copenhague em contraposição a uma teoria de variáveis ocultas local, como sugeria o artigo EPR, de maneira conclusiva. As idéias de Bell sobre a mecânica quântica eram similares as de Einstein e se traduziam na forma de desigualdades matemáticas (as desigualdades de Bell) que seriam obedecidas caso uma teoria de variáveis ocultas local fosse correta. O experimento só foi realizado na década de 80 por Alain Aspect e colaboradores e o resultado era uma violação da desigualdade de Bell (ASPECT; GRANGIER; ROGER, 1982). O que ficou experimentalmente demonstrado é que a natureza segue a interpretação de Copenhague, ou seja, não se pode atribuir localidade, causalidade ou realidade, nos termos usuais, aos fenômenos quânticos. O emaranhamento quântico é algo fundamental na natureza. Isso levou alguns autores a escrever artigos com títulos como A lua está lá quando ninguém olha? Realidade e a teoria quântica de David Mermin (MERMIN, 1985, tradução nossa) 13. Ora, esse título é um contra-senso e certamente causa uma impressão de que algo está errado com a teoria quântica, ou seja, é muito difícil aceitar a interpretação ortodoxa sem resistência, ou mesmo indignação. Como disse Bohr certa vez, Se você 12 Gedankenexperiment é uma expressão alemã utilizada para designar um experimento ou experiência mental. 13 O texto na língua inglesa é: Is the moon there when nobody looks? Reality and the quantum theory. 24

não se surpreendeu com a física quântica é por que você não a entendeu (BOHR, apud PINTO-NETO, 2010). Essa persistente dificuldade de aceitação da interpretação ortodoxa faz com que os pesquisadores de fundamentos da física procurem uma alternativa que concilie o realismo de Einstein com a complementaridade de Bohr. Esta alternativa não pode ter o caráter de localidade como definido pela violação da desigualdade de Bell, ou seja, ela deve ser não-local. Ocorre que esta alternativa existe e corresponde exatamente à mecânica quântica de Bohm (BOHM, 1952a, 1952b), que é um dos assuntos ligados a este trabalho. A tabela 1.2 resume este panorama histórico. Tabela 1.2: Contribuições para o desenvolvimento da mecanica quântica. Max Planck (1858-1947) hipótese dos quanta (em 1900) Albert Einstein (1879-1955) explicação do efeito fotoelétrico (em 1905) Louis de Broglie (1892-1987) dualismo onda-partícula (em 1923) Erwin Schrödinger (1887-1961) equação de onda (em 1926) Max Born (1882-1970) densidade de probabilidade (em 1927) Werner Heisenberg (1901-1980) princípio da incerteza (em 1927) Niels Bohr (1885-1962) Complementaridade (em 1927) Albert Einstein (1879-1955) artigo EPR (em 1935) David J. Bohm (1917-1992) Potencial quântico (em 1952) John S. Bell (1928-1990) Desigualdades de Bell (em 1964) Alain Aspect (1947- ) Comprovação experimental da violação da desigualdade de Bell (1982) Com isso, têm-se hoje três posicionamentos em relação à teoria quântica como aponta Griffiths (2004) em seu livro de introdução à mecânica quântica: Ortodoxo, Realista e Agnóstico. A Tabela 1.3 faz uma breve descrição de cada uma no que diz respeito ao problema da medida quântica. Essa impressão é corroborada por pesquisa realizada por Baily e Finkelstein (2010) com dezenove estudantes de graduação de quatro cursos introdutórios de física moderna ministrados na Universidade do Colorado entrevistados sobre suas preferências em relação às interpretações da mecânica quântica. 25

Tabela 1.3: A medida quântica na visão ortodoxa, realista e agnóstica. Interpretação Ortodoxa Interpretação Realista Interpretação Agnóstica Antes da medida, a partícula não estava em lugar nenhum. Foi o ato de medir que forçou a partícula a tomar uma decisão. A indeterminação não é um fato da natureza, mas um reflexo de nossa ignorância. A posição da partícula nunca foi indeterminada, mas, sim, meramente desconhecida pelo experimentador. Nesse sentido, a mecânica quântica seria uma teoria incompleta. Não faz sentido em querer saber o estado de uma partícula antes de uma medida, sendo esta, a única maneira de se ter certeza sobre alguma coisa. Os adeptos da posição agnóstica se recusam a responder sobre os aspectos filosóficos da mecânica quântica. 1.3 O ENSINO DA MECÂNICA QUÂNTICA Apesar de a mecânica quântica ser indiscutivelmente uma das teorias fundamentais mais bem sucedidas da física, as dificuldades de compreensão de seus fundamentos são lendárias. Isto fica evidente nas palavras do físico americano Richard Feynman: Como o comportamento atômico é tão diferente da experiência ordinária, é muito difícil se acostumar com o mesmo, ele parece peculiar e misterioso para todos tanto para o novato quanto para o físico experiente. Mesmo os especialistas não a entendem do modo como gostariam de entendê-la, e é perfeitamente razoável que isso aconteça porque toda a experiência, ou a intuição, humana direta se aplica a objetos em grande escala. Sabemos como os objetos em grande escala se comportam diferentemente dos objetos em pequena escala que não agem do mesmo modo. Então, temos de aprender sobre eles de maneira resumidamente abstrata ou imaginativa e não pela conexão com a nossa experiência direta. (FEYNMAN; LEIGHTON; SANDS, 1965, p. 1, tradução nossa) a. a O texto em língua inglesa é: Because atomic behavior is so unlike ordinary experience, it is very difficult to get used to, and it appears peculiar and mysterious to everyone both to the novice and to the experienced physicist. Even the experts do not understand it the way they would like to, and it is perfectly reasonable that they should not, because all of direct, human experience and of human intuition applies to large objects. We know how large objects will act, but things on a small scale just do not act that way. So we have to learn about them in a sort of abstract or imaginative fashion and not by connection with our direct experience. Além da estranheza causada por sua natureza paradoxal, conforme visto anteriormente, a forma de apresentação desta disciplina, nos cursos de graduação e mesmo de pós-graduação, contribui pouco para o seu entendimento mais fundamental. De acordo com Greca e Freire-Junior (2010), [...] os cursos de MQ são centrados na aprendizagem de métodos matemáticos de resolução de casos típicos, com pouca ou 26