Uma Aproximação Heurística para o Modelo de Investimento, baseado em cenários, com restrições de orçamento e tempo

Uma Aproximação Heurística para o Modelo de Investimento, baseado em cenários, com restrições de orçamento e tempo ANABELA COSTA Instituto Superior das Ciências do Trabalho e da Empresa, Av. das Forças Armadas 49-0 Lisboa anabela.costa@iscte.pt JOSÉ PINTO PAIXÃO DEIO-CIO Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, Bloco C-Piso4, Campo Grande, Cidade Universitária 749-0 Lisboa jpaixao@fc.ul.pt A avaliação de uma oportunidade de investimento irreversível, em que o valor do projecto de investimento evolui, ao longo do tempo, de forma estocástica e, a decisão para investir pode ser adiada, pelo menos, durante algum tempo, pode ser considerada análoga à avaliação de uma opção call financeira. As oportunidades de investimento que possuem estas características surgem dos recursos de gestão de uma empresa, nomeadamente, conhecimento tecnológico, reputação, posição de mercado e potencial de crescimento. Todos estes recursos podem ser desenvolvidos ao longo do tempo e permitem à empresa encarregar-se dos projectos de investimento que indivíduos de outras empresas não estão habilitados. Concretamente, salientam-se, como oportunidades de investimento, o desenvolvimento de patentes e a aquisição de títulos de propriedade de terras ou recursos naturais. Para determinar o valor de um projecto de investimento com as características referidas são necessárias técnicas matemáticas específicas, tais como Métodos de Avaliação de Activos Financeiros (tais como, opções) e Programação Dinâmica, as quais permitem fazer frente à incerteza subjacente aos valores futuros do projecto e à possibilidade de adiamento da decisão de investimento. O impacto deste tipo de avaliação de projectos nos modelos de investimento com restrição orçamental perspectiva-se, assim, como uma área de investigação aliciante, que está a dar os primeiros passos. Neste trabalho, propõe-se um procedimento heurístico construtivo para o modelo de investimento, baseado em cenários, com restrições de orçamento e tempo, proposto em []. Esta aproximação é o corolário do estudo realizado sobre uma variante do problema considerado em []. Para esta variante apresenta-se uma formulação em Programação Linear Inteira 0- e estabelece-se a relação existente entre os dois modelos. Por fim, apresentam-se os resultados computacionais. [] Meier, H., N. Christofides, G. Salkin. 00. Capital Budgeting under Uncertaintyan Integrated Aproach using Contingent Claims Analysis and Integer Programming. Operations Research 49() 9-0. Palavras chave: Opções reais; Métodos Numéricos de Avaliação de Opções Financeiras: Método Binomial Log-Transformado; Optimização baseada em cenários e Optimização em Programação Linear Inteira 0-.

Na maior parte, das abordagens tradicionais dos problemas de investimento com restrição orçamental, a valorização do projecto de investimento é efectuada através do cálculo do valor líquido presente (Brealey, R. A., Myers, S. C., 99). O valor líquido presente associado a um projecto de investimento é traduzido, pela diferença entre o valor presente do lucro esperado e o valor presente da despesa requerida, devido à aceitação do investimento. Este cálculo pressupõe que, os lucros futuros esperados para o projecto e a taxa de desconto sejam conhecidos e que, o projecto seja iniciado de imediato, caso o valor líquido presente seja positivo. Neste âmbito, o problema de investimento com restrição orçamental consiste em determinar a carteira de projectos de investimento que maximiza o valor líquido presente e cujo custo total de investimento não ultrapassa o orçamento disponível. Na literatura, encontram-se vários modelos de investimento, apoiados neste tipo de avaliação de projectos, nos quais as principais questões analisadas estão ligadas ao cálculo do valor líquido presente, nomeadamente, a estimação do lucro futuro associado ao projecto e a taxa de desconto adequada (Bradley, S. P., Frey, C., 978; Kim, J., Lee, B., 99). Com esta filosofia de investimento, não há possibilidade de adiar a decisão sobre um projecto, ou seja, o projecto é aceite no instante presente, ou, não haverá hipótese, no futuro, de ser aceite. Esta limitação, justifica a existência de regras de investimento pouco eficientes (Dixit, A. K., Pindyck, R. S., 994). Na verdade, os lucros associados a um projecto de investimento, resultam de uma direcção sobre o futuro e, são afectados pela incerteza, bem como, por outras decisões que a empresa, ou empresas congéneres, assumam mais tarde. Assim, para cada projecto de investimento, devem ser permitidas as acções aceitar ou rejeitar o projecto, ou, adiar a decisão sobre o investimento e, no entretanto, recolher informação complementar sobre o projecto. Esta política de investimento é amplamente defendida na literatura recente (Dixit, A. K., Pindyck, R. S., 994; Trigeorgis, L., 99). Nesta perspectiva, uma empresa que tem oportunidade de investir num projecto possui uma opção, em tudo, análoga a uma opção call financeira, i.e., a empresa tem o direito, mas não, a obrigação de comprar um activo (ou seja, de realizar uma despesa de investimento irreversível, em algum instante futuro ao seu critério). Consequentemente, é possível avaliar uma oportunidade de investimento através dos métodos de avaliação desenvolvidos para opções financeiras e, que envolvem, técnicas matemáticas, tais como, Contingent Claims Analysis ou Programação Dinâmica (Dixit, A. K., Pindyck, R. S., 994; Trigeorgis, L., 99). Ambas as técnicas permitem modelar os valores futuros dos projectos de investimento através de um processo estocástico e admitem a possibilidade de adiamento da decisão sobre o investimento. Atendendo ao exposto, é habitual, na literatura, designar as oportunidades de investimento irreversível (ou, activos reais) por opções reais. Com esta visão de uma oportunidade de investimento, a regra óptima de investimento tem que ser, necessariamente, reformulada, uma vez que, só será vantajoso iniciar um projecto, no instante, em que, o valor líquido gerado através do início do investimento, for superior ao valor de manter a opção de investimento activa. Esta filosofia de avaliação de projectos começou por ser aplicada na avaliação de projectos de investimento relativos à exploração de petróleo (Brennan, M., Schwartz, E., 985). A aplicação da técnica de avaliação de opções reais aos problemas de investimento com restrição orçamental envolve uma nova abordagem sobre o problema, ou seja, em vez de, se pretender uma selecção de projectos, pretende-se uma selecção de oportunidades de investimento. Deste modo, o problema passa a incluir, a determinação do conjunto de oportunidades de investimento (ou, opções reais) que maximiza o valor de opção, tendo em conta, o orçamento disponível e, para o conjunto determinado, a decisão, em cada instante, de quais os projectos que devem ser iniciados de imediato e quais devem ser adiados. As primeiras considerações sobre esta técnica de avaliação em problemas de investimento com restrição orçamental foram realizadas por Bowman e

