Portfólio De Escola Aprendizagem Superior de e Educação Ensino da Matemática Curso: Educação Básica 3º ano Portfólio De Aprendizagem e Ensino da Matemática Docente: Manuela Azevedo 1 Discente: Ana Sofia Nunes Ferreira nº 4268
Conteúdo Introdução... 3 28 De Fevereiro... 4 1 De Março... 7 14 De Março... 15 15 De Março... 32 21 De Março... 35 22 De Março... 38 28 De Março... 39 4 De Abril... 46 11 De Abril... 50 2 De Maio... 52 9 De Maio... 54 Conclusão... 56 2
Introdução Este portefólio foi pedido no âmbito da disciplina de Aprendizagem e Ensino da Matemática, do 2º semestre do 3º ano da Licenciatura em Educação Básica, leccionada pela docente Manuela Azevedo e tem como objectivo consolidar os conhecimentos adquiridos ao longo do semestre, explorar diversos temas relacionados com o novo programa do ensino básico permitindo também fazer uma reflexão de como poderíamos trabalhar estes conhecimentos. 3
Problema 28 De Fevereiro Prova de aferição de 4º ano O Manuel e os seus colegas estão a organizar um almoço para os pais. Começaram por colocar na sala as mesas para os pais se sentarem. Sabiam que podiam sentar quatro pessoas numa mesa, como se mostra na figura. Se juntassem 2 mesas, poderiam sentar 6 pessoas, como mostra a figura. 4
Seguindo a mesma regra, quantas pessoas poderiam sentar se juntassem 4 mesas em fila? Explica como encontraste a resposta. Para o fazeres podes usar palavras, esquemas e contas. Resolução Nº de Mesas Nº de Cadeiras/pessoas 1 4 2 6 3 8 4 10 A relação matemática que aqui se encontra é: nº de mesas x 2 + 2 topos das mesas, representávamos assim para o 1º ciclo; 2n +2, em que o n representa o nº de mesas, representávamos assim para o 2º ciclo. R: Em 4 mesas arrumadas em fila é possível sentar 10 pessoas. 5
Extensão da tarefa Após a resolução seria possível pedir aos alunos para: 1 - Seguindo a mesma regra de arrumação das mesas, quantas pessoas podíamos sentar se tivéssemos 10 ou mais mesas arrumadas em fila? 2- Quantas pessoas podemos sentar se tivermos 9 mesas e a arrumação das mesas é igual a que mostra na figura? Explica como encontraste a resposta. Para o fazeres podes usar palavras, esquemas e contas. Esta tarefa poderia ser aplicada no 4º ano do 1º ciclo no tópico das Regularidades, no sub-tópico das sequências, pois nesta tarefa foram desenvolvidos os seguintes pontos: o raciocínio, a justificação, a descoberta de regularidades, incentivada a comunicação, desenvolvido o cálculo mental e o pensamento algébrico. O raciocínio dos alunos para resolver o problema correspondendo a um maior número de mesas já implicava a compreensão e a descoberta da regularidade inerente ao problema. Uma das formas de os alunos demonstrarem o seu raciocínio e pensamento matemático é através de desenhos. 6
1 De Março Problema A Herança Um homem deixou de herança, aos seus três filhos, 30 bilhas de petróleo (com a mesma capacidade). Destas, 10 estavam cheias, outras 10 pela metade e as restantes vazias. Como se há-de fazer esta partilha de bilhas, para que cada um dos seus filhos receba o mesmo número de bilhas e a mesma quantidade de petróleo. Resolução 1ª Hipótese Bilhas Cheias Meias Vazias Total Filhos 1º 2 6 2 10 2º 4 2 4 10 3º 4 2 4 10 Total 10 10 10 30 R: O primeiro filho receberá duas bilhas cheias, 6 bilhas meias e duas bilhas vazias. O segundo filho receberá 4 bilhas cheias, 2 bilhas meias e 4 bilhas vazias. E por fim, o terceiro filho receberá 4 bilhas cheias, 2 bilhas meias e 4 bilhas vazias. No total cada filho receberá 10 bilhas, mas apenas receberá 5 unidades de medida (u.m) de petróleo. 7
2ª Hipótese 30 Bilhas 10 Bilhas cheias 10 Bilhas vazias (10 u.m) 10 Bilhas meias (10x0=0 u.m) (10 x 0,5 = 5 u.m) 10 + 5 + 0 = 15 u.m 15 : 3 = 5 u.m R: Cada filho recebe 5 bilhas de petróleo (enquanto unidade de medida 1 bilha cheia = 1) 3ª Hipótese Meias Bilhas Bilhas Cheias Bilhas Vazias 1º Filho 2 x + 4 x + 4 x = 10 bilhas (5 u.m de petróleo) 2º Filho 4 x + 3 x + 3 x = 10 bilhas (5 u.m de petróleo) 3º Filho 4 x + 3 x + 3 x = 10 bilhas (5 u.m de petróleo) R: Cada filho receberá 10 bilhas, mas apenas receberá 5 u.m de petróleo. 8
4ª Hipótese 1º filho 5 + 5 = 5 u.m (petróleo) 2º Filho 5 + 5 = 5 u.m (petróleo) 3º Filho 10 = 5 u.m (petróleo) R: Cada filho receberá 10 bilhas, mas apenas receberá 5 u.m de petróleo. 5ª Hipótese Se juntarmos as bilhas meias, ficamos com 15 e 15. 15 : 3 = 5 u.m R: Cada filho ficava com 5 e 5. 9
Problema dos Pacotes de Sumo Na mercearia onde a Alice foi comprar sumos, havia pacotes com os seguintes tamanhos e preços: 1 0.70 0.30 1 litro 500 ml 200 ml A Alice gastou 4.30. Quantos litros de sumo poderá ela ter comprado? Explica como encontraste a resposta. Para o fazeres, podes usar palavras ou contas. Resolução Este problema pode-se resolver de várias maneiras, por isso utilizei as seguintes formas de diferente tamanhos e cores, para que a resolução se torna-se mais fácil e perceptível. Para resolver o problema utilizei as seguintes formas e cada uma representa um tamanho do diferente pacote de sumo. 1L 500ml 200ml 10
