Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Laboratório de Eletromagnetismo Aplicado LMAG-PEA-EPUSPEPUSP FUNÇÕES DE APROXIMAÇÃO APLICADAS AO PROJETO DE EQUIPAMENTOS ELETROMAGNÉTICOS
INTRODUÇÃO: OTIMIZAÇÃO DE UM PROJETO SOLUÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS CONSTRUÇÃO DO METAMODELO (função de aproximação) MÉTODO DE OTIMIZAÇÃO CUSTO COMPUTACIONAL ALTO SOLUÇÃO SOLUÇÃO APROXIMADA CUSTO COMPUTACIONAL BAIXO
MODELOS POR SUBSTITUIÇÃO MODELO DE ELEMENTOS FINITOS MODELO POR APROXIMAÇÃO VARIÁVEIS DE PROJETO METAMODELO FUNÇÃO OBJETIVO 3
Funções de Aproximação funções radiais de base funções do tipo multiquadrics splines as superfícies de resposta as redes neurais artificiais Kriging e Cokriging 4
Função de Aproximação substituirá tanto a função objetivo e suas restrições no contexto de um processo de otimização; Características fundamentais: baixo custo computacional boa confiabilidade (erro em relação ao modelo de elemento finitos é baixo). 5
Algumas características dos dados Dados a serem analisados são oriundos de experimentos por computador. Natureza dos dados é determinística. Não há qualquer erro de medida. Logo o modelo a ser adotado deve ser interpolador. 6
FUNÇÕES RADIAIS DE BASE n S yˆ h x x i1 i i n S y( x ) h x x k i k i i1 GAUSSIANA MULTIQUADRICS h( x) x x exp i hx ( ) x 1 1 x i 7
Funções Radiais de Base Multiquadrics se x = x j então g(x j ) = f(x j ) N g( x) c x x i1 i i 1 [ c j ] [ Xij ] [ f1] X x x ij j i Com um raciocínio análogo faz a interpolação por Gaussianas As questões: qual o bom? Ou qual o bom? 8
KRIGING: VISÃO INTUITIVA 8 6 DADOS 4 MÉDIA 0 - -4 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 9
KRIGING KRIGING: VIA ESTIMATIVA DE MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA Y( x) f T ( x) Z( x) TENDÊNCIA GLOBAL DESVIOS LOCAIS estimativa da média Z ( x) é a realização de um processo estocástico 10
Formalização Matemática do Mecanismo do Kriging Em experimentos por computador é usual adotar f(x) constante f(x) = β (Kriging Comum) Z(x) = N(0,σ ) Como determinar β e σ? Estimativa de Máxima Verossimilhança 11
Estimativa de Máxima Verossimilhança A matriz de covariância Cov[Z(x i ), Z(x j )] σ R(R(x i,x j )) Função de Correlação R( xi, x j ) e x i x j Gaussiana Melhor estimador não viesado vale: y E o vetor de correlação rt vale: ( x) ( ) r ( x, ) R( ) T r x R x x 1 R x x n t 1 ( ) [ ( ) ( )] S ( y T f( )) 1
Estimativa de Máxima Verossimilhança Se é conhecido, então é possível realizar uma estimativa de β e σ,pois a correlação é Gaussiana. ˆ t 1-1 ( ) ( f R(θ) f) ( f t R(θ) 1 y) ˆ ( ) [( y - f ˆ( )) T R 1 ( )( y - f ˆ( )]/ N 13
Estimativa de Máxima Verossimilhança Como determinar o coeficiente de correlação ()? max N ln( ˆ ( )) ln (det ( R )) y ( x) ( ) r t ( x, ) R( ) 1 ( y f( )) 14
TEAM 5 MATERIAL FERROMAGNÉTICO PEÇA A SER MAGNETIZADA BOBINAS 15
TEAM 5 [4;19](mm) 14mm [5;9.4](mm) [1.6;18](mm) HOMOGENEIDADE NA INDUÇÃO MAGNÉTICA 16
TEAM 5: A Função Objetivo n xip xio yip yio i=1 W = B -B + B -B VALOR ESPECIFICADO VALOR CALCULADO 17
TEAM 5: A influência das amostras Amostra 1: cada uma das 4 variáveis de otimizaçãodo problema assumiu sete valores distintos e equidistantes, desde seu valor mínimo até o valor máximo, obtendo-se uma amostra com 401 pontos. Amostra : manteve-se a variável L3 constante e igual a 14 mm, porque ela tem baixo impacto no problema analisado. Desta forma, manteve-se o critério anterior, sete valores distintos e equidistantes por variável, o que resulta uma diminuição do tamanho da amostra para 343 pontos. Amostra 3: a partir da amostra com 401 pontos, realiza-se um sorteio dos pontos que participarão da construção da função de aproximação. Amostra 4: a partir da amostra com 401 pontos, fixa-se uma das quatro variáveis que definirá um hiperplano. Neste hiperplano, realiza-se um sorteio dos pontos que participarão da construçao da funçao de aproximação. Esta amostragem é mais guiada do que a anterior. 18
