Matemática. Charadas, Curiosidades, Desafios. Pesquisa feita por: João Kleber Paranhos R. de Queiróz

1 Matemática Charadas, Curiosidades, Desafios Pesquisa feita por: João Kleber Paranhos R. de Queiróz

2 ORIGEM DO ZERO Embora a grande invenção prática do zero seja atribuída aos hindus, desenvolvimentos parciais ou limitados do conceito de zero são evidentes em vários outros sistemas de numeração pelo menos tão antigos quanto o sistema hindu, se não mais. Porém o efeito real de qualquer um desses passos mais antigos sobre o desenvolvimento pleno do conceito de zero - se é que de fato tiveram algum efeito - não está claro. O sistema sexagesimal babilônico usado nos textos matemáticos e astronômicos era essencialmente um sistema posicional, ainda que o conceito de zero não estivesse plenamente desenvolvido. Muitas das tábuas babilônicas indicam apenas um espaço entre grupos de símbolos quando uma potência particular de 60 não era necessária, de maneira que as potências exatas de 60 envolvidas devem ser determinadas, em parte, pelo contexto. Nas tábuas babilônicas mais tardias (aquelas dos últimos três séculos a.c.) usava-se um símbolo para indicar uma potência ausente, mas isto só ocorria no interior de um grupo numérico e não no final. Quando os gregos prosseguiram o desenvolvimento de tabelas astronômicas, escolheram explicitamente o sistema sexagesimal babilônico para expressar suas frações, e não o sistema egípcio de frações unitárias. A subdivisão repetida de uma parte em 60 partes menores precisava que às vezes nem uma parte de uma unidade fosse envolvida, de modo que as tabelas de Ptolomeu no Almagesto (c.150 d.c.) incluem o símbolo ou 0 para indicar isto. Bem mais tarde, aproximadamente no ano 500, textos gregos usavam o ômicron, que é a primeira letra palavra grega oudem ( nada ). Anteriormente, o ômicron, restringia a representar o número 70, seu valor no arranjo alfabético regular. Talvez o uso sistemático mais antigo de um símbolo para zero num sistema de valor relativo se encontre na matemática dos maias das Américas Central e do Sul. O símbolo maia do zero era usado para indicar a ausência de quaisquer unidades das várias ordens do sistema de base vinte modificado. Esse sistema era muito mais usado, provavelmente, para registrar o tempo em calendários do que para propósitos computacionais. É possível que o mais antigo símbolo hindu para zero tenha sido o ponto negrito, que aparece no manuscrito Bakhshali, cujo conteúdo talvez remonte do século III ou IV D.C., embora alguns historiadores o localize até no século XII. Qualquer associação do pequeno círculo dos hindus, mais comuns, com o símbolo usado pelos gregos seria apenas uma conjectura. Como a mais antiga forma do símbolo hindu era comumente usado em inscrições e manuscritos para assinalar um espaço em branco, era chamado sunya, significando lacuna ou vazio. Essa palavra entrou para o árabe como sifr, que significa vago. Ela foi transliterada para o latim como zephirum ou zephyrum por volta do ano 1200, mantendo-se seu som mas não seu sentido. Mudanças sucessivas dessas formas, passando inclusive por zeuero, zepiro e cifre, levaram as nossas palavras cifra e zero. O significado duplo da palavra cifra hoje - tanto pode se referir ao símbolo do zero como a qualquer dígito - não ocorria no original hindu.

3 HISTÓRIA DOS NÚMEROS A noção de número e suas extraordinárias generalizações estão intimamente ligadas à história da humanidade. E a própria vida está impregnada de matemática: grande parte das comparações que o homem formula, assim como gestos e atitudes cotidianas, aludem conscientemente ou não a juízos aritméticos e propriedades geométricas. Sem esquecer que a ciência, a indústria e o comércio nos colocam em permanente contato com o amplo mundo da matemática. A LINGUAGEM DOS NÚMEROS Em todas as épocas da evolução humana, mesmo nas mais atrasadas, encontra-se no homem o sentido do número. Esta faculdade lhe permite reconhecer que algo muda em uma pequena coleção (por exemplo, seus filhos, ou suas ovelhas) quando, sem seu conhecimento direto, um objeto tenha sido retirado ou acrescentado. O sentido do número, em sua significação primitiva e no seu papel intuitivo, não se confunde com a capacidade de contar, que exige um fenômeno mental mais complicado. Se contar é um atributo exclusivamente humano, algumas espécies de animais parecem possuir um sentido rudimentar do número. Assim opinam, pelo menos, observadores competentes dos costumes dos animais. Muitos pássaros têm o sentido do número. Se um ninho contém quatro ovos, pode-se tirar um sem que nada ocorra, mas o pássaro provavelmente abandonará o ninho se faltarem dois ovos. De alguma forma inexplicável, ele pode distinguir dois de três. O corvo assassinado Um senhor feudal estava decidido a matar um corvo que tinha feito ninho na torre de seu castelo. Repetidas vezes tentou surpreender o pássaro, mas em vão: quando o homem se aproximava, o corvo voava de seu ninho, colocava-se vigilante no alto de uma árvore próxima, e só voltava à torre quando já vazia. Um dia, o senhor recorreu a um truque: dois homens entraram na torre, um ficou lá dentro e o outro saiu e se foi. O pássaro não se deixou enganar e, para voltar, esperou que o segundo homem tivesse saído. O estratagema foi repetido nos dias seguintes com dois, três e quatro homens, sempre sem êxito. Finalmente, cinco homens entraram na torre e depois saíram quatro, um atrás do outro, enquanto o quinto aprontava o trabuco à espera do corvo. Então o pássaro perdeu a conta e a vida. As espécies zoológicas com sentido do número são muito poucas (nem mesmo incluem os monos e outros mamíferos). E a percepção de quantidade numérica nos animais é de tão limitado alcance que se pode desprezá-la. Contudo, também no homem isso é verdade. Na prática, quando o homem civilizado precisa distinguir um número ao qual não está habituado, usa conscientemente ou não - para ajudar seu sentido do número - artifícios tais como a comparação, o agrupamento ou a ação de contar. Essa última, especialmente, se tornou parte tão integrante de nossa estrutura mental que os testes sobre nossa percepção numérica direta resultaram decepcionantes. Essas provas concluem que o sentido visual direto do número possuído pelo homem civilizado raras vezes ultrapassa o número quatro, e que o sentido tátil é ainda mais limitado. Limitações vêm de longe Os estudos sobre os povos primitivos fornecem uma notável comprovação desses resultados. Os selvagens que não alcançaram ainda o grau de evolução suficiente para contar com os dedos estão

