Licenciatura em Engenharia e Arquitectura Naval Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial Electromagnetismo e Óptica º Semestre - 6/7 º Teste/º Exame - 3//7 8:h Duração do teste: :3h Duração do exame: :3h Leia o enunciado com atenção. Justifique detalhadamente todas as respostas. Indique todas as aproximações consideradas. Identifique e numere todas as folhas da prova. Problema (Só Exame) Considere uma esfera homogénea de raio, constituída por um material dielétrico com uma permitividade elétrica, uniformemente eletrizada em volume, com uma carga total. A esfera encontra-se imersa no vácuo (permitividade elétrica no exterior da esfera ) a) Determine a expressão do campo elétrico num ponto exterior à esfera, em função da distância ao centro desta e dos parâmetros dados no enunciado. b) Considerando o potencial nulo para, determine a expressão do potencial elétrico num ponto genérico, exterior à esfera, situado a uma distância do centro da mesma (apresente o resultado em função dos parâmetros dados no enunciado). c) Determine a expressão do campo elétrico num ponto genérico situado no interior da esfera em função da distância ao centro desta e dos parâmetros dados no enunciado. d) Determine a expressão das densidades de carga de polarização em volume e em superfície (caso existam). Determine também as expressões das cargas totais de polarização distribuídas respetivamente em volume e em superfície e soma total das cargas de polarização existentes na esfera (apresente os resultados em função dos parâmetros dados no enunciado). Problema (Só Exame) Suponha que liga uma resistência a uma fonte de tensão contínua. a) Admitindo que se trata de uma fonte de tensão ideal, determine o valor da corrente elétrica na resistência e a energia dissipada na mesma se esta se encontrar ligada à bateria durante uma hora. b) Sabendo que a resistência é constituída por um fio de secção circular de diâmetro, de um material de resistividade, determine o comprimento do fio. c) Se a corrente elétrica determinada na alínea a) percorrer um fio com um diâmetro através de um material com uma densidade de portadores de carga, qual será a velocidade de deriva dos eletrões associada à corrente elétrica nestas circunstâncias? d) Ao substituir a resistência de, referida inicialmente, por uma outra, agora com o valor verifica que a queda de potencial aos terminais da mesma não é, como estava à espera (tendo suposto que se tratava de uma fonte de tensão ideal), mas sim. O que é que pode concluir relativamente à resistência interna da bateria?
Problema 3 (º Teste/Exame) Considere um fio retilíneo, muito longo (idealmente infinito), percorrido por uma corrente elétrica. Uma espira quadrada de lado, coplanar com o fio, tem o seu centro à distância do mesmo. a) Determine a expressão do vetor campo magnético resultante da corrente, (módulo, direção e sentido) no centro da espira (faça um esquema). b) Mostre que o fluxo do campo através da espira é dado por. c) Tomando como ponto de partida o resultado da alínea b), verifique que, para, é uma boa aproximação considerar o fluxo do campo uniforme na superfície da espira. Sugestão: utilize a aproximação para e tome como valor de, o valor no centro da espira. d) Se a espira tiver uma resistência elétrica e se deslocar com velocidade uniforme de módulo, afastando-se radialmente em relação ao fio, sem mudar de orientação, qual será a expressão da corrente induzida na espira, quando o centro desta se encontra a uma distância do fio? (utilize para o fluxo de, a aproximação considerada na alínea c) Problema 4 (º Teste/Exame) Considere um circuito RLC série em regime forçado alternado sinusoidal (tensão de alimentação: ). a) Mostre que a amplitude complexa da corrente no circuito é dada por:. b) i) Sendo, determine o valor da frequência angular para o qual a corrente no circuito está em fase com a tensão (desfasagem nula); ii) nestas condições, qual será o valor da amplitude da corrente ( ) se a tensão aplicada tiver uma amplitude. c) Determine o valor máximo da energia acumulada na bobina nas condições definidas na alínea b). d) Qual o valor da amplitude da corrente no circuito se a frequência angular da tensão aplicada for Problema 5 (º Teste/Exame) Considere que faz incidir um feixe laser He-Ne ( ) sobre uma rede de difração com 8 linhas por mm. Considere ainda que o feixe laser se encontra polarizado verticalmente (campo elétrico segundo z: perpendicular ao plano da figura). a) A que distância,, da rede de difração deverá colocar o alvo se pretender que o máximo de primeira ordem se encontre a uma distância do centro do alvo. b) Nas condições do problema, quantos máximos é possível observar à esquerda e à direita do máximo de ordem? c) Qual a frequência angular,, da radiação emitida pelo laser? Admitindo que a radiação incidente na rede de difração pode ser descrita por uma onda plana, determine o vetor de onda correspondente à mesma. d) i) Escreva as expressões do campo elétrico e do campo magnético da onda referida na alínea c), considerando um valor de referência para a amplitude do campo elétrico; ii) determine o valor de, sabendo que a radiação emitida pelo laser tem uma intensidade de -
Soluções Problema a) b) c) d) ou
Considerando uma superfície de Gauss, com dois lados (interior e exterior) tangenciais à esfera, e espessura desprezável temos: porque a distribuição de carga (não de polarização) é em volume. etc. Problema a) b) c)
d) Problema 3 a) b) c)
d) Problema 4 a) b)
Nestas condições c) Nas condições da alínea anterior ( ): O valor máximo desta expressão corresponde a, ou seja: d)
Problema 5 a) º máximo: Ou verificando-se que ( ) b) 9 máximos para cada lado.
c) d) ( e determinados nas alíneas anteriores) Usando a representação complexa: Ou
Expressões E q n i rˆ i 4 i r i V A V B E dr AB J N. q. v J E c I S J n ds c R ; c A c Q C V I dq dt V RI P VI LI di V L L dt Z L i.. L V C I. dt C Z C i.. C CV LI U C U L Idx F q. E v B F m I. d B v B e I e r a 4 r N r D B B D E H J t t S D n ds D E P P E e D E E Q int S H B n ds B M H B M d E d dt B H d I c c m int d dt D 8 3. ms m m - - - 8.854 C N m 7-4 NA 9 q e.69 C m 3 e 9. kg R L LC I I e t cos t F F x QCte x V Cte U x U x f T vt T k c c n m n sin n sin m sin n c tan n B n n d sin m d sin m asin m