1º Hipótese 1 L + 1 L + 1 L + 1 L + 200 ml = 4.200 L 1 + 1 + 1 + 1 + 0.30 = 4,30 R: A Alice conseguiu comprar 4.200 litros com 4.30. 2º Hipótese 1L + 1L + 1L + 500ml + 200ml + 200ml = 3.900L 1 + 1 + 1 + 0.70 + 0.30 + 0.30 = 4.30 R: A Alice com conseguiu comprar 3.900 litros com 4.30 11
3º Hipótese 1L + 1L + 500ml + 500ml + 200ml + 200ml + 200ml = 3.600 L 1 + 1 + 0.70 + 0.7 + 0.3 + 0.3 + 0.30 = 4.30 R: A Alice conseguiu comprar 3.600 litros com 4.30. 4º Hipótese 1L + 500ml + 500ml + 500ml + 200ml + 200ml + 200ml + 200 ml = 3.300 L 1 + 0.70 + 0.70 + 0.70 + 0.30 + 0.30 + 0.30 + 0.30 = 4.30 R: A Alice com 4.30 conseguiu comprar 3.300 litros. 5º Hipótese 12
500ml + 500ml + 500ml + 500ml + 200ml + 200ml + 200ml + 200ml + 200 ml = 3L 0.70 + 0.70 + 0.70 + 0.70 + 0.30 + 0.30 + 0.30 + 0.30 + 0.30 +0.30 = 4.30 R: A Alice conseguiu comprar 3 litros com 4.30. 6º Hipótese 1L + 200ml + 200ml + 200ml + 200ml + 200ml + 200ml + 200ml + 200ml + 200ml + 200ml + 200ml = 3.200L 1 + 0.30 + 0.30 + 0.30 + 0.30 + 0.30 + 0.30 + 0.30 + 0.30 + 0.30 + 0.30 + 0.30 = 4.30 R: A Alice conseguiu comprar 3.200 litros com 4.30. Extensão da Tarefa: 1 Existe a hipótese de podermos aumentar a quantidade de dinheiro gasto pela Alice, fazendo assim aumentar o número de pacotes de sumos que teria de comprar, tornando então, possível outras conjugações e raciocínios. Esta tarefa encontra-se no tópico dos números racionais não negativos, no subtópico correspondente aos números decimais, sendo assim possível trabalha-la nos 3º e 4º anos do ensino básico. A partir da resolução deste tipo de problemas é também possível trabalhar o tópico do comprimento, massa, capacidade e área, no sub-tópico da medida e unidade de medida, para calcular a adição de números decimais (preço dos pacotes) e desenvolver o raciocínio na medida que é preciso saber quantos pacotes de 13
cada pode levar para obter aquele preço. Este problema é mais indicado resolver em contexto sala de aula, devido a ter várias hipóteses, ou então ser corrigido no dia a seguir, mas dando sempre todos os exemplos possíveis de resolução do mesmo. 14
14 De Março Problema dos selos do correio Imagina que uma estação dos correios apenas vende selos de dois tipos: 7 cêntimos e 9 cêntimos. Uma carta de 32 cêntimos pode ser enviada usando dois selos de 9 cêntimos e dois de 7 cêntimos. Quais as franquias que não se podem fazer? Resolução + 0 7 14 21 28 35 42 0-7 14 21 28 9 9 16 23 30 37 18 18 25 32 46 27 27 34 48 36 36 50 57 64 45 Extensão da Tarefa 1 Que tipo de selos podemos colocar numa carta com o dobro do custo de 32 cêntimos? 2 - Que tipo de selos podemos colocar numa carta com o metade do custo de 32 cêntimos? 3 Se usar apenas selos de 7 cêntimos, quanto custa uma carta com 10 selos? 4 Se usar apenas selos de 7 cêntimos, quanto custa uma carta com 20 selos? 5 - Se usar apenas selos de 9 cêntimos, quanto custa uma carta com 5 selos? 6 - Se usar apenas selos de 7 cêntimos, quanto custa uma carta com um quinto dos selos? 15
7 É mais barato enviar uma carta com 2 selos de 9 cêntimos e 1 de 7 cêntimos, ou 2 selos de 7 cêntimos e 1 de 9 cêntimos? O Problema das Moedas de um País Imagina um país que só tem dois tipos de moedas, uma com o valor 7 e outra com o valor 9. Será possível pagar uma despesa de 15? Que despesas não podem ser pagas? Resolução 1º Hipótese Paga com 4 moedas de 9 9 + 9 + 9 + 9 = 36 Recebe o troco de 3 moedas de 7 7 + 7 + 7 = 21 36 21 = 15 R: Conseguimos pagar uma despesa de 15, se utilizarmos 4 moedas de 9, que vai fazer um total de 36 e recebermos de troco 3 moedas de 7, ou seja, 21, assim o valor pago será de 15. 2º Hipótese Paga com 6 moedas de 7 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 42 Recebe o troco de 3 moedas de 9 9 + 9 + 9 = 27 42 27 = 15 R: Conseguimos pagar uma despesa de 15, se utilizarmos 6 moedas de 7, que faz um total de 42 e recebermos 3 moedas de 9, ou seja, 27, de troco, dai o valor pago é de 15. Extensão do Tarefa 1 Será possível pagar uma despesa com o dobro do custo de 15? 2 - Será possível pagar uma despesa de 5? 16
3 Será possível pagar uma despesa de 20? 4 Será possível pagar uma despesa de 3? 5- Ás duas moedas que já temos de valor 7 e de valor 9 acrescentamos uma moeda de valor 3. Será possível pagar uma despesa de valor 12? Este tipo de tarefas são executáveis no 4º ano do 1º ciclo dentro do tema Números e Operações, na parte das Operações (multiplicação, soma, fracções) com números naturais, visto que estas pretendem desenvolver a compreensão da adição combinada com a multiplicação no sentido aditivo e combinatório. Trabalha-se principalmente o raciocínio, a comunicação, a compreensão, construção e memorização das tabuadas (7,9), sendo também possível trabalhar o valor da moeda e a exploração de estimativas de somas e produtos. Sendo que a tarefa da moeda está também inserida no conteúdo de medidas e grandezas, devido a ser a moeda que está actualmente em uso. Se efectuarmos algumas alterações no nível de dificuldade, estas tarefas são aplicáveis também no 2º ciclo, no tema dos Números e Operações, no tópico dos números naturais ao nível dos múltiplos e da decomposição dos números, é igualmente esperado que os alunos saibam identificar os múltiplos de um número. Sendo ainda possível com esta tarefa trabalhar as diferentes formas de representação de um número e as relações entre números. Problemas abertos e investigações Actividade 1: Os Guardanapos da Catarina 1 A Catarina vai pôr a secar guardanapos. Porque é uma rapariga organizada, pendura, todos os guardanapos, usando o mesmo processo. Ajuda a Catarina a descobrir quantas molas são necessárias para pendurar 30 guardanapos. 17