4 quase completamente disprovidos de toda noção de número. Os habitantes da selva da África do Sul não possuem outras palavras numéricas além de um, dois e muitos, e ainda essas palavras estão desvinculadas que se pode duvidar que os indígenas lhes atribuam um sentido bem claro. Realmente não há razões para crer que nossos remotos antepassados estivessem mais bem equipados, já que todas as linguagens européias apresentam traços destas antigas limitações: a palavra inglesa thrice, do mesmo modo que a palavra latina ter, possui dois sentidos: "três vezes" e "muito". Há evidente conexão entre as palavras latinas tres (três) e trans (mais além). O mesmo acontece no francês: trois (três) e très (muito). Como nasceu o conceito de número? Da experiência? Ou, ao contrário, a experiência serviu simplesmente para tornar explícito o que já existia em estado latente na mente do homem primitivo? Eis aqui um tema apaixonante para discussão filosófica. Julgando o desenvolvimento dos nossos ancestrais pelo estado mental das tribos selvagens atuais, é impossível deixar de concluir que sua iniciação matemática foi extremamente modesta. Um sentido rudimentar de número, de alcance não maior que o de certos pássaros, foi o núcleo do qual nasceu nossa concepção de número. Reduzido à percepção direta do número, o homem não teria avançado mais que o corvo assassinado pelo senhor feudal. Todavia, através de uma série de circunstâncias, o homem aprendeu a completar sua percepção limitada de número com um artifício que estava destinado a exercer influência extraordinária em sua vida futura. Esse artifício é a operação de contar, e é a ele que devemos o progresso da humanidade. O número sem contagem Apesar disso, ainda que pareça estranho, é possível chegar a uma idéia clara e lógica de número sem recorrer a contagem. Entrando numa sala de cinema, temos diante de nós dois conjuntos: o das poltronas da sala e o dos espectadores. Sem contar, podemos assegurar se esses dois conjuntos têm ou não igual número de elementos e, se não têm, qual é o de menor número. Com efeito, se cada assento está ocupado e ninguém está de pé, sabemos sem contar que os dois conjuntos têm igual número. Se todas as cadeiras estão ocupadas e há gente de pé na sala, sabemos sem contar que há mais pessoas que poltronas. Esse conhecimento é possível graças a um procedimento que domina toda a matemática, e que recebeu o nome de correspondência biunívoca. Esta consiste em atribuir a cada objeto de um conjunto um objeto de outro, e continuar assim até que um ou ambos os conjuntos se esgotem. A técnica de contagem, em muitos povos primitivos, se reduz precisamente a tais associações de idéias. Eles registram o número de suas ovelhas ou de seus soldados por meio de incisões feitas num pedaço de madeira ou por meio de pedras empilhadas. Temos uma prova desse procedimento na origem da palavra "cálculo", da palavra latina calculus, que significa pedra. A idéia de correspondência A correspondência biunívoca resume-se numa operação de "fazer corresponder". Pode-se dizer que a contagem se realiza fazendo corresponder a cada objeto da coleção (conjunto), um número que pertence à sucessão natural: 1,2,3...

5 A gente aponta para um objeto e diz: um; aponta para outro e diz: dois; e assim sucessivamente até esgotar os objetos da coleção; se o último número pronunciado for oito, dizemos que a coleção tem oito objetos e é um conjunto finito. Mas o homem de hoje, mesmo com conhecimento precário de matemática, começaria a sucessão numérica não pelo um mas por zero, e escreveria 0,1,2,3,4... A criação de um símbolo para representar o "nada" constitui um dos atos mais audaciosos da história do pensamento. Essa criação é relativamente recente (talvez pelos primeiros séculos da era cristã) e foi devida às exigências da numeração escrita. O zero não só permite escrever mais simplesmente os números, como também efetuar as operações. Imagine o leitor - fazer uma divisão ou multiplicação em números romanos! E no entanto, antes ainda dos romanos, tinha florescido a civilização grega, onde viveram alguns dos maiores matemáticos de todos os tempos; e nossa numeração é muito posterior a todos eles. Do relativo ao absoluto Pareceria à primeira vista que o processo de correspondência biunívoca só pode fornecer um meio de relacionar, por comparação, dois conjuntos distintos (como o das ovelhas do rebanho e o das pedras empilhadas), sendo incapaz de criar o número no sentido absoluto da palavra. Contudo, a transição do relativo ao absoluto não é difícil. Criando conjuntos modelos, tomados do mundo que nos rodeia, e fazendo cada um deles caracterizar um agrupamento possível, a avaliação de um dado conjunto fica reduzida à seleçào, entre os conjuntos modelos, daquele que possa ser posto em correspondência biunívoca com o conjunto dado. Começou assim: as asas de um pássaro podiam simbolizar o número dois, as folhas de um trevo o número três, as patas do cavalo o número quatro, os dedos da mão o número cinco. Evidências de que essa poderia ser a origem dos números se encontram em vários idiomas primitivos. É claro que uma vez criado e adotado, o número se desliga do objeto que o representava originalmente, a conexão entre os dois é esquecida e o número passa por sua vez a ser um modelo ou um símbolo. À medida que o homem foi aprendendo a servir-se cada vez mais da linguagem, o som das palavras que exprimiam os primeiros números foi substituindo as imagens para as quais foi criado. Assim os modelos concretos iniciais tomaram a forma abstrata dos nomes dos números. É impossível saber a idade dessa linguagem numérica falada, mas sem dúvida ela precedeu de vários milhões de anos a aparição da escrita. Todos os vestígios da significação inicial das palavras que designam os números foram perdidos, com a possível excessão de cinco (que em várias línguas queria dizer mão, ou mão estendida). A explicação para isso é que, enquanto os nomes dos números se mantiveram invariáveis desde os dias de sua criação, revelando notável estabilidade e semelhança em todos os grupos linguísticos, os nomes dos objetos concretos que lhes deram nascimento sofreram uma metamorfose completa. Palavras que representam números em algumas línguas indo-européias: Nº Grego arcaico Latim Alemão Inglês Francês Russo 1 en unus eins one un odyn 2 duo duo zwei two deux dva 3 tri tres drei three trois tri

6 4 tetra quatuor vier four quatre chetyre 5 pente quinque fünf five cinq piat 6 hex sex sechs six six chest 7 hepta septem sieben seven sept sem 8 octo octo acht eight huit vosem 9 ennea novem neun nine neuf deviat 10 deca decem zehn ten dix desiat 100 hecaton centum hundert hundred cent sto 1000 xilia mille tausend thousand mille tysiatsa Fonte: Dicionário Enciclopédico Conhecer - Abril Cultural

7 ORIGEM DOS NÚMEROS NEGATIVOS O número é um conceito fundamental em Matemática que tomou forma num longo desenvolvimento histórico. A origem e formulação deste conceito ocorreu simultaneamente com o despontar, entenda-se nascimento, e desenvolvimento da Matemática. As atividades práticas do homem, por um lado, e as exigências internas da Matemática por outro determinaram o desenvolvimento do conceito de número. A necessidade de contar objetos levou ao aparecimento do conceito de número Natural. Todas as nações que desenvolveram formas de escrita introduziram o conceito de número Natural e desenvolveram um sistema de contagem. O desenvolvimento subsequente do conceito de número prosseguiu principalmente devido ao próprio desenvolvimento da Matemática. Os números negativos aparecem pela primeira vez na China antiga. Os chineses estavam acostumados a calcular com duas coleções de barras - vermelha para os números positivos e preta para os números negativos.no entanto, não aceitavam a ideia de um número negativo poder ser solução de uma equação. Os Matemáticos indianos descobriram os números negativos quando tentavam formular um algoritmo para a resolução de equações quadráticas. São exemplo disso as contribuições de Brahomagupta, pois a aritmética sistematizada dos números negativos encontra-se pela primeira vez na sua obra. As regras sobre grandezas eram já conhecidas através dos teoremas gregos sobre subtracção, como por exemplo (a -b)(c -d) = ac +bd -ad -bc, mas os hindus converteram-nas em regras numéricas sobre números negativos e positivos. Diofanto (Séc. III) operou facilmente com os números negativos. Eles apareciam constantemente em cálculos intermédios em muitos problemas do seu "Aritmetika", no entanto havia certos problemas para o qual as soluções eram valores inteiros negativos como por exemplo: 4 = 4x +20 3x -18 = 5x^2 Nestas situações Diofanto limitava-se a classificar o problema de absurdo. Nos séculos XVI e XVII, muitos matemáticos europeus não apreciavam os números negativos e, se esses números apareciam nos seus cálculos, eles consideravam-nos falsos ou impossíveis. Exemplo deste facto seria Michael Stifel (1487-1567) que se recusou a admitir números negativos como raízes de uma equação, chamando-lhes de "numeri absurdi". Cardano usou os números negativos embora chamando-os de "numeri ficti". A situação mudou a partir do (Séc.XVIII) quando foi descoberta uma interpretação geométrica dos números positivos e negativos como sendo segmentos de direções opostas. Demonstração da regra dos sinais (segundo Euler)

