Introdução Antes mesmo de Galileu, o homem, com o avanço do comércio e das técnicas de produção, já havia sentido a necessidade de realizar medições, mas foi Galileu que trouxe a real importância das medições para a Ciência. Ora, o que é medir? Quando medimos, o que realmente estamos fazendo? Medir é comparar com padrões pré-determinados. Mas quando medimos, medimos o quê? Quais são as coisas que podemos mensurar? Em Ciência, aquilo que se pode mensurar objetivamente é chamado de Grandeza física. Veja: distância é uma grandeza; saudade não. Tempo é uma grandeza, felicidade não. Por mais que você se sinta mais feliz hoje, por ter começado a estudar Física, do que você se sentia no ano passado, você não pode atribuir a esse acréscimo de felicidade um valor, nem tampouco ele receberia uma unidade de medida. Leia as considerações a seguir para entender melhor. As grandezas físicas e suas unidades Como já citamos em nossa introdução, não podemos medir tudo no mundo, mas podemos medir algumas coisas. A maior dificuldade para se iniciar uma medida é estabelecer um padrão com o qual se irá comparar aquela grandeza física. Por exemplo, no século XII, o rei Henrique I da Inglaterra fixou a jarda como a distância entre seu nariz e o polegar de seu braço estendido. Este era o padrão para se medir distâncias em seu reino. Quando se dizia que um determinado campo tinha lado igual a 1000 jardas, estava-se comparando o comprimento do campo a quantidades de distâncias iguais à distância entre o nariz e a ponta do polegar do rei. No entanto, essa naturalmente não é uma comparação tão boa assim... Imagine que um comerciante desse reino precisasse fazer uma venda a alguém de outro reinado e sua única opção de medir comprimentos fosse a jarda. Como ficaria essa negociação? E essa não é a única unidade de medida que tem como padrão o corpo humano... temos o pé, o palmo e outras tantas partes do nosso corpo que, embora mudem de tamanho de pessoa para pessoa, ainda são muito utilizadas nos dias de hoje por mais engraçado e curioso que pareça. Se você tem curiosidade de saber mais unidades de medida estranhas, basta pesquisar na internet! Nosso ambiente virtual é repleto de exemplos dessas peculiaridades. Não é preciso pensar muito para concluir que os padrões de medidas para serem amplamente adotados carecem de uma certa universalidade. A unidade de medida deve ser universal. Foi com esse objetivo que surgiu o metro, por exemplo. Trata-se de uma barra de platina iridiada que ainda hoje é conservada no Escritório Internacional de Pesos e Medidas, na França. Este é o padrão mais adotado para se medir comprimentos, distâncias no mundo atual. É claro que, acompanhando o metro, temos também seus múltiplos e submúltiplos como, o centímetro (0,01m) e o quilômetro (1000m) para fazer medições de maneira mais conveniente. Bem, chegamos a um ponto em que já podemos definir o que é grandeza, o que é medir e o que são as unidades de grandeza de maneira generalizada. Grandeza é tudo aquilo que se pode medir comparando a
um padrão conhecido. Grandezas são as coisas que podem ser quantificadas por meio de medições. Unidades de medida, por sua vez, são os padrões que estamos utilizando para fazer a medida. Massa é uma grandeza, quilograma é uma unidade de medida da grandeza massa. Tempo é uma grandeza, segundo é uma unidade de medida da grandeza tempo. Cada grandeza possui algumas unidades de medida correspondentes e que não podem ser confundidas. Que sentido real faria, se disséssemos que uma viagem de Brasília a Fortaleza demorasse14 quilogramas? Nenhum. A informação poderia estar correta, no