TEAM 5 A influência das amostras e dos parâmetros (multiquadrics) 19
TEAM 5: A influência das amostras MULTIQUADRICS 0
TEAM 5: a influência do parâmetro (Gaussianas) 1
TEAM 5: análise comparativa (amostra )
TEAM 3
TEAM : 3 condições 1) A Energia armazenada no dispositivo deve ser 180MJ. ) A indução magnética nas linhas a e b (a 10 metros do dispositivo) deve ser a menor possível. 3) A condição de supercondutividade do enrolamento deve ser garantida. 4
TEAM : 1ª Condição Função que se busca minimizar é F Energia Energia E ref E ref Eref 180MJ 5
TEAM : ª Condição F B Stray B B Stray norm 3 Bnorm 3.0x10 T B Bstray i i1 stray 6
TEAM : 3ª Condição Acima da linha, o material perde sua característica de supercondutor. Fig. 8 Curva Limite do Supercondutor 7
TEAM : 3ª Condição J ( 6.4 B 54.0) A/ mm J.5 A/ mm B 4.9T FB max Max[( B 4.9),0] max 8
TEAM : Função Objetivo OF A partir das 3 Condições chegou-se a Função Objetivo que se deseja minimizar Energia Eref Bstray 15* Max[( Bmax 4.9),0] E B ref ª Condição norm PENALIDADE 1ª Condição 3ª Condição 9
Análise A análise deve ser sempre feita observando-se quatro aspectos: Função objetivo Energia B stray B max 30
Resultados Multiquadrics 31
Resultados - Gaussianas 3
Resultados 33
Resultados 34
Conclusão Eficiência das Funções de Aproximação Menor Versatilidade das Splines Amostras menores podem eventualmente ser eficientes Usou-se se análise de sensibilidade nas Funções Radiais de Base. TEAM : d e h são os parâmetros que mais sofrem com o processo de aproximação da função objetivo. 35
Para resolução Problema Definição do Problema http://www.compumag.org/jsite/imag es/stories/team/problem.pdf 36
Hipóteses Problema 8 parâmetros H, D e R valores ótimos H1, R1, D1, J1 e J são as possíveis variáveis. Cada sub-problema terá 3 variáveis 37
Os Sub-problemas Sub-problema 1: Variáveis (H1, D1 e R1). J1 e J no valor ótimo e Cálculo de Bmax na Bobina Sub-problema : Variáveis (H1, D1 e J1). R1 e J no valor ótimo e Cálculo de Bmax na Bobina Sub-problema 3: Variáveis (H1, J1 e R1). D1 e J no valor ótimo e Cálculo de Bmax na Bobina Sub-problema 4: Variáveis (J1, D1 e R1). H1 e J no valor ótimo e Cálculo de Bmax na Bobina Sub-problema 5: Variáveis (J, D1 e R1). H1 e J1 no valor ótimo e Cálculo de Bmax na Bobina 1 Sub-problema 6: Variáveis (J, D1 e R1). H1 e J1 no valor ótimo e Cálculo de Bmax na Bobina Valores ótimos: 38
Procedimento Duas opções: Resolve-se se o problema de otimização diretamente com MEF. Ou Cada variável terá cinco valores distintos. Forma-se uma base com 15 pontos (5x5x5). Faz-se uma interpolação da função objetivo. A escolha é sua. Passa-se se a etapa de Otimização. Qual método? A escolha é novamente sua. 39
A função objetivo vale: Energia Eref Bstray OF 15* Max[( Bmax Badm),0] E B ref 1ª Condição norm Logo deve-se calcular Energia, Btray e Bmax nos 15 pontos. B adm ª Condição PENALIDADE 3ª Condição O valor de deve ser calculado para cada sub-problema porque dependerá de J1 ou J. Dicas: 1) criar três funções de aproximação; uma para cada condição. ) o valor da penalidade da restrição pode (deve) ser alterada. 40