8 Euler, um virtuoso do cálculo como se constata nos seus artigos científicos pela maneira audaz como manejava os números relativos e sem levantar questões quanto à legitimidade das suas construções forneceu uma explicação ou justificação para a regra os sinais. Consideremos os seus argumentos: 1- A multiplicação de uma dívida por um número positivo não oferece dificuldade, pois 3 dívidas de a escudos é uma dívida de 3a escudos, logo (b).(-a) = -ab. 2- Por comutatividade, Euler deduziu que (-a).(b) = -ab Destes dois argumentos conclui que o produto de uma quantidade positiva por uma quantidade negativa e vice-versa é uma quantidade negativa. 3- Resta determinar qual o produto de (-a) por (-b). É evidente diz Euler que o valor absoluto é ab. É pois então necessário decidir-se entre ab ou -ab. Mas como (-a) b é -ab, só resta como única possibilidade que (-a).(-b) = +ab. É claro que este tipo de argumentação vem demonstrar que qualquer "espírito" mais zeloso, como Stendhal, não pode ficar satisfeito, pois principalmente o terceiro argumento de Euler não consegue provar ou mesmo justificar coerentemente que - por - = +. No fundo, este tipo de argumentação denota que Euler não tinha ainda conhecimentos suficientes para justificar estes resultados aceitalvelmente. Na mesma obra de Euler podemos verificar que ele entende os números negativos como sendo apenas uma quantidade que se pode representar por uma letra precedida do sinal - (menos). Euler não compreende ainda que os números negativos são quantidades menores que zero.

9 ORIGEM DOS SINAIS A história dos sinais de adição, subtração, multiplicação, divisão e dos sinais de relação. Adição ( + ) e subtração ( - ) O emprego regular do sinal + ( mais ) aparece na Aritmética Comercial de João Widman d'eger publicada em Leipzig em 1489. Entretanto, representavam não à adição ou à subtração ou aos números positivos ou negativos, mas aos excessos e aos déficit em problemas de negócio. Os símbolos positivos e negativos vieram somente ter uso geral na Inglaterra depois que foram usados por Robert Recorde em 1557.Os símbolos positivos e negativos foram usados antes de aparecerem na escrita. Por exemplo: foram pintados em tambores para indicar se os tambores estavam cheios ou não. Os antigos matemáticos gregos, como se observa na obra de Diofanto, limitavam-se a indicar a adição juntapondo as parcelas - sistema que ainda hoje adotamos quando queremos indicar a soma de um número inteiro com uma fração. Como sinal de operação mais usavam os algebristas italianos a letra P, inicial da palavra latina plus. Multiplicação (. ) e divisão ( : ) O sinal de X, como que indicamos a multiplicação, é relativamente moderno. O matemático inglês Guilherme Oughtred empregou-o pela primeira vez, no livro Clavis Matematicae publicado em 1631. Ainda nesse mesmo ano, Harriot, para indicar também o produto a efetuar, colocava um ponto entre os fatores. Em 1637, Descartes já se limitava a escrever os fatores justapostos, indicando, desse modo abreviado, um produto qualquer. Na obra de Leibniz escontra-se o sinal para indicar multiplicação: esse mesmo símbolo colocado de modo inverso indicava a divisão. O ponto foi introduzido como um símbolo para a multiplicação por G. W. Leibniz. Julho em 29, 1698, escreveu em uma carta a John Bernoulli: "eu não gosto de X como um símbolo para a multiplicação, porque é confundida facilmente com x; freqüentemente eu relaciono o produto entre duas quantidades por um ponto. Daí, ao designar a relação uso não um ponto mas dois pontos, que eu uso também para a divisão." A forma a/b, indicando a divisão de a por b, são atribuídas aos árabes: Oughtred, e, 1631, colocava um ponto entre o dividendo o divisor. A razão entre duas quantidades é indicada pelo sinal :, que apareceu em 1657 numa obra de Oughtred. O sinal, segundo Rouse Ball, resultou de uma combinação de dois sinais existentes - e : Sinais de relação ( =, < e > )

10 Roberto Record, matemático inglês, terá sempre o seu nome apontado na história da Matemática por ter sido o primeiro a empregar o sinal = ( igual ) para indicar igualdade. No seu primeiro livro, publicado em 1540, Record colocava o símbolo entre duas expressões iguais; o sinal = ; constituído por dois pequenos traços paralelos, só apareceu em 1557. Comentam alguns autores que nos manuscritos da Idade Média o sinal = aparece como uma abreviatura da palavra est. Guilherme Xulander, matemático alemão, indicava a igualdade, em fins do século XVI, por dois pequenos traços paralelos verticais; até então a palavra aequalis aparecia, por extenso, ligando os dois membros da igualdade. Os sinais > ( maior que ) e < ( menor que ) são devidos a Thomaz Harriot, que muito contribuiu com seus trabalhos para o desenvolvimento da análise algébrica.

11 CURIOSIDADES COM NÚMEROS Por vezes quando efetuamos algumas operações obtêm-se resultados curiosos e interessantes embora a sua importância seja mínima. Por exemplo: 806 pode ser decomposto no seguinte produto 806 = 31 x 26. 806 = 62 x 13. Produto do número 37 pelos primeiros múltiplos de 3. 3 x 37 = 111 6 x 37 = 222 9 x 37 = 333 12 x 37 = 444 15 x 37 = 555 18 x 37 = 666 21 x 37 = 777 24 x 37 = 888 27 x 37 = 999 Produto de 3367 pelos primeiros múltiplos de 33. 33 x 3367 = 111111 66 x 3367 = 222222 99 x 3367 = 333333 132 x 3367 = 444444 165 x 3367 = 555555 198 x 3367 = 666666 231 x 3367 = 777777 264 x 3367 = 888888 297 x 3367 = 999999 Se continuássemos a multiplicar não obtínhamos a mesma sequência de números mas sim outra que até também é engraçada. 330 x 3367 = 1111110 363 x 3367 = 1222221 396 x 3367 = 1333332 429 x 3367 = 1444443 462 x 3367 = 1555554 495 x 3367 = 1666665 528 x 3367 = 1777776 561 x 3367 = 1888887 594 x 3367 = 1999998 Outro conjunto de operações com algo de curiosidade: 1 x 9 + 2 = 11 12 x 9 + 3 = 111 123 x 9 + 4 = 1111 1234 x 9 + 5 = 11111 12345 x 9 + 6 = 111111 123456 x 9 + 7 = 1111111 1234567 x 9 + 8 =11111111 12345678 x 9 + 9 = 111111111 Já agora, se estiver interessado, tente averiguar quais os números que multiplicados por 12345679 faz com que o resultado seja uma sequências de qualquer cifra ( 1 ao 9 )!

