06-Mecânica plicada curso de ilotagem ENIDH Elementos de Estática Teto de apoio 6 Momento de uma força ou sea momento = força braço e tratar o momento como uma grandea escalar. Em Estática consideram-se forças e momentos. No que se segue define-se momento de uma força em relação a um ponto, momento de uma força em relação a um eio e momento de um binário. a) Momento em relação a um ponto O momento de uma força em relação a um ponto é uma grandea vectorial que "mede" o efeito giratório da força em torno do ponto. figura 6.ostra um plano no qual eistem uma força, a sua linha de acção e um ponto. o vector O chama-se vector ligação. b m () O igura 6. fórmula (6.3) também define a equação dimensional de um momento [M] = [][L] = [L]. É habitual definir os sentidos da rotação dos momentos com a seguinte convenção figura 6. sentido positivo sentido dos ponteiros do relógio sentido negativo sentido contrário + - rotação positiva igura 6. rotação negativa Demonstra-se que (teorema de Varignon) que o momento da resultante de um sistema de forças complanares, em relação a um ponto, é igual à soma dos momentos das forças componentes em relação a esse ponto. O momento da força com o produto eterno de em relação ao ponto define-se pelo vector de ligação O m ( ) O (6.) O vector momento está representado na figura 6. com duas sectas. Sendo um produto eterno apresenta as seguintes características:. direcção: perpendicular ao plano sentido: definido com a regra do saca-rolhas intensidade: m O sen( ) (6.) Na fórmula (6.) o produto O sen( ) representa a distância do ponto à linha de acção da força e está representado na figura pelo comprimento b. O segmento de comprimento b chama-se braço da força relativamente ao ponto O. epressão (6.) é usual escrever-se M = b (6.3) Estatica-Teto-06-07.doc G.
06-Mecânica plicada curso de ilotagem ENIDH Elementos de Estática Teto de apoio Eemplo 6. Eemplo 6.3 sequência mostrada na figura E-6.ostra como calcular o momento da força N relativamente ao ponto (alínea a)). Considerar a linha de acção da força (alínea b)). Traçar o braço na perpendicular de para a linha de acção da força (alínea c)). Se o comprimento do braço for, por eemplo, 0,8 m o momento calculado com (6.3) vale M = N 0,8 m = 9,6 N.m. ara determinar o sentido da rotação (alínea d)), desloca-se a força, ao longo da sua linha de acção, para a etremidade do braço e define-se a rotação do par força-braço. Neste eemplo o sentido da rotação do momento é o sentido da rotação dos ponteiros do relógio. sequência mostrada na figura E-6.3 mostra como calcular o momento da força 60 N relativamente ao ponto (alínea a)). Considerar a linha de acção da força (alínea b)). Traçar o braço na perpendicular de para a linha de acção da força (alínea c)). Se o comprimento do braço for, por eemplo, 30 cm o momento calculado com (6.3) vale M = 60 N 30 cm = 4800 N.cm. ara determinar o sentido da rotação (alínea d)), desloca-se a força, ao longo da sua linha de acção, para a etremidade do braço e define-se a rotação do par força-braço. Neste eemplo o sentido é o sentido da rotação dos ponteiros do relógio. N N b = 0,8 m a) b) c) d) igura E-6. 