UMA EXPERIÊNCIA NO ENSINO MÉDIO COM INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

UMA EXPERIÊNCIA NO ENSINO MÉDIO COM INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Elizane Mainardes Appel 1 emappel@yahoo.com.br Elisete Adriana José Luiz 2 eliseteadriana@yahoo.com.br RESUMO Este artigo visa relatar uma experiência durante o estágio supervisionado, aplicando duas tendências da Educação Matemática, a Investigação Matemática e a Resolução de Problemas, como metodologias de ensino em sala de aula. O estágio foi aplicado em uma escola da rede estadual, de Ensino Médio Técnico, no município de Canoinhas, SC, e o público alvo eram alunos do 2 ano do Curso Técnico em Agropecuária, a maioria deles provenientes do interior da própria cidade, bem como de cidades vizinhas. O tema escolhido para trabalhar foi o conteúdo de matrizes, desde suas primeiras definições até suas operações. Com esta experiência pode-se comprovar a eficácia do uso de novas metodologias de ensino em sala de aula. Palavras-Chave: Experiência; Educação Matemática; Tendências de Ensino. 1. INTRODUÇÃO Dentre as tendências da Educação Matemática, a Investigação Matemática e a Resolução de Problemas foram aplicadas no estágio supervisionado, visto que elas promovem uma maior motivação aos alunos em estudar matemática. Ao utilizarmos Investigação Matemática e Resolução de Problemas juntas como alternativa de ensino em sala de aula, elas proporcionam aulas mais produtivas, visando melhorar o processo de ensino e aprendizagem dos alunos. Será relatada, neste trabalho, uma atividade desenvolvida durante o estágio, que trata-se de iniciar o conteúdo das operações com matrizes (adição, subtração, multiplicação de um número real por uma matriz e multiplicação de matrizes). 1 Acadêmica do 4 ano de Licenciatura Plena em Matemática FAFIUV (Faculdade Estadual de Filosofia, Ciências e Letras de União da Vitória - PR). 2 Professora orientadora FAFIUV (Faculdade Estadual de Filosofia, Ciências e Letras de União da Vitória - PR), graduada em Matemática Licenciatura Plena - UNOCHAPECÓ (Universidade Comunitária Regional de Chapecó), Especialização em Metodologia do Ensino e da Pesquisa em Interdisciplinaridade AMPARO (Faculdades Integrada de Amparo), mestrado em Ensino de Ciências e Matemática ULBRA (Universidade Luterana do Brasil). 787

2. INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA O uso da Investigação Matemática em sala de aula favorece o desenvolvimento de aptidões cognitivas no aluno, afinal, ele precisa fazer conjecturas para conseguir chegar ao desfecho de uma determinada situação. Para usar a Investigação Matemática para a construção de um novo conhecimento, de um novo conceito matemático, pode-se partir da própria matemática. E, para se obter sucesso na tarefa de investigação, deve-se investigar todos os caminhos que surgem de uma situação dada. Vemos então que: [...] uma investigação é uma viagem até o desconhecido [...], o objectivo é explorar todos os caminhos que surgem como interessantes a partir de uma dada situação. É um processo divergente. [...] sabe-se qual é o ponto de partida mas não se sabe qual será ponto de chegada (FONSECA, BRUNHEIRA e PONTE, 2008, p.4). Esse tipo de atividade proporciona ao aluno criar certa independência em relação ao professor. Fonseca, Brunheira e Ponte (2008) estruturam uma aula de Investigação Matemática segundo as seguintes fases: introdução da tarefa, desenvolvimento do trabalho e reflexão/discussão final. A fase de introdução da tarefa é bastante importante pois tem uma dinâmica própria que poderá influenciar decisivamente o sucesso do trabalho, principalmente se os alunos não estiverem familiarizados com esse tipo de actividade [...]. Na fase de desenvolvimento do trabalho pretende-se que os alunos adquiram uma atitude investigativa, devendo por isso haver a preocupação em centrar a aula na actividade dos alunos, nas suas idéias e na sua pesquisa [...]. A discussão final sobre a actividade dos alunos é também uma boa ocasião para promover a reflexão sobre o trabalho, sabendo que esta é um elemento indispensável numa aula de investigação. [...] Por um lado esta reflexão permite, por exemplo, valorizar os processos de resolução em relação aos produtos [...] por outro, permite estabelecer conexões com outras ideias matemáticas, [...] e pode construir um ponto de partida para outras investigações (FONSECA, BRUNHEIRA e PONTE, 2008, pp. 6 9). Essas fases podem ser concretizadas de várias maneiras, mas a mais usual é iniciar com uma pequena introdução, seguida da realização da investigação, normalmente em pequenos grupos, e, por último, a discussão dos resultados encontrados com toda a turma. Encontramos, relatado em Ponte, Brocardo e Oliveira (2006), que a realização de atividades de investigação proporciona o estabelecimento de conexões com outros conceitos matemáticos e até mesmo com conceitos extramatemáticos. Segundo eles, para que se obtenha sucesso nessas ocasiões [...] o professor precisa estar atento a tais oportunidades e, mesmo que não seja possível explorar cabalmente essas conexões, deve estimular os alunos a refletir sobre elas [...] (PONTE, BROCARDO e OLIVEIRA, 2006, 788