12 ABSURDOS MATEMÁTICOS Tente descobrir onde está o erro dessas demonstrações absurdas. ------------------------------------------------------------------------------- 2 é igual a 1??? Vamos verificar: Sejam a e b pertencentes ao reais, sendo a e b diferentes de zero. Suponhamos que a=b. Então, se a=b, multiplicando os dois lados da igualdade por a temos: a2=ab Subtraindo b2 dos dois lados da igualdade temos: a2-b2=ab-b2 Sabemos (fatoração), que a2-b2=(a+b)(a-b). Logo: (a+b)(a-b)=ab-b2 Colocando b em evidência do lado direito temos: (a+b)(a-b)=b(a-b) Dividindo ambos os lados por (a-b) temos: a+b=b Como no início dissemos que a=b, então no lugar de a eu posso colocar b: b+b=b Portanto 2b=b. Dividindo ambos os lados por b finalmente chegamos a conclusão: 2=1 Obviamente essa demonstração possui um erro, pois todos nós sabemos que 2 não é igual a 1 (ou alguém tem alguma dúvida?). TENTE DESCOBRIR ONDE ESTA O ERRO!!! Erro do 2=1 Nessa demonstração, chega uma etapa onde temos: (a+b)(a-b)=b(a-b) Segundo a demonstração, a próxima etapa seria: Dividimos ambos os lados por (a-b). Aí está o erro!!! No início supomos que a=b, portanto temos que a-b=0. Divisão por zero não existe!!! -------------------------------------------------------------------------------

13 4 é maior que 5??? Vamos verificar: Começamos com a seguinte inequação: (1/81)>(1/243) Ou seja: (1/3)4>(1/3)5 Aplicando o logaritmo decimal dos dois lados obtemos: log10(1/3)4>log10(1/3)5 Aplicando a propriedade da potência dos logaritmos temos: 4 log10(1/3)>5 log10(1/3) Dividindo ambos os lados por log10(1/3) chegamos a conclusão: 4>5 Obviamente essa demonstração possui um erro, pois todos nós sabemos que 4 não é maior que 5 (ou alguém tem alguma dúvida?). TENTE DESCOBRIR ONDE ESTA O ERRO!!! Erro do 4>5 Nessa demonstração, chega uma etapa onde temos: 4 log10(1/3)>5 log10(1/3) Segundo a demonstração, a próxima etapa seria: Dividir ambos os lados por log10(1/3) Aí está o erro!!! Pois log10(1/3) é um número negativo, certo? Portanto estamos dividindo os dois lados da inequação por um número NEGATIVO. Isso faria com que o operador relacional da equação se invertesse, o que nos levaria a correta conclusão de que: 4 < 5 ------------------------------------------------------------------------------- 2+2 é igual a 5??? Vamos verificar: Começamos com a seguinte igualdade, que é verdadeira: 16-36 = 25-45 Somamos (81/4) nos dois lados, o que não altera a igualdade: 16-36+(81/4) = 25-45+(81/4) Isso pode ser escrito da seguinte forma: (trinômio quadrado perfeito) (4-(9/2))2 = (5-(9/2))2 Tirando a raiz quadrada em ambos os lados temos: 4-(9/2) = 5-(9/2)

14 Somando (9/2) nos dois lados da igualdade temos: 4 = 5 Como 4=2+2 chegamos a seguinte conclusão: 2+2=5 Obviamente essa demonstração possui um erro, pois todos nós sabemos que 2+2 não é igual a 5 (ou alguém tem alguma dúvida?). TENTE DESCOBRIR ONDE ESTA O ERRO!!! Erro do 2+2=5 Nessa demonstração, chega uma etapa onde temos: (4-(9/2))2 = (5-(9/2))2 Segundo a demonstração, a próxima etapa é: Tirar a raiz quadrada de ambos os lados, obtendo: 4-(9/2) = 5-(9/2) Aí está o erro!!! Está errado porque a RAIZ QUADRADA de um número ELEVADO AO QUADRADO é igual ao MÓDULO desse número. Então o correto seria: 4-(9/2) = 5-(9/2) -0,5 = 0,5 0,5 = 0,5 ------------------------------------------------------------------------------- 2 é maior que 3??? Consideremos a seguinte situação. Seja: 1/4 > 1/8 mas esta mesma desigualdade pode ser escrita de outra forma em que o sinal da desigualdade será o mesmo: (1/2)2 > (1/2)3 Aplicando os logaritmos em ambos os membros e como o logaritmo é uma função crescente, isto é, a um número maior corresponde um logaritmo maior, teremos: log((1/2)2) > log((1/2)3), então pelas propriedades dos logaritmos temos: 2.log(1/2) > 3.log(1/2) em conclusão se dividir-mos ambos os membros por log(1/2) teremos: 2 > 3 É evidente que a primeira vista todo o raciocinio está correto, mas se olharmos com atenção, encontramos a falha: Quando se aplica os logaritmos a ambos os membros da desigualdade, nada é afirmado relativamente à base do mesmo. Pois se for considerado log de base entre 0 e 1, o raciocinio é inválido. De fato loga((1/2)2) < loga((1/2)3), com 0< a <1. -------------------------------------------------------------------------------

15 4 é igual a 6? Começamos com a seguinte igualdade: -24 = -24 Escrevemos o número -24 em duas formas diferentes: 16-40 = 36-60 Os números 16, 40, 36 e 60 podem ser escritos da seguinte forma: 4x4-2x4x5 = 6x6-2x6x5 Podemos somar 25 nos dois lados da equação sem a alterar: 4x4-2x4x5 + 5x5 = 6x6-2x6x5 + 5x5 Agora vemos que tanto no lado esquerdo como no lado direito temos um binômio ao quadrado (o primeiro termo ao quadrado, menos duas vezes o produto dos dois termos mais o quadrado do segundo) (4-5)2 = (6-5)2 Eliminando o quadrado nos dois lados da equação temos: 4-5 = 6-5 Finalmente, somando 5 nos dois lados, obtemos o resultado: 4 = 6 Obviamente essa demonstração possui um erro, pois todos nós sabemos que 4 não é igual a 6 (ou alguém tem alguma dúvida?). TENTE DESCOBRIR ONDE ESTA O ERRO!!! Erro do 4=6 Nessa demonstração, chega uma etapa onde temos: (4-5)2 = (6-5)2 Segundo a demonstração, a próxima etapa é: Tirar a raiz quadrada de ambos os lados, obtendo: 4-5 = 6-5 Aí está o erro!!! Está errado porque a RAIZ QUADRADA de um número ELEVADO AO QUADRADO é igual ao MÓDULO desse número. Então o correto seria: 4-5 = 6-5 -1 = 1 1 = 1 ------------------------------------------------------------------------------- 3 é igual a 4?

