RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Lista de exercícios sobre barras submetidas a força normal 1) O cabo e a barra formam a estrutura ABC (ver a figura), que suporta uma carga vertical P= 12 kn. O cabo tem a área da seção transversal A c = 160 mm 2, e a barra tem área A b = 340 mm 2. a) Calcular as tensões normais σ AB e σ BC no cabo e na barra, respectivamente, e indicar se são de tração ou compressão. b) Qual será a deformação do cabo se ele se alongar de 1,1 mm? c) Qual será a deformação da barra se ela se encurtar de 0,37 mm? 2) Uma placa (ou laje) quadrada de concreto armado, de lado 2,44 m e espessura de 22,9 cm, é suspensa por cabos em seus vértices, como mostrado na figura. Os cabos são presos por um gancho em um ponto a 1,52 m da face superior da placa (laje). Os cabos têm área da seção transversal A = 77,4 mm 2. Determine a tensão normal σ nos cabos. (Peso específico do concreto armado = 24 kn/m 3 ).
3) Três materiais diferentes A, B e C são ensaiados à tração usando corpos de prova com 12mm de diâmetro, medindo-se a distância entre dois pontos que inicialmente era 50 mm (ver a figura). Quando ocorre a ruptura, a distância entre os pontos de referência são 54,1 mm, 63,0 mm e 70,6 mm, respectivamente. Além disto, os diâmetros são 11,5 mm, 9,46 mm e 6,01 mm, respectivamente, quando a peça se parte. Determine os percentuais de deformação na direção longitudinal e de redução das áreas dos corpos de prova, e classifique os materiais como dúcteis ou frágeis. 4) Uma treliça simétrica composta por três barras rotuladas é submetida a uma força P (ver a figura). As barras inclinadas fazem um ângulo de 50 com a direção horizontal. A deformação axial (ε x ) medida na barra do meio é de 0,0025. Determine a tensão normal nas outras barras se elas são feitas de uma liga de alumínio com módulo da elasticidade de 70 GPa.
5) Um corpo de prova de um tipo de plástico é ensaiado à tração à temperatura ambiente (veja a figura), tendo-se para tensão normal e correspondente deformação os valores dados abaixo, pede-se: a) Plotar a curva de tensão Tensão Deformação deformação. (MPa) 8,0 0,0032 17,5 0,0073 b) Determinar o limite de 25,6 0,0111 proporcionalidade e o módulo de 31,1 0,0129 elasticidade. c) Fornecer a tensão de escoamento 39,8 48,2 0,0163 0,0209 44,0 53,9 0,0184 0,0260 (tensão que corresponde à 58,1 0,0331 62,0 0,0429 deformação permanente de 0,2%). 62,1 ruptura d) Classificar o material como dúctil ou frágil.
6) Um poste tubular de diâmetro externo d e = 90 mm e diâmetro interno d i = 78 mm é preso por dois cabos ajustáveis por esticadores. Quando os cabos são esticados, é produzida tração nos mesmos e compressão no poste. Ambos os cabos fazem um ângulo de 60 com a direção horizontal. A tensão admissível de compressão no poste (para evitar flambagem) é 10,0 MPa. Os cabos são capazes de resistir a uma força de 29 kn, e é adotado para eles um coeficiente de segurança igual a 3. Qual é a carga máxima que pode ser imposta pelos cabos ao poste, para satisfazer as condições do problema? 7) Uma placa metálica onde são colocados equipamentos pesados é apoiada em 4 pilaretes de seção circular vazada feitos de ferro fundido. Cada um desses pilaretes deve ser projetado para resistir a uma força de 280 kn. Se a tensão de ruptura do ferro fundido é 350 MPa, o coeficiente de segurança com relação à ruptura é 4, e a espessura da parede dos pilaretes é 10mm, qual o diâmetro externo mínimo que os pilaretes devem ter? (ver a figura abaixo). 8) Um tubo de alumínio funciona como uma escora na fuselagem de um pequeno avião (ver a figura), e deve resistir a uma força de compressão P = 2580 N. Para prevenir o efeito de flambagem local nas paredes do tubo, a razão entre o diâmetro externo d e a espessura t da parede não deve exceder 10.