Resolução a) Portfólio De Aprendizagem e Ensino da Matemática 1 mola 1 guardanapo 1 x 30 = 30 guardanapos Nº de Nº de molas guardanapos 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 30 30 R: Para pendurarmos 30 guardanapos com 1 mola cada um são precisas 30 molas para pendurar todos os guardanapos. b)2 guardanapos 1 mola 2 15 = 30 guardanapos Nº de Nº de molas guardanapos 2 1 4 2 6 3 8 4 30 15 18
R: Se pendurarmos 2 guardanapos numa mola são precisas 15 molas para pendurarmos os 30 guardanapos. c) 3 guardanapos 1 mola 3 x 10 = 30 guardanapos Nº de Nº de molas guardanapos 3 1 6 2 9 3 12 4 30 30 R: Se pendurarmos 3 guardanapos numa mola para pendurarmos os 30 guardanapos são necessárias 10 molas. d) 5 guardanapos 1 mola 5 x 6 = 30 guardanapos Nº de Nº de molas guardanapos 5 1 10 2 15 3 20 4 25 5 30 6 R: Se pendurarmos 5 guardanapos numa mola, para pendurarmos os 30 guardanapos precisamos de 6 molas. 19
e) 6 guardanapos 1 mola 6 x 5 = 30 guardanapos Nº de Nº de molas guardanapos 6 1 12 2 18 3 24 4 30 5 R: Se pendurarmos 6 guardanapos numa mola para pendurarmos os 30 guardanapos precisamos de 5 molas. f)10 guardanapos 1 mola 10 x 3 = 30 guardanapos Nº de Nº de molas guardanapos 10 1 20 2 30 3 R: Se pendurarmos 10 guardanapos numa mola, para pendurarmos os 30 guardanapos precisamos de 3 molas. 20
g)15 guardanapos 1 mola 15 x 2 = 30 guardanapos Nº de Nº de molas guardanapos 1 15 2 30 R: Se pendurarmos 15 guardanapos numa mola, para pendurarmos os 30 guardanapos precisamos de 2 molas. h)30 guardanapos 1 mola 1 x 30 = 30 guardanapos Nº de Nº de molas guardanapos 1 30 R: Se pendurarmos 30 guardanapos numa mola para pendurarmos 30 guardanapos só precisamos de uma mola. i)2 molas 1 guardanapo 2 x 30 = 60 / 30 + 30 = 60 Nº de Nº de molas guardanapos 1 2 2 4 3 6 4 8 5 10 6 12 21
30 60 R: Para pendurarmos 1 guardanapo precisamos de 2 molas por isso para pendurarmos 30 guardanapos são precisas 60 molas. j)1 guardanapos 2 molas 1 x 30 + 2 = 32 Nº de Nº de molas guardanapos 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 30 32 R: Para pendurarmos 1 guardanapo é preciso 2 molas mas como os guardanapos estão todos juntos para pendurarmos os 30 guardanapos são precisas 32 molas, ou seja, precisamos de 1 mola para cada guardanapo mais as 2 molas que ficam em cada uma das pontas. Extensão da Tarefa - Qual o processo com o qual gastas menos molas? - Qual o processo com o qual gastas o maior nº de molas? 22
2 - Se a Catarina tiver 20 molas quantos guardanapos pode pendurar? Resolução a) 1 mola 1 guardanapo 1 x 20 = 20 guardanapos Nº de Nº de molas guardanapos 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 20 20 R: Se pendurarmos 1 guardanapo em cada mola com 20 molas conseguimos pendurar 20 guardanapos. b) 2 guardanapos 1 mola 2 20 = 40 guardanapos Nº de molas Nº de guardanapos 1 2 2 4 3 6 4 8 5 10 23
20 40 R: Se pendurarmos 2 guardanapos numa mola em 20 molas conseguimos pendurar 40 guardanapos. c) 3 guardanapos 1 mola 3 x 20 = 60 guardanapos Nº de molas Nº de guardanapos 1 3 2 6 3 9 4 12 5 15 20 60 R: se pendurarmos 3 guardanapos numa mola, com 20 molas conseguimos pendurar 60 guardanapos. 3 - A Catarina vai pôr a secar muitos guardanapos. Ajuda a Catarina a descobrir quantas molas não necessárias para pendurar um número qualquer de guardanapos. 24
Resolução Portfólio De Aprendizagem e Ensino da Matemática Se tivermos 10 guardanapos. a) 1 mola 1 guardanapo 1 x 10 = 10 guardanapos Nº de Nº de molas guardanapos 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 10 10 R: Para pendurarmos 1 guardanapos com 1 mola cada um são precisas 10 molas para pendurar 10 guardanapos. b) 2 guardanapos 1 mola 2 5 = 10 guardanapos Nº de Nº de molas guardanapos 2 1 4 2 6 3 8 4 10 5 25
R: Se pendurarmos 2 guardanapos numa mola precisamos de 5 molas para pendurarmos os 10 guardanapos. d) 5 guardanapos 1 mola 5 x 2 = 10 guardanapos Nº de Nº de molas guardanapos 5 1 10 2 R: Se pendurarmos 5 guardanapos numa mola, para pendurarmos os 10 guardanapos precisamos de 2 molas. f) 10 guardanapos 1 mola 10 x 1 = 10 guardanapos Nº de Nº de molas guardanapos 1 10 R: Se pendurarmos 10 guardanapos numa mola, para pendurarmos os 10 guardanapos precisamos de 1 mola. 26