16 Começamos com a seguinte igualdade: 0 = 0 Podemos escrever a igualdade da seguinte maneira: 3-3 = 4-4 Colocamos o 3 e o 4 em evidência: 3 (1-1) = 4 (1-1) Cortamos os termos comuns entre parênteses e chegamos à igualdade: 3 = 4 Obviamente essa demonstração possui um erro, pois todos nós sabemos que 3 não é igual a 4 (ou alguém tem alguma dúvida?). TENTE DESCOBRIR ONDE ESTA O ERRO!!! Erro do 3=4 Nessa demonstração, chega uma etapa onde temos: 3 (1-1) = 4 (1-1) Segundo a demonstração, a próxima etapa é cortar os membros comuns entre parênteses. Aí está o erro!!! Está errado porque o que temos entre parênteses é 1-1, que é igual a 0. Portanto estaríamos dividindo ambos os lados por zero. Divisão por zero não existe!!! ------------------------------------------------------------------------------- 8 é igual a 7? Começamos com a seguinte igualdade, que supomos ser verdadeira: a+b = c Podemos escrever a igualdade da seguinte maneira: (8a-7a) + (8b-7b) = (8c-7c) Colocando todos os múltiplos de 7 de um lado e os de 8 do outro, temos: 8a+8b-8c = 7a+7b-7c Colocando em evidência o 7 de um lado e o 8 do outro temos: 8(a+b-c) = 7(a+b-c) Dividindo ambos os lados por a+b-c temos: 8 = 7 Obviamente essa demonstração possui um erro, pois todos nós sabemos que 8 não é igual a 7 (ou alguém tem alguma dúvida?). TENTE DESCOBRIR ONDE ESTA O ERRO!!!

Erro do 7=8 Nessa demonstração, chega uma etapa onde temos: 8 (a+b-c) = 7 (a+b-c) Segundo a demonstração, a próxima etapa é dividir ambos os lados por a+b-c. Aí está o erro!!! Está errado porque no início supomos que a+b=c, portanto a+b-c vale zero. Divisão por zero não existe!!! 17

18 Aonde foi parar o outro R$ 1,00 Eu,Tu e Ele... fomos comer no restaurante e no final a conta deu R$30,00. Fizemos o seguinte: cada um deu dez mangos... Eu: R$ 10,00 Tu:: R$ 10,00 Ele:: R$ 10,00 O garçom levou o dinheiro e o dono do restaurante disse o seguinte: "Esses três já são clientes antigos do restaurante, então vou devolver $5,00 para eles"... O garçom, muito esperto, fez o seguinte: pegou R$ 2,00 para ele e deu R$1,00 para cada um de nós... No final ficou assim: Eu: R$ 10,00 (- R$ 1,00 que foi devolvido) = Eu gastei R$ 9,00 Tu: R$ 10,00 (- R$ 1,00 que foi devolvido) = Tu gastou R$ 9,00 Ele: R$ 10,00 (- R$ 1,00 que foi devolvido) = Ele gastou R$ 9,00 Logo, se cada um de nós gastou R$ 9,00, o que nós três gastamos juntos, foi R$ 27,00. E se o garçom pegou R$ 2,00 para ele, temos: Nós: R$ 27,00 Garçom: R$ 2,00 TOTAL: R$ 29,00 Aonde foi parar o outro R$ 1,00???????

19 Charadas 1) Gato e Meio Se gato e meio come rato e meio em minuto e meio, em quanto tempo um gato come dois ratos? 2) O Senhor é meu Pastor Pense e escolha a única opção correta: "O SENHOR É O MEU PASTOR E NADA ME FALTARÁ" a) O SENHOR será meu pastor enquanto não me faltar nada. b) Nada me faltará por que o SENHOR é meu pastor. c) Nada me faltará por qualquer razão menos pelo fato de ser o SENHOR meu pastor. d) Nada me faltará por qualquer razão podendo ser pelo fato de ser o SENHOR meu pastor. e) O SENHOR será meu pastor se não me faltar nada. f) Não me faltará nada somente se o SENHOR for meu pastor. g) Faltar-me-á algo se o SENHOR não for meu pastor. h) Mesmo que me falte algo o SENHOR será sempre meu pastor. 3) Quem ama quem? Oito jovens- - 4 garotos e 4 garotas - passeavam numa gôndola em Veneza. Todos estavam apaixonados: cada garoto por uma garota e vice-versa. O gondoleiro, muito observador, nota os olhares e observa: 1- Claudia é amada pelo rapaz que é amado pela garota que ama Bruno; 2- Diana ama quem ama Claudia e é amada pelo amor do amor de Carlos; 3- Antonio ama quem quer namorar com quem gosta de Bruna; 4- Quando Carlos olha para Bruna provoca ciúmes em Aline, que é amada pelo rapaz que é amado por quem ama Antonio; 5- Daniel é amado pela garota que é amada por quem ama Bruna. Quem ama quem? 4)A frase: SE ESTUDO ENTÃO PASSO equivale à: a) Se passo então estudo b) Se não estudo então não passo c) Se não passo então não estudo d) Só se estudo então passo e) Estudo ou não passo Resposta:

20 Se estudo então passo significa que se eu estudar vou passar, mas nada afirma sobre o que acontecerá se eu não estudar. Se eu não estudar, posso passar ou não. Se eu não passar, significa que não estudei pois, se eu estudar, passo com certeza. A alternativa correta é a letra C. 5) Soma das idades Dois amigos matemáticos, que há muito não se viam, se encontraram na rua. Depois de muita conversa um deles perguntou: Você tem filhos? E o outro respondeu: "Tenho três filhas. O produto de suas idades é 36; a soma das idades é o número daquela casa ali ( e apontou a casa e o amigo viu o número ).O amigo continuou na dúvida sem poder dizer qual a idade das filhas dele. De repente o pai disse: "ah! E a mais velha toca piano!" Nesse ponto o amigo, excelente matemático, não tinha mais dúvida e já podia dizer as idades com certeza. Qual a idade delas? Resposta: Analizando as possibilidades temos: 1 x 6 x 6 = 36 / Soma 13 3 x 3 x 4 = 36 / Soma 10 1 x 1 x 36 = 36 / Soma 38 1 x 4 x 9 = 36 / Soma 14 2 x 3 x 6 = 36 / Soma 11 1 x 3 x 12 = 36 / Soma 16 1 x 2 x 18 = 36 / Soma 21 2 x 2 x 9 = 36 / Soma 13 Como a soma das idades era o mesmo número da casa em frente, bastava que ele olhasse o número para saber as idades. Acontece que mesmo com essa dica ele ainda continuou na dúvida. Concluímos que o número da casa era 13 pois existem duas possibilidades para essa soma ( 1 x 6 x 6 e 2 x 2 x 9 ). Com a terceira dica de que a mais velha toca piano eliminamos a hipótese onde não há irmã mais velha ( 1 x 6 x 6 ) e ficamos com os valores 2,2,9. 6) Em um cartão estão quatro afirmativas: Neste cartão exatamente uma afirmativa é falsa; Neste cartão exatamente duas afirmativas são falsas; Neste cartão exatamente três afirmativas são falsas; Neste cartão exatamente quatro afirmativas são falsas; Quantas são falsas? 7) Lápis e Caneta LÁPIS - CANETA - LÁPIS E CANETA Existem três gavetas com e somente com os objetos indicados pelas etiquetas. Afirmando que todas as etiquetas estão colocadas trocadas, quantas vezes é necessário retirar um objeto de qualquer gaveta para se colocar as etiquetas corretamente?

21 1000 + 40 O cálculo deve ser feito rapidamente. Este cálculo deve fazer-se mentalmente (e rapidamente), sem utilizar calculadora nem papel e caneta! Você tem 1000, acrescenta mais 40. Acrescenta mais 1000. Acrescenta mais 30. Acrescenta mais 1000. Acrescenta 20. Acrescenta mais 1000. Acrexcenta mais 10. Qual é o total? (Resposta mais abaixo) O seu resultado é de 5000? A resposta certa é de 4100! Se não acredita, verifica com a calculadora. O que acontece é que a seqüência de milhar desvia atenção do cérebro. O cérebro tende naturalmente a arrendondar a soma dos decimais, só que os milhares separadamente somados o confundem e faz ele arredondar o que seria centena para milhar também (força da repetição).

