UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO ANÁLISE DINÂMICA NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA DE SISTEMAS COM AMORTECIMENTO NÃO CLÁSSICO

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL ANÁLISE DINÂMICA NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA DE SISTEMAS COM AMORTECIMENTO NÃO CLÁSSICO Engª Adenilcia Fernanda Grobério Calenzani Orientador: Walnório Graça Ferreira Vitória- E.S, Março de 2002

ANÁLISE DINÂMICA NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA DE SISTEMAS COM AMORTECIMENTO NÃO CLÁSSICO Adenilcia Fernanda Grobério Calenzani Dissertação submetida ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da Universidade Federal do Espírito Santo como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre em Engenharia Civil. Aprovada em 15/03/02 por: Walnório Graça Ferreira, Orientador, UFES Webe João Mansur, UFRJ Geraldo Rossoni Sisquini, UFES

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO Vitória, Março de 2002 Calenzani, Adenilcia Fernanda Grobério, 1973 Análise Dinâmica no Domínio da Freqüência de Sistemas com Amortecimento não Clássico. [Vitória] 2002 xvi, 104 p., 29,7 cm (UFES, M. Sc., Engenharia Civil, 2002) Dissertação, Universidade Federal do Espírito Santo, PPGEC I. Dinâmica Estrutural I. PPGEC/UFES II. Título (série)

DEDICATÓRIA À minha mãe com todo o meu amor iv

AGRADECIMENTOS A Deus, pela dádiva concedida. Ao professor Walnório Graça Ferreira pelo seu exemplo, como profissional e como ser humano. Por toda a dedicação, paciência e motivação na realização deste trabalho. À minha mãe Leancir Maria Grobério Calenzani por todo carinho, preocupação e apoio emocional. Aos meus queridos irmãos Domitilio, Douglas, Ângela e Lúcia. Aos alunos e professores do Mestrado em Engenharia Civil da UFES. A Máximo Ricardo Preu pela sua amizade e incentivo. Ao colega Cláudio Sechim por gentilmente ceder as soluções no domínio do tempo utilizadas nos exemplos numéricos. À CAPES pelo apoio financeiro. v

CONTEÚDO VI SUMÁRIO LISTA DE TABELAS LISTA DE FIGURAS LISTA DE SÍMBOLOS E ABREVIAÇÕES RESUMO ABSTRACT ix ix xii xv xvi CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO 1 1.1. Objetivos 2 1.2. Revisão bibliográfica 2 1.3. Descrição sumária 6 CAPÍTULO 2 TRANSFORMADA DE FOURIER 8 2.1. Introdução 9 2.2. Definição 10 2.3. Teoremas 12 2.4. Transformada discreta de Fourier 14 2.5. Transformada rápida de Fourier 19 CAPÍTULO 3 ANÁLISE DINÂMICA DE SISTEMAS COM UM GRAU DE LIBERDADE 21 3.1. Introdução 22 3.2. Equação do movimento 23 3.3. Análise dinâmica no domínio da freqüência 24 3.4. Resposta dinâmica a um carregamento harmônico real 27 3.5. Resposta dinâmica a um carregamento periódico 28

CONTEÚDO VII 3.6. Resposta dinâmica a um carregamento transiente 30 3.7. Parâmetros para a análise numérica 33 3.8. Consideração do amortecimento histerético 35 3.9. Perda de energia por ciclo 38 3.10. Relação entre as funções de transferência 40 CAPÍTULO 4 ANÁLISE DINÂMICA DE SISTEMAS COM MÚLTIPLOS GRAUS DE LIBERDADE DOTADOS DE AMORTECIMENTO PROPORCIONAL 42 4.1. Introdução 43 4.2. Transformação linear 44 4.3. Vibração livre não amortecida 45 4.4. Método da superposição modal 48 4.5. Matriz de amortecimento viscoso proporcional 50 4.6. Análise em coordenadas nodais 54 CAPÍTULO 5 ANÁLISE DINÂMICA DE SISTEMAS COM MÚLTIPLOS GRAUS DE LIBERDADE DOTADOS DE AMORTECIMENTO NÃO PROPORCIONAL 57 5.1. Introdução 58 5.2. Matriz de amortecimento não proporcional 59 5.3. Análise em coordenadas modais 62 5.4. Análise em coordenadas nodais 64 CAPÍTULO 6 EXEMPLOS NUMÉRICOS 71 6.1. Exemplo 1 72 6.2. Exemplo 2 76 6.3. Exemplo 3 79 6.4. Exemplo 4 83

CONTEÚDO VIII 6.5. Exemplo 5 87 6.6. Exemplo 6 90 6.7. Período Estendido 94 CAPÍTULO 7 CONCLUSÕES E SUGESTÕES 96 7.1. Conclusões 97 7.2. Sugestões para trabalhos futuros 99 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 100 BIBLIOGRAFIA CONSULTADA 103

CONTEÚDO IX LISTA DE TABELAS CAPÍTULO 3 Tab. 3.1. Freqüências discretas 33 CAPÍTULO 6 Tab 6.1. Período Estendido 95 LISTA DE FIGURAS CAPÍTULO 2 Fig. 2.1. Transformada de Fourier de uma função periódica 11 Fig. 2.2. Transformada de Fourier de uma função qualquer 11 Fig. 2.3. Processo de discretização no tempo 15 Fig. 2.4. Fenômeno Alisiang 16 Fig. 2.5. Derivação gráfica do par de transformadas discretas de Fourier 17 Fig. 2.6. Comparação das multiplicações requeridas pelo cálculo direto e pelo algoritmo FFT 20 CAPÍTULO 3 Fig. 3.1. Sistema de 1 G.L. e Equilíbrio de forças 23

CONTEÚDO X CAPÍTULO 4 Fig. 4.1. Relação entre taxa de amortecimento modal e freqüência 52 CAPÍTULO 5 Fig. 5.1. Pórtico misto 60 Fig. 5.2. Matrizes de rigidez e massa da estrutura global 60 Fig. 5.3. Matriz de amortecimento da estrutura global 61 Fig. 5.4. Shear building com amortecedores discretos 62 Fig. 5.5. Matriz de amortecimento dos amortecedores discretos 62 Fig. 5.6. Interpolação de 2º grau para a função de resposta na freqüência 68 Fig. 5.7. Interpolação de 3º grau para a função de resposta na freqüência 70 CAPÍTULO 6 Fig. 6.1. Shear building com 1 G.L. e carga transiente linear 72 Fig. 6.2. Históricos de resposta por processos no domínio do tempo e no domínio da freqüência 73 Fig. 6.3. Lei de variação do amortecimento viscoso com a freqüência 73 Fig. 6.4. Históricos de resposta para amortecimento viscoso constante e dependente da freqüência 74 Fig. 6.5. Históricos de resposta para os casos de amortecimento viscoso e histerético 75 Fig. 6.6. Componente norte-sul do terremoto de El Centro 76 Fig. 6.7. Históricos de resposta para os casos de amortecimento viscoso constante e dependente da freqüência 77 Fig. 6.8. Históricos de resposta para os casos de amortecimento viscoso e histerético 78