i) Portfólio De Aprendizagem e Ensino da Matemática 2 molas 1 guardanapo 2 x 10 = 20 / 10 + 10 = 20 Nº de Nº de molas guardanapos 1 2 2 4 3 6 4 8 5 10 10 20 R: Para pendurarmos 1 guardanapo são precisas de 2 molas por isso para pendurarmos 10 guardanapos são precisas 20 molas. j) 1 guardanapos 2 molas 1 x 10 + 2 = 12 Nº de Nº de molas guardanapos 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 10 12 27
R: Para pendurarmos 1 guardanapo precisamos de 2 molas mas como os guardanapos estão todos juntos, para pendurarmos os 10 guardanapos, são precisas 12 molas, ou seja, precisamos de 1 mola para cada guardanapo mais as 2 molas que ficam em cada uma das pontas. Extensão da Tarefa - Qual o processo com o qual gastas menos molas? - Qual o processo com o qual gastas o maior nº de molas? Esta tarefa pode ser desenvolvida no 2º/3º ano do 1º ciclo do ensino básico, estando dentro do tema dos Números e Operações, na área que é possível desenvolver as tabuadas e os divisores, consequentemente vai também contribuir para a apreensão de competências transversais, como a comunicação, compreensão. Se por acaso esta tarefa for realizada em grupo, mesmo com os guardanapos e as molas, as competências transversais serão ainda mais desenvolvidas, do que se o professor preferir que a mesma tarefa seja feita individualmente. Actividade 2: Arrumar ovos Se quiseres arrumar um ovo numa embalagem, de quantas maneiras o podes fazer? 28
29 E se tiveres 2 ovos? E 3 ovos, de quantas maneiras podes colocar?
Investiga também de quantas maneiras podes colocar 4, 5 e 6 ovos? 4 ovos 5 ovos 30
6 ovos Portfólio De Aprendizagem e Ensino da Matemática Preencher a tabela seguinte: Ovos na caixa 0 1 2 3 4 5 6 Número de maneiras 0 6 15 20 15 6 1 Tenta tirar conclusões: Por exemplo, o 1 e o 5 são iguais, tem o mesmo número de maneiras de colocar os ovos tal como o 2 e o 4 que também têm o mesmo número de maneiras de colocar os ovos. 31
15 De Março Actividade 3: investigando pares e ímpares 1) Escolhe dois números ímpares e adiciona-os. Que observas? Tenta com mais alguns números. 3 + 3 = 6 5 + 23 = 28 7 + 9 = 16 21 + 51 = 72 Quando se adiciona 2 números ímpares, o resultado dá sempre número par. 2) Escolhe dois números pares e adiciona-os. Que observas? Tenta com mais alguns números. 2 + 2 = 4 6 + 8 = 14 12 + 22 = 34 42 + 60 = 102 Quando se adiciona 2 números pares, o resultado dá sempre número par. 3) Que acontece se escolheres um número par e outro ímpar. Consegues identificar regras? Regista as tuas conclusões. 2 + 3 = 5 15 + 22 = 37 32 + 9 = 41 11 + 8 = 19 Quando se adiciona um número par com um número impar, o resultado é sempre um número ímpar. 32
Investigando um pouco mais 1) Subtrai um número ímpar de qualquer outro ímpar. Que observas? Tenta com mais alguns números. 3 5 = 2 15 7 = 8 21 9 = 12 37 11= 26 Quando se subtrai dois números ímpares, o resultado da sempre um número par. 2) Subtrai um número par de qualquer outro par. Que observas? Tenta com mais alguns números. 4-2 = 2 42-24 = 18 64 16 = 48 102 22 = 80 Quando se subtrai dois números pares, o resultado dá sempre um número par. 3) Que acontece se escolheres um número par e um ímpar? Consegues identificar regras? Regista as tuas conclusões. 8 5 = 3 50 11 = 39 23 16 = 7 77 14 = 63 Quando se subtrai um número par com um número ímpar, o resultado dá sempre um número ímpar. Na minha opinião estas tarefas são propícias e bastante interessantes para trabalhar no 1º ciclo, no 2º/3º ano no tema dos números e operações no sub-tópico dos números naturais, na medida em que é necessária uma noção do que é um número natural, subdividindo depois em números pares e ímpares, sendo estes conceitos 33
igualmente importantes para a resolução de futuras tarefas. Com estas actividades é trabalhada a classificação e ordenação segundo um determinado critério, realiza-se contagens progressivas permitindo assim uma compreensão das várias utilizações do número e identificação de números em contextos do dia-a-dia. Outros aspectos desenvolvidos nestas actividades são as operações de adição e subtracção, que vão permitir chegar a algumas conclusões, que no fundo são quase regras, sobre os números ímpares e os pares. 34
21 De Março Problema Nº 1 No lago de um jardim foi colocado um nenúfar. Se esta espécie de nenúfar se multiplicar de ano a ano (ao fim do 1º ano 2 nenúfares; ao fim do 2º ano 4 nenúfares; ao fim do 3º ano 8 nenúfares; 4º ano 16 nenúfares ), são precisos 10 anos para encher todo o lago. Quantos anos são precisos para encher metade da superfície deste lago? Resolução Nº de Anos Nº de Nenúfares 1 2 2 4 3 8 4 16 5 32 6 64 7 128 8 256 9 512 10 1024 R: Só após 9 anos é que metade da superfície do lago está cheia. Exploração da Tabuada O Raul e o Rui O Raul é o Rui são irmãos gémeos. Na próxima quinta-feira vão fazer 9 anos. O seu avô faz 70 anos no mesmo dia. 35