22 Teste De Einstein 1. Há cinco casas de 5 diferentes cores. 2. Em cada casa mora uma pessoa de uma diferente nacionalidade 3. Esses 5 proprietários bebem diferentes bebidas, fumam diferentes tipos de cigarro e têm um certo animal de estimação 4. Nenhum deles tem o mesmo animal, fumam o mesmo cigarro ou bebem a mesma bebida. A questão é: quem tem um peixe? Dados: - O inglês vive na casa vermelha. - O sueco tem cachorros como animais de estimação. - O dinamarquês bebe chá. - A casa verde fica à esquerda da casa branca. - O dono da casa verde bebe café. - A pessoa que fuma Pall Mall cria pássaros - O dono da casa amarela fuma Dunhill. - O homem que vive na casa do centro bebe leite. - O norueguês vive na primeira casa. - O homem que fuma blends vive ao lado do que tem gatos. - O homem que cria cavalos vive ao lado do que fuma Dunhill. - O homem que fuma Bluemaster bebe cerveja. - O alemão fuma Prince. - O norueguês vive ao lado da casa azul. - O homem que fuma Blend é vizinho do que bebe água. Einstein escreveu esse teste no século passado. Ele disse que 98% do mundo não pode resolvê-lo.

23 PALÍNDROMOS Palíndromos podem ser palavras ou números que são iguais quando lidos de frente para trás e de trás para frente. Alguns exercícios de análise combinatória envolvem palíndromos. Aqui, só por curiosidade, mostramos alguns palíndromos. ALÔ BOLA AME O POEMA AMOR A ROMA ANA ANOTARAM A DATA DA MARATONA ANOTARAM A MARATONA APÓS A SOPA ASSIM A AIA IA A MISSA ATÉ O POETA AULA É A LUA A BABÁ BABA A DIVA EM ARGEL ALEGRA-ME A VIDA A DROGA DA GORDA A MALA NADA NA LAMA A TORRE DA DERROTA EVA ASSE ESSA AVE LUZ AZUL LUZA ROCELINA, A NAMORADA DO MANUEL, LEU NA MODA DA ROMANA: ANIL É COR AZUL ÓDIO DO DOIDO OI RATO OTÁRIO OSSO OTO COME MOCOTÓ OVO O CASACO O CÉU SUECO O DEDO O GALO AMA O LAGO O LOBO AMA O BOLO O GALO NO LAGO O MITO É ÓTIMO O ROMANO ACATA AMORES A DAMAS AMADAS E ROMA ATACA O NAMORO O VÔO DO OVO MIRIM MORRAM APÓS A SOPA MARROM MUSSUM

24 RADAR RENNER REVIVER RIR, O BREVE VERBO RIR ROMA É AMOR ROMA ME TEM AMOR SAIRAM O TIO E OITO MARIAS SÁ DA TAPAS E SAPATADAS SOCORRAM-ME SUBI NO ÔNIBUS EM MARROCOS SUBI NO ÔNIBUS VIVIANA AMA ANA IVIV ZE DE LIMA RUA LAURA MIL E DEZ

25 Multiplicar um Número por... Multiplicar um número por 11 Quando o número for de 2 algarismos, basta somar esses 2 algarismos de colocar o resultado no meio deles. Por exemplo, vamos efetuar a seguinte multiplicação: 26 x 11. Temos o número 26, somando seus 2 algarismos temos 2+6=8. Pronto! Agora é só colocar esse 8 no meio deles: a resposta é 286. Portanto 26 x 11 = 286. Outros exemplos: 1) 34 x 11 somamos os algarismos do número 34: 3+4=7 colocamos o resultado no meio deles: 374. Portanto 34x11 = 374. 2) 81 x 11 somamos os algarismos do número 81: 8+1=9 colocamos o resultado no meio deles: 891. Portanto 81x11 = 891. 3) 37 x 11 somamos os algarismos do número 37: 3+7=10 como deu um nº maior que 9, então não podemos colocar todo o número no meio deles. Colocamos apenas o algarismo das unidades (0) no meio deles, e o algarismo da dezena (1) é somado ao primeiro algarismo do número: 407. Portanto 37x11 = 407. Quando o número for de 3 algarismos, então esse número multiplicado por 11 resultará em um número de 4 algarismos. Por exemplo, vamos efetuar a seguinte multiplicação: 135 x 11. Temos o número 135. Somando o 1º com o 2º algarismo desse número temos 1+3=4. Somando o 2º com o 3º algarismo desse número temos 3+5=8. Esses 2 resultados serão colocados no meio do número 135, tirando o seu algarismo do meio: 1485. Portanto 135 x 11 = 1485. Multiplicar um número por 9 Nesse caso basta acrescentar um zero no final do número e subtrair pelo número inicial. Vamos efetuar a seguinte multiplicação: 44 x 9. Acrescentando um zero no final do número 44 ficamos com 440. Então subtraímos desse valor o valor inicial: 440-44 = 396. Portanto 44 x 9 = 396. Outros exemplos: 27 x 9 = 270-27 = 243. 56 x 9 = 560-56 = 504. 33 x 9 = 330-33 = 297.

26 Multiplicar um número por 99 Nesse caso basta acrescentar 2 zeros no final do número e subtrair pelo número inicial. Vamos efetuar a seguinte multiplicação: 44 x 99. Acrescentando 2 zeros no final do número 44 ficamos com 4400. Então subtraímos desse valor o valor inicial: 4400-44 = 4356. Portanto 44 x 99 = 4356. Outros exemplos: 27 x 99 = 2700-27 = 2673 56 x 99 = 5600-56 = 5544 33 x 99 = 3300-33 = 3267 Multiplicar um número por 101 Quando um número de 2 algarismos AB for multiplicado por 101, o resultado será ABAB. Alguns exemplos: 43 x 101 = 4343 32 x 101 = 3232 14 x 101 = 1414 Essa é Interessante Multiplicar 2 números (de 2 algarismos) que possuam o mesmo algarismo das dezenas, e a soma de seus algarismos das unidades seja 10. Exemplos de multiplicações que podem ser feitas com esse método: 42x48, 53x57, 21x29, 35x35, 87x83, 94x96, etc. Devem ser seguidos os seguintes passos: 1) Multiplicamos o algarismo das dezenas (que é igual nos 2 números) pelo número seguinte a ele; 2) Multiplicamos os algarismos das unidades normalmente; 3) Juntamos as duas partes. Vamos efetuar a seguinte multiplicação: 53 x 57: Passo 1: 5x6 = 30 Passo 2: 3x7 = 21 Passo 3: Juntamos os dois números: 3021. Portanto 53 x 57 = 3021. Barbada!

27 Outro exemplo: 94 x 96: Passo 1: 9x10 = 90 Passo 2: 4x6 = 24 Passo 3: Juntamos os dois números: 9024. Portanto 94 x 96 = 9024. Barbada! E a Última... Soma dos n primeiros números naturais ímpares A soma dos n primeiros números naturais ímpares é igual a n^2. Exemplos: 1) Soma dos 5 primeiros números naturais ímpares (1+3+5+7+9): A soma é igual a 5^2 = 25. 2) Soma dos 15 primeiros números naturais ímpares: A soma é igual a 15^2 = 225.