CONTEÚDO XI Fig. 6.9. Shear building de três graus de liberdade e carga transiente linear 79 Fig. 6.10. Histórico de resposta para amortecimento viscoso 81 Fig. 6.11. Histórico de resposta para amortecimento histerético 82 Fig. 6.12. Sistema de dois graus de liberdade 84 Fig. 6.13. Carga de impacto atuante sobre o edifício 84 Fig. 6.14. Lei de variação do amortecimento da fundação com a freqüência 84 Fig. 6.15. Histórico dos deslocamentos da fundação para amortecimento viscoso constante 85 Fig. 6.16. Histórico dos deslocamentos da fundação para amortecimento viscoso dependente da freqüência 86 Fig. 6.17. Pórtico discretizado e carga transiente linear 87 Fig. 6.18. Histórico de resposta para amortecimento estrutural 88 Fig. 6.19. Histórico de resposta para amortecimento estrutural mais amortecedor 89 Fig. 6.20. Histórico de resposta para amortecimento estrutural mais amortecedor (truncamento modal) 90 Fig. 6.21. Pórtico com amortecedor discreto e carregamento aplicado 91 Fig. 6.22. Evolução do deslocamento horizontal do nó 8 para os casos 1, 2 e 3 92 Fig. 6.23. Evolução do deslocamento horizontal do nó 8 para os casos 3 e 4 93 Fig. 6.24. Evolução do deslocamento horizontal do nó 8 para os casos 2, 2 com 10 autovetores e 2 com 4 autovetores 94

CONTEÚDO XII LISTA DE SÍMBOLOS E ABREVIAÇÕES 1. MATRIZES E VETORES m c k Matriz de massa Matriz de amortecimento Matriz de rigidez v ( t) Vetor dos deslocamentos nodais v& ( t) v&& ( t) Vetor das velocidades nodais Vetor das acelerações nodais p ( t) Vetor das cargas nodais R Φ Matriz de transformação linear Matriz modal Y ( t) Vetor dos deslocamentos modais Y & ( t) Vetor das velocidades modais Y && ( t) Vetor das acelerações modais W ( t) Vetor das cargas modais I C Ω Matriz identidade Matriz de amortecimento modal Matriz de rigidez modal I ( iω) Matriz de impedância V ( iω) Vetor dos deslocamentos nodais no domínio da freqüência P ( iω) Vetor das cargas nodais no domínio da freqüência Z ( iω) Vetor dos deslocamentos modais no domínio da freqüência W ( iω) Vetor das cargas modais no domínio da freqüência H ( iω) Matriz complexa de resposta na freqüência ˆv ˆv r Autovetor Autovetor correspondente ao modo r

CONTEÚDO XIII ϕ ϕ r Autovetor normalizado em relação a matriz de massa Autovetor normalizado correspondente ao modo r 2. ESCALARES f s f i Forças elásticas Forças de inércia f Forças de amortecimento D v( t ) Deslocamento v& ( t) Velocidade && v( t) p(t) h(t) m c k ω ω D ω β ξ ζ H( iω ) V( iω ) P( iω ) N t ω T p ω max Aceleração Carregamento Função de resposta ao impulso unitário Massa Constante de amortecimento Rigidez Freqüência natural Freqüência natural amortecida Freqüência do carregamento Cociente da freqüência do carregamento pela freqüência natural Taxa de amortecimento viscoso Taxa de amortecimento histerético Função complexa de resposta na freqüência Deslocamento no domínio da freqüência Carregamento no domínio da freqüência Número de termos para cálculo da DFT Intervalo de tempo Intervalo de freqüência Período estendido Freqüência de Nyquist

CONTEÚDO XIV E cic p 0 Perda de energia por ciclo de vibração Amplitude do carregamento harmônico complexo V0( iω ) Amplitude da resposta ao carregamento harmônico complexo ρ Amplitude da resposta na sua forma polar θ J ω r Y r (t) r ( t) Ângulo de fase Número de graus de liberdade do sistema Freqüência natural correspondente ao modo r Deslocamento modal correspondente ao modo r Y & Velocidade modal correspondente ao modo r r ( t) Y && Aceleração modal correspondente ao modo r ξ r r ( ) Taxa de amortecimento correspondente ao modo r W t Carregamento modal correspondente ao modo r r ( ) Z iω Deslocamento modal na freqüência correspondente ao modo r r ( ) W iω Carregamento modal na freqüência correspondente ao modo r a 0 a 1 Fator de proporcionalidade entre as matrizes de massa e amortecimento Fator de proporcionalidade entre as matrizes de rigidez e amortecimento 3. ÍNDICES E OPERADORES ( ) T Transposta de uma matriz ou de um vetor I ( ) ( ) Transformada de Fourier Incremento finito 4. ABREVIAÇÕES DFT Transformada discreta de Fourier FFT Transformada rápida de Fourier 1 G.L. Um grau de liberdade

CONTEÚDO XV RESUMO Neste trabalho, realiza-se a análise dinâmica no domínio da freqüência de sistemas estruturais com um ou múltiplos graus de liberdade, modelados com amortecimento viscoso ou histerético, constante ou dependente da freqüência, com matriz de amortecimento proporcional ou não proporcional. As equações do movimento são resolvidas numericamente pelo algoritmo FFT (Fast Fourier Transform). A análise no domínio da freqüência de sistemas com múltiplos graus de liberdade é implementada tanto em coordenadas físicas quanto em coordenadas modais. Em coordenadas físicas, procedimentos de interpolação são propostos para a determinação das matrizes complexas de resposta na freqüência, visando dessa forma reduzir o número de sistemas lineares complexos a serem resolvidos. Em sistemas com amortecimento não proporcional, as equações modais acopladas são resolvidas diretamente no domínio da freqüência, portanto, a transformação modal visa apenas reduzir as dimensões do sistema através do truncamento modal. Os procedimentos foram aplicados, com sucesso, em vários exemplos para um e múltiplos graus de liberdade, submetidos a cargas transientes e de terremoto. Para sistemas com múltiplos graus de liberdade, a eficiência dos procedimentos de interpolação e da análise modal foi comprovada.

CONTEÚDO XVI ABSTRACT In this work, the frequency domain dynamic analysis is carried out for single or multidegree-of-freedom structural systems, modeled with viscous or hysteretic damping, constant or frequency dependent, with proportional or non proportional damping matrix. The equations of motion are resolved numerically using the FFT (Fast Fourier Transform) algorithm. The frequency domain dynamic analysis of multi-degree-of freedom systems is implemented in physical and modal coordinates. In physical coordinates, interpolation procedures are proposed to calculate the complex frequency response matrix, aiming at reducing the number of complex systems of equations to be solved. In non proportional systems, the coupled modal equations are directly solved in the frequency domain, and the modal transformation just aims at reducing the number of equations through modal truncation. The procedures were applied, with success, in several examples for single and multi-degree-of-freedom systems, submitted to transient and earthquake loading. For multi-degree-of-freedom systems, the efficiency of the modal analysis and interpolation procedures was validated.

CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO

. INTRODUÇÃO 2 1.1. OBJETIVOS O presente trabalho tem como objetivo estudar os métodos utilizados para formulação matemática e solução numérica da análise dinâmica de sistemas estruturais lineares no domínio da freqüência, visando, dessa forma, à aplicação desses métodos em sistemas com um ou múltiplos graus de liberdade modelados com amortecimento viscoso ou histerético, constante ou dependente da freqüência. Foi feito um estudo prévio sobre transformada de Fourier para se analisar alguns aspectos importantes da solução numérica empregada no domínio da freqüência, tais como: procedimentos de discretização e truncamento, extensão de períodos, contaminação do espectro de freqüências, entre outros. A análise no domínio da freqüência de sistemas com múltiplos graus de liberdade é implementada tanto em coordenadas físicas quanto em coordenadas modais. Para a análise em coordenadas físicas, procedimentos de interpolação são utilizados na determinação da função complexa de resposta em freqüência, objetivando uma maior eficiência computacional. Esta análise pode ser aplicada em ambos os casos de amortecimento: proporcional e não proporcional. Na análise em coordenadas modais, o clássico método da superposição modal é aplicado a sistemas com amortecimento proporcional. Em sistemas com amortecimento não proporcional, a transformação modal proposta visa apenas reduzir as dimensões do sistema através do truncamento modal, porém as equações modais de movimento são acopladas e resolvidas no domínio da freqüência. 1.2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Os procedimentos que são utilizados em análise dinâmica para achar a solução das equações diferenciais do movimento podem ser elaborados no domínio do tempo ou no domínio da freqüência. A análise dinâmica no domínio da freqüência é fortemente indicada para sistemas modelados com amortecimento histerético e para sistemas estruturais complexos, como é o caso de sistemas de interação solo-estrutura e

. INTRODUÇÃO 3 fluido-estrutura, onde as forças de interação são dependentes da freqüência e consequentemente, as propriedades desses sistemas também o são. A análise no domínio da freqüência tornou-se de uso corrente, somente após o surgimento do algoritmo da FFT (Fast Fourier Transform), desenvolvido por Cooley & Tukey (1965), pois reduziu substancialmente o esforço computacional na avaliação da DFT (Discret Fourier Transform), tornando-a competitiva com os métodos no domínio do tempo. Desde seu surgimento, várias versões do algoritmo FFT tem sido apresentadas, para adaptá-lo aos seus vários campos de aplicação, tomando partido da forma específica como se mostram os dados de trabalho em cada campo. Dentre os textos de dinâmica estrutural que abordam a análise no domínio da freqüência, a contribuição de Clough & Penzien (1993) merece destaque devido ao tratamento detalhado de todos os elementos essenciais para a análise no domínio da freqüência. Neste texto, toda a formulação tradicional, ou seja, aquela que utiliza o algoritmo FFT para cálculo das transformadas discretas de Fourier, é encontrada tanto para coordenadas físicas quanto para coordenadas modais. Clough & Penzien (1993) também propuseram procedimentos de interpolação para a determinação da função complexa de resposta em freqüência, objetivando uma maior eficiência computacional na análise em coordenadas físicas. Mais tarde, esses procedimentos foram implementados com sucesso por Ferreira et al (1996). Humar & Xia (1993) analisaram um método onde a função complexa de resposta na freqüência original é substituída por uma função mais suave através do aumento do amortecimento do sistema. Isto permite o uso de um período estendido menor para o cálculo das transformadas discretas de Fourier, com a conseqüente economia computacional. Venâncio-Filho & Claret (1992) apresentaram uma formulação matricial para a resposta dinâmica de sistemas lineares de um grau de liberdade no domínio da freqüência, onde as transformadas discretas de Fourier, direta e inversa, são resolvidas implicitamente. Essa abordagem foi posteriormente estendida por Venâncio-Filho & Claret (1996) e Ferreira (1998) para sistemas de múltiplos graus de liberdade, tanto lineares como não lineares.

. INTRODUÇÃO 4 O algoritmo FFT, apesar de minimizar o esforço computacional para determinação das transformadas discretas de Fourier, apresenta a desvantagem de exigir um número elevado de termos N para a obtenção de uma adequada precisão dos resultados. Também, o histórico da resposta será composto necessariamente por N termos. Neste contexto, a formulação matricial proposta por Venâncio-Filho & Claret (1992) se torna uma alternativa ao uso do algoritmo FFT, onde o número de termos requeridos para a resposta é escolhido arbitrariamente, sendo a escolha desvinculada do número de termos da transformada discreta de Fourier. A única condição necessária para N é que seja múltiplo de 4, condição que incorpora interessantes propriedades dos termos de Fourier, reduzindo enormemente o esforço computacional. Outra importante característica dessa formulação está no fato de as transformadas discretas de Fourier serem executadas implicitamente, no mesmo procedimento que conduz à resposta no domínio do tempo. Em sistemas com vários graus de liberdade, quando as forças de amortecimento forem consideradas distribuídas pela estrutura de forma semelhante às forças de massa e de rigidez, o amortecimento é dito proporcional. Neste caso, a matriz de amortecimento é ortogonal à matriz modal proveniente da vibração livre não amortecida, consequentemente a matriz de amortecimento modal é diagonal e o sistema de equações modais de movimento é desacoplável com o emprego da transformação modal. Com isso, a resposta em coordenadas físicas pode ser obtida pela superposição de resposta em coordenadas modais, tanto no domínio do tempo como no domínio da freqüência, caracterizando o conhecido Método da Superposição Modal. Por outro lado, quando o amortecimento do sistema é representado por uma matriz de amortecimento não ortogonal à matriz modal, ele é dito não proporcional. Neste caso, o sistema de equações modais de movimento não é mais desacoplável e o clássico método da superposição modal não pode ser empregado. Conceitualmente o método de superposição modal com modos complexos é idêntico ao clássico método de superposição modal, porém a utilização de modos complexos para desacoplar as equações modais de movimento requer aproximadamente oito vezes o esforço numérico do cálculo dos modos da vibração livre não amortecida, visto que o problema de autovalor complexo é duas vezes maior. Além disso, os métodos para

