Introdução ao Estudo de Sistemas Dinâmicos 1 01 Introdução ao Estudo de Sistemas Dinâmicos O estudo de sistemas dinâmicos envolve a modelagem matemática, a análise e a simulação de sistemas físicos de interesse da engenharia, tais como os sistemas mecânicos, elétricos, hidráulicos, pneumáticos e térmicos Também são de particular importância os sistemas híbridos, resultantes da combinação de dois ou mais dos sistemas citados Devemos, entretanto, ressaltar que a teoria dos sistemas dinâmicos pode ser aplicada a outros tipos de sistemas, tais como sistemas biológicos, econômicos, etc Iniciaremos nosso estudo com o conceito de sistema, diferenciando imediatamente um sistema dinâmico de um sistema estático Após apresentarmos os vários sistemas dinâmicos físicos usados em engenharia, conceituaremos excitação e resposta de um sistema e, em seguida, ilustraremos através de um exemplo o procedimento para a modelagem e a análise de um sistema dinâmico Em seguida, depois de abordarmos rapidamente a representação da dinâmica de um sistema por diagramas de blocos, faremos uma classificação didática dos sistemas dinâmicos de acordo com vários critérios Tal classificação é útil por estar muito vinculada matematicamente com a modelagem Por fim, examinaremos alguns tipos de resposta (comportamento) que um sistema dinâmico pode apresentar 1 O QUE É UM SISTEMA? Sistema Conjunto de componentes interconectados, que apresentam certas relações de causa e efeito e que atuam como um todo, com um determinado objetivo É importante diferenciar um sistema estático de um sistema dinâmico O sistema estático é aquele em que as propriedades descritivas do sistema não variam com o tempo, podendo variar espacialmente Já no sistema dinâmico tais propriedades variam no tempo, podendo também variar espacialmente Exemplo de sistema estático: viga carregada estaticamente, isto é, com cargas constantes, pois os deslocamentos de seus pontos variam espacialmente mas não com o tempo Exemplo de sistema dinâmico: a mesma viga carregada dinamicamente, ou seja, com cargas que mudam com o tempo, pois os deslocamentos de seus pontos variam também com o tempo Neste curso estudaremos apenas os sistemas dinâmicos Os sistemas dinâmicos não são necessariamente de natureza física Podemos ter sistemas econômicos, sistemas biológicos, sistemas de informação, sistemas ecológicos, sistemas de trânsito, etc Neste texto, porém, serão tratados exclusivamente os sistemas que mais interessam à engenharia:
Introdução ao Estudo de Sistemas Dinâmicos sistemas mecânicos sistemas elétricos sistemas hidráulicos sistemas térmicos sistemas pneumáticos sistemas híbridos Vamos tecer algumas considerações sobre esses tipos de sistemas sistemas mecânicos São sistemas que possuem massas e/ou inércias, as quais armazenam energia cinética e potencial gravitacional, assim como elementos armazenadores de energia potencial elástica (molas) e dissipadores de energia mecânica (amortecedores) Normalmente, suas entradas são forças, torques ou deslocamentos Também podem ser colocados em movimento através da imposição de condições iniciais, tais como deslocamentos iniciais e/ou velocidades iniciais Um automóvel é um exemplo bastante familiar de um sistema mecânico Ele apresenta uma resposta dinâmica durante acelerações, frenagem, deslocamentos em curvas, passagens sobre irregularidades do terreno, etc Uma aeronave em vôo também constitui um exemplo de sistema mecânico: ela tem uma resposta dinâmica às mudanças de velocidade, altitude e manobras Estruturas de edifícios podem apresentar uma resposta dinâmica a carregamentos externos, tais como vento, tremores de terra, etc sistemas elétricos Normalmente são constituídos por circuitos elétricos que possuem componentes passivos, tais como resistores (dissipadores de energia elétrica), capacitores e indutores (armazenadores de energia elétrica), os quais são excitados por geradores de voltagem ou corrente Já os circuitos eletrônicos envolvem também o emprego de transistores e amplificadores Devido à disponibilidade e ao controle que temos sobre a energia elétrica, os sistemas elétricos são os que mais estão presentes na nossa vida diária: circuitos elétricos domésticos, motores elétricos, receptores