INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DOS SISTEMAS LINEARES UTILIZANDO O SOFTWARE WINPLOT Susana Pereira da Cunha de Matos, Vanessa da Silva Pires 1 RESUMO Este trabalho apresenta uma interpretação gráfica dos sistemas lineares com o auxílio do software matemático Winplot. O trabalho foi desenvolvido por acadêmicos do curso de Licenciatura em Matemática do IFC- Câmpus Sombrio-SC, na disciplina de Educação Matemática e Tecnologias. A resolução dos sistemas lineares geralmente é ensinada nas escolas de forma mecânica, onde os alunos encontram os valores que são pedidos e acabam não percebendo o que realmente significa um sistema de equações lineares. A utilização dos softwares nas aulas de Matemática vem se tornando cada vez mais comum no cotidiano escolar, e eles agregam um valor muito positivo na visualização dos conceitos matemáticos que muitas vezes são abstratos e difíceis de compreender. Palavras-chave: Software. Sistemas Lineares. Tecnologia. INTRODUÇÃO O presente artigo analisa os resultados de uma oficina desenvolvida na disciplina de Educação Matemática e Tecnologia, do curso de Licenciatura em Matemática do IFC-Campus Avançado Sombrio, no primeiro semestre de 2014. Onde foi abordado os sistemas de equações lineares com a exploração do software Winplot. Este software foi criado em 1985, pelo professor Richard Parris, da Philips Exeter Academy, em New Hampshire. No inicio foi chamado de Plot, e mais tarde com o lançamento do ambiente operacional Windows 3.1 passou a ser chamado de Winplot. Ele é totalmente gratuito, e tem como maior utilidade representar funções com uma ou duas variáveis. Além de servir para o cálculo diferencial, visualização dos sólidos de revolução e a representação de soluções de sistemas de equações, em duas e três dimensões. 1 Acadêmicas do Curso de Licenciatura em Matemática do IFC- Câmpus Sombrio, 7ª fase.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Na Matemática ocidental antiga são poucas as aparições de sistemas de equações lineares. No Oriente, contudo, o assunto mereceu atenção bem maior. Com seu gosto especial por diagramas, os chineses representavam os sistemas lineares por meio de seus coeficientes escritos com barras de bambu sobre os quadrados de um tabuleiro. Assim acabaram descobrindo o método de resolução por eliminação que consiste em anular coeficientes por meio de operações elementares. Exemplos desse procedimento encontram-se nos Nove capítulos sobre a arte da matemática, um texto que data provavelmente do século 111 a.c. Mas foi só em 1683, num trabalho do japonês Seki Kowa, que a idéia de determinante (como polinômio que se associa a um quadrado de números) veio à luz. Kowa, considerado o maior matemático japonês do século XVII, chegou a essa noção através do estudo de sistemas lineares, sistematizando o velho procedimento chinês (para o caso de duas equações apenas). O uso de determinantes no Ocidente começou dez anos depois num trabalho de Leibniz, ligado também a sistemas lineares. Em resumo, Leibniz estabeleceu a condição de compatibilidade de um sistema de três equações a duas incógnitas em termos do determinante de ordem 3 formado pelos coeficientes e pelos termos independentes (este determinante deve ser nulo). Os sistemas de equações lineares podem ser utilizados em diversas áreas como na engenharia, física, química, medicina, tecnologias, entre outras. Também podem ocorrer situações no cotidiano onde é necessária a utilização e resolução de sistemas lineares. Além do processo algébrico de resolução podemos utilizar a representação gráfica para visualizar a solução, no entanto, para isso precisamos identificar cada eixo do sistema cartesiano com os valores. O conjunto solução de um sistema linear pode ser interpretado geometricamente como sendo o ponto comum onde às equações das retas se encontram no plano ou no espaço. Para melhor visualizar as soluções dos sistemas lineares podemos contar com o auxílio de softwares matemáticos, as tecnologias surgem como uma tendência em Educação Matemática, e podem ser de grande valia nas aulas.
