TIPLER & MOSCA SOLUÇÃO MECÂNICA, OSCILAÇÕES E ONDAS, TERMODINÂMICA Bacharel e Mestre em Física pela Universidade Federal da Bahia Maracás Bahia Outubro de 2015
Sumário 1 Movimento em Uma Dimensão 3 2 Bibliografia 9 1
Sumário 2 Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica
Capítulo 1 Movimento em Uma Dimensão PROBLEMAS CONCEITUAIS 1. Qual é velocidade média para uma viagem de ida-e-volta de um objeto lançando verticalmente para cima, a partir do solo, que cai retornando ao solo? Observe que o objeto parte do solo e retorna ao solo, então seu deslocamento é zero, ou seja, y = 0. Dessa forma, temos ν m = y t = y 2 y 1 = 0 t 2 t 1 t = 0. Portanto, a velocidade média é zero. 2. Um objeto, atirado verticalmente para cima, cai de volta e é apanhado no mesmo local de onde foi lançado. Seu tempo de vôo é T; sua altura máxima é H. Despreze a resistência do ar. A expressão correta para sua rapidez média, para o vôo completo, é a) H/T b) 0 c) H/2T d) 2H/T Observe que a aceleração é constante em todo o movimento do objeto. A velocidade média é zero, pois o deslocamento é zero. Nota-se que a distância total percorrida é 2H no intervalo de tempo T. A sua rapidez média, ou seja, sua velocidade escalar média é Resposta d. R m = S t = 2H T. 3. Usando a informação da questão anterior, qual a rapidez média (e a velocidade média) para a primeira metade da viagem? Qual a rapidez média (e a velocidade média) para a segunda metade da viagem? (Resposta em termo de H e de T.) Tanto a primeira metade da viagem como a segunda metade da viagem o objeto percorre a distância H no intervalo de tempo de T/2. Portanto, a rapidez média nas duas metade da viagem são iguais, e valem: R m = S t = H T /2 = 2H T. Orientando o sentido positivo do movimento para cima. Então velocidade média na primeira metade do movimento é: ν m = y t = H 0 T /2 = 2H T. 3
Capítulo 1. Movimento em Uma Dimensão 4 Porém, para a segunda metade temos um sinal negativo devido a orientação do movimento, isto é: ν m = y t = 0 H T /2 = 2H T. 4. Dê um exemplo do cotidiano para um movimento unidimensional em que (a) a velocidade aponta para o oeste e a aceleração aponta para o leste, e (b) a velocidade para o norte e a aceleração aponta para o norte. A aceleração é definida como a = dν/dt. O sinal da aceleração de um objeto não lhe diz se o objeto está aumentando ou diminuindo a rapidez. Se a velocidade é positiva (negativa) e a aceleração também é positiva (negativa), a velocidade do objeto está aumentando no sentido positivo da trajetória ( sentido negativo). Se a velocidade é negativa (positiva) e a aceleração é positiva (negativa), a velocidade do objeto está diminuindo no sentido negativo da trajetória (sentido positivo). Então, os exemplos podem ser (a) Um carro movendo para o oeste com velocidade positiva ν > 0 e a aceleração negativa a = ( ν/ t) < 0 (desacelerando; aceleração apontando para o leste). (b) Um carro movendo para o norte com velocidade positiva ν > 0 e a aceleração positiva a = ( ν/ t) > 0(acelerado; aceleração apontando para o norte). 5. Coloque-se no centro de uma grande sala. Chame a orientação para a sua direita de positiva e a orientação para a sua esquerda de negativa. Caminhe pela sala ao longo de uma linha reta, usando uma aceleração constante para rapidamente atingir uma rapidez constante ao longo de uma linha reta na orientação negativa. Após atingir esta rapidez constante, mantenha sua velocidade negativa, mas faça sua aceleração se tornar positiva. (a) Descreva como sua rapidez variou em sua caminhada. (b) Esboce um gráfico de x versus t para seu movimento. Suponha que você começou em x=0. (c) Diretamente sob o gráfico da Parte (b), esboce um gráfico v, versus t. Inicialmente, na origem x = 0, sai com uma velocidade zero e com aceleração negativa e constante no sentido negativo da orientação. A velocidade variou até atingir, em um dada instante t 1, a velocidade constante. Depois de permanecer por um tempo com a velocidade constante, ela começa a diminui, a partir do instante t 2, ocorrendo uma desaceleração (aceleração positiva). 