28 DESAFIOS MATEMÁTICOS -------------------------------------------------------------------------------- DESAFIO 1 EU TENHO O DOBRO DA IDADE QUE TU TINHAS QUANDO EU TINHA A TUA IDADE. QUANDO TU TIVERES A MINHA IDADE, A SOMA DAS NOSSAS IDADES SERÁ DE 45 ANOS. QUAIS SÃO AS NOSSAS IDADES??? Tu TINHAS uma idade que chamaremos de x e hoje TEM uma idade que chamaremos de y. Eu TENHO o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a tua idade atual y (o dobro de x), ou seja, eu TENHO 2x anos. ENTÃO: Tu TINHAS x e agora tem y. Eu TINHA y e agora tenho 2x. Portanto temos que: y-x = 2x-y 2y=3x x=(2/3).y ENTÃO, substituindo o valor de x, temos: Tu TINHAS (2/3).y e agora tem y.eu TINHA y e agora tenho (4/3).y Agora preste atenção na segunda frase: QUANDO TU TIVERES A MINHA IDADE, A SOMA DAS NOSSAS IDADES SERÁ DE 45 ANOS. Tu tem y, e para ter a minha idade, que é (4/3).y, deve-se somar a tua idade y com mais (1/3).y Somando y + (1/3)*y você terá a minha idade, ou seja, você terá (4/3)*y. Como somamos (1/3).y à sua idade, devemos somar à minha também, ou seja: Agora eu tenho (4/3).y + (1/3).y, logo eu tenho (5/3).y A soma de nossas idades deve ser igual a 45 anos: (4/3).y + (5/3).y=45 (9/3).y=45 3y=45 y=15 No início descobrimos que x=(2/3).y, portanto x=(2/3).15, logo x=10. FINALMENTE: QUAIS SÃO AS NOSSAS IDADES??? COMO DISSEMOS NO INÍCIO, A TUA IDADE ATUAL É y, OU SEJA, 15 ANOS. E A MINHA IDADE É 2x, OU SEJA, 2.10, QUE É IGUAL A 20 ANOS. PORTANTO AS IDADES SÃO 20 E 15 ANOS!!! --------------------------------------------------------------------------------

29 DESAFIO 2 UM AUTOMÓVEL COMPORTA DOIS PASSAGEIROS NO BANCO DA FRENTE E TRÊS NO BANCO DE TRÁS. CALCULE O NÚMERO DE ALTERNATIVAS DISTINTAS PARA LOTAR O AUTOMÓVEL UTILIZANDO 7 PESSOAS, DE MODO QUE UMA DESSAS PESSOAS NUNCA OCUPE UM LUGAR NOS BANCOS DA FRENTE. São 7 pessoas, sendo que uma nunca pode ir num banco da frente. Vamos chamar essa pessoa de João, por exemplo. Então primeiro vamos calcular o número de maneiras de lotar o automóvel SEM o João, usando apenas as outras seis pessoas: Como temos 6 pessoas e 5 lugares no carro então calculamos o arranjo de 6 elementos, tomados 5 à 5: A6,5= 720 Agora vamos calcular o número de maneiras de lotar o automóvel COM o João. Sabemos que o João não pode estar nos bancos da frente, portanto ele deve estar em um dos três bancos de trás. Então fixamos o João em um dos lugares traseiros (então sobram 4 lugares no carro), e depois calculamos o número de maneiras de colocar as outras 6 pessoas nesses 4 lugares, ou seja, um arranjo de 6 elementos, tomados 4 a 4: A6,4= 360 O João pode estar em qualquer um dos três bancos de trás, portanto devemos multiplicar esse resultado por 3: 3 x A6,4= 3 x 360 = 1080 O número total de maneiras de lotar o automóvel é a soma dos dois arranjos (COM João e SEM João). Portanto número total é 720+1080 = 1800 maneiras!!! -------------------------------------------------------------------------------- DESAFIO 3 AS IDADES DE DUAS PESSOAS HÁ 8 ANOS ESTAVAM NA RAZÃO DE 8 PARA 11; AGORA ESTÃO NA RAZÃO DE 4 PARA 5. QUAL É A IDADE DA MAIS VELHA ATUALMENTE? Chamaremos de y a idade da pessoa mais nova. Chamaremos de x a idade da pessoa mais velha. O problema diz que agora (atualmente) as idades estão na razão de 4 para 5. Então: y/x = 4/5 (equação 1) O problema diz que há 8 anos as idades estavam na razão de 8 para 11. Então: (y-8)/(x-8) = 8/11 (equação 2) Isolando y na equação 1: y = 4x/5

30 Colocando esse valor de y na equação 2 temos: ((4x/5)-8)/(x-8) = 8/11 (4x/5)-8 = 8/11.(x-8) Fazendo o mmc dos dois lados temos: (4x-40) / 5 = (8x-64) / 11 11.(4x-40) = 5.(8x-64) 44x-440 = 40x-320 44x-40x = 440-320 4x = 120 x= 30 Portanto a idade da pessoa mais velha é 30 anos!!! -------------------------------------------------------------------------------- DESAFIO 4 EXISTEM N TRIÂNGULOS DISTINTOS COM OS VÉRTICES NOS PONTOS DA FIGURA. QUAL É O VALOR DE N? N N N N N N N N N N N N N Podemos notar que a figura é parecida com um "A". Temos 13 pontos no total. Portanto o total de combinações entre eles é: C13,3 = 286 Porém, nós queremos apenas as que formam triângulos, então temos que subtrair todas as combinações que não formam triângulos, ou seja, as combinações em que os pontos são COLINEARES. Temos 3 situações onde isso acontece: Na "perna esquerda" do "A", temos 6 pontos colineares que não podem ser combinados entre si, pois não formam triângulos. Na "perna direita" do "A", temos a mesma situação. E no meio temos 4 pontos colineares que também não podem ser combinados entre si. Temos que subtrair essa 3 situações do total. Então o número de triângulos que podem ser formados é: C13,3 - C6,3 - C6,3 - C4,3 = 286-20 - 20-4 = 242 Portanto podem ser formados 242 triângulos distintos!!! --------------------------------------------------------------------------------

31 DESAFIO 5 UM HOMEM GASTOU TUDO O QUE TINHA NO BOLSO EM TRÊS LOJAS. EM CADA UMA GASTOU 1 REAL A MAIS DO QUE A METADE DO QUE TINHA AO ENTRAR. QUANTO O HOMEM TINHA AO ENTRAR NA PRIMEIRA LOJA? Vamos considerar que quando o homem entrou na primeira loja ele tinha N reais. Então o nosso objetivo é achar o valor de N. O problema diz que em cada loja o homem gastou 1 real a mais do que a metade do que tinha ao entrar. LOJA 1 O homem entrou com N. O homem GASTOU: (N/2)+1. Portanto o homem FICOU com: N - ((N/2)+1) = N-(N/2)-1 = (2N-N-2) / 2 = (N-2)/2 LOJA 2 O homem entrou com (N-2)/2 O homem GASTOU: ( (N-2)/2 )/2 + 1 = (N-2)/4 + 1 = (N+2)/4 Portanto o homem FICOU com: (N-2)/2 - ((N+2)/4) = (2N-4-N-2) / 4 = (N-6)/4 LOJA 3 O homem entrou com (N-6)/4 O homem GASTOU: ( (N-6)/4 )/2 + 1 = (N-6)/8 + 1 = (N+2)/8 Portanto o homem FICOU com ZERO REAIS, porque o problema diz que ele gastou tudo o que tinha nas três lojas. Então concluímos que o dinheiro que ele ENTROU na loja 3 menos o dinheiro que ele GASTOU na loja 3 é igual a ZERO: (N-6)/4 - ((N+2)/8) = 0 (2N-12-N-2) / 8 = 0 2N-12-N-2 = 0 N-14 = 0