A mãe dos gémeos já fez 3 bolos, um para cada um dos aniversariantes. As caixas que a mãe dos gémeos comprou tinham 24 velas cada uma. Quantas caixas de velas são preciso comprar para enfeitar os 3 bolos, usando uma vela para cada ano? Explique como chegaste à tua resposta. Podes fazê-lo utilizando palavras, desenhos e contas. Resolução Raul 9 anos - são precisas 9 velas Rui 9 anos - são precisas 9 velas TOTAL DE VELAS = 88 Avô 70 anos - são precisas 70 velas Cada caixa de velas tem 24 velas então: Nº de Caixas Nº de Velas 1 24 2 48 3 72 4 96 5 120 R: Através do constatado na tabela posso verificar que a melhor opção é comprar 4 caixas e ainda vamos ter 8 vela de sobra. Problema 3 A - O Zé tinha 40 maçãs e dividiu-as pelos seus dois amigos. Quantas maçãs coube a cada um? B - O Zé tinha 40 maças e dividiu-as pelos seus dois amigos e por ele próprio. Quantas maçãs coube a cada um dos três? 36
Resolução A 40 : 2 = 20 maçãs R: Cada amigo fica com 20 maçãs. B 40 : 3 = 13 maçãs R: Cada amigo fica com 13 maçãs e vai sobrar uma maçã que pode ser cortada em três partes iguais e dá um 1/3 a cada um deles. Estas tarefas podem ser leccionadas no 3º/4º ano do 1º ciclo do ensino básico, estando dentro do tema Números e Operações, na parte das operações com números naturais onde se trabalha conceitos já aprendidos no 1º e 2º ano de escolaridade, sendo assim possível desenvolver ainda mais os conceitos de adição, subtracção, multiplicação, trabalhando também um pouco da divisão. É muito importante que o professor tenha muita atenção à resolução das crianças, para que possa perceber se adquiriram e compreenderam todos os conceitos, como também verificar se a resposta tem nexo e se deu mesmo resposta e não fez só cálculos. Corrigindo sempre os seus erros e percebendo a maneira de pensar de cada aluno. 37
Preparar uma tarefa 22 De Março Para preparar uma tarefa, seja ela qual for, não é apenas escolher e dar aos alunos para resolverem apenas no sentido matemático em que se está a trabalhar, nem se deve pensar que o único objectivo é que a saibam resolver. Uma tarefa deve ser deve ser escolhida segundo objectivos pré definidos, clarificar bem os conceitos matemáticos existentes na mesma de maneira a compreendelos e saber aplicá-los, é também necessário prever possíveis dificuldades dos alunos, arranjando sempre alternativas de resolução das questões envolvidas, para que seja possível todos compreender, mesmo que seja por caminhos diferentes. Preparar uma tarefa não é só escolhê-la de modo a que os alunos a possam resolver no contexto matemático em que se trabalha nem só saber executá-la. Explorar uma tarefa Para que seja possível explorar uma tarefa deve sempre existir uma fase final, que inclui uma reflexão sobre o desempenho dos alunos, as dificuldades que surgiram e as duvidas que foram colocadas. A reflexão de também conter os objectivos que foram realmente atingidos, estando ou não definidos na escolha da tarefa, sendo assim mais perceptível se a tarefa necessita de adequações ou ajustes para que compra todos os objectivos pensados previamente. Esquema de como preparar uma tarefa Forma como vai ser aplicada e avaliada (matérias a leccionar) Objectivos Duração Preparar uma tarefa Faixa etária dos alunos (conhecimentos que possuem) Saber executá-la Características dos alunos (trabalho na aula, em grupo, a pares, individual) Escolhê-la Material a utilizar Avaliação 38
28 De Março Modelos de carro Numa fábrica há carros de 4 portas (modelo A) e carros de 2 portas (modelo B). Ao todo há 32 carros e 100 portas. Quantos carros do modelo A e quantos do modelo B existem na fábrica? Resolução 1º Forma Modelo A Modelo B Total de portas (100) Total de carros É solução? (4 portas) (2 portas) (32) 16 16 16 x 4 + 16 x 2 = 96 32 Não 15 17 15 x 4 + 17 x 2 =94 32 Não 18 14 18 x 4 + 14 x 2 = 100 32 Sim 19 13 19 x 4 + 13 x 2 = 102 32 Não 10 22 10 x 4 + 22 x 2 = 84 32 Não Ao fim de várias tentativas é chega-se à resposta. 2º Forma Carros com 4 portas Nº de Carros Nº de Portas 1 4 2 8 3 12 4 16 5 20 6 24 7 28 39
8 32 9 36 10 40 11 44 12 48 13 52 14 56 15 60 16 64 17 68 18 72 Carros com 2 portas Nº de Carros Nº de Portas 1 2 2 4 3 6 4 8 5 10 6 12 7 14 8 16 9 18 10 20 11 22 12 24 13 26 14 28 28 + 72 = 100 portas 14 + 18 = 32 carros 40
Variante A Rita gosta muito de carros e motas. Na estante do seu quarto, tem várias miniaturas dos seus modelos preferidos. Ao todo, possui 5 veículos e 14 rodas. Quantas motas e quantos carros tem a Rita, na estante? Nº de Nº de Total de rodas (14) Total de É solução? Carros (4 Motas (2 veículos (5) rodas) rodas) 3 2 3 x 4 + 2 x 2 = 16 5 Não 1 4 1 x 4 + 4 x 2 = 16 5 Não 4 1 4 x 4 + 1 x 2 = 18 5 Não 2 3 2 x 4 + 3 x 2 = 14 5 Sim Após algumas tentativas chega-se á resposta. Tarte de maçã A mãe da Isabel comprou maçãs para fazer uma tarte, mas, no percurso para casa, comeu um sexto do número total de maçãs. Quando chegou a casa, o seu marido comeu um quinto das que a sua esposa trazia. À tarde, a Isabel também quis comer daquele tipo de fruta. Das maçãs que o seu pai deixou, comeu um quarto. Mais tarde, o seu irmão João saciou-se com um terço das restantes e, mesmo antes da mãe da Isabel começar a confeccionar a tarte, a Rita, a mais nova de todos, comeu metade das maçãs que sobravam, deixando três para a desejada sobremesa. 41
