MODELOS PROBABILÍSTICOS MAIS COMUNS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

MODELOS PROBABILÍSTICOS MAIS COMUNS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

Definições Variáveis Aleatórias Uma variável aleatória representa um valor numérico possível de um evento incerto. Variáveis aleatórias discretas produzem resultados que advém de um processo de contagem (ex.: no. de disciplinas que você cursa). Variáveis aleatórias contínuas produzem resultados que advém de um processo de medição (ex.: seu salário anual ou seu peso).

Variáveis Aleatórias Discretas Exemplos Variáveis aleatórias discretas só podem assumir um número contável de valores Exemplos: Jogar um dado duas vezes Seja X o no. de vezes em que o 4 aparece (então X pode ser 0, 1, ou 2 vezes) Lançar uma moeda 5 vezes. Seja X o no. de caras (então X = 0, 1, 2, 3, 4, ou 5)

Definições Variáveis Aleatórias Variáveis Aleatórias Discreta V. A. Contínua V. A.

Definições Distribuição de Probabilidades Uma distribuição de probabilidades para uma variável aleatória discreta é uma lista mutuamente excludente de todos os resultados numéricos possíveis para aquela variável, de modo a que uma determinada probabilidade de ocorrência esteja associada a cada resultado. No. de disciplinas Probabilidade 2 0.2 3 0.4 4 0.24 5 0.16

Probability Definições Distribuição de Probabilidades Experimento: Duas jogadas de uma moeda. Seja X = # caras. Distribuição de Probabilidades Valor X Probabilidade 0 1/4 =.25 1 2/4 =.50 2 1/4 =.25.50.25 0 1 2 X

Variáveis Aleatórias Discretas Valor Esperado Valor Esperado (ou média) de uma distribuição discreta (Média Ponderada) E(X) Exemplo: 2 jogadas moeda, X = # de caras, Calcule o valor esperado de X: N i1 X P( i X i ) E(X) = (0)(.25) + (1)(.50) + (2)(.25) = 1.0 Valor Probabilidade 0 1/4 =.25 1 2/4 =.50 2 1/4 =.25

Variáveis Aleatórias Discretas Valor Esperado Calcule o valor esperado da distribuição: No. de disciplinas Probabilidade 2 0.2 3 0.4 4 0.24 5 0.16 E(X) = 2(.2) + 3(.4) + 4(.24) + 5(.16) = 3.36 Então, o no. médio de disciplinas por aluno é de 3.36.

Variáveis Aleatórias Discretas Dispersão Variância de uma variável aleatória discreta σ 2 N i1 [X i E(X)] Desvio Padrão de uma variável aleatória discreta σ σ 2 N i1 [X onde: E(X) = Valor esperado da variável aleatória discreta X X i = o i o. resultado de X P(X i ) = Probabilidade do i o. resultado de X ocorrer i 2 P(X ) E(X)] 2 i P(X ) i

Variáveis Aleatórias Discretas Dispersão Exemplo: Duas jogadas de uma moeda, X = # caras, calcule o desvio padrão (lembrar que E(X) = 1) σ σ 2 N i1 [X i E(X)] 2 P(X ) i σ (0 1) 2 (.25) (11) 2 (.50) (2 1) 2 (.25).50.707 Nos. possíveis de caras = 0, 1, or 2

Dist. de Probabilidades - Regras Duas regras se aplicam a qualquer distribuição de probabilidades: Regra 1: Os valores de uma distribuição de probabilidades devem ser números do intervalo de 0 a 1. Regra 2: A soma de todos os valores de uma distribuição de pro- babilidades deve ser igual a 1.... estas regras permitem determinar se uma função (dada por uma equação ou uma tabela) pode ou não servir como distribuição de probabilidades de alguma variável aleatória.

Distribuições de Probabilidade Vimos como descrever uma distribuição de probabilidade e que características devem ser obedecidas para que uma função possa ser característica de uma distribuição de probabilidades. Conhecer a distribuição de probabilidade de um experimento ou fenômeno nos dá uma forma simples de avaliar as probabilidades dos resultados possíveis dos mesmos. Os tipos de distribuição podem ser considerados modelos para descrever situações que envolvem resultados aleatórios.

Distribuições de Probabilidade Cada modelo de distribuição de probabilidades na estatística, terá seu conjunto de hipóteses que definem as condições sob as quais aquele modelo pode ser utilizado validamente. O objetivo de estudar distribuições de probabilidade podem ser resumidos nas duas seguintes questões: Que hipóteses ou restrições básicas são exigidas por cada tipo de distribuição de probabilidades? O conhecimento deste aspecto é vital para confrontar uma variável aleatória com a situação real. Como se podem usar as distribuições de probabilidades para obter soluções de problemas?

Distribuições de Probabilidade Se a situação real que você analisa se aproxima fortemente de uma distribuição de probabilidades já conhecida, sua análise fica muito mais simples, como veremos adiante. A essência da análise estatística é confrontar as hipóteses de uma distribuição de probabilidades com as especificações de determinado problema.