p.51). Durante uma atividade de investigação, o papel do professor é incentivar os alunos a fazer conjecturas, devendo também apoiar os alunos, promovendo sua reflexão sobre o trabalho que realizaram. Para obter sucesso no trabalho de investigação [...] o professor deve, sem dúvida, privilegiar uma postura interrogativa [...] (PONTE, BROCARDO e OLIVEIRA, 2006, p.52). Essas questões têm como objetivo, muitas vezes, apenas clarificar as ideias. Investigação Matemática é descobrir relações existentes entre conteúdos matemáticos e também descobrir suas propriedades. Para que isso aconteça é necessário que o aluno esteja envolvido na construção de seu conhecimento, o que torna a Investigação Matemática uma alternativa que busca incentivar o aluno a essa busca pelo conhecimento. 3. RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS A Resolução de Problemas, como alternativa de ensino em sala de aula, proporciona aos alunos aplicarem os conhecimentos que eles já possuem a situações novas, com o objetivo de que aprendam esse novo conteúdo. [...] para aprender um conteúdo qualquer, os estudantes devem envolver-se na exploração, conjecturação e no processo de simplificação mais do que na aprendizagem memorística de dados, regras, procedimentos [...] 3 (VILLELLA, 2006, p.11). A Resolução de Problemas proporciona aos alunos explorarem caminhos diferentes para a resolução de um mesmo problema, permitindo a possibilidade de criar estruturas de pensamento, de modo que estas possam ser aplicadas a uma grande quantidade de situações, parecidas e até mesmo diferentes daquelas que ele resolveu em sala de aula. Os PCNs ressaltam a importância do uso da Resolução de Problemas, enfatizando que a resolução de problemas é peça central para o ensino de Matemática, pois o pensar e o fazer se mobilizam e se desenvolvem quando o indivíduo está engajado ativamente no enfrentamento de desafios [...] (BRASIL, 2002, p.112). Segundo Polya (1997, pp. 1-2): resolver um problema é encontrar os meios desconhecidos para um fim nitidamente imaginado [...] é encontrar um caminho onde nenhum outro é conhecido de antemão, encontrar um caminho a partir de uma dificuldade, encontrar um caminho que contorne um obstáculo, para alcançar um fim desejado [...]. 3 [...] para aprender un contenido cualquiera, los estudiantes deben involucrarse en la exploración, conjeturación y en el processo de razonamiento más que en el aprendizage memorístico de datos, reglas, procedimientos [...] 789