de TV, rádios, aparelhos de som, computadores, etc sistemas fluidos Classificam-se em dois grandes grupos, conforme a natureza do fluido utilizado: sistemas hidráulicos, quando o fluido de trabalho é um líquido, tal como água ou óleo, e sistemas pneumáticos, quando o fluido de trabalho é um gás, tal como ar, nitrogênio, etc São constituídos por orifícios, restrições, válvulas de controle (dissipadores de energia), reservatórios (armazenadores de energia), tubulações (indutores) e atuadores excitados por geradores de pressão ou escoamento de um fluido O sistema de abastecimento de água de um edifício é um exemplo de um sistema fluido (mais especificamente, é um sistema hidráulico do tipo sistema de nível de líquido), no qual o nível da água do reservatório tem uma resposta dinâmica em função da quantidade de água que é bombeada para o reservatório e da quantidade de água que é consumida no prédio O escoamento de ar através de uma cavidade em um tubo causará uma resposta dinâmica (um tom acústico) O sistema de freio hidráulico de um automóvel, o sistema de distribuição de ar condicionado de um escritório, o escoamento da mistura ar-combustível do sistema de alimentação de um motor de combustão interna, etc, constituem exemplos de sistemas fluidos
Introdução ao Estudo de Sistemas Dinâmicos 3 sistemas térmicos Possuem componentes que oferecem resistência térmica à transferência de calor (por condução, convecção e radiação) e componentes que apresentam a propriedade de capacitância térmica (armazenamento de energia térmica) quando excitados por uma diferença de temperatura ou um fluxo de calor Um sistema de aquecimento de uma casa tem uma resposta dinâmica, conforme a temperatura ambiente aumente até alcançar a temperatura desejada sistemas híbridos São sistemas que combinam dois ou mais dos tipos de sistemas citados anteriormente A maioria dos sistemas dinâmicos aplicados em engenharia são sistemas híbridos Conforme a combinação, podemos ter, dentre outros: o o o o sistemas eletromecânicos: empregam componentes eletromagnéticos que convertem energia elétrica em mecânica Exemplos: alto-falante, atuador solenóide, motor elétrico, etc sistemas fluidomecânicos: empregam componentes que convertem energia hidráulica ou pneumática em energia mecânica Exemplos: macaco hidráulico, servo-hidráulico usado para controle do vôo de um avião,cilindro pneumático, etc sistemas termomecânicos: empregam componentes que convertem energia térmica em energia mecânica Exemplos: motor de combustão interna, motor a jato, turbina a vapor, etc sistemas eletrotérmicos: empregam componentes que convertem energia elétrica em térmica Exemplos: aquecedor elétrico doméstico, aquecedor elétrico de água, etc EXCITAÇÃO E RESPOSTA Quando solicitado por uma dada excitação, o sistema exibe um certo comportamento, chamado de resposta Outros termos muito empregados: sistema = processo = planta excitação = entrada = input resposta = saída = output 3 ANÁLISE DINÂMICA A Análise Dinâmica é o estudo da relação de causa e efeito entre excitação e resposta de um sistema Ela se processa nas seguinte etapas:
Introdução ao Estudo de Sistemas Dinâmicos 4 1 Representar o sistema real na forma de diagrama (modelo físico) e definir os parâmetros do sistema e as variáveis envolvidas Estabelecer hipóteses simplificadoras Escrever as equações para cada componente do sistema, a partir de equações constitutivas adequadas 3 A partir de Leis Físicas, de acordo com a natureza do sistema, obter o modelo matemático do mesmo 4 Resolver o modelo matemático (as equações do sistema) e comparar o resultado teórico obtido com resultados experimentais Se a discrepância for pequena, pode-se aceitar o modelo; caso contrário, modificar o modelo e refazer a análise Inicialmente (etapa 1), devemos identificar o sistema a ser modelado e analisado Como exemplo ilustrativo, vamos considerar um sistema mecânico real constando de um pêndulo simples, no qual temos uma massa m, suposta concentrada em um ponto, ligada à estrutura fixa por um fio inextensível de comprimento L Consideremos que, ao serem impostos um deslocamento angular inicial e uma velocidade inicial ao sistema (condições iniciais), o mesmo oscilará dentro de um plano