João Baptista Bayão Ribeiro USO DO SCILAB PARA REALIZAÇÃO EM COMPUTADOR DE UM PROJETO DE UM COMPENSADOR DE ATRASO-AVANÇO EXEMPLO 7.04 DO OGATA Rio de Janeiro 2014
2 ÍNDICE USO DO SCILAB PARA REALIZAÇÃO...1 EM COMPUTADOR DE UM PROJETO...1 DE UM COMPENSADOR DE ATRASO-AVANÇO...1 SUMÁRIO...3 REQUISITOS DO PROJETO...4 LISTAGEM 7.4...7 RESULTADOS...10 Outras Saidas da Listagem 7.4...12
3 SUMÁRIO USO DO SCILAB PARA REALIZAÇÃO EM COMPUTADOR DE UM PROJETO DE UM COMPENSADOR DE ATRASO-AVANÇO EXEMPLO-7.04 DO OGATA Este documento apresenta um programa escrito para o Scilab que executa em computador um projeto de um compensador de atraso-avanço segundo o método preconizado por Ogata, no exemplo 704 do livro Engenharia de Controle Moderno 3ª Edição. O raciocínio do procedimento é justificado através da noção do Lugar das Raízes (LR), que fornece uma noção muito intuitiva sobre os procedimentos utilizados. A listagem Exemplo7_4 resolve computacionalmente o problema, utilizando o software Scilab. A idéia é que todos os passos do projeto sejam realizados pelo computador, não apenas o traçado das curvas de resposta ao degrau e rampa.
4 REQUISITOS DO PROJETO A Figura 1 apresenta um sistema com realimentação não compensado, onde um compensador analógico no caminho direto será empregado para satisfazer certos requisitos de projeto, conforme a metodologia empregada pelo Ogata no Cap.7 do livro Engenharia de Controle Moderno 3 ª Edição, baseada no Lugar das Raizes (LR). O sistema compensado está representado na Figura 2. O caminho de realimentação, que está representado pelo sensor H(s), será suposto com realimentação unitária. Portanto neste documento, H(s)=1. Deseja-se modificar melhorar característica de resposta transiente, ao mesmo tempo melhorar as características em estado estacionário. Isto significa que o sistema compensado deve ser mais rápido do que o sistema não compensado, melhorando também a resposta em estado estacionário. O Quadro 1 abaixo apresenta como exemplo 10 conjuntos de valores que podem ser usados como exemplos de entradas na Listagem 7.4. Outros valores, podem ser empregados, desde que se adequem às condições para as quais o programa foi idealizado. Entra da Quadro 1 G(s) zd wnd kd C1=C2 T2 R5 1 G=10/(s*(s+.5)).2 5 80.0001 5 20000 2 G=.5/(s*(s+.5)).5 5 80.0001 5 20000 3 G=.15/(s*(s+.4)).8 5 80.0001 5 20000 4 G=0.44/(s*(s+.6)).7 5 80.0001 15 20000 5 G=0.55/(s*(s+.7)).9 7 60.0001 15 20000 6 G=0.44/(s*(s+1)).95 10 90.0001 10 20000 7 G=1/(s*(s+1.5)).7 8 40.0001 10 20000 8 G=.1/(s*(s+.015)).4 1 100.0001 6 20000 9 G=.8/(s*(s+.8)).8 4 60.0001 8 20000 10 G=8/(s*(s+2.8)).6 10 60.0001 8 20000 zd: fator de amortecimento desejado wnd: frequência natural desejada kd: constante de erro desejada