Distribuições de Probabilidade Nesta aula veremos as principais distribuições de probabilidade que podem ser aplicadas às variáveis discretas. Distribuição Binomial Distribuição de Poisson

Distribuição Binomial: Propriedades A amostra consiste em um número fixo de observações, n ex. 15 jogadas de uma moeda; dez lâmpadas retiradas de um estoque Cada observação é classificada como uma de duas categorias mutuamente excludentes e coletivamente exaustivas, geralmente chamadas de sucesso e insucesso ex. Cara ou coroa em cada jogada da moeda; defeituosa ou não defeituosa no caso das lâmpadas; ter um menino ou uma menina Geralmente chamados sucesso e fracasso Probabilidade de sucesso é p, probabilidade de fracasso é igual a 1 p A probabilidade é a mesma para cada observação ex. A probabilidade de dar cara é a mesma a cada vez que a moeda é lançada

Distribuição Binomial: Propriedades As observações são independentes O resultado de uma observação não afeta o resultado da observação seguinte Para assegurar essa independência as observações podem ser selecionadas aleatoriamente, seja a partir de uma População infinita sem reposição População finita com reposição

Aplicações da Distribuição Binomial Uma fábrica que classifica itens como defeituoso ou não defeituoso Uma firma que coloca uma proposta para um contrato ter sucesso ou não na conclusão do negócio Uma pesquisa de mercado para uma empresa receber respostas sim, eu comprarei ou não eu não comprarei o produto da empresa Candidatos a um emprego aceitarem ou não a oferta da empresa Seu time ganhar ou não um jogo de futebol

Distribuição Binomial Técnicas de Contagem Suponha que sucesso seja definido como obter CARA (C) em pelo menos dois de três lançamentos de uma moeda equilibrada. De quantas formas esse sucesso pode ocorrer? Possibilidades: CCK, CKC, KCC, CCC, logo, há quatro diferentes maneiras. Essa situação é bastante simples. Nós precisamos de uma forma de contar os sucessos em situações mais complicadas.

Técnicas de Contagem Combinações Combinações são usadas para contar de quantas maneiras podemos selecionar X objetos em um conjunto de n objetos: C( n, X ) n X n! X!(n X)! onde: n! =n(n - 1)(n - 2)... (2)(1) X! = X(X - 1)(X - 2)... (2)(1) 0! = 1 (por definição)

Técnicas de Contagem Combinações De quantas formas diferentes podemos escolher 3 sabores de sorvete se você tem 31 opções de sabores para escolher? O total de opções é n = 31, e você escolherá X = 3. C(31,3) 31 3 31! 3!(31 3)! 31! 3!28! 3130 29 28! 3 21 28! 315 29 4495

Distribuição Binomial Fórmula P(X) n! X!(n X)! p X (1 p) nx P(X) = probabilidade de X sucessos em n tentativas, com probabilidade de sucesso p em cada tentativa X = no. de sucessos na amostra, (X = 0, 1, 2,..., n) n p = tamanho da amostra (numero de tentativas ou observações) = probabilidade de sucesso Exemplo: lançar uma moeda 4 vezes, seja x = # caras: n = 4 p = 0.5 1 - p = (1 -.5) =.5 X = 0, 1, 2, 3, 4

Distribuição Binomial Exemplo Qual a probabilidade de um sucesso em 5 observações se a probabilidade de sucesso é 0,10? X = 1, n = 5, and p = 0,10 P(X 1) n! p X!(n X)! X 5! (0,10) 1!(5 1)! (1 1 p) nx (1 0,10) 51 (5)(0,10)(0,90) 4 0,32805

Distribuição Binomial Exemplo Suponha que a probabilidade de comprar um computador defeituoso seja de 0,02. Qual a probabilidade de comprar 2 computadores defeituosos em um lote de 10 computadores? X = 2, n = 10, and p = 0,02 P(X 2) n! p X!(n X)! X (1 p) nx 10! 2!(10 (0,02) 2)! 2 (1 0,02) 102 (45)(0,0004)(0,8508) 0,01531

Distribuição Binomial Forma A forma da distribuição binomial depende dos valores de p e de n Aqui, n = 5 e p = 0,10.6.4.2 0 P(X) n = 5 p = 0,10 0 1 2 3 4 5 X Aqui, n = 5 e p = 0,50.6.4.2 0 P(X) n = 5 p = 0,50 0 1 2 3 4 5 X

Distribuição Binomial Características Média μ E(x) np Variância e Desvio Padrão σ 2 p) σ np(1- np(1- p) Onde n = tamanho da amostra p = probabilidade de sucesso (1 p) = probabilidade de fracasso

Distribuição Binomial Características σ μ np Exemplos (5)(0,10) 0,5 np(1- p) (5)(0,10)(1 0,10) 0,6708.6.4.2 0 P(X) n = 5 p = 0,10 0 1 2 3 4 5 X σ μ np (5)(0,50) 2,5 np(1- p) (5)(0,50)(1 0,50) 1,118.6.4.2 0 P(X) n = 5 p = 0,50 0 1 2 3 4 5 X