6. Verdadeiro/Falso: O deslocamento é sempre igual ao produto da velocidade média pelo intervalo de tempo. Explique sua escolha. Verdadeiro, pois a velocidade média é a razão do deslocamento pelo intervalo de tempo, então, podemos expressar o deslocamento como x = ν m t. Nota-se que se a aceleração é constante a velocidade média pode ser calculada por ν m = (ν i + ν f )/2. 7. A afirmativa para a velocidade de um objeto permanecer constante sua aceleração deve permanecer zero é verdadeira ou falsa? Explique sua escolha. Verdadeira, pois se a aceleração é a variação da velocidade no tempo a = dν/dt, se a velocidade é constante, então a aceleração deve ser zero (ou se a aceleração é zero a velocidade é constante). 8. Trace, cuidadosamente, gráficos da posição, da velocidade e da aceleração em função do tempo, no intervalo 0 t 30 s para um carrinho que, em sequência, tem o seguinte movimento. O carrinho move-se à rapidez constante de 5,0 m/s no sentido +x. Ele passa pela Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica
Capítulo 1. Movimento em Uma Dimensão 5 origem em t = 0,0 s. Ele continua a 5,0 m/s durante 5,0 s, após o que, ganha rapidez à taxa constante de 0,50 m/s a cada segundo, durante 10,0 s. Após ganhar rapidez por 10,0 s, o carrinho perde 0,50 m/s em rapidez, a uma taxa constante, nos próximos 15,0 s. Nos primeiros 5 s a posição é dada por x 1 = ν 1 t 1, ou seja, x 1 = 5,0t 1. Depois, ganha rapidez de α 2 = 0,5 m/s 2 durante 10 s. Então, temos ν 2 = ν 2,0 + α 2 t e x 2 = x 2,0 + ν 2,0 t 2 + (α 2 /2)t 2, ou seja, ν 2 = 2,5+0,5t 2 e x 2 = 6,25+2,5t 2 +0,25t 2 2 no intervalo 5 t 2 15, onde ν 2,0 = (ν 1 2,5). Após ganhar rapidez por 10 s, o carrinho perde rapidez a uma taxa de α 3 = 0,5 m/s 2. Temos, a velocidade dada por ν 3 = ν 3,0 + α 3 t 3, onde ν 3,0 = [ν 2 (15) + 7,5], e a posição dada por x 3 = x 3,0 + ν 3,0 t 3 + (α 3 /2)t 2 3, ou seja, ν 3 = 17,5 0,5t 3 e x 3 = 106,25 + 17,5t 3 0,25t 2 3 no intervalo 15 t 3 30 s. x (m ) 2 0 0 1 8 0 1 6 0 1 4 0 1 2 0 1 0 0 8 0 6 0 4 0 2 0 0 0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0 2 2 2 4 2 6 2 8 3 0 3 2 t(s ) v (m /s ), a (m /s.s ) 1 2 1 0 8 6 4 2 0-2 0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0 2 2 2 4 2 6 2 8 3 0 3 2 t(s ) (a) (b) 9. Verdadeiro/falso: Velocidade média é sempre igual à metade da soma das velocidades inicial e final. Explique sua escolha. Falso. A definição de velocidade média é ν m = x/ t. Observe que, para o movimento uniforme, se o objeto retorna a sua origem, por exemplo ν f = ν i (constante) e x 2 = x 1, a velocidade média será zero. Nota-se que se ν f = ν i = 0 e x 2 x 1, então a velocidade média será diferente de zero, e isto é verdade. Pela afirmação, teríamos, nesse caso, uma velocidade média igual a zero, e isto não é verdade. Porém, para o movimento uniformemente variado (aceleração constante), a velocidade média também é igual à metade da soma das velocidades inicial e final, ν m = (ν i + ν f )/2, nos instantes que definem o intervalo. Portanto, veja que nem sempre a velocidade média é igual à metade da soma das velocidades inicial e final. 10. Dois gêmeos idênticos estão sobre uma ponte horizontal e cada um atira uma pedra na água, diretamente para baixo. Eles atiram as pedras exatamente no mesmo instante, mas uma tinge a água antes da outra. Como isto pode ocorrer? Explique o que eles fizeram de diferente. Ignore qualquer efeito de resistência do ar. A aceleração, g, é constante e age sobre as duas pedras no mesmo sentido e direção. Contudo, podemos pensar em duas possíveis explicação para esse problema, mesmo desprezando a resistência do ar. Por exemplo, as pedras pode ser diferentes, que não é o caso, isto é, a que atingiu a água primeiro, pode ter maior massa do que a outra. É mais provável que ela são idênticas, mas a que atingiu primeiro a água pode ter sido atirada com maior velocidade inicial do que a outra.. Vamos analisar a equação do movimento, FÍSICA para Cientistas e Engenheiros
