DINÂMICA NÃO LINEAR DE UM MAGLEV Hassan Costa Arbex Aluno do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica Unesp Bauru Prof. Titular José Manoel Balthazar Orientador Dep. de Estatística e Matemática Aplicada e Computacional Unesp Rio Claro RESUMO O propósito deste trabalho é estudar as não-linearidades na dinâmica de um corpo em levitação magnética, excitado por um motor desbalanceado, com potência limitada. Essas não-linearidades levam o movimento da estrutura para o Efeito Sommerfeld. Por este fato, o trabalho do motor fica próximo ou na frequência de ressonância. Quando a estrutura atinge a condição de ressonância, a melhor parte da energia é consumida para gerar vibrações de grande amplitude sem nenhuma mudança sensível na freqüência do motor. Neste trabalho, é discutida a forma de conduzir o sistema à condição de ressonância e evitar o "absorvedor de energia" que ocorre com o efeito Sommerfeld. PALAVRAS-CHAVE: Vibrações não-ideais, sistemas dinâmicos, efeito Sommerfeld, Maglev.. 1. INTRODUÇÃO Desde o inicio das civilizações, há uma necessidade de viajar pequenas e grandes distâncias entre diferentes locais, nessa busca novas formas modernas e avançadas de locomoção surgem a cada dia. O primeiro problema de transporte terrestre foi como mover um grande número de pessoas. Somente em 1829 ocorreu a criação do primeiro serviço de transporte público em Londres, esta criação foi tradicionalmente atribuída a Georges Shilibeer. A primeira idéia de trem aconteceu em 1901 na França. De acordo com [1], a suspensão de objetos e pessoas sem meios visíveis de sustentação é fascinante para a maioria das pessoas, mesmo em tempos de altas tecnologias. Sistemas Dinâmicos sem os efeitos da gravidade são um sonho comum para gerações de pensadores desde Benjamin Franklin a Robert Goddard. Um método encontrado para resolver esta questão é a levitação magnética (maglev). A levitação magnética, maglev, ou suspensão magnética é um método pelo qual um objeto é suspenso, apoiado apenas pelos campos magnéticos. A pressão magnética é usada para neutralizar os efeitos da gravidade e todas as outras acelerações [2]. O desenvolvimento moderno de sistemas de transporte de levitação magnética, conhecidos como maglev, começou no final dos anos 60, como uma consequência natural do desenvolvimento da baixa temperatura do fio supercondutor, um transistor e tecnologia de controle baseados em chips eletrônicos. Na década de 80, MagLev amadureceu a ponto de tecnólogos japoneses e alemães começarem a comercializar essa nova tecnologia de alta velocidade [1]. Desde a descoberta dos supercondutores, de acordo com [3], a levitação magnética tornou-se um símbolo das novas tecnologias. Além disso, um sistema de transporte
de levitação magnética captura a imaginação do movimento dos corpos levitados. No entanto, há uma grande falta de entendimento sobre a levitação magnética. Até o final do século XIX modelos matemáticos de sistemas dinâmicos de vibração não levavam em conta a influência do comportamento do sistema sobre as fontes de vibração. Os modelos matemáticos que consideram a influência do comportamento do sistema sobre as fontes de vibração são chamados sistemas dinâmicos não-ideais; uma equação que descreve a interação do fornecimento de energia com o sistema motor devem ser adicionada. Assim, como primeira característica, os sistemas não-ideais de vibração tem um grau de liberdade a mais do que o correspondente sistema ideal. O fenômeno de salto na amplitude de vibração e do aumento da potência exigida pela fonte para operar próximo da região de ressonância do sistema são manifestações de um problema não-ideal, geralmente são conhecidos na literatura como Efeito Sommerfeld. Este fenômeno sugere que a resposta vibratória do sistema não-ideal emula um "absorvedor de energia" nas regiões próximas à ressonância do sistema, transferindo a potência da fonte de vibrações da estrutura de apoio, ao invés da aceleração da máquina. Em outras palavras, um dos problemas enfrentados pelo engenheiro mecânico é como dirigir um sistema através da região de ressonância. Uma revisão de problemas não-ideais foi publicado em [4]. O objetivo deste trabalho é estudar as interações entre um bloco de levitação magnética e um motor desbalanceado com potência limitada. 2. MODELO MATEMÁTICO Sabe-se que um modelo matemático é essencial para analisar a dinâmica do sistema e se necessário, para projetar um método de controle. Por meio do modelo simplificado da figura 1, obtemos as equações de movimento do sistema pelo método de Lagrange. Em seguida, obsreva-se o comportamento dinâmico do sistema e o efeito Sommerfeld. Fig. 1. Modelo simplificado - MagLev