Hurry (993). Mais tarde, Meier, Christofides e Salkin (00) apresentaram dois modelos de investimento com restrição orçamental, em que, os projectos podem ser adiados indefinidamente e, cujos valores, desenvolvem-se de forma estocástica, ao longo do tempo. O primeiro modelo, designado por, Aproximação Maximização do Valor de Opção, determina a carteira de projectos que maximiza o valor de opção global e, cujo custo total de investimento não excede o orçamento disponível. Os autores sugerem que, este modelo deve ser aplicado em problemas de investimento em que, o orçamento não é atribuído a um período de tempo específico. Uma vez que, os projectos seleccionados podem ser iniciados, apenas, num futuro muito distante e, consequentemente, o orçamento pode não ser usado no período de tempo correspondente. Em relação ao segundo modelo, designado por, Modelo Dinâmico de Orçamentação de Capital, dado um conjunto de cenários para os valores futuros dos projectos, determina as carteiras óptimas de opções sobre projectos, dependentes do cenário, que maximizam o valor total, respeitam o orçamento e, em que, os projectos podem ser iniciados durante o período orçamental corrente. Neste trabalho, propõe-se uma heurística construtiva para o modelo dinâmico de orçamentação de capital (Meier et al, 00). Esta aproximação é consequência do estudo realizado sobre uma variante do modelo de investimento em questão. Para este problema, apresenta-se uma formulação em Programação Linear Inteira 0- e, enuncia-se a relação existente entre os dois modelos. Apresentam-se os resultados computacionais associados aos vários testes a que a heurística foi submetida. Os resultados, indicam que, na maioria das ocorrências, os desvios são bastante aceitáveis. No entanto, existem alguns casos, em que os desvios são elevados. Com este estudo, enriqueceu-se a experiência computacional associada ao modelo de investimento de Meier et al (00), quer na quantidade, que na dimensão, dos problemas teste. Por outro lado, em exemplos de grande dimensão, onde não foi possível encontrar o óptimo do modelo dinâmico de orçamentação de capital, o modelo variante estudado é, sempre, resolvido no óptimo e, desta forma, conduz à obtenção de uma solução admissível para o modelo de investimento de Meier et al (00). Este paper está organizado da seguinte forma: na secção, determina-se o valor de projectos, cujos valores evoluem de forma estocástica, em analogia com métodos de avaliação de activos financeiros; na secção, define-se o problema de investimento que se pretende estudar; enquanto que, na secção 3, descreve-se, pormenorizadamente, o modelo dinâmico de orçamentação de capital proposto em []; na secção 4, apresenta-se um novo modelo de investimento, o qual está relacionado com o modelo proposto em [], propõe-se uma aproximação heurística para o modelo dinâmico de orçamentação de capital e resumem-se os principais resultados computacionais; finalmente, na secção 5, realiza-se um resumo do trabalho e perspectivam-se futuras linhas de investigação.. Avaliação de um projecto em analogia com uma opção call financeira Tradicionalmente, a decisão de investimento assenta na regra, simples, do valor líquido presente (VLP) (Brealey, R. A., Myers, S. C., 99), a qual consiste no cálculo da diferença entre o valor presente do lucro esperado associado ao investimento e o valor da despesa subjacente à aceitação do projecto; caso, esta diferença (i.e., o valor líquido presente) seja positiva, o projecto é aceite e iniciado de imediato. Existem várias regras de investimento baseadas no VLP, distinguindo-se umas das outras, através da técnica de estimação dos valores futuros do projecto e da selecção da taxa de desconto adequada. Deste modo, estas regras de investimento, assumem que, os valores futuros do projecto, assim como, a taxa de desconto são valores conhecidos à priori. Estes pressupostos raramente são verificados em situações reais, uma vez que, os lucros associados a um projecto de investimento realizado no instante corrente, resultam de 3