5 z_av:valor escolhido do zero do compensador de avanco T2: Parâmetro do compensador de atraso C1 e C2 em Farads R3 em ohms O zero da parte de avanço do compensador deverá compensar o polo real da planta Figura 1 Figura 2 O programa possibilita o ajuste de vários parâmetros: a função de transferência do sistema não compensado, G(s), a frequência natural desejada, o fator de amortecimento desejado, o valor desejado de constante estática de erro desejado, valores de parâmetros de circuitos(resistores, capacitores). Conforme a metodologia estabelecida pelo Ogata no Exemplo 7.4, vemos que a condição de módulo do LR pode ser expressa como (mod comp av)(mod comp at)(modulo G(s))Kc=1 para s=polo dominante desejado. Como (mod comp at)=1, temos que (mod comp av)=1/kc(mod G(s)). Assim, podemos definir k3 como Kc(mod G(s)) para s=polo dominante, e utilizá-lo como referência para a relação PB/PA (ver exemplo 7.4 do Ogata - 4ª edição). Uma vez calculado k3 (linha 46 da listagem) e o angulo de avanço fi necessário, o polo e o zero do compensador de avanço são obtidos através de um algorítimo ('polo e zero do compensador de avanço') que, a partir do polo dominante, define um angulo de giro variável (ang), e para cada valor de ang calcula, para uma abertura fi, os comprimentos correspondentes aos lados PB e PA do triangulo PAB (ver figura 7.23 do
6 Ogata - 4ª edição). A seguir, através de um processo que determina o valor minimo da variação delta1=abs(pb/pa-k3)(pb/pa)=k2 na listagem - esta definiçao de delta1 foi adotada porque condições extremas de rotação podem levar a valores falsamente negativos para k2, o que prejudicaria o funcionamento do algoritmo. Ao verificar a diferença entre valores sucessivos de delta1, pode-se determinar a ocorrência do mínimo. Os valores significativos ficam guardados no vetor xa. A precisão do algoritmo pode ser ajustada pelo passo de variação de ang.
7 LISTAGEM 7.4 Baixar a listagem EXEMPLO 4.sce
8 RESULTADOS Figura 3 Figura 4 As Figura 3 e 4 apresentam o resultado da simulação, gerado pelo programa. A curva em verde corresponde à saida do sistema não compensado, e a curva em azul à saida do sistema compensado. Na Figura 4, a curva em vermelho significa o valor desejado, isto é, a entrada de controle.
9 Observe que o sistema compensado apresenta uma resposta transiente para resposta ao degrau bem melhor à do sistema não compensado. A resposta à rampa apresenta erro em estado estacionário sensivelmente menor. A conclusão é que o sistema compensado pode atender ao objetivo de projeto. Estas Figuras 3 e 4 foram obtidas pela Listagem 7.4 acima, usando-se os valores para o sistema não compensado constantes do Ogata no Cap.7 do livro Engenharia de Controle Moderno 3 ª Edição Exemplo7.4.
10 Outras Saidas da Listagem 7.4 Para efeito de validação do valores encontrados, comparamos com os valores constante do Exemplo 7.4 do Ogata (Engenharia de Controle Moderno 3ª ou 4ª Edição). Nota-se que o Ogata usou um método gráfico para cálculo dos valores, o que fatalmente leva a aproximações piores do que as obtidas no cálculo numérico via computador. 1-Função de transferência no caminho direto sistema não compensado 4 G = --------- 2 0.5s + s 4 G = ---------- 2 0.5s + s 2-Função de transferência de enlace fechado do sistema não compensado 4 T T = --------------------- 2 4 + 0.5s + s 4 T T = --------------------- 2 4 + 0.5s + s 3-Polos do sistema não compensado p_nc = column 1-0.25-1.9843135i column 2-0.25 + 1.9843135i Não calculado