. INTRODUÇÃO 5 o cálculo de autovalores complexos não são tão robustos como as técnicas para a solução do problema de autovalor real (Ibrahimbegovic & Wilson, 1988). Vantagens do método de superposição modal clássico, tais como: ótima interpretação física do comportamento do sistema através da análise das freqüências naturais e dos modos normais e economia do esforço computacional devido ao truncamento modal, justificam o grande número de pesquisas que têm sido desenvolvidas para a sua adaptação na análise de sistemas com amortecimento não proporcional. Neste contexto, o método das pseudo forças, que também pode ser empregado para sistemas com todos os tipos de não-linearidade, utiliza o método clássico de superposição modal. Neste método, os termos responsáveis pelo acoplamento das equações modais de movimento são transferidos para o lado direito dessas equações e tratados como pseudo forças. O sistema é resolvido por um processo iterativo, ou no domínio do tempo como o fazem Claret & Venâncio-Filho (1991) e Ibrahimbegovic & Wilson (1988), ou no domínio da freqüência como Jangid & Datta (1993), ou por processo híbrido, no tempo e freqüência como proposto por Aprile et. al. (1994). Claret & Venâncio-Filho (1991) fazem um amplo estudo do método das pseudo forças para sistemas não proporcionais, introduzindo os conceitos de índice de acoplamento e de índice de convergência para caracterizar o grau de não proporcionalidade do sistema. Eles obtiveram a resposta dinâmica para cada iteração através da solução da integral de Duhamel. Já, Ibrahimbegovic & Wilson (1988) utilizam a solução exata para carga discreta linear (Piecewise exact method) na determinação da resposta dinâmica a cada iteração. Recentemente, Avila (1997) fez um estudo comparativo entre os métodos de Claret & Venâncio-Filho (1997), Ibrahimbegovic & Wilson (1988) e Hahn & Sathiavageeswaran (1991) que tratam de sistemas com amortecimento não proporcional. Anteriormente à aplicação do método das pseudo forças nos sistemas com amortecimento não proporcional, outros métodos foram estudados, porém a resposta dinâmica era obtida de forma aproximada. Neles, o método da superposição modal clássico era utilizado, introduzindo um coeficiente de

. INTRODUÇÃO 6 amortecimento ponderado ou desprezando os termos de fora da diagonal da matriz de amortecimento modal. Também, deve ser citado o trabalho de Clough & Mojtahedi (1976), onde a transformação de coordenadas físicas em coordenadas modais foi aplicada para reduzir as dimensões do sistema através do truncamento modal e as equações modais de movimento acopladas foram resolvidas no domínio do tempo, através de métodos passo-a-passo de integração direta. Porém, este método não elimina a necessidade de se calcularem as freqüências naturais e os respectivos modos de vibração. 1.3. DESCRIÇÃO SUMÁRIA No capítulo 2, referente à transformada de Fourier, procurou-se abordar os aspectos mais importantes para a sua utilização na análise dinâmica de sistemas estruturais. A partir das integrais de Fourier, chega-se por um processo de discretização, que é explicado graficamente, as transformadas discretas de Fourier. Discute-se os erros ocasionados por esse processo e as maneiras de minimizá-los. Também são discutidas, as vantagens do algoritmo FFT em relação ao cálculo direto das transformadas discretas de Fourier. O capítulo 3 apresenta a formulação matemática para análise dinâmica no domínio da freqüência de sistemas com um grau de liberdade. A resposta dinâmica de sistemas modelados com amortecimento viscoso é obtida considerando carregamentos do tipo harmônico, periódico e transiente. A seção 3.8 fornece os elementos necessários para consideração do amortecimento histerético. Por último, a relação entre a função de resposta ao impulso unitário e função de resposta complexa na freqüência é apresentada. Os capítulos 4 e 5 tratam de sistemas com múltiplos graus de liberdade. No capítulo 4 são apresentados os conceitos fundamentais para a análise em coordenadas modais, tais como: vibração livre não amortecida, problema de autovalor, método de superposição modal. Em seguida, apresenta-se a formação da matriz de

. INTRODUÇÃO 7 amortecimento para sistemas com amortecimento proporcional, onde adotou-se o modelo de Rayleigh no qual a matriz de amortecimento é proporcional às matrizes de rigidez e de massa. Finalmente, a formulação matemática para a análise em coordenadas físicas é apresentada para os modelos de amortecimento viscoso e histerético. O capítulo 5 é dedicado a sistemas com amortecimento não proporcional. Inicialmente, são sugeridos métodos para construção da matriz de amortecimento não proporcional para os casos de sistemas estruturais compostos por mais de um tipo de material e para sistema estruturais com amortecedores discretos acoplados. A seguir, uma análise em coordenadas modais é proposta, utilizando o mesmo princípio de Clough & Mojtahedi (1976), porém as equações modais do movimento são resolvidas no domínio da freqüência. Por último, para viabilizar computacionalmente a análise em coordenadas físicas de sistemas com amortecimento não proporcional, procedimentos de interpolação são propostos para função complexa de resposta na freqüência. No capítulo 6 são apresentados vários exemplos numéricos com a utilização da formulação teórica, englobando sistemas com um ou vários graus de liberdade, com amortecimento viscoso, histerético, dependente da freqüência, proporcional e não proporcional. O capítulo 7 se refere às conclusões e sugestões.

CAPÍTULO 2 TRANSFORMADA DE FOURIER

TRANSFORMADA DE FOURIER 9 2.1 INTRODUÇÃO A resolução de problemas pode ser simplificada através do uso de transformadas de domínio. Operações aplicadas em um domínio possuem suas operações correspondentes no outro, por exemplo uma convolução no domínio do tempo equivale a uma multiplicação no domínio da freqüência e vice-versa (teoremas de convolução). Logo pode-se escolher um domínio de trabalho no qual as operações necessárias a resolução do problema se tornem as mais simples e vantajosas possíveis. As transformadas de domínio lineares, especialmente as transformadas de Fourier e de Laplace, são largamente utilizadas em problemas de engenharia e em muitos outros campos da ciência. Em particular, a transformada de Fourier é utilizada na análise de sistemas lineares, estudos de antenas, ótica, teoria probabilística, física quântica, problemas de valor de contorno, dentre outros. A transformada de Fourier é a representação no domínio da freqüência de uma função, portanto é a ferramenta matemática primordial para análises no domínio da freqüência. Como o objetivo do presente trabalho é análise dinâmica de sistemas estruturais no domínio da freqüência, achou-se conveniente dedicar este capítulo a uma breve abordagem sobre transformada de Fourier. Essa abordagem será de forma expositiva, sem nenhuma demonstração matemática formal dos conceitos envolvidos, pois o objetivo é apenas fornecer informações necessárias à aplicação da transformada de Fourier nos capítulos seguintes. A formalização matemática do que será exposto pode ser encontrada em Brigham (1974). Inicialmente, é apresentada uma definição conceitual da transformada de Fourier, seguida da sua definição matemática e de algumas propriedades fundamentais. A seguir, os conceitos de transformadas discretas de Fourier são introduzidos através de uma análise gráfica do processo de discretização, e por último são discutidas as vantagens da utilização do algoritmo FFT no cálculo das transformadas discretas de Fourier.