uma direcção sobre o futuro e são afectados pela incerteza, assim como, por outras decisões que a empresa, ou suas rivais, venham a tomar mais tarde. Esta limitação e a impossibilidade de adiar a decisão (ou seja, o projecto de investimento é aceite no instante presente, ou, não haverá possibilidade, no futuro, de ser aceite) justificam a necessidade de investigar novas regras de investimento. A avaliação de uma oportunidade de investimento irreversível, considerando-a, análoga a uma opção call financeira, permite ultrapassar as questões referidas anteriormente. Uma vez que, as técnicas matemáticas utilizadas na avaliação de produtos financeiros, tais como, as opções, consideram que, os valores futuros do projecto evoluem de acordo com um processo estocástico e que, existe a possibilidade de adiamento da decisão de investimento, pelo menos, durante algum tempo. Considerando este tipo de avaliação, a regra de investimento tem que ser actualizada, concretamente, a empresa deve exercer a sua oportunidade de investimento, quando o valor líquido gerado através do início do investimento, for superior ao valor de manter a opção de investimento activa. Procede-se, agora, à derivação da regra óptima de investimento e ao estudo das suas características principais... Derivação da regra óptima de investimento Considere-se uma empresa que tem oportunidade de investir num projecto de investimento irreversível, em que, é possível adiar a decisão sobre o investimento. Para esse projecto, a despesa associada ao seu início, I, é conhecida e fixa e, os seus valores futuros, V, seguem o movimento geométrico Browniano, concretamente, dv = α Vdt+ σ Vdz (..), onde, α é a taxa de crescimento instantâneo esperado para o valor do projecto, σ é a volatilidade à qual está exposto o valor do projecto; dt é a dimensão do intervalo de tempo e, dz é o movimento Browniano standard, i.e., dz = ε dt, com ε a representar uma variável aleatória normalmente distribuída com valor médio nulo e desvio padrão um. Atendendo à equação (..), sabe-se que, o valor corrente do projecto é conhecido, mas, os valores futuros são distribuídos lognormalmente com uma variância que cresce linearmente com o horizonte temporal. Assim, embora exista informação ao longo do tempo, o valor futuro do projecto é sempre incerto. Este modelo de investimento foi desenvolvido por McDonald e Siegel (98), os quais demostraram que, a aplicação da regra de investimento, baseada no VLP, a este modelo, não é correcta. A justificação prende-se, novamente, com o facto que, os valores futuros do projecto não são conhecidos, o que origina, um custo de oportunidade para investir no instante presente (o qual, não deve ser ignorado). Assim, a regra de investimento adequada é a empresa deve iniciar o projecto se o seu valor for superior ou igual à soma dos custos, de investimento, I, e de oportunidade para investir no instante presente. Como foi afirmado anteriormente, para determinar a regra óptima de investimento, são necessárias técnicas matemáticas que sejam capazes de lidar com incerteza associada aos valores futuros do projecto e com a hipótese de adiamento da decisão (i.e., garantir a possibilidade de realizar a mesma decisão num instante futuro). As técnicas matemáticas mais referenciadas na literatura são: Métodos de Avaliação de Activos Financeiros e Programação Dinâmica. 4

Estas técnicas estão relacionadas e conduzem a resultados idênticos, em muitas aplicações. Contudo, elas partem de pressupostos diferentes sobre os mercados financeiros e acerca das taxas de desconto que as empresas utilizam para avaliar os fluxos monetários futuros (Dixit e Pindyck, 994). Neste paper, procede-se à derivação da regra óptima de investimento através de Métodos de Avaliação de Activos Financeiros (i.e., Contingent Claims Analysis).... Derivação da Regra Óptima de Investimento através de Métodos de Avaliação de Activos Financeiros A aplicação de Métodos de Avaliação de Activos Financeiros assenta na hipótese que, as alterações estocásticas da variável V devem ser suportadas através de activos negociados existentes na economia. Especificamente, é necessário admitir que, os mercados de capital devem ser suficientemente completos, de forma a que, pelo menos em princípio, seja possível encontrar um activo ou construir uma carteira dinâmica de activos (i.e., uma carteira cujos conteúdos são ajustados continuamente à medida que os preços dos activos se alteram), cujo preço é perfeitamente correlacionado com V. Deste modo, para garantir que não existem possibilidades de arbitragem, o preço do novo activo tem que ser igual ao preço de mercado da carteira de activos construída. Sempre que, estas hipóteses sejam válidas para as oportunidades de investimento, é possível proceder à sua avaliação através de Métodos de Avaliação de Activos Financeiros (Dixit, A. K., R. S., Pindyck, 994). A avaliação da oportunidade de investimento irá desenrolar-se, de forma análoga, à avaliação de uma opção Call financeira. Concretamente, cria-se uma carteira sem risco, determina-se a sua taxa de retorno esperada e iguala-se, essa taxa, à taxa de juro sem risco. Designando-se, o valor da oportunidade para investir num projecto com valor V, por F( V), a regra óptima de investimento é obtida através da maximização deste valor. Considere-se uma carteira de activos composta pela posse de uma opção para investir, no valor de F(V) u.m. e, pela venda de n unidades do projecto (ou equivalentemente, pela venda de n unidades de um activo ou portfolio x, perfeitamente correlacionado com V, i.e., dx = µ x dt + σ x dz, sendo µ a taxa de retorno esperada por possuir um activo ou portfólio de activos). O valor desta carteira é dado por, Φ = F(V) n V. Admitindo que, a taxa de dividendos associada ao projecto é dada por δ (δ = µ α e admite-se δ 0 > ) a posição curta neste carteira requer o pagamento de n ( δ V) u. m., por cada período de tempo dt. Pois, caso contrário, nenhum investidor racional aceitará o lado longo desta transacção. Assim, o retorno total proveniente da posse da carteira de activos, durante um intervalo de tempo de dimensão dt, é dado por, df(v) n dv n δ V dt. Aplicando o Lema de Itô (Dixit e Pindyck, 994; Björk, 998; Baxter e Rennie,999), obtém-se uma expressão para o diferencial de F(V), df(v) = F (V) dv + F (V) (dv). Assim, a expressão de retorno, subjacente à posse da carteira, é actualizada para ( (dv) ) F (V) dv + F (V) n dv n δ V dt. Dado que, este retorno é sem risco e, para evitar possibilidades de arbitragem, ele deve r Φ dt, sendo r a taxa de juro sem risco. Assim, pode-se escrever, igualar ( ) ( (dv) ) ( ) F (V) dv + F (V) n dv n δ V dt = r F(V) n V dt. Esta equação é equivalente a, σ V F (V) (r δ) V F (V) r F(V) 0 + = (...). 5

