FUNÇÃO E MAPAS: CONSTRUINDO CONCEITOS 1 Prof.a. Ms. Renata Camacho Bezerra UNIOESTE Campus de Foz do Iguaçu renatacb@unioeste.br Prof.a. Ms. Patrícia Sândalo Pereira UNIOESTE Campus de Foz do Iguaçu pspereira@unioeste.br Introdução Dados dois conjuntos, A e B, não-vazios, dizemos que a relação f de A em B é uma função se, e somente se, para qualquer x pertencente ao conjunto A existe, em correspondência, um único y pertencente ao conjunto B, de tal forma que o par ordenado (x,y) pertença a f. Chamamos o conjunto de saída (A) de Domínio, o conjunto de chegada (B) de contradomínio, e de imagem os elementos de B que efetivamente correspondem a algum valor de A. Esta definição de função é muito conhecida e aplicada em todos os níveis educacionais que estudam esse conteúdo. Infelizmente a idéia que se apresenta nessa definição é dissociada da realidade, não se vê, dessa forma, um significado concreto para essa formalização. Por outro lado, no dia-a-dia fazemos uso de diversos conceitos matemáticos em várias situações e nem nos damos conta disso, podemos ver por exemplo, a idéia de função presente em atividades do cotidiano, mesmo sem a aplicação formal de sua definição. São vários os motivos que facilitam esta dissociação entre a realidade e o conteúdo estudado, dentre eles, a crença de algumas pessoas numa matemática rígida, pronta, acabada, abstrata, indicada para poucos privilegiados e onde se privilegia a formalização dos conceitos e não a compreensão dos mesmos. 1 Uma primeira versão deste minicurso foi apresentada na VIII Semana Acadêmica de Matemática e I Encontro de Educação Matemática do CEFET de Pato Branco/PR.
2 Devido aos argumentos acima, pretende-se introduzir o conceito de função através de atividades práticas e que a princípio não seja necessário formalizar o conceito de função. Com isso pretende-se iniciar um trabalho, visando mudanças na concepção de uma matemática pronta e acabada e distante da realidade dos alunos. Vale ressaltar, que não estamos desmerecendo a formalização dos conceitos matemáticos e muito menos sugerindo sua exclusão dos programas de ensino, mas sugerindo a necessidade de criar, sempre que possível, conexões entre os mesmos e o dia-a-dia de nossos alunos, facilitando assim a aprendizagem dos mesmos. A idéia deste minicurso é que a formalização do conceito de função surja como uma necessidade e não como ponto de partida para o estudo do conteúdo. É nosso objetivo também que além de estudarmos função, possamos chamar atenção para o contexto social em que as atividades estão inseridas, bem como explorar conteúdos que teoricamente só seriam vistos na aula de geografia como mapas, escalas, continentes, conhecimento gerais. Desenvolvimento Como os alunos deste minicurso, certamente já viram e já ouviram, diversas vezes a definição do conceito de função, e certamente como nós, sentiram falta de algo mais plausível ao ensinar função optamos por começar contando rapidamente um pouco da história do surgimento da formalização matemática deste conceito. Em seguida, descreveremos algumas atividades que serão desenvolvidas neste minicurso. Um Pouco de História Na antigüidade, podemos constatar as 1 as idéias de função. Entre os babilônios, 2000 a. C. as tabelas sexagesimais, de quadrados e de raízes quadradas segundo Oliveira, N.(1996) já revelavam um instinto funcional. Na Grécia Antiga houve o surgimento da concepção de função na matemática e nas Ciências Naturais. Entre os pitagóricos, aparece a idéia de função nos estudos da interdependência quantitativa de diferentes quantidades físicas. Mas a primeira vez que a noção de função aparece numa forma mais genérica é no século XII, nas escolas de Filosofia Natural de Oxford e de Paris. No século XVII uma nova interpretação de funcionalidade aparece e neste período inicia-se um novo método de introduzir funções: o método analítico, por meio de fórmulas e de equações.