vertical, sendo o seu movimento descrito, a qualquer instante, por uma coordenada angular θ(t) Também vamos desprezar as perdas por atrito na articulação e considerar a inexistência de resistência aerodinâmica A fig 1 ilustra o que foi dito Fig 1 - Pêndulo simples Na etapa 1, portanto, foram definidos os parâmetros do sistema (m e L) e a variável θ(t) Também foram adotadas hipóteses simplificadoras (massa m concentrada em um ponto, comprimento do fio L constante, oscilação dentro de um plano vertical, desprezadas as perdas por atrito na articulação e atrito com o ar) A adoção de hipóteses simplificadoras é imperativa na análise dinâmica, pois facilita o lado matemático Entretanto, devemos ter muito cuidado ao
Introdução ao Estudo de Sistemas Dinâmicos 5 estabelecer tais hipóteses, pois deve haver um compromisso entre simplicidade e precisão: o modelo deve ser o mais simples possível mas deve reter as características essenciais do sistema real Normalmente, quando fazemos a verificação do modelo e constatamos que existe uma discrepância muito grande entre os resultados teóricos e experimentais, a causa do problema reside na adoção de simplificações inadequadas A seguir (etapas e 3), devemos escrever as equações para os componentes do sistema e para o sistema como um todo Para os componentes devemos usar equações constitutivas Uma equação constitutiva é uma relação de causa e efeito, muitas vezes estabelecida experimentalmente, entre duas ou mais variáveis descritivas Exemplos: Lei de Ohm (e = Ri), Lei de Hooke (σ = Eε), Lei dos Gases Perfeitos (p = ρrt), etc Aplicando leis físicas adequadas, como as Leis de Newton, de Kirchhoff, de Fourier, etc, chegamos normalmente a equações diferenciais que relacionam matematicamente as variáveis do modelo com as propriedades do modelo e com o tempo No nosso exemplo, usamos a a Lei de Newton para o movimento de rotação em torno do centro de oscilação (também conhecida como Equação dos Momentos ou Equação de Euler) Fazendo isso, conforme estudaremos mais tarde, encontramos para modelo matemático a equação diferencial não linear g (1) θ + sen θ = 0 L onde g é a aceleração da gravidade e onde foi adotada a notação θ = dθ, dt d θ θ =, etc dt O modelo matemático assim obtido deve ser agora resolvido (etapa 4), para que obtenhamos o comportamento (a resposta) do sistema Tal solução pode ser feita analiticamente ou numericamente Se o modelo matemático for relativamente simples, como no caso de uma equação diferencial ordinária linear (EDOL), devemos preferir uma solução analítica, a qual é exata Entretanto, se o modelo for mais complicado, como no caso de uma equação diferencial não-linear, podemos apelar para uma solução numérica, a qual é aproximada Felizmente, hoje em dia dispomos de muitos programas de computador que permitem essa última solução, como o MatLab, o Simulink e o VisSim Tais softwares permitem, também, simular o comportamento através de gráficos nos quais podemos visualizar, por exemplo, o deslocamento e a velocidade em função do tempo Uma outra opção da qual podemos dispor é a chamada linearização do sistema em torno de um ponto de operação No nosso exemplo podemos observar que, para pequenas oscilações em torno da posição vertical θ = 0 (o ponto de operação), o ângulo θ em radianos tem aproximadamente o mesmo valor que sen θ O leitor pode verificar isso em sua calculadora para o intervalo (-π/6 < θ < π/6) Então, considerando sen θ θ nesse intervalo, podemos rescrever a eq (1) como g () θ + θ = 0 L que é uma EDOL de a ordem com coeficientes constantes e homogênea, a qual é de fácil solução analítica: g θ0 g (3) θ (t) = θ0 cos t + sen t L g L L