entanto, se no lugar de quilograma utilizássemos a unidade hora. Em uma viagem de Brasília a Fortaleza leva-se 14 horas. Bem mais coerente, não é? Grandeza é o que se pode medir. Exemplos: tempo, distância, velocidade, temperatura. Unidade de medida é o padrão que se utiliza para fazer uma medição. Exemplos: segundo, metro, grama. Faça hoje! Antes de dormir 1. Nos parênteses abaixo, escreva 1 quando a palavra relacionada se tratar de uma grandeza e 2 quando se tratar de uma unidade de medida. a) ( ) tempo g) ( ) hora m) ( ) centímetro b) ( ) distância h) ( ) metro n) ( ) minuto c) ( ) segundo i) ( ) comprimento o) ( ) velocidade d) ( ) massa j) ( ) grama p) ( ) altura e) ( ) quilômetro k) ( ) quilograma q) ( ) quilômetro por hora f) ( ) temperatura l) ( ) pressão r) ( ) força 2. Cite pelo menos três unidades de medida possíveis para as grandezas relacionadas abaixo. Pesquise! a) Tempo b) Distância c) Massa d) Temperatura e) Velocidade Conversão de unidades Agora que já sabemos algumas unidades possíveis para cada grandeza, é interessante que saibamos como fazer conversões (trocas de unidades) sem que o valor real, a quantidade real da grandeza física seja alterada. Isso pode ser feito da seguinte maneira: Sabendo que cada metro é composto de 100 cm, se uma determinada porta possui 2 m de altura, pode-se dizer corretamente que sua altura corresponde a 200 cm. Mas como chegamos a essa correspondência? É fundamental que saibamos como se relacionam as unidades. A partir daí, basta fazer uma regra de três simples. Segue abaixo uma tabela com algumas unidades que serão muito utilizadas, a correspondência entre elas e um exemplo de conversão. Grandeza Unidade 1 Unidade 2 Unidade 3 Distância 1 m (metro) 100 cm (centímetros) 1000 mm (milímetros) Tempo 1h (hora) 60 min (minutos) 3600 s (segundos)
Exemplo: Suponha que você deseje saber a quantos segundos correspondem 4,5h. Basta que se faça a regra de três a seguir: 1h 3600s 4,5h x 1. x = 4,5. 3600 x = 16200s O mesmo pode ser feito para qualquer outra unidade. Em caso de unidades mistas (formadas por mais de uma unidade), como a unidade de velocidade, que é medida em km/h, m/s, m/min, cm/s entre outras, pode-se converter cada uma das unidades separadamente, ou encontrar uma regra de conversão para a unidade como um todo. A seguir, encontraremos a regra de conversão para as duas unidades de velocidade mais utilizadas (km/h m/s). km km 1000 m 1 m 1 1 = = = 1 km/h = m/s ou, simplesmente 1 m/s = 3,6 km/h h 1h 3600 s 3,6 s 3,6 Grandeza Unidade 1 Unidade 2 Velocidade 1 km/h 3,6 m/s Sabendo da conversão acima, podemos agora fazer simplesmente a regra de três anterior para converter o valor de uma velocidade originalmente em metros por segundo para quilômetros por hora, ou vice-versa. Veja: Exemplo: Suponha um carro que se move a 72km/h. Para saber qual seria a velocidade desse carro em metros por segundo, fazemos: 1m/s 3,6km/h x 72km/h 1. 72 = 3,6. x 72/3,6 = x 20 = x x = 20m/s Faça hoje! Antes de dormir 1. Faça as conversões a seguir: a) 12km = m e) 30s = min i) 180km/h = m/s b) 5km = cm f) 2h = s j) 20m/s = km/h c) 127cm = m g) 15min = h k) 60km/h = km/min d) 1mm = cm h) 1,5h = s l) 1m/s = km/h Unidades do sistema internacional O progresso da Ciência é diretamente relacionado à velocidade com que as informações circulam entre os grupos de cientistas e à facilidade com que são interpretadas. Um sistema de unidades de medidas único seria uma forma de facilitar as trocas de informações. Diante dessa necessidade, criou-se o Sistema Internacional de Unidades, conhecido por SI. Segue uma tabela com algumas das unidades de medida do SI.