60 N a) b) c) d) igura E-6.3 60 N b = 30 cm Eemplo 6.4 Eemplo 6. sequência mostrada na figura E-6. mostra como calcular o momento da força 5 N relativamente ao ponto (alínea a)). Considerar a linha de acção da força (alínea b)). Traçar o braço na perpendicular de para a linha de acção da força (alínea c)). Se o comprimento do braço for, por eemplo,,5 m o momento calculado com (6.3) vale M = 5 N,5 m = 8,75 N.m. ara determinar o sentido da rotação (alínea d)), desloca-se a força, ao longo da sua linha de acção, para a etremidade do braço e define-se a rotação do par força-braço. Neste eemplo o sentido é contrário ao sentido da rotação dos ponteiros do relógio. sequência mostrada na figura E-6.4 mostra como calcular o momento da força 0,8 kn relativamente ao ponto (alínea a)). Considerar a linha de acção da força (alínea b)). Traçar o braço na perpendicular de para a linha de acção da força (alínea c)). Se o comprimento do braço for, por eemplo, 5 m o momento calculado com (6.3) vale M = 0,8 kn 5 m = 9 kn.m. ara determinar o sentido da rotação (alínea d)), desloca-se a força, ao longo da sua linha de acção, para a etremidade do braço e define-se a rotação do par força-braço. Neste eemplo o sentido é contrário ao sentido da rotação dos ponteiros do relógio. 0,8 kn b = 5 m 0,8 kn 5 N 5 N b =,5 m a) b) c) d) a) b) c) d) igura E-6.4 igura E-6. Estatica-Teto-06-07.doc G. 3
06-Mecânica plicada curso de ilotagem ENIDH Elementos de Estática Teto de apoio Eemplo 6.5 b) Momento em relação a um eio sequência mostrada na figura E-6.5 mostra como calcular o momento da força 60 N relativamente ao ponto (alínea a)). figura 6.3 mostra uma força e um eio. Considerar a linha de acção da força (alínea b)). Traçar o braço na perpendicular de para a linha de acção da força (alínea c)). Se o comprimento do braço for, por eemplo, 0 mm o momento calculado com (6.3) vale M = 4 N 0 mm = 40 N.mm. m () ara determinar o sentido da rotação (alínea d)), desloca-se a força, ao longo da sua linha de acção, para a etremidade do braço e define-se a rotação do par força-braço. Neste eemplo o sentido é contrário ao sentido da rotação dos ponteiros do relógio. 4 N Eemplo 6.6 retende-se calcular o momento da força N relativamente ao ponto (alínea a)). Considerar a linha de acção da força. Neste caso o braço tem comprimento ero porque o ponto pertence à linha de acção da força. O momento vale ero. N b = 0 mm a) b) igura E-6.6 4 N a) b) c) d) igura E-6.5 ara definir o momento da força em relação ao eio considera-se um plano qualquer, perpendicular ao eio e com intersecção no ponto. força na componente decompõe-se paralela ao eio e na componente paralela ao plano. componente não "roda" em torno do eio pelo que não produ momento. componente b produ momento com braço b. ssim, calcular o momento em relação a um eio equivale ao cálculo em relação a um ponto com intensidade m ( ) b igura 6.3 (6.4) O momento de uma força em relação a um eio é ero se a força for paralela ao eio ou se a sua linha de acção for concorrente com o eio. Estatica-Teto-06-07.doc G. 4
06-Mecânica plicada curso de ilotagem ENIDH Elementos de Estática Teto de apoio c) Momento de um binário Eemplo 6.7 Um binário é um sistema de duas forças estritamente paralelas com igual intensidade e sentidos contrários. s duas forças na figura 6.4, com distância d entre elas, constituem um binário. 30º 00 N 4 m igura E-6.7.a ara determinar o momento M produido por um binário considere-se um ponto qualquer nas condições da figura e calcule-se os momentos produidos pelas duas forças relativamenta a ou sea M = (d + d ) d = d. d igura 6.4 O momento produido por um binário é independente do ponto e é dado pelo produto de uma das forças pela distância entre elas, ou sea M binário = d (6.5) d Calcular o momento da força 00 N relativamente ao ponto (figura E-6.7.a). figura geométrica é um rectângulo. s distâncias conhecidas referem-se a segmentos que podem ser considerados horiontais e verticais sendo a direcção da força inclinada. Nestas condições pode ser vantaoso decompor a força numa componente horiontal, 00cos(30º) = 87 N e numa componente vertical 00sen(30º) = 50 N, como é mostrado na figura E-6.7.b. Também estão representados os braços relativamente ao ponto. 50 N 87 N 4 m braço para 50 N braço para 87 N igura E-6.7.b O momento calcula-se com M = + 50 N 4 m 87 N = + 3 N.m respeitando os sinais convencionados. Resposta: força de 00 N produ um momento, em relação ao ponto, de 3 N.m no sentido dos ponteiros do relógio. Estatica-Teto-06-07.doc G. 5