11 4-Frequência natural, fator de amortecimento e sobre-sinal máximo do sistema não compensado wn = 2. zeta = 0.125 Mp = 0.6731390 (Mp significa máximo sobre-sinal) wn = 2. zeta = 0.125 5-Constante de erro do sistema não compensado kv = 8. kv = 8. 6-Fator de amortecimento desejado (valor de projeto) zetad=0.5 zetad=0.5 7-Frequência natural não amortecida desejada (valor de projeto) wnd=5 wnd=5 8-Constante de erro desejada (valor de projeto) kvd=80 kvd=80 9-Polos dominantes desejados polos_dom = column 1-2.5 + 4.330127i column 2-2.5-4.330127i
12 polos_dom = column 1-2.5 + 4.33i column 2-2.5-4.33i 10-Ganho do compensador Kc = 10. Kc = 10. 11-Relação PB/PA do compensador de avanço k3 =1.6772557 k3 =1.6772557 12-Ângulo do lugar geométrico dos pontos no plano s com fator de amortecimento zetad (reta radial). teta = 60. 13-Ângulo de avanço necessário (em graus) fi = 54.791281 fi = 55 14-Polo e zero do compensador de avanço z_av =- 2.3946769 p_av =- 8.3300813 z_av = - 2.38 p_av = - 8.34 15-Parâmetros do compensador de avanço T1 = 0.4175929
13 beta = 3.4785825 T1 = 0.420 beta =3.503 16-Função de transferência enlace aberto parcial' 9.5787076 + 4s Gp = -------------------------- 2 3 4.1650406s + 8.8300813s + s 17-Parâmetros do compensador de atraso T2 = 10. T2 = 10. 18- Polo e zero do compensador de atraso p_at =- 0.0287473 z_at =- 0.1 p_at = - 0.0285 z_at =- 0.1 19-Função de transferência do compensador atraso-avanco 2 2.3946769 + 24.946769s + 10s Gc= ------------------------------------------------- 2 0.2394677 + 8.3588286s + s 20-Função de transferência de enlace aberto do sistema compensado 2 9.5787076 + 99.787076s + 40s Gea= -------------------------------------- 2 3 4 0.1197338s + 4.418882s+ 8.8588286s + s
14 21-Polos da fea do sistema compensado polosfea = - 8.3300813-0.5-0.0287473 0 polosfea = - 8.34-0.5-0.0285 0 22-Zeros da fea do sistema compensado zerosfea = - 2.3946769-0.1 zerosfea = - 2.38-0.1 23-Função de transferência de enlace fechado do sistema compensado 2 9.5787076 + 99.787076s + 40s Gef =------------------------------------------------------ 2 3 4 9.5787076 + 99.90681s + 44.418882s + 8.8588286s + s 24-Polos do sistema compensado polos = - 2.4381455 + 4.3203114i - 2.4381455-4.3203114i - 3.8822806-0.1002570 polos = - 2.4539+ 4.30994i - 2.4539-4.3099i - 3.8604-0.1
15 25-Zeros do sistema compensado zeros = - 2.3946769-0.1000000 zeros = - 2.4-0.1 26-Polos dominantes do sistema compensado p_d_1 = - 2.4381455 + 4.3203114i p_d_2 = - 2.4381455-4.3203114i p_d_1 = - 2.4539+ 4.30994i p_d_2 = - 2.4539-4.30994i 27-Frequência natural e fator de amortecimento do sistema compensado wnc = 4.9608108 wn = 2. sistema não compensado zetac = 0.4914813 zeta = 0.125 Objetivos de projeto wnd =5 zetad = 0.5 wnc=4.9595 zetac=0.4956 28-Constante de erro do sistema compensado kvc=80. Sistema não compensado: kv=8 Objetivo de projeto: kvd=80
16 29-Projeto eletrônico C1 = 0.0001 C2 = 0.0001 R1 =1200.4685 R2 =100000. R3 = 2975.4602 R4 =247858.25 R5 =20000. R6 = 80691.281 Figura 5 Como o polo a malha fechada do sistema compensado localizado em - 0.1002570 está muito próximo do zero em -0.1, praticamente se cancelam. O polo do sistema compensado em - 3.8822806 não se cancela com o zero em - 2.3946769. O efeito resultante é um reforço na sobretensão da resposta ao degrau.