Grandeza Unidade Símbolo Comprimento Metro m Massa Quilograma kg Tempo Segundo s Temperatura Kelvin K As unidades compostas, no SI, devem ser compostas por unidades simples do Sistema. Ex.: velocidade em m/s. Faça hoje! Antes de dormir 1. Escreva as seguintes medidas em unidades do Sistema Internacional de Unidades. a) 32 km = d) 10 cm = g) 1200 km = b) 12h = e) 1,5 mm = h) 2 dias = c) 4 km/h = f) 0,25h = i) 1 ano = Notação científica e ordem de grandeza Na seção anterior, você deve ter percebido que da necessidade de se trabalhar com unidades convencionadas pelo SI surgem números ora muito grandes, ora muito pequenos. Números fracionários, números com vírgulas. Nesses casos, fica muito mais fácil e lógico utilizar potências de dez. É disso que trata a notação científica. Com base nessa notação, todas as medidas devem ser escritas na forma x.10 y u, onde x será chamado de mantissa (deve ser um valor maior ou igual a 1 e menor que 10 com um número finito de casas decimais), 10 y será a ordem de grandeza da medida e u será sua unidade (se houver). Da seguinte maneira: suponha que um cientista tenha medido a massa de uma pequena porção de cobre com uma balança muito precisa e chegado ao valor de 0,0053g. Caso este cientista fosse trocar essa informação com um grupo de colegas em um congresso, seria interessante que o valor fosse apresentado em notação científica e em unidades do SI. Isto é, a informação deveria estar na forma citada anteriormente, 5,3.10-6kg. Note que a ordem de grandeza desta medida é 10-6 e que o valor 5,3 está compreendido no intervalo adequado. Mas como chegamos a essa forma? A primeira pergunta que temos de responder é qual a unidade adequada para essa medida. No caso, tratase de uma certa massa, e massa no SI deve ser medida em quilogramas. O próximo passo será fazer a conversão. 0,0053 g = 0,0000053 kg. Um pouco de matemática: trabalhando com potências de dez O expoente de uma potência de dez é a quantidade de zeros que essa potência representa. Por exemplo, 10 3 é 1000, 10 4 é 10000. Para operarmos com potências de dez, é necessário relembrar como se multiplicam e como se dividem potências de mesma base. Veja: multiplicação de potências de mesma base: conserva-se a base e soma-se o expoente. Exemplo: 10 3 x 10 5 = 10 8 ; divisão de potências de mesma base: conserva-se a base e subtrai-se o expoente. Exemplo: 10 5 = 10 3. 10 2
Note que o primeiro valor diferente de zero (da esquerda para a direita) é o 5. Esse deverá ser o único valor numérico antes da vírgula na mantissa da notação científica. Deveremos então deslocar a vírgula 6 casas para a direita. Todo deslocamento da vírgula para a direita fará o expoente da potência de dez (a ordem de grandeza) diminuir, e todo deslocamento da vírgula para a esquerda fará a ordem de grandeza crescer. Veja os exemplos a seguir. Exemplo: As medidas foram transformadas em unidades do SI na notação científica. 0,0246cm = 2,46.10-4 m 1h = 3,6. 10 3 s 1km = 1.10 3 m 12km = 1,2.10 4 m 1500g = 1,5.10 3 kg 1m = 1.10 0 m 2300km = 2,3.10 5 m 7200km/h = 2.10 3 m/s 1 dia = 86,4.10 3 s Para saber a ordem de grandeza de cada uma dessas medidas, basta que tomemos o expoente da potência de 10 em cada uma delas. Assim, para 2.10 3 m/s, a ordem de grandeza é 10 3 ; para 1.10 0 m, a ordem de grandeza é 10 0. Escrever uma medida em notação científica significa escrevê-la na forma x.10 y u, onde x é um número maior ou igual a 1 e menor que 10 com quantidade finita de casas decimais e chama-se mantissa; 10 y é a ordem de grandeza da medida e u é a sua unidade (caso exista). Observação importante: Nunca se deve acrescentar zeros à direita dos valores. Note que uma medida 3,0 cm é mais precisa que simplesmente 3cm. Já 3,00cm, por sua vez, é uma medida bem mais precisa que as duas anteriores. Caso desejemos transformar a medida 3cm em uma medida no Sistema Internacional e em notação científica, ela seria 3. 