Distribuição Binomial Exemplo A probabilidade de que uma pessoa fazendo compras num certo supermercado aproveita uma promoção especial de sorvete é de 0,30. Determine a probabilidade de que dentre seis pessoas fazendo compras nesse supermercado haja até três aproveitando a promoção. Solução: admitindo que a escolha seja aleatória, substituímos n=6, p=0,30 e, respectivamente, x=0, 1, 2, 3 na fórmula da distribuição binomial, otendo: 6 P(0) (0,30) 0 6 P(1) (0,30) 1 6 P(2) (0,30) 2 1 0 (0,70) (0,70) 2 5 (0,70) 0,118 0,303 0,324 6 3 3 P(3) (0,30) (0,70) 0,185 3 P( X 3) 0,118 0,303 0,324 0,185 0,93 6 4

Distribuição de Poisson Definições Muitos estudos são baseados na contagem das vezes em que um evento específico ocorre em uma determinada área de oportunidade Uma área de oportunidade é uma unidade contínua ou um intervalo de tempo, volume ou uma área tal que nela possa acontecer mais de uma ocorrência de um evento Exemplos Defeitos na pintura de uma geladeira nova Número de falhas na rede em um determinado dia Número de pulgas no pêlo de um cachorro Nestas situações você usa a distribuição de Poisson se

Distribuição de Poisson Propriedades A distribuição de Poisson é aplicada quando: Você estiver interessado em contar o número de vezes em que um evento específico ocorre em uma determinada área de oportunidades. A área de oportunidades é definida pelo tempo, extensão, área de superfície e assim sucessivamente. A probabilidade de que um evento específico ocorra em uma determinada área de oportunidades é a mesma para todas as áreas de oportunidades. O número de eventos que ocorrem em uma determinada área de oportunidades é independente do número de eventos que ocorrem em qualquer outra área de oportunidades. A probabilidade de que dois ou mais eventos venham a ocorrer em uma determinada área de oportunidades se arpoxima de zero à medida que a área de oportunidades se torna menor.

Distribuição de Poisson Fórmula P(X) e λ λ X! x onde: X = probabilidade de X eventos ocorram numa área de oportunidade = número esperado de eventos e = constante matemática aproximada por 2,71828

Distribuição de Poisson Parâmetro λ O parâmetro λ (a letra grega minúscula lambda), representa a média, ou o número de sucessos por unidade. A variância de uma distribuição de Poisson é igual a λ, e o desvio padrão é igual a

Distribuição de Poisson Exemplo Suponha que, em média, 5 carros entrem em um estacionamento por minuto. Qual é a probabilidade de que em um dado minuto, 7 carros entrem? Então, X = 7 e λ = 5 P(7) e λ λ X! x e 5 5 7! 7 0,104 Portanto, há uma probabilidade de 10,4% de que 7 carros entrem no estacionamento em um dado minuto.

P(x) Distribuição de Poisson Forma 0.70 = 0,50 0.60 X P(X) 0.50 0.40 0 1 2 0.6065 0.3033 0.0758 0.30 0.20 3 0.0126 0.10 4 5 0.0016 0.0002 0.00 0 1 2 3 4 5 6 7 6 0.0000 x 7 0.0000 P(X = 2) = 0,0758

P(x) P(x) Distribuição de Poisson Forma O formato da distribuição de Poisson depende do parâmetro : = 0,50 = 3,00 0.70 0.25 0.60 0.50 0.40 0.20 0.15 0.30 0.10 0.20 0.10 0.05 0.00 0 1 2 3 4 5 6 7 x 0.00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x

Distribuição de Poisson Exemplo Sabe-se que o número de acidentes de trabalho, por mês, em uma unidade de produção segue uma distribuição de Poisson, com uma média aritmética de 2,5 acidentes de trabalho por mês. (a) Qual é a probabilidade de que em um determinado mês nenhum acidente de trabalho venha a ocorrer? (b) De que pelo menos um acidente de trabalho venha a ocorrer?

Distribuição de Poisson Exemplo Sabe-se que o número de acidentes de trabalho, por mês, em uma unidade de produção segue uma distribuição de Poisson, com uma média aritmética de 2,5 acidentes de trabalho por mês. (a) Qual é a probabilidade de que em um determinado mês nenhum acidente de trabalho venha a ocorrer? (b) De que pelo menos um acidente de trabalho venha a ocorrer? Solução: com λ = 2,5 (a) 2,5 0 e (2,5) 1 P( X 0) 0,0821 2, 5 0! (2,71828) (1) A probabildade de que em um determinado mês nenhum acidente de trabalho ocorra é 0,0821, ou 8,21%. (b) P( X 1) 1 P( X 0) 10,0821 0,9179 A probabilidade de que em um determinado mês haverá pelo menos um acidente de trabalho é 0,9179, ou 91,79%.