Mas afinal, o que é um problema? Um problema pode ser entendido como uma situação que tenha um objetivo a atingir, que requeira do aluno uma série de ações ou operações para chegar a sua solução. E, conforme encontramos no dicionário Michaelis, um problema é: [...] toda questão em que se procura calcular uma ou várias quantidades desconhecidas, denominadas incógnitas, ligadas mediante relações a outras conhecidas e chamadas dados [...] tema cuja solução ou decisão requer considerável meditação ou habilidade [...] (WEISZFLOG, 1998, p. 1699). Um problema é algo que requer concentração, meditação e/ou habilidade para resolver. E muitos alunos só se sentem motivados a resolver alguma tarefa ou a aprender algum conteúdo quando este chama a sua atenção, quando ele se sente desafiado a encontrar a solução. É isso que muitos problemas proporcionam: eles desafiam o aluno a querer chegar a sua solução. Dentro da matemática existem muitos tipos de problemas. Butts (1997) os classificou da seguinte maneira: - Exercícios de reconhecimento: são aqueles que exigem apenas que o aluno reconheça uma definição, um enunciado de um teorema. - Exercícios algorítmicos: podem ser resolvidos com a aplicação de um algoritmo passo-a-passo. - Problemas de aplicação: nesse tipo de problema, deve-se aplicar um algoritmo para sua resolução e, normalmente, seu enunciado já contém a (ou uma) estratégia para resolvê-los. Conforme Butts (1997), o único obstáculo que o aluno deve vencer é traduzir a palavra escrita para uma forma matemática apropriada, para que os algoritmos adequados possam ser aplicados. - Problemas de pesquisa aberta: seu enunciado não contém uma estratégia de resolução, deve-se, portanto, analisá-lo e encontrar um meio de resolvê-lo. - Situações problema: como nos afirma Butts (1997), o grande desafio das situações-problema é identificar o(s) problema(s) inerente(s) à situação, cuja solução irá melhorá-la. E são os problemas dos dois últimos tipos que mais chamam a atenção dos alunos, são eles que mais cativam o interesse dos alunos em resolvê-los, afinal, são os mais desafiantes. E os alunos, normalmente, atacarão com mais entusiasmo os problemas que acham interessantes e atrativos [...] (BARNETT, SOWDER e VOS, 1997, p.132), e é nestes que eles obtêm mais sucesso. 790

Quando os alunos se deparam com um problema, eles devem criar estratégias para resolvê-lo. E, para isso, Polya (1995, pp. 3-4) sugeriu quatro etapas para a resolução de um problema: [...] Primeiro, temos de compreender o problema, temos de perceber claramente o que é necessário. Segundo, temos de ver como os diversos itens estão interrelacionados, como a incógnita está ligada aos dados, para termos a idéia da resolução, para estabelecermos um plano. Terceiro, executamos o nosso plano. Quarto, fazemos um retrospecto da resolução completa, revendo-a e discutindoa. Cada uma dessas etapas tem sua importância específica no processo da resolução do problema, não se pode dizer qual delas é a mais importante. Afinal, não se pode resolver um problema se ele não for compreendido, também não é possível resolvê-lo se não possuir um plano de ação. E, após chegar a um resultado, de nada adiantará se não entender o que fez durante o processo, afinal, a fase do retrospecto [...] supõe a reflexão sobre o processo seguido e sua possível generalização a outras situações 4 (VILLELLA, 2006, p.41). O objetivo da Resolução de Problemas é desafiar o aluno a resolver um problema e, através do processo de sua resolução, generalizá-lo a outras situações é esta habilidade que se busca obter dos alunos. Fazê-los capazes de compreender uma situação e poder usar esse conhecimento em outras ocasiões. 4. UNINDO INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO CONTEXTO ESCOLAR Quando usamos Investigação Matemática e Resolução de Problemas juntas como metodologia de ensino em sala de aula, as aulas tornam-se mais produtivas, visto que os alunos se sentem motivados a aprender o que está sendo estudado. A aula torna-se bem mais dinâmica. Apesar de serem tendências distintas, existem muitas relações entre Investigação Matemática e Resolução de Problemas. Ponte, Brocardo e Oliveira (2006, p.16) afirmam que: uma investigação matemática desenvolve-se usualmente em torno de um ou mais problemas. Pode mesmo dizer-se que o primeiro grande passo de qualquer investigação é identificar claramente o problema a resolver. Por isso, não é de admirar que, em Matemática, exista uma relação estreita entre problemas e investigações [...]. 4 [...] supone la reflexión sobre el processo seguido y su possible generalización a otras situaciones 791