10-2 cm, isto é, a mantissa seria formada por um número sem casas decimais. Arredondamentos Na seção anterior, ressaltamos que o número de casas decimais da mantissa deve ser finito. No entanto, em análises científicas, não é raro que encontremos números irracionais (como o pi) ou dízimas periódicas. Como proceder nesses casos? Deveremos aplicar técnicas de arredondamento. Para arredondar um valor afetando minimamente sua correspondência com a realidade, devemos primeiramente, determinar a quantidade de casas à direita da vírgula que desejamos apresentar no resultado final. Essa análise está relacionada à precisão da medida e do problema como um todo. Bem, suponha que tenhamos calculado o comprimento de uma circunferência e que o resultado tenha sido um valor com infinitas casas à direita da vírgula. Suponha ainda que o problema exija uma resposta no SI, em notação científica e com apenas dois algarismos depois da vírgula. Nesse caso, como tratar um valor como 9,424777962 cm? Antes de qualquer coisa, como sempre, devemos transformar este valor em centímetros em seu correspondente valor em metros (que é a unidade do Sistema Internacional para comprimentos). Façamos uma regra de três simples: 1m 100cm x 9,424777962cm 100. x = 9,424777962. 1 x = 0,009424777692m. Devemos, agora, colocar o valor na notação científica. Como sabemos, a mantissa deve ter apenas um valor numérico à esquerda da vírgula, e esse valor não pode ser um zero. Deve-se então trabalhar para que o 9
(que é o primeiro valor diferente de zero, da esquerda para a direita) seja esse valor. Para tanto, devemos levar a vírgula três casas para a direita, o que fará surgir uma potência de 10 de expoente -3 (essa será justamente a ordem de grandeza do número). O resultado disso será um número na forma 9,424777962 10-3 m. Chegou a hora de trabalhar o valor para que ele termine na casa centesimal. Para tanto, devemos proceder da seguinte maneira: caso a primeira casa a ser retirada seja menor que 5, o número anterior permanece como está e a parte seguinte é simplesmente retirada. Caso a primeira casa a ser removida seja igual ou maior que 5, o primeiro número à sua esquerda deverá ser acrescido de uma unidade e a parte seguinte deve ser retirada. Assim, como precisamos de uma resposta final até a casa centesimal, deve-se analisar o número que ocupa a terceira casa à direita da vírgula. Em nosso exemplo, esse número é um 4, e portanto o arredondamento trataria de apenas retirar os valores à direita da casa desejada. Assim: 9,424777962 o primeiro valor a ser retirado seria o 4; 9,42 [4777962 simplesmente retira-se a parte remanescente do número, já que o primeiro valor a ser removido é menor que 5; A resposta final do problema será 9,42 10-3 m. Seria diferente caso a questão exigisse uma resposta até o terceiro algarismo à direita da vírgula. Veja que, neste caso, o primeiro valor a ser retirado seria um 7: 9,424 [777962 como o primeiro valor a ser retirado é um 7 ou seja, um valor superior a 5. Deve-se, então, adicionar 1 ao valor anterior e a resposta final do problema fica 9,425 10-3 m. Não se deve arredondar medidas, sob pena de alterar a precisão atribuída à medição pelo equipamento de medida utilizado. Só podem ser arredondados valores que surgiram como resultado de operações matemáticas. Para se arredondar um valor, deve-se saber a quantidade de casas à direita da vírgula necessárias na resposta final e analisar a parte a ser retirada do número. Caso a primeira casa a ser retirada seja menor que 5, o número remanescente permanece como estava; caso a primeira casa a ser retirada seja maior ou igual a 5, a casa anterior deve ser acrescida de uma unidade. Faça hoje! Antes de dormir 1. Coloque as seguintes medidas em unidades do Sistema Internacional, na notação científica, com apenas uma, ou nenhuma, casa à direita da vírgula, e determine sua ordem de grandeza: a) 1,25h f) 10km k) 763,41km p) 32kg u) 250m/s b) 2,465km g) 200cm l) 2s q) 4,25g c) 15min h) 1,489mm m) 46g r) 0,0186g d) 25min i) 2,76dm n) 65,2kg s) 7,2km/h e) 1 ano j) 1258cm o)125m/s t) 180km/h