Resolução 1º Forma A Rita deixou três para a desejada sobremesa 3 A Rita comeu metade das maçãs que sobravam 3 + 3 O João saciou-se com um terço das restantes 6 + 3 A Isabel, das maçãs que o seu pai deixou, comeu um quarto 9 + 3 O seu marido comeu um quinto das que a sua esposa trazia 12 + 3 A mãe comeu um sexto do nº total de maçãs 15 + 3 Total de maçãs que a mãe da Isabel comprou 18 R: A mãe da Isabel comprou no total 18 maçãs. Cada quadrado vale 3 maçãs. 42
2º Forma 3 6 9 12 15 18 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 R: A mãe da Isabel comprou no total 18 maçãs. Este exercício, para ser resolvido teve de se começar do fim para o princípio, tanto na primeira como na segunda forma. Os cromos de futebol O Fernando colecciona cromos de futebol. Hoje, trouxe para a escola os que tinha repetidos. Ao João ofereceu dois cromos. Dos restantes, deu dois à Maria e ainda ficou com quatro cromos. Quantos cromos repetidos trouxe o Fernando para a escola? Resolução 1º Forma 4 6 8 + 2 + 2 R: O Fernando tinha 8 cromos repetidos. Este exercício, para ser resolvido teve de se começar do fim para o princípio. 43
2º Forma 2 + 2 + 4 = 8 cromos R: O Fernando tinha 8 cromos repetidos. Variante O Fernando colecciona cromos de futebol. Hoje, trouxe para escola os que tinha repetidos. Ao João ofereceu dois cromos. Dos restantes, deu metade à Maria e ainda ficou com quatro cromos. Quantos cromos repetidos trouxe o Fernando para a escola? Resolução 1º Forma 2 + 4 + 4 = 10 cromos R: O Fernando levou para a escola 10 cromos repetidos. 2º Forma 4 8 10 1/2 + 4 2/2 + 2 R: O Fernando levou para a escola 10 cromos repetidos. Este exercício, para ser resolvido teve de se começar do fim para o princípio. Com as actividades dos modelos de carro e os cromos de futebol, pode-se trabalhar o tema números e operações, mais especificamente as operações com números 44
naturais, visto que é necessária a compreensão das operações possíveis de se realizar, sendo também preciso estima somas. Dependendo do grau de dificuldade estas tarefas podem-se aplicar ao 1º/2º ano do 1º ciclo do ensino básico. Já a tarefa da tarte de maçã, apenas se pode realizar no 3º/4º ano do 1º ciclo do ensino básico, pois o seu grau de dificuldade é acrescido, apesar de trabalhar o mesmo tema, sendo também necessário estimar somas, desenvolvendo, igualmente, o cálculo mental e escrito adoptando várias estratégias. Fazendo assim com que os alunos compreendam e realizem algoritmos e resolvam problemas que envolvam as operações em contextos diversificados. Nestas tarefas é possível explorar estratégias de fazer tentativas e testar conjecturas, como também estratégias de resolução do fim para o princípio, indo assim estimular o raciocínio e comunicação matemática dos alunos à medida da explicação dos raciocínios utilizados. 45
Resolução de problemas 4 De Abril O que são problemas? Os problemas são determinados exercícios para ao quais tentamos encontrar uma resolução, mas para que isso seja possível primeiro temos de perceber o que pede e no que consiste o respectivo problema. Após da compreensão passa-se para a elaboração de um plano, para que seja possível passar para a execução do problema, fazendo no fim a verificação de resultados. A resolução de problemas, na minha opinião, é uma metodologia para atingir um objectivo, ou seja, o pretendemos atingir é a solução para esse problema e a resolução, desse mesmo, é o método que nos permite chegar ao nosso objectivo. Para que as crianças ganhem prática na resolução de problemas devemos, então ensinar-lhes como fazer a compreensão do problema, isto é, antes de começar a resolver o problema, identificar o que é conhecido, o que não conhecemos e as condições apresentadas. Depois temos que explicar que é necessário elaborar um plano, ou seja, encontrar as estratégias ou cálculos a fim de encontrar a solução, de seguida é necessário por em prática o plano elaborado e examinar todos os detalhes. O plano é executado até se encontrar a solução, se durante a execução se verificar alguma falha voltamos à fase de planificação. Por fim, pedimos aos alunos que façam uma verificação dos resultados e de todo o processo ate chegar a esse resultado. A melhor maneira de se aprender a resolver problemas é resolvendo muitos, ou seja, pelo menos um por dia, cabendo assim ao professor dar a prática e o auxilio teórico que os alunos precisam, para que o método da resolução de problemas, um dia deixe de ser um dos maiores problemas dos seus alunos. 46