O grande desafio da educação é, portanto, articular esses diferentes tipos de tarefas, de modo que se torne possível promover o desenvolvimento matemático em alunos de todos os graus de escolaridade e em diferentes níveis de desempenho. 5. RELATO DA EXPERIÊNCIA A atividade desenvolvida no estágio supervisionado, utilizando Investigação Matemática e Resolução de Problemas foi para iniciar o conteúdo das operações com matrizes, com o objetivo que os alunos, antes de conhecerem a teoria sobre as operações com matrizes, pudessem investigar a maneira como elas são realizadas. A atividade constava de um problema que visava trabalhar com o estoque de uma livraria. Nela, os alunos encontravam questionamentos que não informavam o tipo de operação que deveria ser usado para resolvê-los. Portanto, durante o encaminhamento da atividade, os alunos puderam discutir a melhor maneira para solucioná-la e chegar, portanto, às suas próprias conclusões. Para a realização da atividade, solicitou-se que os alunos formassem duplas. ATIVIDADE DE INVESTIGAÇÃO CALCULANDO O ESTOQUE DE UMA REDE DE LIVRARIAS: Nas lojas A, B, C e D de uma rede de livrarias o estoque de seus livros didáticos de Matemática M 1, M 2 e M 3 é o seguinte: M 1 M 2 M 3 A 10 120 80 B 20 15 48 C 5 40 30 D 15 10 54 a) Escreva a matriz E que representa o estoque dessa rede de livrarias. Esse item foi de fácil resolução, visto que eles já haviam trabalhado com as definições de matrizes e sabiam como passar de tabela para matriz. b) O que cada linha da matriz representa? E as colunas? Neste item obtive respostas como: linha loja, coluna produto ; linha representa cada livraria (A, B, C, D), coluna representa cada livro (M 1, M 2, M 3 ), cada linha representa uma loja e seu estoque e cada coluna representa um tipo de livro didático de matemática, dentre outras. 792

c) Qual é o elemento que representa o número de exemplares que a livraria A possui do livro de Matemática M 2? Muitos alunos responderam apenas 120 exemplares (que é o número de exemplares que pode ser encontrado na tabela) e não o elemento, que era o que o enunciado estava solicitando. Mas alguns responderam como o aluno 1, conforme verificamos na figura 01. Figura 01: Resolução do item c) realizada pelo aluno 1. Suponha agora que foi feita uma entrega a essas livrarias com as seguintes quantidades de cada um dos livros de Matemática: M 1 M 2 M 3 A 30 0 10 B 10 35 12 C 15 40 20 D 20 70 16 d) Como essa entrega poderia ser representada na forma matricial? Chame de F essa matriz. Da mesma maneira que o item a), este também foi de fácil resolução. e) Após essa entrega, como ficou o estoque dessa rede de livrarias? Represente o estoque atualizado pela matriz A. Este foi o primeiro item que requereu dos alunos a aplicação de uma operação (estratégia) para encontrar a resposta. Todos desenvolveram o cálculo apropriado, mas apenas alguns o anotaram. A maioria preferiu fazer diretamente, sem mostrar o passo-apasso da realização. Podemos perceber, no detalhe em destaque da figura abaixo, que o aluno 1 anotou a operação utilizada, o que mostra que ele entendeu o que estava sendo solicitado, mesmo que tenha esquecido que a referida operação foi realizada com as matrizes dos itens a) e d), e não com as matrizes dos itens a) e e). 793