A igualdade (...) é a equação diferencial estocástica de ª ordem, homogénea, que o valor da oportunidade de investimento, F(V), deve satisfazer. Além disso, F(V) tem que respeitar as seguintes condições de fronteira: F(0) = 0 (...). Esta condição é uma implicação do processo estocástico assumido para a variável V, que é, o movimento geométrico Browniano. A qual estabelece que, no caso de V tender para zero então permanecerá em zero. Consequentemente, a opção para investir terá valor nulo quando V atinge o valor zero. F(V*) = V* I (...3). Esta condição provém da regra óptima de investimento. Sendo V*, o valor do projecto, no qual, é óptimo investir, esta igualdade afirma que, ao investir, a empresa recebe um lucro líquido de (V* I) u.m.. F (V*) = (...4). Esta condição, também, tem origem na regra óptima de investimento. Concretamente, se F(V) não fosse contínua e uniformemente regular no ponto crítico de exercício, V*, então, seria possível obter um payoff, de valor mais elevado, exercendo o direito noutro ponto diferente. A resolução da equação diferencial estocástica (...) sujeita às condições de fronteira (...), (...3) e (...4), permite determinar F(V) e V*. Em geral, uma equação diferencial estocástica de ª ordem homogénea tem uma solução da forma, F(V) = β β A V + A V, onde, A, A, β, β são constantes e as expressões, β A i V i, i=,, são soluções linearmente independentes da equação diferencial estocástica (...). Substituíndo na equação diferencial estocástica (...), F(V) por A β V, obtém-se a seguinte equação do º grau, σ β (β ) + (r δ) β r = 0 (...5). Esta equação tem as seguintes soluções, (r δ) r (r δ) β = + + σ σ σ ou (r δ) r (r δ) β = + σ σ σ Como, a solução β assume um valor negativo, para garantir a condição de fronteira (...), F(V) = 0, é necessário exigir que, na solução da equação diferencial β β estocástica, F(V) = A V + A V, a constante A seja nula. Assim, a solução da equação diferencial estocástica passa a ser da forma, F(V) = A V. Para determinar a constante A, utiliza-se a condição (...3), F(V*) = V* I, a qual permite afirmar V* I que, A = (...). β V* Por último, utiliza-se a condição de fronteira (...4), para determinar o valor crítico, β V *, obtendo-se, assim, V* = I (...7). De acordo com os desenvolvimentos β β β β β β V β ( ) realizados, o valor da opção para investir é dada por, F(V) = (...8). β I Neste momento reuniram-se as condições para estabelecer a regra óptima de investimento, a qual é traduzida por, a empresa deve iniciar o projecto, se o seu valor for superior ou igual ao β valor crítico, V *, sendo V* = I. β.

β Uma vez que, β >, conclui-se que, >. Deste modo, pode-se afirmar que, β V* > I. Constata-se, assim que, a aplicação da Regra do Valor Líquido Presente, a estes modelos de investimento, é incorrecta, uma vez que, a incerteza e irreversibilidade da decisão conduzem a uma distância entre V * e o custo de investimento, I. A distância β é da ordem de e revela-se importante estudar este factor, no que diz respeito, à β sua grandeza e às alterações que sofre quando os parâmetros subjacentes são actualizados.... Regra Óptima de Investimento Características Principais As relações entre os vários parâmetros que fazem parte da expressão de β, nomeadamente, a volatilidade, σ, a taxa de juro sem risco, r, e a taxa de dividendos, δ, β afectam o factor β e, consequentemente, a regra óptima de investimento. Procede-se, agora, ao estudo de algumas propriedades que descrevem o comportamento da regra óptima de investimento, quando um dos parâmetros (σ, r ou δ) sofre alteração. β Propriedade... - À medida que a volatilidade, σ, aumenta o factor β aumenta (ou seja, o valor crítico, V *, aumenta). também Esta propriedade permite concluir que, i. um aumento da volatilidade provoca um adiamento do exercício da opção para β investir. Na situação limite, quando σ +, o factor tenderá para +, β consequentemente, o valor crítico, V *, também tenderá para +, o que levaria a empresa a nunca exercer o direito da opção para investir; ii. um aumento da volatilidade provoca um aumento no valor da opção para investir, F(V). β Propriedade... - À medida que a taxa de dividendos, δ, aumenta, o factor β diminui (i.e., o valor crítico, V *, diminui). A Propriedade..., também, permite enunciar alguns corolários, concretamente, i. um aumento da taxa de dividendos, δ, provoca uma antecipação do exercício da opção para investir; ii. um aumento da taxa de dividendos, δ, provoca um decréscimo no valor da opção para investir, F(V). β Propriedade...3 - À medida que a taxa de juro sem risco, r, aumenta, o factor β também aumenta (i.e., o valor crítico, V *, aumenta). As consequências desta propriedade são análogas às da Propriedade... 7