TRANSFORMADA DE FOURIER 10 2.2 DEFINIÇÃO A essência da transformada de Fourier de uma função é decompor ou separar a função em uma soma de componentes harmônicos de todas as freqüências possíveis. Se a superposição desses harmônicos corresponder à função original então determinou-se a transformada de Fourier da função. Uma representação gráfica da transformada de Fourier é um diagrama que mostra a amplitude e a freqüência de cada um dos harmônicos determinados. A Fig. 2.1(a) ilustra um exemplo de transformada de Fourier de uma função periódica. De forma intuitiva verifica-se que a função periódica pode ser decomposta em uma série de harmônicos determinados pela transformada de Fourier, Fig. 2.1(b). É comum associar a análise de funções periódicas com a série de Fourier no lugar de transformada de Fourier. Entretanto, a série de Fourier é apenas um caso especial da transformada de Fourier (Brigham, 1974). Se a função não é periódica então a transformada de Fourier será uma função contínua da freqüência, ou seja será representada pela superposição de harmônicos de todas as freqüências. A Fig. 2.2 ilustra um exemplo da transformada de Fourier de uma função não periódica. De acordo com a Fig. 2.2(b) nota-se que uma freqüência torna-se indistinguivel da próxima, e como resultado, todas as freqüências devem ser consideradas.

TRANSFORMADA DE FOURIER 11 h(t) H(f) 1/2 1/2 t 1/18 1/10 1/10 1/18 f (a) -1/14-1/6-1/6-1/14 h 1(t)=cos(2π f0 t)-1/3cos(6π f0 t) H1(f) 1/2 1/2 t f -1/6-1/6 h 1(t)=cos(2π f0 t)-1/3cos(6π f0 t) -1/5cos(10π f0 t) H2(f) 1/2 1/2 t 1/10 1/10 f (b) -1/6-1/6 Fig. 2.1 Transformada de Fourier de uma função periódica h(t) H(f) t f - T0 T0 (a) (b) Fig. 2.2 Transformada de Fourier de uma função qualquer A integral de Fourier é definida pela expressão: ( ) ( ) -i2πft H f = h t e dt (2.1) - Se a integral existe para todo valor da variável f então a Eq. (2.1) define a transformada de Fourier H(f) de h(t). Tipicamente h(t) é uma função da variável tempo e H(f) é uma função da variável f, sendo f a freqüência cíclica.

TRANSFORMADA DE FOURIER 12 A transformada inversa de Fourier é definida como: ( ) ( ) i2πft h t = H f e df (2.2) - A transformada inversa permite a determinação da função no tempo através da sua transformada de Fourier. Se as funções H(f) e h(t) são relacionadas pelas Eqs. (2.1) e (2.2), formam então um par de transformada de Fourier. A definição da transformada de Fourier pode estar relacionada com a freqüência angular ω no lugar da freqüência cíclica f. Neste caso as Eqs. (2.1) e (2.2) tornamse: ( ) ( ) -iωt H ω = h t e dt (2.3) - 1 iωt h( t ) = H( ω) e dω 2π (2.4) - que é uma outra representação do par de transformadas de Fourier. Esta última representação do par de transformadas de Fourier será utilizada no desenvolvimento desse trabalho. Porém neste capítulo, por comodidade, será utilizada a definição segundo as Eqs. (2.1) e (2.2). 2.3 TEOREMAS Teorema da linearidade da transformada de Fourier A transformada de Fourier é uma operação linear, isto é, para quaisquer funções h(t) e g(t) cujas as transformadas de Fourier existam e para quaisquer constantes a e b, têm-se: I ( a h(t)+b g(t) ) =a H(f)+ b G(f) (2.5)

TRANSFORMADA DE FOURIER 13 Na aplicação da transformada de Fourier a equações diferenciais, a propriedade chave é que a transformada de Fourier da derivada de uma função é igual a transformada de Fourier da função multiplicada por i f, onde i é a constante imaginária. Teorema da Transformada de Fourier da derivada de h(t) Seja h(t) contínua em t e h& ( t ) absolutamente integrável em t: ( h( t )) = if H( f ) I & (2.6) Para a derivada de 2ª ordem, temos: ( h( t )) = -f 2 H( f ) I && (2.7) Similarmente para derivadas de ordem superior Teorema da convolução: Se h(t) tem a transformada de Fourier H(f) e g(t) tem a transformada de Fourier G(f), então a convolução h(t) * g(t) tem como transformada de Fourier o produto H(f) G(f). ( h( t )*g( t )) =H( f ) G( f ) I (2.8) Logo uma convolução no domínio do tempo equivale a uma multiplicação no domínio da freqüência. Analogamente pode-se enunciar o teorema da convolução na freqüência: A transformada de Fourier do produto h(t) g(t) é igual a convolução H(f) * G(f). ( h( t) g( t )) =H( f )*G( f ) I (2.9) O que significa que a multiplicação no domínio do tempo equivale a uma convolução no domínio da freqüência.

TRANSFORMADA DE FOURIER 14 2.4 TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER Na maioria das situações práticas, a utilização da transformada de Fourier de uma função na sua forma fechada não é possível, porque nem sempre a função é tratada de forma contínua, como nos casos de funções obtidas através de dados experimentais. Por outro lado, rotinas computacionais também exigem a transformação de dados contínuos em discretos. Como conseqüência as integrais de Fourier devem ser substituídas por suas versões discretas, as transformadas discretas de Fourier, que são uma aproximação das transformadas contínuas de Fourier, e, como em todas as aproximações, estão sujeitas a erros que devem ser reduzidos tanto quanto possível. Os erros podem não estar associados somente às aproximações feitas quando se substitui as integrais por somatórios. Existem erros inerentes ao processo de obtenção de N pontos discretos da função do tempo original e também de N pontos discretos de sua transformada de Fourier. Segundo Meirovitch (1986), a derivação das transformadas discretas de Fourier envolve três passos: discretização no domínio do tempo, truncamento no domínio do tempo e discretização no domínio da freqüência. A transformação de uma função contínua do tempo em uma função equivalente, discretizada em intervalos iguais a T, pode ser acompanhada na Fig. 2.3 (Meirovitch, 1986). No processo descrito pela Fig. 2.3 também se usou um resultado da teoria das funções generalizadas, segundo o qual o produto de uma função contínua em t = T e uma função impulso vale: h( t) δ ( t-τ ) =h( T) δ ( t-τ) (2.10) A discretização da função original h(t) da Fig. 2.3(a) é feita multiplicando-a pelo trem de impulsos unitários espaçados pela distância T, (t) mostrado na Fig. 2.3(b), tendo como resultado uma função discreta do tempo formada por infinitos pontos (Fig. 2.3(c)). Sua transformada de Fourier é obtida pelo teorema da convolução na