Capítulo 1. Movimento em Uma Dimensão 6 y y 0 = ν 1,0 t 1 + 1 2 gt2 1 ; (1.1) y y 0 = ν 2,0 t 2 + 1 2 gt2 2. (1.2) Portanto, concluímos que a única forma das duas pedras caírem em tempos diferentes será devido somente a diferentes velocidades inicias. 11. O Dr. Josiah S. Carberry está no topo da Torre Sears, em Chicago, Querendo imitar Galileu e ignorando a segurança dos pedestres lá embaixo, ele larga uma bola de boliche do topo da torre. Um segundo após, ele larga uma segunda bola de boliche. Enquanto as bolas estão no ar, a separação entre elas (a) aumenta com o tempo, (b) diminui, (c) permanece a mesma? Ignore efeitos devido à resistência do ar. Vamos chamar de t 1 o tempo para a primeira boliche e o tempo t 2 para a segunda beliche. A boliche primeira terá seu tempo de queda igual ao tempo da segunda boliche mais um, ou seja, t 1 = t 2 +1, e ambas com velocidade inicial igual a zero, ν 1,0 = ν 2,0 = 0, e o espaço inicial são iguais, y 1,0 = y 2,0. As equações para os deslocamentos e para as velocidades das duas boliches são: y 1 y 1,0 = 1 2 g(t 2 + 1) 2 ; y 2 y 2,0 = 1 2 gt2 2. ν 1 ν 1,0 = g(t 2 + 1); ν 2 ν 2,0 = gt 2. Subtraindo os deslocamentos e também as velocidades, obtemos y 1 y 2 = g(t 2 + 0,5); ν 1 ν 2 = g. (1.3) Portanto, temos um afastamento entre as boliches que aumenta com o tempo t 2 e a primeira bola se move mais rápido do que a segunda bola sempre com um fator g. 12. Quais das curvas posição versus tempo da figura 2-28 mostram melhor o movimento de um objeto (a) com aceleração positiva, (b) com velocidade constante positiva, (c) que está sempre em repouso e (d) com aceleração negativa? (Pode haver mais de uma resposta correta para cada parte do problema.) (a) a posição em função do tempo com a aceleração positiva pode variar de duas forma, uma com a velocidade negativa (movimento retardado retrógrado) positiva (movimento acelerado progressivo), este a posição cresce como um arco de parábola; curva d. (b) O movimento com velocidade constante e positiva a posição em função do tempo cresce proporcionalmente em linha reta; a curva é b. (c) O objeto em repouso sua posição permanece constante; curva e. (d) Podemos ter dois movimento com aceleração negativa, um com velocidade positiva (movimento retardado progressivo), e outra com velocidade negativa (movimento acelerado retrógrado). O primeiro movimento a curva posição versus tempo é a curva c e o segundo movimento a curva é a. Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica
Capítulo 1. Movimento em Uma Dimensão 7 13. Quais das curvas velocidade versus tempo da Figura 2-29 melhor descrevem o movimento de um objeto (a) com aceleração constante positiva, (b) com aceleração positiva que descreve com o tempo, (c) com aceleração positiva que cresce com o tempo e (d) sem aceleração? (Pode haver mais de uma resposta correta para cada parte do problema.) (a) Com aceleração constante a curva velocidade em função do tempo é uma reta; a curva que melhor representa é a curva b. (b) Com aceleração positiva que cresce com o tempo, a velocidade diminui no tempo, então a curva que melhor representa é a curva c. (c) A curva velocidade em função do tempo para o movimento com velocidade positiva e aceleração positiva é a curva d, pois a velocidade aumenta no tempo. (d) Sem aceleração, temos um movimento com aceleração zero, logo a velocidade é constante. A curva é e. 14. O diagrama da