Procede-se, agora, à ilustração da regra óptima de investimento...3. Exemplo Considere-se uma empresa com um projecto de investimento irreversível, cujos valores evoluem de acordo com o movimento geométrico Browniano, em que, o custo de investimento é de 5 u.m. ( I= 5), a taxa de dividendos (anual) é de 5% (δ= 0.05) e a volatilidade é de 0% (σ= 0.). Admitindo-se que, a taxa de juro sem risco, anual, é de 4% (r= 0.04), os valores dos parâmetros β, * V e F(V) são os seguintes: β =.35, * V = 8.7 e A = 0.03. Os quais, permitem estabelecer a seguinte regra óptima de investimento, enquanto V < 8.7, a empresa não deve investir, sendo o valor da oportunidade de investimento dada por F(V) = A β 0.03.35 V = V ; caso V 8.7, a empresa deve exercer o direito da opção para investir e recebe o lucro líquido F(V)= V- 5. Com estes valores para os parâmetros, volta-se a constatar que a regra do Valor Líquido Presente (investir desde que, V seja, pelo menos, igual a I) não deve ser aplicada a este tipo de modelo de investimento. Pois, neste caso, o valor do projecto, V, tem que ser superior ao custo de investimento, I, em pelo menos, 75%.. O Problema de Investimento com restrições de orçamento e tempo Dados um horizonte temporal de dimensão T e N projectos de investimento irreversível com as seguintes características: - cada projecto j, tem um custo de investimento, que se designa por I j, j=,...,n ; - a decisão de investimento associada a cada projecto j, j=,...,n, pode ser adiada indefinidamente, no horizonte temporal estabelecido; - o valor futuro de cada projecto j, V j, j=,...,n, evolui de acordo com um movimento geométrico Browniano, i.e., dv j = α j V j dt + σ j V j dz, em que, - α j é a taxa de crescimento instantâneo esperado para o valor do projecto j; - σ j é a volatilidade instantânea à qual está exposto o valor do projecto j; - dt é a dimensão do intervalo de tempo; e - dz é o movimento Browniano standard, i.e., dz = ε dt, com ε a representar uma variável aleatória normalmente distribuída com valor médio nulo e desvio padrão um. O problema de investimento com restrições de orçamento e tempo consiste em selecionar os projectos que, a empresa deve aceitar, durante o horizonte temporal e quando os deve iniciar, de forma a maximizar o valor de opção total e a respeitar um orçamento no valor de B unidades monetárias. Este problema é uma generalização do modelo básico de investimento irreversível, que foi, originalmente, desenvolvido por McDonald e Siegel (98). Meier, Christofides e Salkin (00) propõem uma aproximação, designada por, modelo dinâmico de orçamentação de capital, o qual determina, a partir de um conjunto de cenários, as carteiras óptimas de opções, dependentes do cenário, que maximizam o 8

valor total, respeitam o orçamento e têm o potencial de serem iniciados durante o horizonte temporal estipulado. Prossegue-se o trabalho com o estudo detalhado deste modelo. 3. Modelo dinâmico de orçamentação de capital (Meier, Christofides e Salkin, 00) Neste modelo pretende-se determinar, com base num número de cenários, carteiras óptimas de opções, dependentes do cenário, que maximizam o valor de opção total, respeitam a restrição orçamental e têm a particularidade de serem iniciados dentro do horizonte temporal estipulado. Procede-se, em primeiro lugar, à descrição do processo de geração dos cenários para os valores futuros de cada um dos projectos, os quais estão expostos à mesma fonte de incerteza. 3.. Processo de Geração dos Cenários Na construção de um modelo de optimização baseado em cenários, há que garantir que o conjunto de cenários gerado, para cada projecto, represente um subconjunto realístico do universo total de valores possíveis. Os autores apoiaram-se no Modelo Binomial de Avaliação de uma opção financeira. Trata-se do processo numérico mais aplicado para determinar o preço de activos financeiros (tais como, opções) que evoluam de acordo com processos estocásticos, tais como, o movimento geométrico Browniano (Cox et al 979, Trigeorgis, 99, Hull, 993). A avaliação de uma opção sobre um activo financeiro, de acordo com o Modelo Binomial, consiste na discretização do processo estocástico através das seguintes etapas: Etapa I - A vida da opção, T, é dividida em M intervalos de tempo, equidistantes, de dimensão t, ou seja, t = T M. Etapa II - Em cada intervalo de tempo, t, o preço do activo subjacente move-se do seu valor corrente, S, para (S u), com probabilidade p, ou, para (S u), com probabilidade ( p). Ao fim de M aplicações da Etapa II obtém-se a árvore binomial que representa os movimentos do preço do activo subjacente. Em geral, os factores multiplicativos u e d são de tal forma que, u> e d<. Uma árvore binomial com M instantes, de dimensão t (i.e., t = T M ), é composta por M k M = + valores, determinando, cada um deles, um estado da árvore. De k= 0 uma forma geral, os estados subjacentes ao instante (t t) da árvore, t M, estão compreendidos entre t t i e i (uma vez que, a numeração da árvore é iniciada i= 0 i= 0 em zero). Associado a cada estado k, k = 0,..., M +, da árvore binomial existe uma probabilidade, que se designa por p k. De uma forma geral, no instante (t t), t M, existem t estados e as respectivas probabilidades são obtidas a partir das probabilidades do instante (t ) t, t M, concretamente, cada probabilidade 9