Além disto, para manter o peso da escora o menor possível, é preciso que sua área seja também a menor possível, o que significa que a tensão de compressão deve ser igual à admissível de 13,8 MPa. Qual é o maior diâmetro externo permitido? 9) Uma coluna de aço com seção transversal circular vazada é suportada por uma placa de aço circular e por um bloco de concreto (ver a figura). A coluna tem diâmetro externo d e = 250 mm e suporta uma carga P = 750 kn. a) Se a tensão admissível da coluna é 55 MPa, qual é a espessura t mínima necessária? Baseado em seu resultado, escolha uma espessura para a coluna que seja um número inteiro e par em milímetros. b) Se a tensão admissível no bloco de concreto é 11,5 MPa, qual é o diâmetro mínimo da placa de aço? Baseado em seu resultado, escolha um diâmetro inteiro em milímetros. 10) Uma barra de aço AD (ver a figura), com área de seção transversal igual a 260 mm 2, é carregada com as forças P 1 = 12 kn, P 2 = 8 kn e P 3 = 6 kn. Os comprimentos dos segmentos da barra são a = 1,5 m, b = 0,6 m e c = 0,9 m. a) Assumindo que o módulo da elasticidade é 210 GPa, calcular a variação do comprimento total da barra. A barra sofre encurtamento ou alongamento? b) De qual valor P a carga P 3 pode ser aumentada para que o ponto D da barra não se mova quando as cargas forem aplicadas?
11) Um tubo de aço com módulo de elasticidade de 207 GPa é carregado com as forças P 1, P 2 e P 3 (ver a figura do exercício anterior). O tubo tem 3657 mm de comprimento e as distâncias entre os pontos de aplicação de carga são a = b = 914 mm e c = 1829 mm. As cargas são P 1 = 18 kn, P 2 = 13 kn e P 3 = 13 kn, e a área da seção transversal é A = 1810 mm 2. a) Calcular os deslocamentos δ B, δ C e δ D das seções onde são aplicadas as cargas. b) Determinar a distância X a partir do apoio esquerdo da seção transversal cujo deslocamento é nulo. 12) A barra ABC é composta de dois materiais, tem comprimento total igual a 1 m e diâmetro de 50 mm (ver a figura). O trecho AB é de aço (E a =210 GPa) e o trecho BC é de alumínio (E al = 70 GPa). A barra está sujeita a uma força de tração F = 110 kn. Determine os comprimentos L 1 e L 2 para os segmentos de aço e de alumínio, respectivamente, para que os dois tenham as mesmas variações de comprimento.
13) Uma barra de aço (E = 200 GPa) tem comprimento L = 2440 mm, seção transversal com diâmetro d 1 = 19 mm até a metade e diâmetro d 2 = 13 mm na outra metade (ver a figura). a) Quanto a barra alongará se tracionada por uma carga P = 22,2 kn? b) Se o mesmo volume de material constituir uma barra de seção constante de diâmetro d e comprimento L = 2440 mm, qual será a variação do comprimento para a mesma carga P? 14) A barra ABC de comprimento L é composta de duas partes de mesmo comprimento e diâmetros diferentes (ver a figura). O segmento AB tem diâmetro d 1 = 100 mm e o segmento BC tem diâmetro d 2 = 60mm. Ambos os segmentos tem comprimento L/2 = 0,6 m. Um furo cilíndrico com diâmetro d é feito no segmento AB em metade de seu comprimento L/4 = 0,3 m. A barra é feita de um plástico com módulo de elasticidade de 4,0 GPa. Uma carga de compressão P = 110 kn atua na barra. Se o encurtamento da barra é limitado a 8,0 mm, qual é o diâmetro máximo d que o furo do segmento AB pode ter? 15) Uma estaca de aço cravada no solo suporta uma carga P unicamente pelo atrito na sua superfície lateral. A força de atrito f por unidade de comprimento é considerada uniformemente distribuída. A estaca tem comprimento L, área da seção transversal A e módulo da elasticidade E.
a) Deduzir a fórmula para a variação de comprimento δ da estaca em função de P, L, E e A. b) Fazer o diagrama de tensão de compressão ao longo do comprimento da estaca. 16) Um longo cabo de aço AB é usado para transportar materiais de uma mina por meio de uma cesta, onde é colocada uma carga P = 22 kn (ver a figura). O comprimento do cabo é L= 45m e ele pesa 6,1 N/m. Se a deformação no meio do cabo tem valor ε x = 0,00223, a) Qual é a deformação ε x,a na seção superior do cabo? Qual é a deformação ε x,b na seção inferior do cabo? b) Qual é a variação de comprimento δ do cabo? 17) A barra prismática AB vista no esquema abaixo tem comprimento L, área da seção transversal A, módulo de elasticidade E e peso próprio W. a) Deduza a fórmula para o deslocamento δ c do ponto C, localizado a uma distância c da seção inferior da barra.