Introdução ao Estudo de Sistemas Dinâmicos 6 0 onde θ 0 e θ são as condições iniciais do problema, ou seja, o deslocamento inicial e a velocidade inicial que são as causas do movimento pendular Uma vez obtido o comportamento do sistema, através da solução do modelo matemático, devemos compará-lo com o comportamento obtido experimentalmente Se tal comparação for satisfatória, podemos aceitar o modelo Caso contrário, devemos refinar o modelo e repetir o procedimento, até encontrarmos um modelo satisfatório 4 PROJETO Projeto é a criação de um sistema que, ao ser solicitado por excitações conhecidas, apresente respostas especificadas (desejadas) O Projeto envolve praticamente todas os estágios da Análise, a qual, agora, deverá ser repetida várias vezes O projeto não é único, podendo haver vários projetos apresentando desempenho satisfatório 5 REPRESENTAÇÃO POR DIAGRAMA DE BLOCOS O diagrama de blocos é a representação gráfica da relação entre entrada e saída, conforme ilustra a fig : Fig - Diagrama de Blocos Como exemplo ilustrativo, consideremos o vôo vertical de um foguete balístico (sem controle), fig 3: sistema: o próprio foguete Excitações: força gravitacional (peso) F g e resistência aerodinâmica F d resposta: podemos considerar a altitude h(t), ou a velocidade v(t), ou ambas Fig 3 - Vôo Vertical de um Foguete Balístico fig 4: Em termos de diagrama de blocos, podemos representar o sistema acima pelo diagrama da
Introdução ao Estudo de Sistemas Dinâmicos 7 Fig 4 - Diagrama de Blocos 6 CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS DINÂMICOS Apresentamos, a seguir, uma classificação dos sistemas dinâmicos de acordo com vários critérios Apesar de didática, ela é importante porque revela uma ligação matemática com a modelagem 61 SISTEMAS COM PARÂMETROS CONCENTRADOS E COM PARÂMETROS DISTRIBUÍDOS No desenvolvimento do modelo matemático é necessário identificar os componentes do sistema e determinar as suas características individuais Tais características são governadas por leis físicas (Leis de Newton, de Kirchhoff, de Fourier, etc, conforme a natureza do sistema) e são descritas em termos dos chamados parâmetros (ou propriedades) do sistema Os sistemas podem ser divididos em duas grandes classes, conforme a natureza de seus parâmetros: aqueles cujos parâmetros não dependem das coordenadas espaciais, chamados sistemas com parâmetros concentrados, e aqueles cujos parâmetros dependem das coordenadas espaciais, denominados sistemas com parâmetros distribuídos No primeiro caso, a excitação e a resposta dependem apenas do tempo, logo são descritos por equações diferenciais ordinárias; já no caso de parâmetros distribuídos, a excitação e a resposta dependem do tempo e das coordenadas espaciais, logo são descritos por equações diferenciais parciais (mais de uma variável independente) Como exemplo do primeiro caso, citamos um conjunto de discos montados em um eixo cuja massa é pequena em comparação com as massas dos discos, logo podemos concentrar nos discos as massas dos eixos Já uma laje constitui um exemplo de segundo caso, pois vemos nitidamente que o parâmetro massa está distribuído ao longo das coordenadas espaciais Neste curso serão estudados exclusivamente os sistemas com parâmetros concentrados 6 SISTEMAS VARIANTES NO TEMPO E INVARIANTES NO TEMPO No modelo matemático, ié, nas equações diferenciais, os parâmetros do sistema aparecem sob forma de coeficientes Se os coeficientes são constantes, dizemos que o sistema é invariante no tempo; se não, o sistema é considerado variante no tempo O pêndulo simples analisado anteriormente constitui um exemplo de sistema invariante no tempo Já um foguete na sua fase propulsada é um sistema variante no tempo, pois o mesmo perde massa durante a queima de combustível Neste curso serão estudados apenas os sistemas invariantes no tempo 63 SISTEMAS LINEARES E NÃO LINEARES
Introdução ao Estudo de Sistemas Dinâmicos 8 Uma propriedade do sistema que tem profundas implicações na análise é a linearidade Consideremos a fig 5, na qual está expressa a relação entre a entrada r(t) e a saída c(t) sob forma de diagrama de blocos: Fig 5 Entrada e Saída de um Sistema Consideremos, também, dois pares de entrada e saída, r 1 (t), c 1 (t) e r (t), c (t), conforme fig 6 (a) e (b) Então, para o mesmo sistema, seja a entrada r 3 (t), fig 6 (c), uma combinação linear de r 1 (t) e r (t): (4) r 3 (t) = α 1 r 1 (t) + α r (t) onde α 1 e α são constantes Fig 6 Sistema Linear Se a saída c 3 (t) representa uma combinação linear de mesma forma, ié, se (5) c 3 (t) = α 1 c 1 (t) + α c (t) então dizemos que o sistema é um sistema linear Caso contrário, ié, se (6) c 3 (t) # α 1 c 1 (t) + α c (t) então dizemos que se trata de um sistema não-linear Em outras palavras, para um sistema linear, respostas a diferentes excitações