Exame de Ingresso na Pós-graduação Instituto de Física - UFF Profissional - 09 de Junho de 009 Resolva 6 (seis) questões, com pelo menos uma questão de cada uma das seções. A duração da prova é de 3 (três) horas. Mecânica Clássica. Considere um pêndulo simples, de comprimento l e massa m, suspenso do teto de um vagão de trem que tem aceleração horizontal constante A. (a) Use o ângulo φ entre a vertical e o fio do pêndulo como coordenada generalizada e escreva a lagrangiana do sistema. (b) Obtenha a equação de movimento de Lagrange. (c) Encontre a posição de equilíbrio do sistema. (d) Determine a frequência de pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio. A φ
. Considere um bloco de massa m que pode deslizar sem atrito sobre uma cunha de massa M e inclinação θ com relação à horizontal, apoiada sobre um plano horizontal também sem atrito. (a) Represente o diagrama de forças que agem sobre o sistema formado pelo bloco e pela cunha e compare as forças representadas, indicando qual tem o maior módulo e porque. (b) Use como coordenadas generalizadas a posição horizontal de um ponto da cunha móvel e a distância do bloco ao longo da rampa até seu topo e escreva a lagrangiana do sistema. (c) Obtenha as equações de Lagrange. Como podemos garantir, por inspeção direta da lagrangiana obtida, se há alguma quantidade conservada? Se houver alguma neste caso, interprete-a em termos de conceitos básicos de mecânica newtoniana. (d) Determine o tempo necessário para que o bloco, abandonado em repouso no topo da rampa de comprimento L, chegue ao solo. q q θ
Mecânica Estatística. Considere um conjunto de N osciladores harmônicos clássicos tridimensionais localizados numa rede e descritos pela hamiltoniana: H = p m + mω r, onde m é a massa da partícula, ω a frequência angular do oscilador, p o módulo do momento linear e r o módulo do vetor posição da partícula. (a) Determine a função de partição canônica do sistema. (b) Obtenha a energia livre de Helmholtz e as equações de estado para a entropia e o potencial químico. (c) Determine a energia interna do sistema U(T, N). (d) Calcule a capacidade térmica molar. Discuta a relação de seus cálculos com a lei fenomenológica de Dulong e Petit, que diz que a capacidade térmica molar dos sólidos a altas temperaturas é aproximadamente igual a 3R, onde R é a constante dos gases ideais, igual ao produto do número de Avogadro pela constante de Boltzmann k B.. Dois caminhantes aleatórios sobre uma reta dão passos simultaneamente e de comprimento unitário, com probabilidades iguais para a direita e para a esquerda, partindo da origem. Depois de N passos: (a) Ache a probabilidade de que o caminhante esteja na posição x e o caminhante na posição x. (b) Qual é a probabilidade de que ambos estejam na origem (x = x = 0)? (c) Qual é a probabilidade de que os dois caminhantes estejam na mesma posição? 3
Eletromagnetismo. Considere duas pequenas esferas, a primeira com uma carga elétrica Q e a segunda com uma carga elétrica Q. A segunda esfera tem o dobro do tamanho da primeira. Supondo que as esferas foram postas em contato e depois separadas a uma distancia d, determine: (a) A nova carga elétrica que possui cada esfera. (b) Na nova configuração, determine a força elétrica de interação entre as esferas, ela é atrativa ou repulsiva? (Justifique) (c) A nova carga elétrica que possui cada esfera.. Considere uma casca esférica de metal, de raio interno a e raio externo b. A casca possui uma carga elétrica Q/. Uma segunda carga elétrica Q é introduzida no centro da esfera. Determine: (a) O vetor campo elétrico para r < a, a < r < b e r > b. (b) As densidades de carga na superfície interna σ a e externa σ b e a densidade de carga no volume ρ da casca metálica. 4
Mecânica Quântica. O estado de um elétron num átomo de hidrogênio é descrito por ψ >=,, 0, / > +i, 0, 0, / > +,,, / >, 6 6 3 onde a notação empregada é n, l, m, m s > com n o número quântico principal, l número quântico associado ao quadrado do momento angular orbital, enquanto m e m s estão associados às componentes z dos momentos angulares orbital e de spin. Considere a energia do estado fundamental, E conhecida. (a) Se for medido o observável a seguir, determine quais valores podem ser obtidos e quais as suas respectivas probabilidades: Energia total. Quadrado do momento angular orbital. Quadrado do momento angular de spin. Componente z do momento angular orbital. Componente z do momento angular de spin Componente z do momento angular total. ( ) r a e r a (b) Sabendo que as funções radiais são dadas por R,0 = a 3 e R, = a encontre, para o estado acima, o valor esperado do raio. 4 a 3 r a e r.????????????????????????? 5