TRANSFORMADA DE FOURIER 15 frequência. A transformada de Fourier de h(t), H(f) está representada na Fig. 2.3(a) e a transformada do trem de impulsos unitários é outro trem de impulsos (f) (Brigham, 1974), de magnitude igual a 1/T, espaçados pela distância 1/T conforme Fig. 2.3(b). A convolução dessas duas transformadas se mostra na Fig. 2.3(c), de onde se conclui que a transformada de Fourier da função discretizada a cada intervalo T, é uma função periódica, com período igual a 1/T, igual à função H(f) exceto pela amplitude, que é dividida por T. h(t) (t) h(t) ^ Area = 1 t t t T H(f) (f) Area = 1/T H(f) ^ 1/T -fc fc f -2/T -1/T 0 1/T 2/T f -2/T -1/T 0 1/T 2/T f (a) (b) (c) Fig. 2.3 Processso de discretização no tempo O processo descrito no parágrafo anterior e ilustrado na Fig. 2.3 partiu da premissa que o intervalo de discretização T foi pequeno o bastante para que, na Fig. 2.3(c) um período não se misturasse com o outro. Se, porém, o intervalo T aumenta, os impulsos (f) se aproximam, o que pode causar uma superposição nas funções H(f), tal como mostrado na Fig. 2.4 (Meirovitch, 1986).

TRANSFORMADA DE FOURIER 16 H(f) ^ 1/T -4/T -3/T -2/T -1/T 0 1/T 2/T 3/T 4/T Fig. 2.4 Fenômeno Aliasing Logo, a transformada de Fourier de uma função discretizada com uma taxa de discretização baixa, sofre uma distorção em relação àquelas discretizadas com uma taxa mais alta. Esta distorção é conhecida como aliasing, e pode ser entendida como a contaminação do espectro de frequências de um período por frequências de outro período. Da Fig. 2.3(c) vê-se que a taxa mínima de discretização para evitar a superposição de frequências é T = 1/(2f c ), onde f c é a mais alta freqüência de H(f). Assim para evitar esta distorção deve-se ter: 1 π T< = 2f ω c max (2.11) Observe-se que a ausência total de aliasing só é possível se H(f) = 0 para f >f c. O processo completo de obtenção do par de transformadas discretas de Fourier a partir de integrais de Fourier é mostrado na Fig. 2.5 (Meirovitch, 1986). O primeiro passo, discretização no domínio do tempo, foi explicado anteriormente, e está ilustrado na sequência (a) a (c) da Fig. 2.5. A transformada de Fourier mostrada na Fig. 2.5(c) apresenta uma primeira modificação em relação a transformada de Fourier original H(f) devido a ocorrência de aliasing.

TRANSFORMADA DE FOURIER 17 h(t) H(f) (a) t f 0 (t) Area = 1 (b) 0 (f) Area = 1/T h(t) ^ T t -1/T H(f) ^ 1/T f (c) t f g(t) G(f) T/2 T0 - T/2 t (d) f ^ h(t)g(t) ^ F(γ)G(f-γ)dγ (e) t f 1 (t) Area = T0 1 (f) Area = 1 -T0 T0 (f) t ~ h(t) H(f) ~ f 1/T0 t (g) f Fig. 2.5 Derivação gráfica do par de transformadas discretas de Fourier O próximo passo é o truncamento da função discretizada no tempo, já que somente N pontos serão considerados na análise. A função de truncamento e sua transformada de Fourier estão ilustradas na Fig. 2.5(d). A multiplicação no tempo das funções ĥ( t ) e g(t) conduz a uma função de comprimento finito e de magnitude igual a da função original. A transformada de Fourier obtida pela convolução na

TRANSFORMADA DE FOURIER 18 freqüência (Fig.2.5(e)) apresenta ondulações em relação a transformada de Fourier da Fig. 2.5(c), portanto uma segunda modificação na transformada de Fourier original H(f) foi introduzida devido ao processo de truncamento. Para se reduzir este efeito é necessário que o comprimento da função de truncamento seja o maior possível, dessa forma a sua transformada de Fourier se aproximará a um impulso e menos ondulações seriam introduzidas pela convolução na frequência. O último passo para se chegar ao par de transformadas discretas de Fourier é a discretização no domínio da frequência o que é feito através do trem de impulsos unitários na frequência 1 (f), espaçados pela freqüência 1/T 0 e sua transformada inversa de Fourier, mostrados na Fig.2.5(f). Multiplicando na frequência e fazendo a convolução no tempo chega-se ao resultado da Fig. 2.5(g). Pela Fig. 2.5 vê-se que a função de tempo original e sua transformada de Fourier foram aproximadas por N pontos discretos. Esses N pontos definem o par de transformadas discretas de Fourier e aproximam o par de transformadas original. A discretização no domínio do tempo provocou periodicidade no domínio da freqüência e a discretização no domínio da frequência provocou periodicidade no domínio do tempo. Logo, as transformadas discretas de Fourier requerem que ambas as funções originais no tempo e na freqüência se transformem em funções discretas periódicas, com um período sendo determinado por N pontos. A definição matemática do par de transformadas discretas de Fourier é dada por: N-1 -i2π nm N m m=0 H( f n ) = h( t ) e n=0,1,2,...,n-1 (2.12) N-1 i2π nm N n n=0 h( t m ) = H( f ) e m=0,1,2,...,n-1 (2.13) Sendo os valores discretos de t m obtidos por: t m=m t m=0,1,2,...,n-1 (2.14)

TRANSFORMADA DE FOURIER 19 e os valores das freqüências discretas obtidos por: n ( ) f =µ f µ=0, ± 1, ± 2,..., ± N/2-1, N/2 (2.15) 2.5 TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER A transformada Rápida de Fourier (Fast Fourier Transform) é meramente um algoritmo desenvolvido por Cooley e Tukey (1965), chamado de algoritmo FFT, que pode calcular a transformada discreta de Fourier muito mais rapidamente que outros algoritmos disponíveis. O algoritmo FFT alcança sua eficiência tirando vantagem da forma especial da transformada discreta de Fourier, em particular utilizando as propriedades harmônicas do seu termo exp(i2π/n)nm e também escolhendo um número de termos N igual a uma potência de 2, ou seja, N = 2 γ, onde γ é um número inteiro. Para N = 2 γ o algoritmo FFT é então simplesmente um procedimento para fatorar uma matriz N x N em γ matrizes (cada uma N x N) sendo que, cada uma das matrizes fatoradas tem a propriedade especial de minimizar o número de multiplicações e adições complexas (Brigham, 1974). O cálculo direto da transformada discreta de Fourier exige um número de operações de multiplicação de complexos igual a N 2 e de adição de complexos igual a N(N-1). Sabe-se na prática que esse cálculo se tornaria praticamente impossível para altos valores de N, porém com a utilização do algoritmo FFT, é possível reduzir o número de multiplicações de complexos a N γ/2 e o número de adições de complexos a N γ. Assumindo que o tempo computacional é proporcional ao número de multiplicações, então a razão do cálculo direto para o cálculo com FFT seria: 2 N = N γ /2 2N γ (2.16) O que para N = 1024 = 2 10 significaria um tempo de processamento