b) Qual é o deslocamento δ B da seção na extremidade inferior da barra? c) Qual é a razão entre as variações de comprimento das metades superior e inferior da barra? 18) A estrutura mostrada na figura é constituída por um cilindro de latão na parte interior, com diâmetro d 1 = 6,0 mm, e por um tubo de aço exterior com diâmetro interno d 2 = 7,0 mm e diâmetro externo d 3 = 9 mm. Uma carga P comprime a estrutura, que tem um comprimento L= 85 mm. O módulo da elasticidade do latão e do aço são 100 GPa e 200 GPa, respectivamente. a) Qual é o valor da carga P que deformará a estrutura na direção longitudinal de 0,1 mm? b) Se a tensão admissível do aço é 180 MPa e a do latão é 140 MPa, qual será a maior carga que a estrutura pode suportar? 19) Um pilar de concreto armado de seção transversal circular e comprimento L = 3658 mm é comprimido por uma carga P = 890 kn (ver figura). O pilar tem oito barras de aço longitudinais com diâmetro d a = 25,4mm. As barras são contidas lateralmente por estribos
circulares para evitar o efeito de flambagem. A área efetiva de concreto tem diâmetro d c = 330 mm, como mostrado na figura (a parte exterior à armadura é considerada só como cobrimento e não como estrutural). Admitindo que o módulo da elasticidade do aço e do concreto são 200 GPa e 25 GPa, respectivamente, a) Calcular as tensões normais no aço e no concreto. b) Calcular a variação de comprimento δ do pilar. 20) Três barras prismáticas, duas de material A e uma de material B, suportam uma força P (ver a figura). As duas barras externas (material A) são idênticas. A área da seção transversal da barra do meio (material B) é 50% maior que a área de uma das barras externas. No entanto, o módulo de elasticidade do material A é o dobro do material B. a) Que fração da carga P é suportada pela barra do meio? b) Qual a razão entre a tensão normal na barra do meio e a tensão normal nas barras externas? c) Qual a razão entre as deformações ε x na barra do meio e nas barras externas?
21) A barra ABCD, carregada axialmente como mostra a figura, tem engastes nas suas extremidades. A barra tem área da seção transversal A 0 de A até C e 2A 0 de C até D. a) Obter as fórmulas das reações R A e R D nas extremidades da barra. b) Determinar os deslocamentos δ B e δ C nos pontos B e C respectivamente. c) Desenhar o diagrama no qual a abscissa é a distância x de cada seção à extremidade esquerda e a ordenada é o deslocamento horizontal desta seção. 22) Uma barra feita com três materiais metálicos é comprimida uniformemente por uma força axial P aplicada por meio de uma placa rígida (ver a figura). A barra é composta por um núcleo circular de aço, um tubo de latão e um tubo de cobre. O núcleo de aço tem diâmetro d a = 10mm, o tubo de latão tem diâmetro externo d b = 15 mm e o tubo de cobre tem diâmetro externo d c = 20mm. Os módulos de elasticidade dos materiais são E a = 210 GPa, E b = 100 GPa e E c = 120 GPa, respectivamente. Pede-se calcular as tensões normais no aço, latão e cobre, quando a força P for igual a 12 kn. 23) Um duto para passagem de vapor, com diâmetro de 150 mm, é posicionado a uma temperatura de 13 o C. Quando o vapor passa pelo duto, sua temperatura passa a ser 120 o C.
O duto é de aço, com módulo de elasticidade 200 GPa e coeficiente de dilatação térmica α = 12x10-6 / o C. a) Qual será o aumento do diâmetro do duto se este for livre para se expandir em todas as direções? b) Qual será a tensão normal σ x no duto se a vala onde for posicionado restringir seu alongamento a 1/3 do que ele alongaria se pudesse se expandir livremente? 24) Um cilindro de aço (S) é colocado dentro de um tubo de cobre (C) de mesmo comprimento (ver figura). O coeficiente de dilatação térmica do cobre é maior que o do aço. Se o cilindro e o tubo forem comprimidos entre placas rígidas por uma força P, qual a variação de temperatura que fará com que toda a carga P seja resistida pelo tubo de cobre?