06-Mecânica plicada curso de ilotagem ENIDH Elementos de Estática Teto de apoio Eemplo 6.8 placa rectângular da figura E-6.8.a é suposta homogénea e pesa 0 N por cada metro quadrado. Tem aplicadas as forças 00 N, 50 N e 00 N e o momento 300 N.m. a) Calcular o momento resultante, em relação ao ponto. b) Calcular a força resultante e situá-la relativamente ao ponto. da alínea a) O peso total da placa obtém-se multiplicando a área por 0 N/m, ou sea, m 4 m 0 N/m = 60 N. Esta força aplica-se no centro de gravidade do rectângulo e tem um braço de m em relação ao ponto. rodu um momento negativo 60 N m figura E6.8.b.,8 m 00 N,8 m 50 N 87 N 30º 60 N 00 N 60 N 00 N, m igura E-6.8.a, m 300 N.m força de 00 N á foi decomposta no eemplo 6.7. força 00 N tem um braço de, m relativamente ao ponto e produ um momento 00 N, m rodando no sentido positivo. 50 N,5 m 300 N.m 50 N,5 m igura E-6.8.b Resposta à alínea a) O momento resultante, em relação ao ponto, tem intensidade 58 N.m e roda no sentido dos ponteiros do relógio. da alínea b) Representando a intensidade da resultante por R, as componentes em e são R = + 87 N 50 N = 63 N R = + 50 N + 00 N 60 = + 90 N R ( 63 N) ( 90 N) 63 N cos( ) 0N 90 N cos( ) 0N 0 N 5º 35º resultante está representada na figura E-6.8.c. ara situar R, relativamente ao ponto, calcula-se o braço necessário para que a resultante 0 N produa o momento 58 N.m ou sea 0 N b = 58 N.m b =,44 m 0 N Resposta à alínea b) força resultante tem intensidade 0 N. linha da acção fa com os eios e ângulos de 5º e 35º respectivamente. Dista,44 m do ponto. 35º 5º igura E-6.8.c 58 N.m b =,44 m força 50 N tem um braço de,5 m resultando o momento 50 N,5 m no sentido positivo. O momento 300 N.m tem rotação negativa. Representando por M o momento total em relação ao ponto, calcula-se M = 87 + 504 + 00, 60 + 50,5 300 = + 58 N.m mostrando-se uma representação na figura E-6.8.c. Estatica-Teto-06-07.doc G. 6
06-Mecânica plicada curso de ilotagem ENIDH Elementos de Estática Teto de apoio 7 Condições de equilíbrio Um corpo sólido está em equilíbrio, se o conunto de forças e de momentos aplicados tiverem resultante nula, as respectivas resul- ou sea, representando por tantes R corpo sólido em equílibrio e M R 0 M 0 Estas duas equações vectoriais desdobram-se, no caso geral, em seis equações escalares. soma das forças em, em e em deverá ser nula. O mesmo para os momentos em torno de, de e de. 7. Caso geral igura 7. 0 0 0 M 0 M 0 M 0 s seis equações de equilíbrio gerais reduem-se de acordo com cada caso particular. 7. orças com a mesma linha de acção. 7.4 orças não complanares e linhas de acção concorrentes num mesmo ponto igura 7.4 7.5 0 0 0 orças complanares e linhas de acção não concorrentes igura 7.5 0 0 M 0 7.6 orças complanares e estritamente paralelas igura 7.6 0 M 0 7.3 igura 7. 0 orças complanares e concorrentes num mesmo ponto 0 0 7.7 orças não complanares e paralelas 0 M 0 M 0 igura 7.7 igura 7.3 Estatica-Teto-06-07.doc G. 7