p k, t t i i= 0 i= 0, t M i k =,..., +, do instante (t ) t, origina duas probabilidades para o instante (t t) : p k p e p k ( p). Como no instante inicial (t = 0), o preço do activo subjacente é um valor observado, a correspondente probabilidade é igual a um, ou seja, p 0 =. A escolha dos parâmetros u, d e p origina diferentes aproximações em árvore binomial. Uma das aproximações mais conhecida e aplicada é a de Cox, Ross e Rubinstein (979), no entanto, de forma a garantir a estabilidade (i.e, obtenção de valores admissíveis para a probabilidade p), a aproximação escolhida, pelos autores, foi o esquema binomial Log-Transformado, desenvolvido por Trigeorgis (99). O processo binomial descrito tem que ser aplicado a cada um dos N projectos, de forma a gerar os valores futuros, de cada projecto j, j =,..., N. Como todos os projectos estão expostos à mesma fonte de incerteza, caracterizada pelo movimento Browniano standard, dz, basta construir uma árvore binomial que represente os valores futuros dos N projectos. Com esse objectivo, define-se V j,k, j =,..., N e k = 0,..., M +, como sendo, o valor do projecto j, no estado k da árvore binomial e p j,k, como sendo a correspondente probabilidade. Para cada projecto j, j=,..., N, a árvore binomial é iniciada, no instante 0, com o valor observado, V j,0. No instante t, existem dois valores possíveis, V j, (com probabilidade p j, ) e j, valores possíveis, V j,3, V j,4, j,5 V (com probabilidade p j, ) ; no instante t, existem quatro V e V j,. E assim sucessivamente até atingir o instante terminal, M t, onde existem M valores possíveis. Construída a árvore binomial que traduz os valores futuros de cada projecto j, j =,..., N, define-se como cenário, qualquer caminho que seja possível estabelecer, na árvore binomial, entre o estado inicial e um estado terminal. Desta forma, pode afirmar-se que, numa árvore binomial com M períodos existem M cenários. A geração do conjunto de cenários poderia ser realizada através de outros métodos numéricos, tais como, simulação de Monte Carlo ou métodos às Diferenças Finitas. Tratam-se de métodos alternativos para a avaliação de opções financeiras que, também, se baseiam na discretização do processo estocástico (Trigeorgis, 99, Hull, 993). No entanto, estes métodos apresentam algumas fragilidades em relação aos métodos em árvore. Concretamente, no método de Monte Carlo, os caminhos são gerados de forma aleatória, pelo que, o número de caminhos necessário para obter uma solução, com igual precisão, à dos métodos em árvore, é muito elevado (Trigeorgis, 99, Hull, 993). Como, o problema de investimento envolve vários projectos, a observação anterior, leva a concluir que, o modelo de optimização resultante seria de grande dimensão e, consequentemente, o respectivo tempo computacional, necessário à sua resolução, seria muito elevado. Em relação, aos métodos às diferenças finitas, estes discretizam o processo estocástico a partir de vários valores no instante inicial e avaliam, em simultâneo, a opção, para cada um desses valores iniciais (Trigeorgis, 99, Hull, 993). Dado que, estes métodos registam alguns problemas de estabilidade e consistência e no problema de investimento em estudo, não há necessidade de avaliar oportunidades de investimento para vários valores iniciais a geração dos cenários ficou a cargo dos métodos em árvore. Obviamente, métodos diferentes irão produzir distintos conjuntos de cenários. Assim, a solução óptima do problema de investimento, que é dependente do cenário, será diferente, consoante o método numérico utilizado. No entanto, um aumento no 0

parâmetro M provoca um aumento, substancial, no número de cenários, o qual, atenua as diferenças existentes entre os conjuntos de cenários, das várias aproximações. Desta forma, um aumento no número de intervalos, em que, se divide o horizonte temporal, provoca convergência nos conjuntos de cenários, associados aos vários métodos, e consequentemente, as soluções óptimas dos respectivos problemas de investimento, também, convergem (Meier, 00). Estabelecido o processo de geração dos cenários, apresenta-se, agora, a função valor proposta pelos autores, que será a base dos coeficientes da função objectivo do modelo dinâmico de orçamentação de capital e o garante de que, os projectos aceites serão iniciados durante o período orçamental corrente. 3.. Função Valor A função valor definida por Meier, Christofides e Salkin (00) garante que, o orçamento disponível, para o horizonte temporal corrente, é efectivamente utilizado. Seja g( j, k) a função valor associada ao projecto j, j =,..., N, no estado k, T t + k = 0,,...,, a qual é definida por, p j,k ( V j,k j ) se I V j,k V* j g(j,k) = 0 no caso contrário. Esta função valor traduz a regra óptima de investimento (ver secção...), uma vez que, assume o valor zero, sempre que o valor do projecto j, j =,..., N, no estado k, T t + k = 0,,...,, V j,k, não atinge o valor crítico, V* j (ou seja, o projecto não deve ser iniciado porque, o valor de opção, F( V ), é superior ao valor líquido presente VLP ) e, é igual ao VLP esperado, j,k p j,k ( V j,k I j, quando o valor do projecto j, j =,..., N, no estado k, k = 0,,..., T t, V j,k, iguala ou ultrapassa o valor crítico, V* j (ou seja, o projecto deve ser iniciado, uma vez que, o valor de opção, F( V j,k), é inferior ao VLP ). A aplicação desta função valor ao Problema de Investimento com restrições de tempo e de orçamento permite conduzir a empresa para projectos que têm elevadas probabilidades de serem iniciados durante o período de tempo relativo ao orçamento actual. Em relação, aos projectos que possuem um valor de opção elevado, mas que têm menos hipóteses de serem iniciados durante o corrente período orçamental, eles poderão ser aceites durante um dos próximos períodos orçamentais. + 3.3. Variáveis associadas ao modelo dinâmico de orçamentação de capital Neste modelo, pretende-se determinar a carteira de opções sobre projectos, para cada um dos cenários gerados, de forma a que seja máximo o valor do conjunto das carteiras. Deste modo, em cada cenário, é necessário investigar se o projecto j, j =,..., N, é, ou não, incluído na carteira óptima. O que leva a concluir que, as variáveis do modelo são binárias, concretamente, em que,, se o projecto j é aceite no cenário s, no ins tan te (t t) x j,s(t) =, 0, no caso contrário M j=,..., N, s =,...,, t= 0,..., M.