No modelo, representa a massa do bloco, é a massa desbalanceada do eixo do motor elétrico, é o deslocamento vertical, é o deslocamento angular do motor que expressa a ação da fonte de energia no sistema oscilante (velocidade angular do motor que não é constante). Os parâmetros r é a excentricidade, é o momento de inércia do motor, a função representa a ação do sistema de oscilação da fonte de energia, a função é o torque resistivo aplicados ao motor e a função é o torque de acionamento da fonte de energia (motor). A partir da figura 1, obtemos as seguintes equações: Para o bloco: (1) E para o motor elétrico: (2) A partir das equações (1) e (2), obtém-se as energias cinética (T) e potencial (V), (3) (4) As equações que governam o movimento são: (5) Reescrevendo (5) na forma matricial temos:
(6) Resolvendo o sistema matricial obtemos as equações em espaço de estados. (7) Onde 3. SIMULAÇÃO NUMÉRICA E RESULTADOS Nesta seção, os resultados de simulações numéricas são obtidos utilizando o software Matlab, com o integrador ode113, Adams-Moulton Bashforth algoritmo solver PECE com passo variável. A tabela 1 mostra os valores numéricos dos parâmetros usados nas simulações. Tabela 1. Parâmetros [8] Descrição símbolo valor Massa do bloco 1 kg Massa desbalanceada 0.1 kg Excentricidade r 0.5 m Gap d 1.5 m Parâmetro de controle variável Parâmetro de controle 1 Amortecimento 0.05 N.s/m Gravidade g 9.8 m/s 2 Rigidez k 0 ou 0.5 N/m Momento de inércia J 2 0.37 kg.m 2
3.1. Efeito Sommerfeld O fenômeno do salto é obtido quando a tensão do motor ( ressonância (Fig. 2, 3 e 4). ) passa pela região de Fig. 2. Efeito Sommerfeld amplitude por frequências médias Fig. 3. Efeito Sommerfeld amplitude por tensão do motor
Fig. 4. Efeito Sommerfeld velocidade angular por tensão do motor Fig. 5. FFT
Observa-se também o aumento da amplitude de vibração do bloco quando se aumenta a tensão do motor. Fig. 6. Histórico no tempo - - antes da região de ressonância Fig. 7. Histórico no tempo - ressonância dentro da região de
Displacement 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 1 2 3 4 5 t 6 7 8 9 10 x 10 4 Fig. 8. Histórico no tempo - após a passagem pela região de ressonância 3.2. Adicionando uma mola ao sistema A fim de diminuir a amplitude da região de ressonância, é inserida uma mola no sistema, então podemos escrever a equação (5): (5) Comparando os dois sistemas obtemos:
Fig. 9. Comparação entre o sistema com mola (cinza - k=0.5) e sem mola (preto) Fig. 10. Comparação entre o sistema com mola cúbica (cinza - k=0.5 ; k3=0.5) e sem mola (preto) Observa-se que a amplitude de vibração do bloco teve uma sensível redução na passagem pela ressonância com a mola linear, porém aumentou com a inserção da mola cúbica.
3.3. Expoente de Lyapunov Determinando os expoentes de Lyapunov [5], com os parâmetros utilizados, não há caos neste problema como mostra a figura 11 [6]. Fig. 11. Expoentes de Lyapunov 4. CONCLUSÃO O sistema de vibração não-ideal proposto neste trabalho mostrou que a fonte de energia tem influência sobre a estrutura. Devido à existência do efeito Sommerfeld, a amplitude máxima ocorreu em regiões onde aconteceu o fenômeno de salto [7]. Para alguns parâmetros do sistema, o motor pode ficar preso em ressonância e não ter potência suficiente para alcançar os regimes de rotação superior (figuras 6, 8 e 9). Em futuros trabalhos uma estratégia de controle e redução do efeito Sommerfeld, podem ser implementadas a fim de manter os movimentos do sistema de baixa vibração. Além disso, inserir um pêndulo paramétrico como um dissipador de energia.
4.REFERÊNCIAS [1] Moon, F.C., Superconducting Levitation Cap WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim, 2004. [2] Braunbeck, W. Free suspension of bodies in electric and magnetic fields, Zeitschrift für Physik, 112, 11, pp753-763 (1939) [3] Moon, F.C., Applied Dynamics Jhon Wiley & Son Canada 1987. [4] Balthazar, J.M., Mook, D.T., Weber, H.I., Brasil, R.M.L.R.F., Fenili, A., Belato, D., Felix, J.L.P., 2003, An overview on non-ideal vibrationsǁ, Meccanica, Vol. 38, No. 6, 613-621. [5] Wolf, J. B. Swift, H.L. Swinney, J.A. Vastano, [1985], Determining Lyapunov exponents from a time-series, Physica D 16,pp. 285 317. [6] Nayfeh, A.H., Balachandran B. APPLIED NONLINEAR DYNAMICS WILEY- VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, 1995 [7] Palacios Felix, J.L., Balthazar, J. M., Dantas, and M.J.H., 2009, On energy pumping, synchronization and beat phenomenon in a non-ideal structure coupled to an essentially nonlinear oscillatorǁ, Nonlinear Dynamics. Volume 56, Numbers 1-2, 1-11. [8] Arbex, H.C., Balthazar, J.M., Pontes Junior, B.R., Palacios Felix, J.L., Brasil, R.M.L.R.F., On nonlinear dynamics and control of a block, magnetically levited, excited by a non-ideal engine. COBEM 2011.