Tipos de Problemas Existem vários tipos de problemas, que costumam estar agrupados em categorias bem diferenciadas, podendo-se considerar essas categorizações importantes quer para os alunos que estão a aprender a resolver problemas quer para o professor que ensina a resolver os problemas, assim segundo Palhares (1997) os tipos de problemas são divididos em 7 categorias: Problemas de processo, que requerem a utilização de estratégias de resolução; Problemas de conteúdo, estes requerem o uso de conhecimentos matemáticos adquiridos há pouco tempo ou ainda não adquiridos totalmente; Problemas de capacidade, que requerem a utilização de capacidades de cálculo mental e estimativa; Problemas tipo puzzle, que requerem o alargamento do espaço de resolução; Problemas de aplicação, estes requerem uma recolha e tratamento de informação; Problemas abertos, que requerem uma escolha prudente entre vários caminhos possíveis; Problemas de aparato experimental, que requerem a utilização de esquemas investigativos. Exemplos de problemas: Problema de processo Dez chefes de tribos índias juntaram-se num acampamento. As suas tendas foram dispostas em forma circular e estavam todas ligadas umas as outras por um caminho directo. Quantos caminhos tinha o acampamento? 47
Problema de conteúdo Portfólio De Aprendizagem e Ensino da Matemática Uma escola recebeu uma rede com 40 metros de comprimento. Com esta rede decidiuse construir uma horta de forma rectangular. Que dimensões deverá ter a sua horta de modo a que a sua área seja maior possível? Por eliminação/dedução O António, o Bernardo, o Carlos, o Diogo, o Ernesto e o Filipe têm, como animais de estimação, um cão, um gato, um peixe, um canário, uma rola e um hamster. (1) O António, o Bernardo e o Filipe não gostam de animais com pêlo. (2) O dono do canário brinca muitas vezes com o António. (3) O dono do peixe tem um ano a mais do que o António e um a menos do que o Filipe. (4) O dono do cão já partiu de férias com o Carlos e com o Ernesto, mas este último só partiria com o dono do gato. Quem é o dono de cada animal? Desenho, diagrama, gráfico ou esquema Um caracol prepara-se para subir um muro de 8 metros de altura. Todos os dias sobe 3 metros, mas de noite escorrega 2 metros. Quantos dias demora a atingir o cimo? Para a resolução de problemas temos que utilizar algumas estratégias e segundo Vale & Pimentel (2004) algumas dessas estratégias são: Descobrir um padrão, onde a solução é encontrada através de generalizações de soluções específicas; Fazer tentativas, em que segundo os dados do problema se tem que encontrar a solução; Trabalhar do fim para o princípio, ou seja começa-se a resolver o problema por aquilo que queremos provar; Usar dedução lógica, onde se consideram todas as hipóteses e se vão eliminando, uma a uma, as que não são possíveis; 48
Portfólio De Aprendizagem e Ensino da Matemática Reduzir a um problema mais simples, aparece, normalmente, associada à descoberta de um padrão; Fazer uma simulação, utilizar objectos para criar uma modelo que represente o problema a ser resolvido; Fazer um desenho, um diagrama, um gráfico ou esquema, porque por vezes um exemplo vale mais que mil palavras; Fazer uma lista organizada ou uma tabela, apenas utilizada para representar, organizar e guardar informação. (in Resolução de Problemas, Leonel Vieira, Valter Cebolo, Fátima Araújo) 49
11 De Abril Problema Supondo que se encontrava à beira de um rio e que tinha em seu poder duas medidas, sem estarem graduadas: - uma de 3 L - outra de 5 L Explique como poderia recolher 4 L de água do rio usando apenas essas duas medidas. Registe todo o processo de resolução. NOTA: No enunciado não está referido onde colocamos a água para fazermos os 4 litros, depreendi então que teria um recipiente de 4 litros apenas para colocar a água. Resolução (1) (5) 3L (3) RIO 1L(2) 5L 3L (4) 4L 1L 1L + 3L = 4L R: Encho primeiro o recipiente de 5 litros e despejo-o no recipiente de 4 litros (1) sobra 1 litro no recipiente de 5 litros(2), de seguida despejo o recipiente de 4 litros no rio (3), e coloco o litro que está no recipiente de 5 litros no recipiente de 4 litros (4). Depois 50
encho o recipiente de 3 litros e despejo-o no recipiente de 4 litros (5). Fico assim com 4 litros e utilizei apenas as duas medidas (3L e 5L) para fazer esta recolha. Visto que no enunciado não menciona onde se coloca os 4 litros pretendidos, este problema poderia ser colocado a alunos do 5º/6º ano, no entanto, se fosse mencionado onde se coloca os 4 litros poderíamos apresentar este problemas aos alunos do 1º ciclo do ensino básico. 51
2 De Maio Raciocínio matemático na aula: Uma questão de confiança? Tarefa 1- Cálcio para os meninos O Manuel contou à Carolina que no dia anterior foi ao médico e que este lhe receitou cálcio. Deverá tomar um comprimido de seis em seis horas. A Carolina riuse. Há uma semana também foi ao médico e começou a tomar um comprimido de cálcio de oito em oito horas. O médico receitou a cada um deles duas caixas com duas placas com 24 comprimidos cada. Tomo mais do que tu! disse o Manuel. A Carolina pensou e respondeu hesitante: Sim mas mas como comecei antes de ti, se calhar parece-me que vamos terminar os comprimidos ao mesmo tempo. Será que é mesmo assim? Resolução Manuel Carolina 1 comprimido de 6 em 6h 24h:6h=4 comprimidos por dia 48 comprimidos:4 por dia=12 dias 1 comprimido de 8 em 8h 24h:8h=3 comprimidos por dia 48 comprimidos:3 por dia=16 dias 52