podem ser obtidas separadamente e depois combinadas linearmente, o que constitui o Princípio da Superposição, que é o princípio fundamental da Teoria dos Sistemas Lineares A grande vantagem de trabalhar com sistemas lineares é que o modelo matemático dos mesmos é descrito por um sistema de Equações Diferenciais Lineares, que são de fácil solução analítica Já o modelo de sistemas não lineares é descrito por Equações Diferenciais Não Lineares, as quais são de difícil solução analítica (ou mesmo impossível) Nesse caso, temos duas opções: ou impomos certas hipóteses simplificadoras (se forem exeqüíveis) que conduzam à linearização do sistema, ou apelamos para métodos numéricos aproximados, como os métodos de Euler, Runge-Kutta, etc, os quais, felizmente, já estão implantados em muitos softwares de simulação, tais como MatLab, VisSim, etc
Introdução ao Estudo de Sistemas Dinâmicos 9 Conforme veremos mais tarde, um sistema linear com parâmetros concentrados com uma só entrada e uma só saída (sistemas SISO = Single Input Single Output) tem por modelo matemático uma só Equação Diferencial Ordinária Linear (EDOL) do tipo n n- 1 (7) d c(t) d c(t) d c(t) a0 + a + + a 1 + a c(t) = r(t) n 1 n- 1 n- n dt dt dt onde c(t) é a saída, r(t) é a entrada e os coeficiente a i são os parâmetros do sistema A equação acima representa uma relação entre entrada e saída para o sistema Notemos que a entrada r(t) aparece no membro direito da EDOL, enquanto que a saída c(t) e suas derivadas estão presentes no membro esquerdo, assim como as propriedades do sistema Podemos, neste ponto, definir um operador diferencial linear D(t) como n n- 1 + n d d d (8) D(t) = a0 a1 + + a 1 n- 1 + a n n- dt dt dt e reescrever a EDOL do sistema como (9) D(t)c(t) = r(t) que pode ser assim representada em diagrama de blocos: Fig 7 Operador Diferencial Linear A eq (9) indica que a excitação r(t) pode ser obtida operando sobre a resposta c(t) o operador D(t), onde D(t) difere de sistema para sistema, já que os coeficientes a i são os parâmetros do sistema, os quais traduzem as características dinâmicas do sistema Na análise, entretanto, temos interesse em determinar a resposta a uma dada excitação, isto é, achar c(t) para uma determinada r(t) Isso pode ser expresso matematicamente por (10) c(t) = D -1 (t) r(t) onde o operador D -1 (t) pode ser interpretado como o inverso do operador D(t) O operador D -1 (t) recebe o nome de operador integral linear A eq (10) pode ser representada pelo diagrama de blocos da fig 8: Fig 8 Operador Integral Linear No nosso curso trataremos apenas dos sistemas lineares e dos sistemas não lineares que possam ser linearizados em torno de um ponto de operação 64 SISTEMAS ATIVOS E SISTEMAS PASSIVOS Um sistema físico com fonte interna de energia, como um circuito hidráulico no qual está inserido uma bomba, é chamado sistema ativo Caso contrário, ele será um sistema passivo Como
Introdução ao Estudo de Sistemas Dinâmicos 10 exemplo de sistema passivo, podemos citar um circuito elétrico RLC sobre o qual não está atuando nenhuma fonte de tensão ou de corrente No nosso curso trataremos os dois tipos de sistemas 65 SISTEMAS CONTÍNUOS E SISTEMAS DISCRETOS Se um sistema submetido a uma entrada contínua no tempo, r(t), apresentar uma saída também contínua, c(t), ele é chamado de sistema contínuo e o seu modelo matemático será constituído por equações diferenciais Por outro lado, se um sistema submetido a uma entrada discreta no tempo, {r k } (uma seqüência de números), apresentar uma saída também discreta, {c k } (outra seqüência de números), ele é chamado de sistema discreto e o seu modelo matemático será constituído por equações a diferenças finitas No nosso curso trataremos os dois tipos de sistemas 7 RESPOSTA DO SISTEMA Para obter a resposta do sistema, ou seja, o seu comportamento quando submetido a uma excitação ou a condições iniciais (tais como deslocamento inicial e/ou velocidade inicial), basta resolver a equação diferencial do modelo matemático Para o caso de sistemas lineares invariantes no tempo, a equação diferencial é linear com coeficientes constantes, os quais representam os parâmetros do sistema A solução de uma equação diferencial consiste de duas partes: a solução homogênea