32 N = 14 PORTANTO, QUANDO O HOMEM ENTROU NA PRIMEIRA LOJA ELE TINHA 14 REAIS!!! Solução 02: Vamos representar através de um fluxo, o que ocorreu desde sua entrada na 1ª loja, até a saída na última e em, seguida, percorrer o fluxo de "trás para frente", aplicando operações inversas. Cabe lembrar que a quantia que tinha ao entrar em cada loja (que representarei por N1, N2 e N3) fica sempre dividida por 2 e, em seguida, subtraída de 1 real. (N1)/2-1 (saiu da loja 1 com N2) (N2)/2-1 (saiu da loja 2 com N3) (N3)/2-1 (saiu da loja 3 com zero, já que gastou tudo o que possuía). Aplicando operações inversas, teremos do fim para o início: (0 + 1) x 2 = 2 (2 + 1) x 2 = 6 (6 + 1) X 2 = 14 Logo, possuía ao entrar na 1ª loja R$14,00. -------------------------------------------------------------------------------- DESAFIO 6 DETERMINE O MENOR NÚMERO NATURAL CUJA: DIVISÃO POR 2 TEM RESTO 1; DIVISÃO POR 3 TEM RESTO 2; DIVISÃO POR 4 TEM RESTO 3; DIVISÃO POR 5 TEM RESTO 4; DIVISÃO POR 6 TEM RESTO 5; DIVISÃO POR 7 TEM RESTO 0. Suponhamos que estamos procurando o número X. Observe essas condições exigidas pelo problema: X dividido por 2 dá resto 1 X dividido por 3 dá resto 2 e assim por diante até: X dividido por 6 dá resto 5 Então, podemos notar que o resto dá sempre uma unidade a menos do que o divisor. Isso significa que o número seguinte ao número X, ou seja, X+1, será divisível por 2,3,4,5 e 6.

33 Bom...já que X+1 é divisível por esses cinco números, então o número X+1 pode ser igual a 4x5x6=120. Portanto, se X+1 é igual a 120, o número X que estamos procurando é 119, que também é divisível por 7. -------------------------------------------------------------------------------- DESAFIO 7 CONSIDERE OS NÚMEROS OBTIDOS DO NÚMERO 12345, EFETUANDO-SE TODAS AS PERMUTAÇÕES DE SEUS ALGARISMOS. COLOCANDO ESSES NÚMEROS EM ORDEM CRESCENTE, QUAL É O LUGAR OCUPADO PELO NÚMERO 43521? Colocando-se as permutações obtidas pelos 5 algarismos em ordem crescente: 1xxxx => P4 = 4! = 24 2xxxx => P4 = 4! = 24 3xxxx => P4 = 4! = 24 41xxx => P3 = 3! = 6 42xxx => P3 = 3! = 6 431xx => P2 = 2! = 2 432xx => P2 = 2! = 2 4351x => P1 = 1! = 1 Somando todas elas: 24+24+24+6+6+2+2+1 = 89 Então o número 43521 está na posição 89+1 = 90. Resposta: O número 43521 está na 90º posição. -------------------------------------------------------------------------------- DESAFIO 8 COLOQUE OS NÚMEROS 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 E 9 DISPOSTOS NAS 9 CASAS DE UM TABULEIRO DE JOGO DA VELHA DE MANEIRA QUE A SOMA DOS 3 ALGARISMOS DE QUALQUER RETA E QUALQUER DIAGONAL RESULTE 15. 8 1 6 3 5 7 4 9 2 -------------------------------------------------------------------------------- DESAFIO 9

34 Num sítio existem 21 bichos, entre patos e cachorros. Sendo 54 o total de pés desses bichos, calcule a diferença entre o número de patos e o número de cachorros. O total de patos e cachorros é 21: P+C = 21 O total de pés é 54. Patos tem 2 patas e cachorros tem 4 patas. então: 2P+4C = 54 Portanto temos duas equações. Isolando P na primeira temos: P = 21-C Substituindo na segunda equação temos: 2(21-C)+4C = 54 42-2C+4C = 54 2C = 54-42 2C = 12 C = 6 Agora basta encontrar o P: P = 21-C P = 21-6 P=15 Há 15 patos e 6 cachorros, portanto a diferença é 15-6 = 9. -------------------------------------------------------------------------------- DESAFIO 10 Se eu leio 5 páginas por dia de um livro, eu termino de ler 16 dias antes do que se eu estivesse lendo 3 páginas por dia. Quantas páginas tem o livro? Sendo N o número de páginas do livro, temos: N/5 = (N/3)-16 (N/5)-(N/3) = -16 (3N-5N)/15 = -16 3N-5N = -16*15-2N = -240 N = 120 O livro possui 120 páginas! -------------------------------------------------------------------------------- DESAFIO 11

35 Com os algarismos x, y e z formam-se os números de dois algarismos xy e yx, cuja soma é o número de três algarismos zxz. Quanto valem x, y e z? xy e yx são números de 2 algarismos, que somados resultam o número de três algarismos zxz. xy+yx = zxz O maior número que pode ser formado somando dois números de 2 algarismos é: 99+99 = 198 Ora, se o número zxz é de 3 algarismos, e o maior número que ele pode ser é 198, então concluímos que z=1. Se z=1 o resultado da soma é 1x1. Os valores de x e y que satisfazem a equação xy+yx = 1x1 são os seguintes: x=2 e y=9, ou seja 29+92 = 121 Resposta: x=2, y=9, z=1 -------------------------------------------------------------------------------- DESAFIO 12 Deseja-se descobrir quantos degraus são visíveis numa escada rolante. Para isso foi feito o seguinte: duas pessoas começaram a subir a escada juntas, uma subindo um degrau de cada vez enquanto que a outra subia dois. Ao chegar ao topo, o primeiro contou 21 degraus enquanto o outro 28. Com esses dados foi possível responder a questão. Quantos degraus são visíveis nessa escada rolante? (obs: a escada está andando). Bom...para facilitar vamos dar nome as pessoas: GUSTAVO sobe 2 degraus por vez MARCOS sobe 1 degrau por vez. Conforme diz o enunciado, quando GUSTAVO chegou ao topo ele contou 28 degraus. Como ele anda 2 por vez, na verdade o GUSTAVO deu 14 passos. Então quando ele chegou no topo, o MARCOS havia andado 14 degraus, pois ele anda 1 por vez (faça o desenho que você entenderá melhor). Lembre-se que a escada está andando. Então ao mesmo tempo que GUSTAVO andou 28 e o MARCOS andou 14, a escada havia andado sozinha X degraus. O enunciado diz que quando MARCOS chegou ao topo ele contou 21 degraus. Como ele está no 14, ainda faltam 7 para ele chegar ao topo (ou seja, falta metade do que ele já andou - 7 é metade de 14). Portanto durante esses 7 que faltam, a escada andará sozinha mais X/2 degraus (pois se em 14 degraus ela andou X, em 7 ela andará X/2).