06-Mecânica plicada curso de ilotagem ENIDH Elementos de Estática Teto de apoio Eemplo 7. placa rectângular homogénea, representada na figura E-7..a, tem dimensões 80 cm 0 cm, pesa 30,0 N e tem aplicadas as forças 0,0 N,, e 3 e o momento 60,0 N.cm. Calcular as forças, e 3 para que a placa estea em equilíbrio. 0 cm 5 cm 3 30 N 80 cm igura E-7..a 0,0 N 60,0 N.cm 40º força 0,0 N é decomposta nas direcções, 0cos(40º) e 0sen(40º) figura E-7..b. O peso 30,0 N é aplicado no centro da placa. Resolvendo o sistema obtém-se = 4,8 N, = 5,3 N e 3 =,3 N. O sinal negativo de significa que o seu sentido tem que ser contrário ao mostrado na figura E-7..b. Resposta: placa está em equilíbrio se = 4,8 N, = 5,3 N e 3 =,3 N. figura E-7..c mostra a placa em equilíbrio e a força com sentido correcto. 5,3 N 5 cm,3 N 30 N 60 N.cm igura E-7..c 0sen(40º) 4,8 N 0cos(40º) 5 cm 3 0sen(40º) 60 N.cm 0cos(40º) 30 N + igura E-7..b Trata-se de forças complanares e linhas de acção não concorrentes condição de equilíbrio 7.5. É necessário escrever três equações de equilíbrio 0, 0 e M 0. ara escrever a equação de momentos da maneira mais simples possível, há que escolher convenientemente qual o ponto em relação ao qual são calculados. Convém ser um ponto no qual passem o maior número possível de linhas de acção pois as respectivas forças produem momentos nulos. ode ser escolhido o ponto. Relativamente a este ponto as forças, 0,0cos(40º) e 0,0sen(40º) têm momento nulo. força tem braço 0 cm e rotação negativa, a força 3 tem braço 80 cm e rotação positiva e o peso 30,0 N tem braço 40 cm e rotação negativa. Da escrita das três equações resulta M 0,0 cos(40º ) 0 30 0,0sen(40º ) 0. 3 80 30,0 40 0 60,0 0 3 Estatica-Teto-06-07.doc G. 8
06-Mecânica plicada curso de ilotagem ENIDH Elementos de Estática Teto de apoio 8 Diagramas de corpo livre e ligações ao eterior Relativamente a um dado corpo, chama-se diagrama de corpo livre (d.c.l.) a um esquema que represente todas as forças e momentos que actuam nesse corpo. figura E-7..b representa um diagrama de corpo livre referente à placa rectângular do eemplo 7.. Um diagrama de corpo livre inclui as forças e momentos que actuam directamente no corpo (peso incluído) e as forças e momentos que resultam do rompimento das ligações do corpo ao eterior. Seguem-se alguns eemplos de ligações de um corpo ao eterior, com a indicação das forças que surgem se essas ligações são rompidas. Caso 8. cção da Terra sobre um corpo peso Caso 8. cabo ideal igura 8..a cção de um cabo ideal sobre um corpo 3 igura 8..b força representa a acção que o cabo eerce sobre o corpo. força representa a acção que o corpo eerce sobre o cabo. força 4 representa a acção que o cabo eerce sobre o corpo. força 3 representa a acção que o corpo eerce sobre o cabo. Num d.c.l. referente ao corpo entra a força. Num d.c.l. referente ao corpo entra a força 4. Num d.c.l. referente ao cabo entram as forças e 3. O par de forças e satisfa o princípio da acção reacção. O par 3 e 4 também. O par e 3 não. 4 terra corpo igura 8..a terra corpo igura 8..b s forças verticais e apenas diferem no sentido. força, o peso do corpo, representa a acção da terra sobre o corpo. força representa a acção do corpo sobre a terra. Num d.c.l. referente ao corpo entra a força. O par de forças e satisfa o princípio da acção reacção. Caso 8.3 p igura 8.3.a Contacto entre superfícies lisas (sem atrito) p p p igura 8.3.b p p força representa a acção do corpo sobre o corpo no ponto de contacto p. força representa a acção do corpo sobre o corpo no ponto de contacto p. força 3 representa a acção do corpo sobre o corpo no ponto de contacto p. força 4 representa a acção do corpo sobre o corpo no ponto de contacto p. Num d.c.l. referente ao corpo entram as forças e 4. Num referente ao corpo entram as forças e 3. O par de forças e satisfa o princípio da acção reacção. O par 3 e 4 também. 3 4 Estatica-Teto-06-07.doc G. 9