M C S T Q Q S S D S T Q Q S S D S T Q Q S S D R: Não terminam ao mesmo tempo, terminam com 3 dias de diferença, a Carolina acaba 3 dias antes do Manuel. Esta tarefa pode ser trabalhada no 1º ciclo, talvez num 3º ano, no tema dos números e operações, no tópico das operações com números naturais. Esta tarefa foi realizada por uma turma na qual o professor achava que a resolução de problemas seria a maior dificuldade. Nesta tarefa as capacidades transversais exploradas são a resolução de problemas e o raciocínio matemático. (Texto "Raciocínio matemático na aula: uma questão de confiança?", Educação e Matemática, págs. 34, 35,36 - Novembro/Dezembro 2008
9 De Maio Representações dos alunos. Que raciocínios revelam? Uma das componentes essenciais do trabalho do professor relaciona-se com as experiências de aprendizagem que quer oferecer aos seus alunos, tendo em conta os conteúdos matemáticos em destaque. Este lado do seu trabalho realiza-se, na maior parte das vezes, na escolha de uma tarefa e toda a reflexão feita em seu redor. Desenvolver a capacidade de argumentação é um aspecto essencial do raciocínio, mas muitas vezes os alunos não sentem a necessidade de justificar, escrevendo, processos que utilizaram, para eles é mais do que claro o porquê dos procedimentos usados. A discussão oral permite que este processo melhore e gradualmente se vá reflectir na escrita. As perguntas dos colegas e do professor criam um sentido de audiência para aquilo que escrevem e dizem, assim, vale a pena mostrar como se pensou pois isso é também importante para os outros. Em termos de resultados, se os alunos não tiverem desenvolvido o sentido crítico e não verificarem os resultados, estes podem ser completamente desnecessários para a solução do problema sem que o aluno note autonomamente. Optar por uma estratégia consistente com os números envolvidos no problema é um bom indício do nível de conhecimento matemático dos alunos, mas, é de notar que, a sensibilidade para ver os números e as suas relações de inclusão, e encontrar regularidades numéricas que revelem rapidez e flexibilidade no cálculo, só terá possibilidade de crescer se os alunos tiverem tido a oportunidade de, ao longo da escolaridade, desenvolverem várias estratégias de contagem e de cálculo. Este é um percurso que leva algum tempo e exigente pois é preciso dar tempo aos alunos para pensarem nas suas estratégias, estimular a justificação escrita e proporcionar espaços de discussão colectiva de ideias. A colocação de questões mobilizadoras do raciocínio, que permitam desmontar mal-entendidos, completar ideias, provar afirmações, progredir na compreensão dos conceitos é uma tarefa que exige do professor uma constante 54
interacção e uma consciência muito clara do que deseja que os seus alunos aprendam e do que está em causa em cada situação. Portanto, a resolução de bons problemas, aqueles que têm subjacente conceitos e capacidades que os alunos devem desenvolver, passíveis de serem resolvidos de modos variados, torna-se um recurso privilegiado para promover a aprendizagem da matemática com profundidade. Desenvolver a capacidade de resolução de problemas e o raciocínio faz-se em articulação, mas para isso, tanto para o professor como para os alunos, a atenção não estará apenas na resposta ao problema, mas no modo como se pensa, nas estratégias que se usam, nos conceitos e capacidades que se mobilizam e na maneira como são apresentados e discutidos. Esta é uma abordagem em que o ambiente da turma e a visão que se tem da aprendizagem da matemática desempenham um factor muito importante. A capacidade para explicar e justificar processos de resolução terá mais possibilidades de crescer se o fizer muitas vezes e se aqueles que ouvem e lêem também forem intervenientes: os seus pedidos de esclarecimento, as questões e outras opiniões vão torná-los mais atentos, reflexivos e abertos a críticas, mas o que esperam dos outros também exige um procedimento igual da parte do professor. É este ambiente que tem de ser construído com o passar do tempo, através de uma dinâmica de interacção impressa pelo professor e que irá fazer parte cultura da turma. (Texto "Representações dos alunos. Que raciocínios revelam?", Alice Carvalho, Educação e Matemática págs. 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84 - Novembro/Dezembro 2008) 55
Conclusão Após a realização deste trabalho, consideramos importante a criação de momentos educativos planeados de forma a conseguir avaliar nas crianças os objectivos propostos. Considero também que é fundamental uma pedagogia diferenciada, respeitando assim a individualidade de cada criança bem como o seu ritmo e aquisições de aprendizagem. Reflecti que as crianças vão adquirindo espontaneamente noções matemáticas a partir das vivências do dia-a-dia. O papel da Matemática na estruturação do pensamento, as suas funções na vida corrente e a sua importância para aprendizagens futuras, determina a atenção que lhe deve ser dada ao longo da educação. 56