3 Em 1673 pela primeira vez a palavra função aparece em um manuscrito, com Leibniz. Porém ele não a utiliza para designar a relação formal que liga a ordenada de um ponto de uma curva com a abcissa. Segundo os autores Oliveira; Rosa & Hein (2000) e Oliveira (1996) a primeira definição explícita de uma função como expressão analítica foi divulgada por Jean Bernoulli (1667-1748). Ele a definia da seguinte forma: Chamamos de função de uma grandeza variável uma quantidade composta de qualquer modo que seja dessa grandeza variável e de constantes. Bernoulli utilizou a letra φ para simbolizar uma função; φ representava uma função da variável x; utilizando essa idéia, ele escrevia φx. No século XVIII, Euler foi uma figura essencial para o desenvolvimento do conceito de função. Ele começou por definir noções iniciais, discriminando as quantidades variáveis das constantes. Depois, distinguiu as funções entre contínuas e descontínuas. Foi ele quem criou o símbolo de função que hoje utilizamos. Condorcet (1778), Cauchy (1789), Lacroix (1797), Fourier (1821), Lobatchevsky (1837) se inspiraram nos trabalhos de Euler e estudaram e aprofundaram a concepção de função, além de corrigirem e estudarem algumas noções limitadas de Euler sobre funções. Dirichlet, em 1837 sugeriu uma definição mais ampla do que era função chegando bem perto do conceito moderno que hoje temos, no entanto o conceito de conjunto e de número real ainda não tinham sido estabelecidos. Através deste breve resgate histórico, podemos constatar que o conceito de função passou por uma evolução até chegarmos a definição formal que temos hoje. Se o conceito de função foi construído através dos tempos, porque temos que dá-los a nossos alunos como se fosse algo pronto e acabado? Pois bem é essa indagação que sempre nos incomodou e que nos levou a refletirmos exaustivamente até o nascimento desta proposta que ora apresentamos a vocês. Atividade Depois de uma discussão histórica, faremos atividades rápidas que visem explicitar os conceitos de relação e de escala, e exploraremos atividades baseadas em nossas vivências diárias (dentro e fora da escola), onde o conceito de função está implícito. Iremos utilizar a Torre de Hanói, que consiste em um famoso quebracabeças matemático, que foi inventado por Edouard Lucas em 1883 e que pode ser
4 dividido em três níveis: iniciante, intermediário e avançado, e o próprio professor junto com seus alunos podem construir. Cada aluno construirá sua Torre de Hanói com material de baixo custo, de forma que a sugestão possa ser levada e implementada em suas escolas. O objetivo da Torra de Hanói é introduzirmos a necessidade da formalização de uma função para facilitar descobrirmos o número da movimentos necessário para movimentar de um pino ao outro uma grande quantidade de discos. Logo após desenvolveremos uma atividade de caráter lúdico e transdisciplinar que será a atividade com mapas (Mapa Mundi, Mapa da América Central, da América do Sul, da América do Norte e Mapa do Brasil). Os alunos serão divididos em grupos de três ou quatro alunos e receberão desafios. Ao todo teremos 15 desafios, todos os grupos receberão o mesmo desafio e após resolvê-lo receberão o próximo e assim sucessivamente até o décimo quinto. Vamos estabelecer uma disputa onde será necessário que os alunos tenham além de conhecimentos matemáticos, também, conhecimentos geográficos, conhecimentos gerais e de atualidades. Conclusão Estas atividades, pretendem introduzir o conceito de função como algo passível de conexões entre o dia-a-dia de nossos alunos e a sala de aula, e ainda, tirar aquela visão da matemática estagnada, pronta e acabada, fria e sem espaço para a criatividade. É claro que com apenas algumas atividades não se muda as concepções, no entanto temos a convicção de que se dá um primeiro passo rumo a estas mudanças. Utilizando fatos reais ou atividades lúdicas é importante que durante nossas aulas, os alunos sejam capazes de perceber a matemática como fornecedora de instrumentos necessários para que possamos descrever e analisar fenômenos do mundo, e que consigam relacionar o mundo abstrato com o mundo real. E dessa forma, esperamos que as aulas de matemática sejam interessantes, dinâmicas e criativas, facilitando assim a construção do conhecimento por parte dos nossos alunos. Por fim, é importante ressaltar que estas sugestões devem ser modificadas e implementadas sempre que o professor julgar necessário, visto que, é ele quem melhor conhece a realidade da sua sala de aula. Palavras Chaves: Educação Matemática, Função e Mapas
5 Referências Bibliográficas BEZERRA, R. C. Trabalhando o Conceito de Função Através do Concreto. Anais do I Encontro Regional de Educação Matemática e VIII Semana Acadêmica de Matemática de Pato Branco. Centro Federal de Educação Tecnólogica do Paraná. Unidade de Pato Branco, Curso de Licenciatura, 2002. 300p; p.237-246. CARVALHO, M. C. C. e S. Padrões Numéricos e Funções. 1 ª Edição, São Paulo: Moderna,1998. IEZZI, G. & MURAKAMI, C. Fundamentos da Matemática Elementar, 1: Conjuntos e Funções. 7 ª Edição, São Paulo: Atual, 1993. MACHADO, A. S. Matemática Temas e Metas: Conjuntos Numéricos e Funções. São Paulo: Atual,1988, v.i. OLIVEIRA, C.C., ROSA, M., HEIN, N. Ciências da Natureza e Matemática: Taxas, Variações e Funções. São Paulo, Pueri Domus Escolas Associadas, 2000. OLIVEIRA, N. Estudo Histórico, Epistemológico e da transposição Didática do Conceito de Função. In: IV Encontro Paulista de Educação Matemática,1996, São Paulo. Relação de Trabalhos. São Paulo: SBEM, 1996. P.157-164. PIRES, A. M. & NETO, P. M. C. Laboratório de Ensino de Matemática-(LEMa). São Paulo: Ieditora, 1999. SMOLE, K. C. S., CENTURIÓN, M. R., DINIZ, M. I. S. V. A Interpretação Gráfica e o Ensino de Funções. Revista do Professor de Matemática- RPM. São Paulo, n.º 14, 1989. UNICAMP. Função: Livro do Aluno. Projeto de Novos Materiais para o Ensino de Matemática. Projeto PREMEN- MEC/IMECC UNICAMP, vol.01.