06-Mecânica plicada curso de ilotagem ENIDH Elementos de Estática Teto de apoio Caso 8.4 cção de um rolete (sem atrito) Caso 8.7 arra apoio fio rolete igura 8.4.a igura 8.4.b força representa a acção do rolete em. força representa a acção de sobre o rolete. força 3 representa a acção de sobre o rolete. força 4 representa a acção do rolete em. Num d.c.l. referente ao corpo entra a força. Num d.c.l. referente ao corpo entra a força 4. Num d.c.l. para o rolete entram as forças e 3. Os pares de forças, e 3, 4 satisfaem o princípio da acção reacção. O par, 3 não. 3 4 igura 8.7.a igura 8.7.b acção de um apoio fio sobre uma barra tradu-se em duas forças e, perpendiculares entre si e independentes. Caso 8.8 arra apoio móvel igura 8.8.a igura 8.8.b Caso 8.5 cção de um pino articulação acção de um apoio móvel sobre uma barra traduse numa força, perpendicular à barra. pino igura 8.5.a igura 8.5.b acção do pino sobre o corpo tradu-se em duas forças e, perpendiculares entre si e independentes. Caso 8.6 rticulação esférica (rótula) Caso 8.9 arra encastramento bidimensional igura 8.9.a M igura 8.9.b acção de um encastramento bidimensional sobre uma barra tradu-se em duas forças e, perpendiculares entre si e independentes e num momento de encastramento M. igura 8.6.a 3 igura 8.6.b acção da parede sobre a articulação esférica, ligada ao corpo tradu-se em três forças, e 3, perpendiculares entre si e independentes. Caso 8.0 arra encastramento tridimensional igura 8.0.a igura 8.0.b acção de um encastramento tridimensional sobre uma barra tradu-se, no caso geral, em três forças (em, em e em ) e em três momentos (em torno de, de e de ). Estatica-Teto-06-07.doc G. 0
06-Mecânica plicada curso de ilotagem ENIDH Elementos de Estática Teto de apoio Eemplo 8. barra, de peso, encosta sem atrito nos pontos, e 3 figura E-8..a. Desenhar o diagrama de corpo livre para a barra. figura E-8..b mostra o diagrama de corpo livre pedido. No centro de gravidade da barra aplica-se o peso representado pela força. barra contacta com o eterior nos pontos, e 3. Nos pontos e, a acção das superfícies de encosto sobre a barra tradu-se nas forças e, respectivamente. São forças com linhas de acção perpendiculares às superfícies (caso 8.3). No ponto 3 a acção do encosto na barra tem também a direcção perpendicular, neste caso à barra. 3 igura E-8..a figura E-8..b mostra os diagramas de corpo livre pedidos. 4 3 3 4 5 5 6 igura E-8..b No centro de gravidade da placa aplica-se o peso representado pela força. placa liga-se ao eterior pelos pinos e e pelo cabo. Estas ligações são rompidas e substituídas por forças. s ligações por pinos são substituídas por duas forças perpendiculares (caso 8.5). No pino as forças e e no pino as forças 3 e 4. força 5 representa a acção do cabo sobre a placa (caso 8.). barra tem contactos com o eterior no pino, no cabo e na superfície inclinada. No pino o par 3 e 4 constitui a reacção ao par aplicado na placa. O mesmo para 5. força 6 representa a acção da superfície sobre a barra (caso 8.3). Não foi considerado o peso da barra. 3 igura E-8..b Eemplo 8. figura E-8..a mostra uma placa suportada por um pino e ligada a uma barra por um pino. Esta barra encosta, sem atrito, a uma superfície. Um cabo liga a barra à placa. Desenhar os diagramas de corpo livre para placa e para a barra. pino placa barra pino cabo igura E-8..a Estatica-Teto-06-07.doc G.