É preciso que a escola e os professores se modernizem e se tornem atrativos, para receber alunos que estão acostumados a lidar com as tecnologias no seu cotidiano. O uso das tecnologias não dispensa o professor da sua função, pois apesar de os softwares facilitarem a visualização dos processos matemáticos é indispensável que o professor esteja preparado e junto dos alunos para fazer uma ponte entre o que está sendo feito, é preciso que seja feita uma interpretação, não apenas ver, mas interpretar o que está sendo analisado. De acordo com os PCNs (1998, pg., 44), A utilização das tecnologias permite que os alunos construam uma visão mais completa da verdadeira natureza da atividade matemática e desenvolvam atitudes positivas diante de seu estudo. DESENVOLVIMENTO Este trabalho foi desenvolvido, com base em uma atividade solicitada pela professora da disciplina de Educação Matemática e Tecnologia, do curso de Licenciatura em Matemática do IFC-Campus Avançado Sombrio, no primeiro semestre de 2014. Chama-se sistema linear a n incógnitas um conjunto de duas ou mais equações lineares com n incógnitas. Exemplos: a) { Sistema linear de duas equações e duas incógnitas, onde x e y são incógnitas e 7 e 1 são termos independentes. b) { Sistema linear de três equações e três incógnitas, onde x, y e z são as incógnitas e -7, 3 e 12 são os termos independentes. Solução de um sistema linear: Uma solução de um sistema linear é um conjunto de valores que satisfaz ao mesmo tempo todas as equações do sistema linear. Exemplo:
Para o sistema { y=1., os valores que satisfazem as duas equações são x=2 e Logo, a solução do sistema é o par ordenado (2,1). Sistema linear homogêneo Consideramos como sistema linear homogêneo aquele que possui todos os coeficientes independentes nulos. Exemplo: { Todo sistema linear homogêneo admite a solução nula (0,0,...,0), chamada de solução trivial. Um sistema linear homogêneo pode ter outras soluções além da trivial. Classificação de um sistema linear Os sistemas lineares são classificados quanto ao numero de soluções da seguinte forma: Sistema linear Possível: Quando admite solução. Impossível: quando não admite solução. Determinado: admite uma única solução. Indeterminado: admite infinitas soluções.
Interpretação geométrica de um sistema linear: I) { As retas que representam as equações deste sistema são concorrentes, ou seja, tem um único ponto comum, que é (3,2). Esse ponto é a única solução do sistema. II) {
As retas que representam as equações deste sistema são coincidentes, ou seja, tem infinitos pontos comuns: todos os pontos de uma das retas pertencem também à outra reta. Esses infinitos pontos são as soluções do sistema. III) { As retas que representam as equações deste sistema são paralelas distintas, ou seja, não tem ponto em comum e são coplanares. Logo o sistema não tem solução. Outros exemplos: a) {, sistema possível e determinado S = (1,2,3)
Os planos que representam as equações do sistema linear são concorrentes, ou seja, se encontram em um único ponto. Que é o ponto (1,2,3), o sistema tem uma única solução, logo é um sistema possível e determinado. b) {, sistema impossível. Os planos que representam as equações deste sistema linear são paralelos distintos, ou seja, não possuem nenhum ponto em comum, logo podemos classificar o sistema como sendo um sistema linear impossível, pois não admite solução comum.
CONCLUSÃO A realização deste trabalho proporcionou aos acadêmicos um importante momento de aprendizagem, pois como futuros professores de Matemática, é de extrema importância que se tenham conhecimento não somente dos conteúdos matemáticos, mas também das diferentes metodologias que se pode utilizar nas aulas. As Tecnologias aparecem como umas das principais tendências em educação já que fazem parte do cotidiano dos alunos. Porem é necessário que os docentes estejam preparados e conheçam o software que irão utilizar, para que possam instruir corretamente os alunos. REFERENCIAS BRASIL, Ministério da Educação Secretaria da Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1997. DOMINGUES, Hygino H. Origem dos Sistemas Lineares e Determinantes. Disponível em:<http://www.somatematica.com.br/historia/sistemas>. Acessado em: 01 de junho de 2014.