Figura 2-30 traça a localidade de um objeto que se move em linha reta ao longo do eixo x. Suponha o objeto na origem em t = 0. Dos cinco tempos mostrados, para qual tempo (ou quais tempos) o objeto está (a) mais afastado da origem, (b) instantaneamente em repouso, (c) entre dois repousos instantâneos e (d) afastando-se da origem? (a) No instante B o objeto muda seu sentido, seu deslocamento é máxima neste instante, então o objeto está mais afastado da origem. (b) O objeto se encontra instantaneamente em repouso no ponto B e D. Observa-se que nestas posições a velocidade é zero, ou seja, ν = dx/dt = 0. (c) O objeto está entre dois repousos instantâneos no instante E, e neste instante o objeto se encontra em repouso, ou seja, sua velocidade é zero. Observe que a inclinação da curva é zero. (d) O objeto está afastando-se da origem nos instante A. FÍSICA para Cientistas e Engenheiros
Capítulo 1. Movimento em Uma Dimensão 8 15. Um objeto move-se ao longo de uma linha reta. Seu gráfico posição versus tempo está mostrado na Figura 2-30. Em qual tempo (ou quais tempos) (a) sua rapidez é mínima, (b) sua aceleração é positiva e (c) sua velocidade é negativa? (a) A rapidez (módulo da velocidade instantânea) é mínima no ponto em que a inclinação da curva x versus t é zero. Isso, acontece nos instantes B, D e E. (b) A aceleração do objeto é positiva no instante A e no instante D, pois a inclinação da reta tangente é positiva e aumenta com o passar do tempo em A e D. (c) A inclinação da reta tangente é negativa no instante C, então a velocidade é negativa. 16. Para cada um dos quatro gráficos x versus t na Figura 2-31, responda às seguintes questões. (a) A velocidade no tempo t 2 é maior, menor ou igual à velocidade no tempo t 1? (b) A rapidez no tempo t 2 é maior, menor ou igual à rapidez no tempo t 1? Sabemos que a velocidade instantânea é a inclinação da reta tangente à curva x versus t. Ela pode ser positiva ou negativa dependendo da orientação do movimento. Já a rapidez, modulo da velocidade instantânea, é sempre positiva. No gráfico a, nota-se que o ângulo da reta tangente em t 1 é positivo, enquanto o ângulo no instante t 2 é negativo e menor. Dessa forma, a velocidade no instante t 1 é positiva, já no instante t 2 a velocidade é negativa. Então, devido à inclinação da reta tangente à curva, (a) a velocidade no tempo t 1 é maior do que a velocidade no tempo t 2 e (b) sua rapidez também é maior. A curva no gráfico b é um reta, então a inclinação da reta tangente à curva é constante, isto é, a velocidade é constante para qualquer instante considerado. Logo, (a) a velocidade e (b) a rapidez são iguais no dois instantes, t 2 e t 1. No gráfico c, tem-se no instante t 2 um ângulo de inclinação da reta tangente positivo, porém menor em modulo do ângulo de inclinação no instante t 1. Então, a velocidade no instante t 1 é negativa e positiva no instante t 2. Portanto, (a) a velocidade é maior no instante t 2 do que no instante t 1. Porém, a rapidez em t 1 é maior. Na curva do gráfico d, a inclinação da reta tangente no instante t 2 é negativa e aumenta conforme o tempo passa. Dessa forma, a velocidade é negativa e está aumentando, assim, o objeto desloca-se no sentido negativo. Já no instante t 1 a inclinação é positiva e diminui conforme o tempo passa. Sendo assim, a velocidade está diminuindo e o objeto desloca no sentido positivo. Observe que o ângulo de inclinação da reta em t 1 é maior em modulo do que em t 2. (a) a velocidade no instante t 1 é maior e (b) sua rapidez é menor do que no tempo t 2. Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica
Capítulo 2 Bibliografia Tipler, Paul A.; Mosca, Gene. Física para Cientistas e Engenheiros: Física Moderna: Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica, volume 1, 6 a Edição, São Paulo, Editora LTC. 9