Exercícios Leia atentamente o quadrinho abaixo. 1. (UFRRJ) Com base no relatório do gari, calcule a ordem de grandeza do somatório do número de folhas de árvores e de pontas de cigarros que ele recolheu. 2. (UNIRIO/RJ) Cada exemplar de um jornal é lido, em média, por três pessoas. Num grupo de 7500 leitores, a ordem de grandeza da quantidade de exemplares necessários corresponderá a: a) 10 0 b) 10 c) 10 2 d) 10 3 e) 10 4 de grandeza do número de feijões contido no volume de um litro? a) 10 b) 10 2 c) 10 3 d) 10 4 e) 10 5 6. (UFPE) Em um bairro com 2500 casas, o consumo médio diário de água por casa é de 1000 litros. Qual a ordem de grandeza do volume que a caixa d água do bairro deve ter, em m 3, para abastecer todas as casas por um dia, sem faltar água? a) 10 3 b) 10 4 c) 10 5 d) 10 6 e) 10 7 7. (UFAL) O número de segundos contido nos 120 anos de existência de Arapiraca tem ordem de grandeza 3. (CEFET/PR) A bula de um determinado remédio informa que uma drágea do medicamento contém 30mg de cafeína anidra. Essa quantidade escrita em notação científica, na unidade de massa do Sistema Internacional de Unidades (SI), é corretamente expressa na sua parte numérica por: a) 3,0.10 3 b) 3,0.10 4 c) 3,0.10 6 d) 3,0.10 5 e) 3,0.10 2 4. (FEI/SP) Uma nova variedade de grama transgênica com alta produtividade foi desenvolvida e consegue-se até 2 mudas por cm 2. Quantas mudas possui um campo retangular de 100m x 200m? Adotar g=10m/s 2 a) 4.10 8 mudas b) 1.10 4 mudas c) 4.10 6 mudas d) 4.10 4 mudas e) 4.10 10 mudas 5. (UFJF/MG) Supondo-se que um grão de feijão ocupe o espaço equivalente a um paralelepípedo de arestas 0,5 cm 0,5 cm 1,0 cm, qual das alternativas abaixo melhor estima a ordem a) 10 11 b) 10 9 c) 10 7 d) 10 5 e) 10 3 8. (URCA/CE) São unidades de medida do Sistema Internacional (SI): a) metro, segundo, grama; b) quilograma, metro, segundo; c) minuto, quilograma, metro; d) centímetro, segundo, quilograma; e) metro, quilograma, hora. 9. (UNICISAL) A distância aproximada entre Maceió e Recife é melhor expressa, em notação científica, por a) 3,0 10 8 mm. b) 3,0 10 7 dm. c) 0,3 10 5 km. d) 3 000 000 m. e) 3,0 10 6 m. 10. Segundo matéria publicada na Folha Online Ciência, de 19 de setembro passado, foram registrados, pela primeira vez, perigos da Nanotecnologia para os seres humanos.
Trabalhadoras chinesas teriam sofrido danos pulmonares permanentes por exposição por longo tempo, sem proteção adequada, a nanopartículas, em uma fábrica de tintas. Como se sabe, a Nanotecnologia é largamente utilizada na indústria, com emprego, por exemplo, em artigos esportivos, eletrônicos, cosméticos, roupas, desinfetantes, utensílios domésticos, revestimento de superfícies, tintas e vernizes e também na medicina. Pelo seu minúsculo diâmetro, entre 1 e 100 nanômetros, as nanopartículas podem ultrapassar as barreiras naturais do corpo humano por meio de contato com a pele com problemas ou pela ingestão ou inalação. os feijões em um recipiente com um formato de paralelepípedo e conta quantos feijões há na aresta de menor comprimento c, como mostrado na figura. Ele verifica que a aresta c comporta 10 feijões. Calcule a potência da ordem de grandeza do número de feijões no recipiente, sabendo-se que a relação entre os comprimentos das arestas é: a/4 = b/3 = c/1. (UCS/RS) Sendo um bilionésimo de um metro, um nanômetro corresponde a a) 1 10 6 metros. b) 1 10 9 metros. c) 1 10 12 metros. d) 1 10 9 metros. e) 1 10 6 metros. 11. (UESPI) O módulo da aceleração da gravidade (g) na superfície terrestre é aproximadamente igual a 10 m/s 2. Quando expresso em km/h2, o módulo de g possui ordem de grandeza igual a: a) 10 1 b) 10 3 c) 10 5 d) 10 7 e) 10 9 12. (UNEMAT/MT) O sistema internacional de unidades e medidas (SI) utiliza vários prefixos associados à unidade-base. Esses prefixos indicam os múltiplos decimais que são maiores ou menores do que a unidade-base. Marque a alternativa que contém a representação numérica dos prefixos micro, nano, deci e centi, nessa mesma ordem de apresentação. a) 10-9, 10-12, 10-1, 10-2 b) 10 6, 10-9, 10, 10 2 c) 10-6, 10-12, 10-1, 10-2 d) 10-3, 10-12, 10-1, 10-2 e) 10-6, 10-9, 10-1, 10-2 13. (UFPE) Um estudante de Física aceita o desafio de determinar a ordem de grandeza do número de feijões em 5 kg de feijão, sem utilizar qualquer instrumento de medição. Ele simplesmente despeja