06-Mecânica plicada curso de ilotagem ENIDH Elementos de Estática Teto de apoio Eemplo 8.3 Eemplo 8.4 cabo 3 4 barra cabo igura E-8.3.a igura E-8.4.a figura mostra duas esferas e com pesos e, respectivamente. s esferas são suportadas por uma barra articulada ao chão e presa à parede por um cabo ideal. Desenhar os diagramas de corpo livre para cada uma das esferas e para a barra ( ignorar o seu peso). dmitir contactos sem atrito. figura E-8.3.b mostra os três d.c.l. pedidos. figura mostra duas barras e. barra está encastrada no chão e encosta à barra. barra tem aplicada a força e assenta no chão. s duas barras estão ligadas por um cabo ideal. Desenhar os diagramas de corpo livre para cada uma das barras ( ignorar o seu peso). dmitir contactos sem atrito. figura E-8.4.b mostra os dois diagramas pedidos. 3 3 igura E-8.3.b 7 4 4 6 5 4 4 3 3 5 M igura E-8.4.b No centro de cada esfera aplica-se a força relativa ao peso. esfera contacta com o eterior nos pontos, e 3. Estes contactos traduem-se em forças perpendiculares à superfície de contacto (caso 8.3). esfera contacta com o eterior nos pontos 3 e 4. Estes contactos traduem-se em forças perpendiculares à superfície (caso 8.3). s duas forças 3 diferem apenas no sentido e satisfaem o princípio da acçãoreacção. O encastramento da barra é substituído por duas forças perpendiculares e e por um momento de encastramento M (caso 8.9). O contacto na outra etremidade é substituído pelas forças 4, uma na barra e outra na barra (caso 8.3). acção do cabo tradu-se pelas forças 3 (caso 8.). O par de forças 4 respeita o princípio da acção-reacção. O par 3 não tradu o referido princípio porque neste caso as barras não contactam directamente. O contacto da barra com o chão é substituído pela força 5 (caso 8.3). barra contacta a esfera, o chão, com a articulação, e o cabo. O contacto com a esfera tradu-se na força 4, reacção à força aplicada na esfera. acção da articulação tradu-se nas forças 5 e 6, perpendiculares entre si (caso 8.5). força 7 representa a acção do cabo sobre a barra (caso 8.). Estatica-Teto-06-07.doc G.
06-Mecânica plicada curso de ilotagem ENIDH Elementos de Estática Teto de apoio 9 roblemas resolvidos roblema 9. Numa operação de descarga de navio, um automovel de peso 7,5 kn, é suportado por três cabos ligados na argola figura 9.a. Calcular a intensidade das forças de tracção nos cabo e C. Considerar os cabos ideais. Trata-se de três forças complanares e linhas de acção concorrentes condição de equilíbrio 7.3. É necessário escrever duas equações de equilíbrio 0 e 0 Da escrita das duas equações resulta o sistema T T cos(88º ) sen(88º ) T. T C cos(30º ) sen(30º C 0 ) 7,5 0. que depois de resolvido origina T 7,9 T 0,7 C. Resposta: s forças de tracção nos cabos e C têm intensidade 7,9 kn e 0,7 kn, respectivamente. igura 9..a Dos diferentes corpos mostrados na figura há que escolher um para desenhar um diagrama de corpo livre, escrevendo-se de seguida as equações de equilibrio convenientes. Como os cabos e C concorrem na argola, escolhe-se a argolafigura.9..b, alínea a). Este problema envolve três forças em equilíbrio. Neste caso, construir um triângulo de forças é uma alternativa à resolução geral atrás apresentada. figura 9..c mostra, em esquema, o triângulo das três forças em equilíbrio e as amplitudes dos ângulos. lei dos senos permite calcular as intensidades pedidas. 7,5 kn sen(58º ) T sen(0º ) T 7,9 kn 7,5 kn sen(58º ) TC sen(º ) T C 0,7 kn T 7,5 kn 7,5 kn 88º 30º 7,5 kn T C T C 58º 0º T 7,5 kn a) b) c) igura -9..b O diagrama de corpo livre para a argola está destacado na alínea b) da figura.9..b. O peso do automóvel é uma força vertical. Das forças nos cabos (caso 8.) só interessam aquelas que actuam na argola. Estão representadas por T e T C na alínea c) da figura. º igura -9..c Estatica-Teto-06-07.doc G. 3