Figura 02: Resolução do item e) realizada pelo aluno 1. Se a tabela de preços desses livros informar que M 1 custa R$40,00, M 2 custa R$50,00 e M 3 custa R$60,00, então esses preços também podem ser representados por uma 40 matriz, P: P = 50. 60 f) Qual é o valor total do estoque desses livros nas quatro lojas? Represente esse valor pela matriz V. Para resolver este item, era necessário que os alunos efetuassem a multiplicação da matriz obtida no item e) com a matriz dada P dos valores. A maioria dos alunos resolveu da mesma maneira que os alunos 1 e 2, conforme as figuras 03 e 04. Figura 03: Resolução do item f) realizada pelo aluno 1. 794

Figura 04: Resolução do item f) realizada pelo aluno 2. Como podemos perceber nas imagens acima, tanto o aluno 1 como o aluno 2 efetuaram primeiro as multiplicações separadamente (em cada loja, cada livro pelo seu respectivo valor), para só depois efetuar a soma dos resultados e encontrar o valor total do estoque, que era o que o enunciado pedia. Vamos supor, agora, que após dois meses o estoque dessas livrarias era representado 25 80 74 pela matriz D: 16 37 24 D = 13 54 23. 14 63 48 g) Qual foi o número de exemplares de cada livro que cada livraria vendeu? Represente o resultado pela matriz N. A partir desse item, alguns alunos já começaram a utilizar uma anotação referente à operação que estavam utilizando, como podemos perceber no detalhe em destaque na figura 05. Figura 05: Resolução do item g) realizada pelo aluno 1. h) Qual foi o valor arrecadado por cada livraria nessa venda? Represente o resultado pela matriz G. Nesse item, por ser semelhante ao item f), o aluno 1 já não fez as multiplicações separadamente para depois efetuar a soma, mas apresentou o resultado diretamente e, como podemos perceber no detalhe em destaque na figura 06, apresentou apenas uma anotação sobre qual operação ele usou para chegar a tal resultado. Figura 06: Resolução do item h) realizada pelo aluno 1. 795

Suponha agora que nos três meses seguintes a rede de livrarias conseguiu triplicar o número de vendas dos primeiros dois meses. i) Qual foi a quantidade de cada livro que cada livraria vendeu nesses três meses? Represente o resultado pela matriz T. Como podemos perceber no detalhe em destaque na figura 07, o aluno 2, bem como os demais alunos da classe, multiplicou, para resolver este item, a matriz N, obtida no item g), por 3, visto que o enunciado dizia que o número de vendas havia sido triplicado. Figura 07: Resolução do item i) realizada pelo aluno 2. j) Qual foi a quantidade de livros vendidos por essas livraria nos cinco meses? Represente o resultado pela matriz Q. No detalhe em destaque da figura 08, podemos perceber que o aluno 2, para calcular a quantidade total de livros vendidos nos cinco meses, somou a quantidade de livros vendida nos primeiros dois meses, representada pela matriz N, com a matriz T, que representa a venda nos três meses seguintes, obtendo, então, a matriz Q. Figura 08: Resolução do item j) realizada pelo aluno 2. k) Qual a quantidade mínima de cada livro que cada livraria deve ter encomendado para suprir o estoque e conseguir realizar essa quantidade de vendas? Teve alguma livraria que não precisou encomendar algum dos livros? Quais livrarias? E quais livros? Para este item, além de calcular a diferença entre as matrizes Q (que representa a quantidade de livros vendidos nos cinco meses) e A (que representa a quantidade de livros que as livrarias tinham em estoque), os alunos tinham que analisar o resultado obtido para ver se foi necessário a alguma das livrarias encomendar mais livros. 796