TRANSFORMADA DE FOURIER 20 aproximadamente 200 vezes menor quando se utiliza o algoritmo FFT. A Fig. 2.6 (Brigham, 1974) ilustra a relação entre o número de multiplicações requeridas usando o algoritmo FFT comparado com o número de multiplicações usando o método direto. 1024 Número de multiplicações (x1000) 512 256 128 64 Cálculo Direto da DFT FFT Algoritmo 64 128 256 512 N (número de termos) 1024 Fig. 2.6 Comparação das multiplicações requeridas pelo cálculo direto e pelo FFT algoritmo

CAPÍTULO 3 ANÁLISE DINÂMICA DE SISTEMAS COM UM GRAU DE LIBERDADE

ANÁLISE DINÂMICA DE SISTEMAS COM UM GRAU DE LIBERDADE 22 3.1. INTRODUÇÃO A resposta dinâmica de sistemas estruturais pode ser obtida por métodos no domínio do tempo ou pelo método de transformadas. Os métodos no domínio do tempo se baseiam na resolução direta da equação diferencial do movimento através de técnicas numéricas (métodos passo-a-passo) ou se baseiam na função de resposta ao impulso unitário, que consiste em considerar a carga como uma sucessão de impulsos de curta duração, sendo a resposta obtida pela superposição das respostas à vibração livre de cada impulso (Integral de Duhamel). Dentre os métodos de transformadas, podem ser citados os métodos da transformada de Laplace e da transformada de Fourier. O método da transformada de Fourier é bastante utilizado por conduzir a uma análise dinâmica no domínio da freqüência. Esse método é baseado na função complexa de resposta na freqüência, e, consiste em considerar a carga como uma superposição de harmônicos, sendo a resposta total obtida pela superposição das respostas a cada componente harmônico da carga. Os métodos passo-a-passo são bastantes gerais podendo ser aplicados em análises lineares e não lineares. Embora os métodos da integral de Duhamel e da transformada de Fourier sejam baseados em superposição, e portanto, são essencialmente lineares, eles podem ser aplicados em análise não linear através de apropriada técnica de linearização. O conhecimento de qualquer um dos métodos acima permite a translação de um método ao outro através da aplicação das transformadas de Fourier e dos teoremas de convolução. Neste capítulo é apresentado a formulação tradicional para análise no domínio da freqüência de sistemas com um grau de liberdade. A resposta dinâmica desses sistemas a diferentes tipos de carregamentos é deduzida para os modelos de amortecimento viscoso e histerético. Por último é apresentada a relação entre a função de resposta ao impulso unitário e a função de resposta complexa na freqüência.

ANÁLISE DINÂMICA DE SISTEMAS COM UM GRAU DE LIBERDADE 23 3.2. EQUAÇÃO DO MOVIMENTO O sistema de um grau de liberdade mostrado na Fig. 3.1 está sujeito a uma carga dinâmica p(t) aplicada à massa m, a partir do tempo t = 0. v(t) m p(t) fi(t) p(t) fs(t) c k fd(t) (a) (b) Fig. 3.1 Sistema de 1 G.L e Equilíbrio de forças Um caminho simples para se deduzir a equação do movimento é através do equilíbrio dinâmico. Para isso utiliza-se o princípio de D Alembert, segundo o qual a massa m desenvolve uma força fictícia de inércia proporcional e de sentido oposto à sua aceleração. Logo, se a força de inércia é introduzida, a equação do movimento é definida meramente como uma expressão do equilíbrio de todas as forças atuando na massa m (Fig.3.1(b)), estando o sistema dessa forma em equilíbrio a cada instante t, conforme a equação abaixo: fi( t ) +fd( t ) +fs( t ) =p(t) (3.1) onde: f I (t) f D (t) f s (t) é a força de inércia igual ao produto da massa pela aceleração segundo o princípio de D Alembert. é a força de amortecimento igual ao produto da constante de amortecimento c pela velocidade, se o mecanismo de amortecimento viscoso for assumido. é a força elástica igual ao produto da rigidez pelo deslocamento. O que resulta em:

ANÁLISE DINÂMICA DE SISTEMAS COM UM GRAU DE LIBERDADE 24 mv &&( t ) +cv& ( t ) +kv( t ) =p(t) (3.2) onde ( ),&( ) e &&( ) v t v t v t são respectivamente o deslocamento, a velocidade e a aceleração da massa m. A Eq. (3.2) representa a equação do movimento no domínio do tempo de um sistema com um grau de liberdade dotado de amortecimento viscoso. A freqüência natural do sistema da Fig. 3.1(a) é definida por: k ω= m (3.3) E a constante de amortecimento viscoso sub-crítico pode ser escrita em termos da taxa de amortecimento ξ, conforme a equação: c c ξ =, ξ = c=2ξmω (3.4) c 2mω c 3.3. ANÁLISE DINÂMICA NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA A essência da análise no domínio da freqüência é decompor o carregamento p(t) em uma série de harmônicos complexos. A resposta total do sistema é obtida então pela superposição das respostas do sistema a cada harmônico complexo. Nesta seção somente um único termo harmônico complexo será considerado como carregamento do sistema. É importante notar que na prática um carregamento harmônico complexo não teria sentido, o objetivo é simplesmente dar embasamento teórico para as próximas seções onde será estudada a resposta dinâmica aos diversos tipos de carregamento: harmônico real, periódico e transiente. Considerando o sistema de 1 G.L. da Fig. 3.1, sujeito a um carregamento harmônico complexo, a sua equação do movimento pode então ser escrita como:

ANÁLISE DINÂMICA DE SISTEMAS COM UM GRAU DE LIBERDADE 25 ( ) ( ) ( ) iωt mv && t +cv& t +kv t =p e (3.5) 0 onde i = -1, p 0 e ω são respectivamente a amplitude e a freqüência da excitação harmônica. A Eq. (3.5) é chamada equação complexa do movimento, e a barra indica que a resposta, a velocidade e a aceleração são quantidades complexas. Para condições iniciais nulas, a resposta será da forma: 0 ( ) iωt v(t)= V iω e (3.6) onde V ( ) 0 iω é a amplitude da resposta, de valor complexo dependente da freqüência de excitação. Através da Eq. (3.6), pode-se obter expressões para a velocidade e a aceleração: 0 iωt ( iω) e v(t)=iω & V (3.7) ( ) && v(t)=-ω V iω e (3.8) 2 iωt 0 Substituindo as Eqs. (3.6) a (3.8) na Eq. (3.5), obtém-se a expressão de V0( iω ): 1 V ( iω ) = p k-ω m+iωc 0 2 0 (3.9) A função entre colchetes é conhecida como função complexa de resposta na freqüência ou função de transferência na freqüência, denotada por H( iω ). Note que para excitação harmônica de amplitude unitária, H( iω ) fica sendo igual a amplitude da resposta, por isso H( iω ) é também chamada de flexibilidade dinâmica. A Eq. (3.9) pode ser escrita como: V0( iω ) = H( iω) p 0 (3.10) onde:

ANÁLISE DINÂMICA DE SISTEMAS COM UM GRAU DE LIBERDADE 26 1 H( iω ) = 2 k-ω m+iωc (3.11) Finalmente a resposta do sistema é obtida substituindo as Eqs. (3.10) e (3.11) na Eq. (3.6): 1 iωt ( ) p e v t = 2 k-ω m+iωc 0 (3.12) Definindo β como a relação entre a freqüência do carregamento e a freqüência ω natural do sistema, ou seja β= ω, e utilizando as Eqs. (3.3) e (3.4) a resposta do sistema dada pela Eq. (3.12) pode ser rescrita como: p 0 1 v( t ) = k ( ) 2 1-β +i 2ξβ e iωt (3.13) ou: ( ) v t = p0 k 2 ( 1-β )-i( 2ξβ) 2 ( 1-β ) + ( 2ξβ) 2 2 e iωt (3.14) Chamando-se de D( iω ) a quantidade complexa entre colchetes da Eq. (3.13), a sua forma polar é dada por: ( ) D iω = 1 ( ) ( ) 2 2 2 iθ 1-β + 2ξβ e = ( ) -iθ D iω e (3.15) Consequentemente a Eq.(3.13) também pode ser escrita em sua forma polar:

ANÁLISE DINÂMICA DE SISTEMAS COM UM GRAU DE LIBERDADE 27 p0 1 v(t)= k 2 ( 1-β ) + ( 2ξβ) 2 2 e iωt-θ ( ) (3.16) ou: iωt-θ ( ) v(t)=ρ e (3.17) onde ρ é a amplitude real da resposta, definida por : p0 p0 1 ρ = D( iω) = k k 2 ( 1-β ) + ( 2ξβ) 2 2 (3.18) E θ é o angulo de fase entre a resposta e o carregamento, definido por: θ=tan -1 2ξβ 2 ( 1-β ) (3.19) O módulo de D( iω ), chamado de fator de amplificação dinâmica e o ângulo de fase, são expressões importantes para análise do comportamento físico do sistema. Através da Eq.(3.18), pode-se dizer que a amplitude da resposta dinâmica é igual a p0 resposta estática k, multiplicada pelo fator de amplificação dinâmica. 3.4. RESPOSTA DINÂMICA A UM CARREGAMENTO HARMÔNICO REAL Quando o sistema estiver submetido a excitações harmônicas do tipo: p( t ) = p0 senωt (3.20) p( t ) = p0 cosωt (3.21)

ANÁLISE DINÂMICA DE SISTEMAS COM UM GRAU DE LIBERDADE 28 A resposta do sistema pode ser obtida através da resposta deduzida na seção anterior para carregamento harmônico complexo (Eq. (3.14)). Utilizando-se a equação de Euler que transforma funções exponenciais em trigonométricas, pode-se escrever o carregamento harmônico complexo como: iωt p0e =p0cosωt+ i p0 senωt (3.22) e sua resposta como: ( ) v t = p0 k ( ) 2 1-β -i 2ξβ 2 ( 1-β ) + ( 2ξβ) 2 2 ( cosωt+isenωt) (3.23) i Como p 0 cosωt é a parte real de p0e ωt, a resposta a esta excitação será a parte real da Eq.(3.23). Portanto, após a multiplicação dos números complexos do numerador da Eq. (3.23), obtêm-se sua parte real e consequentemente a resposta a excitação p cosω 0 t, dada por: p0 v( t ) = k 2 ( ) ( ) 2 ( 1-β ) + ( 2ξβ) 1-β cosωt+ 2ξβ senωt 2 2 (3.24) De forma análoga, como p sen( t) 0 i ω é a parte imaginária de p0e esta excitação será a parte imaginária da Eq. (3.23), dada por: ωt, a resposta a p0 v( t ) = k 2 ( ) ( ) 2 ( 1-β ) + ( 2ξβ) 1-β senωt- 2ξβ cosωt 2 2 (3.25)

ANÁLISE DINÂMICA DE SISTEMAS COM UM GRAU DE LIBERDADE 29 3.5. RESPOSTA DINÂMICA A UM CARREGAMENTO PERIÓDICO Seja um carregamento periódico arbitrário, onde T p é o período e ω 1 é a freqüência, dada por: ω 1 2π = (3.26) T p Como qualquer carregamento periódico pode ser expresso em termos de componentes harmônicos complexos através da série de Fourier em sua forma complexa, têm-se: n ( ) P e n iω t (3.27) n=-p t = onde P n é a amplitude complexa do n-ésimo componente harmônico de p(t) com freqüência ω n=nω 1, sendo dada por: 1 ( ) T (3.28) Tp -iωnt P n= p t e dt 0 p Considerando as Eqs. (3.6) e (3.10), a resposta ao n-ésimo componente harmônico, para condições iniciais nulas, será dada por: ( ) n iω t v n(t)= H iωn Pn e (3.29) Onde H( iω n) é a função complexa de resposta para a freqüência ω n=nω 1. A resposta total ao carregamento deve incluir a contribuição de cada componente harmônico. Portanto, usando o princípio da superposição: n=-v(t)= iωnt H( iωn) Pn e (3.30)

ANÁLISE DINÂMICA DE SISTEMAS COM UM GRAU DE LIBERDADE 30 Embora teoricamente a série de Fourier exija um número infinito de termos para a representação do carregamento, na prática a resposta pode ser obtida com precisão através de um número relativamente pequeno de termos. 3.6. RESPOSTA DINÂMICA A UM CARREGAMENTO TRANSIENTE O carregamento transiente pode ser encarado como um carregamento periódico de período T p tendendo ao infinito. Nessas circunstâncias o par de equações que representam a série de Fourier (Eqs.(3.27) e (3.28)) do carregamento tornar-se o par de integrais de Fourier, ou o par de transformadas de Fourier do carregamento. A resposta pode ser então obtida pelo mesmo raciocínio da seção anterior, e esse desenvolvimento encontra-se detalhado em Clough & Penzien (1993). Uma outra forma de determinar a resposta dinâmica a um carregamento transiente é aplicar a transformada de Fourier em ambos os lados da equação do movimento, conforme segue: I ( mv( t ) +cv( t ) +kv( t )) = I( p(t) ) && & (3.31) Pelo teorema da linearidade da transformada de Fourier, Eq. (2.5), têm-se: ( ) ( ) ( ) ( p(t) ) mi&& v t +civ& t +kiv t = I (3.32) Aplicando-se os teoremas da transformada de Fourier da derivada primeira e da derivada segunda da função, Eqs. (2.6) e (2.7) respectivamente, obtêm-se: 2 (-mω +iωc+k) V( iω ) = P( iω ) (3.33) Onde V( iω ) e P( iω ) são respectivamente as transformadas de Fourier da resposta e do carregamento.