A definição das variáveis x, j=,..., N, s =,...,, t= 0,..., M, implica que, para j,s(t) cada estado da árvore binomial, existe uma variável, e, assim, as variáveis são compartilhadas por um certo número de cenários. Esta constatação permite reduzir o número de variáveis associadas a cada projecto j, j=,..., N. Além disso, sempre que, dois cenários possuem um estado k, k = 0,..., M +, em comum, então, há necessidade de tomar decisões conjuntas, no que diz respeito, aos projectos que devem ser aceites nesse estado k. Para ilustrar as consequências da definição das variáveis x, j=,..., N, M s =,...,, t= 0,..., M, considere-se que, a árvore binomial que simula os valores futuros do projecto j, j=,..., N, é composta por três períodos (M = 3). Neste caso, árvore binomial (figura 3.3.) é constituída por 3 + = 5 estados e define 3 = 8 cenários, concretamente, cenário ( 0 3 7), cenário ( 0 3 8), cenário 3 ( 0 4 9), cenário 4 ( 0 4 0), cenário 5 ( 0 5 ), cenário ( 0 5 ), cenário 7 ( 0 3) e cenário 8 ( 0 4). As variáveis x j,(0), x j,(), x j,() e x j,(3) definem o cenário um, para cada um dos projectos j, j=,..., N. No entanto, os índices (0), (), () e (3), que dizem respeito, ao cenário um, nos instantes 0,, e 3, respectivamente, correspondem aos estados 0,, 3 e 7 da árvore binomial (ver fig. 3.3.). Assim, as variáveis associadas ao cenário um, para cada projecto j, j=,..., N, podem ser definidas por, x j,0, x j,, x j,3 e x j,7, tendo em conta que, x j,k, j=,..., N, k= 0,,3,7, assume o valor um, se o projecto j é aceite no estado k; caso contrário, assume o valor zero. O raciocínio aplicado ao cenário um, é válido para os outros cenários da árvore binomial. Sendo assim, as variáveis do modelo dinâmico de orçamentação de capital podem ser definidas por,, se o projecto j é aceite no estado k, da árvore binomial x j,k = 0, no caso contrário em que, j=,..., N, k = 0,..., M +. Atendendo à interpretação das variáveis x j,k, j=,..., N ; k = 0,..., M +, é possível enunciar a seguinte propriedade: Propriedade 3.3. - Numa árvore binomial com M períodos, o estado k, t t k = i i,..., +, do período t, t = 0,...,M, é compartilhado por M t i= 0 i= 0 cenários. Concretamente, ao i-ésimo estado, i = t,...,, do período t, t = 0,...,M, estão afectos os cenários compreendidos entre + (i ) M t e i M t. Definidas as variáveis associadas ao problema, procede-se, agora, à apresentação do modelo matemático. M j,s(t)

7 3 8 9 0 0... 5.... 3........... 4.......... Inst. 0 Inst. t Inst. t Inst.. 3 t Figura 3.3. Árvore Binomial com três períodos 3.4. Modelo dinâmico de orçamentação de capital Atendendo à definição das variáveis, o problema de determinação das carteiras de opções sobre projectos, para cada um dos cenários, que maximizam o valor total e respeitam o orçamento disponível pode ser formulado do seguinte modo: (M D) Max Z = s.a. N M M j= t= 0 s= t t r e g(j,s(t)) x M N I j x j,s(t) B, s M,..., t= 0 j= M t= 0 j,s(t) j,s(t) = () x, j=,..., N ; s= M,..., () { } x, j=,..., N ; s=,..., ; t= 0,...,M (3) j,s(t) 0, 4 O objectivo é maximizar o valor esperado do conjunto de carteiras de opções sobre projectos que são iniciados no horizonte temporal corrente. O grupo () de restrições garante que, em cada cenário s, s= M,...,, o custo total de investimento não ultrapassa o orçamento disponível de B unidades monetárias. A expressão t t r e, t= 0,...,M, representa o factor de desconto para o período t, t= 0,...,M, associado ao modelo. 3 M