Na figura 09 verificamos, nos detalhes em destaque, o que o aluno 1 fez e a que conclusão ele chegou. Analisou o resultado corretamente, visto que se a diferença entre o total de exemplares vendidos e o número de exemplares disponíveis em estoque apresenta sinal negativo, é porque não foram vendidos todos os livros que a livraria possuía em estoque e, portanto, não precisou fazer encomenda desse livro. Figura 09: Resolução do item k) realizada pelo aluno 1. No momento da discussão da atividade, os alunos foram questionados a respeito de quais operações eles haviam utilizado para resolver os itens que compunham a atividade, visando que analisassem as operações que efetuaram entre as matrizes que compunham a atividade. Para a operação dos itens e) e j), os alunos responderam prontamente adição, para a operação dos itens g) e k), responderam menos, para a operação dos itens f) e h), responderam de vezes, e, quando questionados sobre a maneira como haviam chegado à resposta do item i), responderam multiplicando a matriz por 3 era pra triplicar né?. De forma geral, a atividade se desenvolveu da maneira como se esperava, pois os alunos conseguiram compreender mais facilmente as operações envolvendo matrizes a partir desse exercício. Pode-se então dizer que os objetivos para esta atividade foram alcançados. CONCLUSÃO Com a aplicação desta atividade, conseguimos acompanhar o desenvolvimento dos alunos, perceber o quanto eles estavam interessados ou não pela atividade, pelo conteúdo em questão. O resultado obtido com essa experiência foi o esperado, os alunos conseguiram, num momento posterior, entender mais facilmente a teoria envolvida nessas operações. O que nos impressionou, já de início, foi a rapidez com a qual eles entenderam o que estava sendo solicitado em cada item da atividade. Durante a execução do trabalho, foram ouvidas exclamações do tipo: nossa! É só isso, será que é assim mesmo, tá muito fácil, dentre outras. Como a atividade foi 797

realizada em duplas, percebeu-se que eles estavam realmente motivados a resolvê-la, pois a maioria estava discutindo-a. Durante a discussão, quase todos os alunos participaram. Após essa experiência, pode-se confirmar na prática que é altamente recomendável a utilização de novas alternativas de ensino em sala de aula, especialmente a Investigação Matemática e a Resolução de Problemas juntas, pois, desta maneira, estaremos instigando nossos alunos a pensar matematicamente. REFERÊNCIAS BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. PCN + Ensino Médio: Orientações educacionais complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais Ciências da natureza, matemática e suas tecnologias. Brasília: MEC; SEMTEC, 2002. 144p.. BARNETT, J. C.; SOWDER, L.; VOS, K. E.. Problemas de livros didáticos: complementando-os e entendendo-os. In: KRULIK, S.; REYS, R. E.. A resolução de problemas na matemática escolar. Tradução: Hygino H. Domingues, Olga Corbo. São Paulo: Atual, 1997. p. 131-147. BUTTS, T.. Formulando problemas adequadamente. In: KRULIK, S.; REYS, R. E.. A resolução de problemas na matemática escolar. Tradução: Hygino H. Domingues, Olga Corbo. São Paulo: Atual, 1997. p. 32-48. FONSECA, H.; BRUNHEIRA, L.; PONTE, J. P.. As actividades de investigação, o professor e a aula de matemática. Educação Matemática Um outro olhar sobre a tabuada. Disponível em: <http://educ.matematica.googlepages.com/ asactividadesdeinvestigao.pdf>. Acessado em: 29/set./2008. POLYA, G.. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático. Tradução e adaptação: Heitor Lisboa de Araújo. 2. reimpr. Rio de Janeiro: Interciência, 1995.. Sobre a resolução de problemas de matemática na high school. In: KRULIK, S.; REYS, R. E.. A resolução de problemas na matemática escolar. Tradução: Hygino H. Domingues, Olga Corbo. São Paulo: Atual, 1997. p. 1-3. PONTE, J. P.; BROCARDO, J.; OLIVEIRA, H.. Investigações matemáticas na sala de aula. 1. ed., 2. reimpr. Belo Horizonte: Autêntica, 2006. VILLELLA, J.. Ideas para enseñar... a través de problemas. Montevideo: Espartaco, 2006. WEISZFLOG, W. (editor). Michaelis: moderno dicionário da língua portuguesa. São Paulo: Companhia Melhoramentos, 1998. 798