e a solução particular A solução homogênea corresponde ao caso em que a excitação externa é nula, podendo o sistema entrar em movimento somente quando lhe forem impostas condições iniciais Se não existirem condições iniciais e nem excitações externas, o sistema permanece em repouso Em Engenharia, é costume chamar a solução homogênea de resposta livre ou resposta natural Por outro lado, a solução particular é a parte da resposta devida inteiramente à excitação externa, considerando as condições iniciais nulas Em Engenharia, é costume chamar a solução particular de resposta forçada No caso de sistemas lineares, podemos invocar o Princípio da Superposição dos Efeitos para combinar a resposta livre com a resposta forçada, obtendo a resposta total: Resposta Total = Resposta Livre + Resposta Forçada A natureza da resposta depende da excitação utilizada, assim como das características do sistema dinâmico A esse respeito, é conveniente distinguir entre resposta permanente e resposta transiente
Introdução ao Estudo de Sistemas Dinâmicos 11 A resposta permanente é aquela em que o sistema atinge um certo estado de equilíbrio, tal como uma resposta constante ou uma resposta periódica que se repete indefinidamente Matematicamente, é a parte da resposta total que permanece quando se faz o tempo tender ao infinito Já a resposta transiente depende fortemente do tempo: matematicamente, é a parte da resposta total que desaparece quando se faz o tempo tender ao infinito No que diz respeito ao tipo de excitação, podemos dizer que a resposta permanente ocorre no caso de excitação harmônica ou periódica, enquanto que a resposta transiente ocorre no caso de outras excitações que não as mencionadas A natureza da excitação afeta também a escolha do método a ser utilizado na determinação da resposta No caso de excitação harmônica ou periódica, é vantajoso estudar a resposta permanente no domínio da freqüência, a qual é conhecida como resposta em freqüência Já para os demais tipos de excitação, é mais conveniente estudar a resposta transiente no domínio do tempo No nosso curso faremos ambos os estudos EXERCÍCIOS 1 Dadas as equações diferenciais abaixo, classificá-las, seguindo o exemplo do item a): a) ẋ = 5t : EDOL de 1 a ordem, coeficientes constantes, não homogênea b) x+ 3x+ 9x = sen5t : c) x+ 3x+ 9x = 0 : d) x+ (3t 1) x+ 9x = 0 : e) x+ (3t 1) x+ 9x = 3u(t) : f) 9 y(x, t) y(x, t) = : x t Um sistema de nível de líquido, tal como a caixa d água de uma residência, é modelado matematicamente pela equação diferencial de 1 a g 1 ordem h + h = q i(t), onde A é a área da RA A seção reta do reservatório (constante), R é a resistência hidráulica do sistema (constante), g é a aceleração da gravidade (constante), q i (t) é a vazão volumétrica de água que entra no reservatório (excitação ou entrada do sistema) e h(t) é a altura instantânea de líquido dentro do reservatório, em relação ao fundo do mesmos Admitindo que o reservatório inicialmente estava vazio e que a vazão q i = Q é constante, use seus conhecimentos de Cálculo para resolver a equação diferencial e assim encontrar a resposta no tempo h(t), ou seja, como varia a altura do nível de atua com o tempo Esboce um gráfico da resposta h(t) QRA t Resp: h (t) = (1 e RA ) g g
Introdução ao Estudo de Sistemas Dinâmicos 1 3 Usando seus conhecimentos de Cálculo, demonstre que a eq (3) é a solução da eq (), ambas do texto 4 Suponha que a resposta de um sistema mecânico seja dada por x(t) = e -t e -3t + sent Achar a resposta transiente e a resposta permanente Solução A resposta transiente é dada por e -t e -3t, pois vemos claramente que ela tende a desaparecer à medida que o tempo cresce Já a resposta permanente é dada por sent, a qual não tende a desaparecer à medida que o tempo cresce 5 Com relação ao Exercício, identificar a resposta permanente 6 A resposta total de um sistema mecânico de segunda ordem submetido a um deslocamento inicial x 0 e a uma velocidade inicial x é dada pela equação ςω ςω x + x0 n t n 0 x(t) = e x cos ω t + sen ω t 0 d d, onde ω n, ω d e ζ são constantes do sistema, a ω d serem definidas mais tarde Pedem-se: (a) É a resposta acima livre ou forçada? Por quê? (b) Identificar a resposta transiente e a resposta permanente 0