Enquanto que, o grupo () de restrições assegura que, em cada cenário s, s= M,...,, cada projecto j, j=,..., N, não é aceite mais do que uma vez. Por último, o grupo (3) corresponde às restrições de sinal. Esta formulação é composta por N ( M + ) variáveis (ver secção 3.3) e por (N+ ) M restrições, exceptuando as restrições de sinal. O modelo ( M D ) proposto por Meier, Christofides e Salkin (00), trata-se de uma nova aproximação para o Problema de Investimento, em que existe a possibilidade de adiar, indefinidamente, a decisão de investimento sobre projectos, cujos valores desenvolvem-se estocasticamente ao longo do tempo. Nesta aproximação as decisões são probabilísticas (excepto, as que envolvem o estado inicial da árvore binomial, onde o valor de cada projecto é um valor observado), uma vez que, os valores futuros dos projectos são gerados de acordo com o modelo binomial log-transformado. Com este modelo foi possível conciliar o objectivo de seleccionar projectos cujos valores de opção sejam elevados, com a flexibilidade de aceitar os projectos, em instantes futuros, dentro do horizonte temporal e com a restrição orçamental. Para resolver o problema associado ao Modelo ( M D ), composto por variáveis inteiras 0-, os autores desenvolveram um algoritmo de Branch-and-Bound (Meier, Christofides e Sakin, 00). Pelo exposto, é possível afirmar que, este modelo contribui de forma significativa, para o processo estratégico de decisão de uma empresa. Procede-se, agora, à ilustração do modelo ( M ). 3.5. Exemplo Considere-se um problema de investimento com seis projectos, cujos vectores, ( V j,0, α j, δ j, σ j, I j), j=,...,, são apresentados na tabela 3.5., assim como, os respectivos valores críticos, V* j, j=,...,, e os valores de opção, F( V j,0), j=,...,. Supõe-se, ainda que, os projectos podem ser adiados indefinidamente e que a taxa de juro sem risco, r, é de 4%. D PROJECTO VALOR TAXA INICIAL de V j,0 CRESCIMENTO VOLATILIDADE σ j(%) DELTA δ j(%) CUSTO VALOR de CRÍTICO INVESTIMENTO V* j I j VALOR de OPÇÃO F( V j,0) α j(%) 8.5.5 7.5 3.5 4 9.83 4.0 7.0 5.5 5.0 8 9.9 3.9 3 5 5.5 7.0 4.0 0 5.0 5.0 4 9.5 8.0 7.5 3.5 5.5.95 4.3 5.5 7.0 8.0 3.75 4 9.9.99 7.5 8.5 4.75 8.5.90 3.57 Tabela 3.5. Parâmetros, Valores Críticos e Valores de Opção dos seis projectos Para proceder à geração dos cenários considerou-se que, o horizonte temporal é de T=.8 anos, o qual foi dividido em M = 3 intervalos de tempo, equidistantes, de dimensão t=.8 3=0.93 anos. Os valores dos parâmetros (u,d,p) associados a cada projecto j, j=,...,, que permitem construir a árvore binomial foram determinados, de acordo com, o modelo binomial log-transformado (Trigeorgis, 99). A árvore binomial que traduz o conjunto de cenários gerados para cada um dos seis projectos é apresentada na figura 3.5.. 4

P:.39; P:3.4; P3:8.; P4:.54; P5:9.; P:5.9 P:.99; P:4.7; P3:30.3; P4:4.4; P5:0.8; P:8.0 P:9.89; P:.7; P3:.75; P4:0.97; P5:7.83; P:3.90 P:8.5; P:.0; P3:5.0; P4:9.5; P5:.5; P:.0 P:9.89; P:.7; P3:.75; P4:0.97; P5:7.83; P:3.90 P:7.;P:9.89; P3:3.3; P4:8.4; P5:5.7; P:0.5 P:8.5; P:.0; P3:5.0; P4:9.5; P5:.5; P:.0 P:8.5; P:.0; P3:5.0; P4:9.5; P5:.5; P:.0 P:9.89; P:.7; P3:.75; P4:0.97; P5:7.83; P:3.90 P:7.; P:9.89; P3:3.3; P4:8.4; P5:5.7; P:0.5 P:9.89; P:.7; P3:.75; P4:0.97; P5:7.83; P:3.90 P:7.; P:9.89; P3:3.3; P4:8.4; P5:5.7; P:0.5 P:7.; P:9.89; P3:3.3; P4:8.4; P5:5.7; P:0.5 P:.00; P:8.84; P3:.84; P4:.87; P5:4.4; P:8.4 P:4.88; P:7.85; P3:0.4; P4:5.9; P5:3.09; P:7. Figura 3.5. Geração dos cenários relativos aos valores futuros dos seis projectos Os valores associados à função g(j,k), j =,...,, k = 0,,...,4, foram calculados da forma apresentada na secção 3.. e constam da figura 3.5.3.. Após a geração dos cenários para os valores futuros dos projectos e da determinação dos valores da função valor, definem-se as variáveis associdas ao modelo ( M ): x j,k, se o projecto j é aceite no estado k, da árvore binomial = 0, no caso contrário em que, j=,..., e k = 0,...,4. Neste momento, é possível escrever a formulação matemática do modelo dinâmico de orçamentação de capital, a qual é apresentada na figura 3.5.4. Resolveu-se este problema de Programação linear Inteira recorrendo ao package CPLEX Linear Optimizer 7.0.0 with Mixed Integer & Barrier Solvers Copyright (c) ILOG 997-000. O valor óptimo obtido foi de.8 u.m. e, na solução óptima correspondente, apenas as variáveis, x,, x,, x,4, x,5, x 3,, x 3,, x 4,3 e x 5,7 assumem o valor um. Atendendo à optimização do modelo ( M D ), a política óptima de investimento consiste, no cenário, aceitar os projectos, 3, 4 e 5, no cenário, aceitar D 5

os projectos, 3 e 4, nos cenários 3, 4 e 5, aceitar os projectos, e 3, no cenário, aceitar o projecto e, nos cenários 7 e 8, não realizar qualquer investimento. Com esta política, o valor esperado da carteira de investimentos é de.8 u.m.. É, ainda, possível, através da solução óptima do modelo ( M D ), afirmar, em que instante o investimento deve ser iniciado. Atendendo à figura 3.5.5 constata-se que: nos cenários,, 3 e 4, os projectos e 3 são iniciados no instante t = 0.93; nos cenários e, o projecto 4 é iniciado no instante t =.8 ; no cenário, o projecto 5 é iniciado no instante 3 t =.8 ; nos cenários 3, 4, 5 e, o projecto é iniciado no instante t =.8 ; e nos cenários 5 e, os projectos e 3 são iniciados no instante 3 t =.8. g(,7)=.; g(,7)=0.43; g(3,7)=.0; g(4,7)=.9; g(5,7)=0.83; g(,7)=0.8 g(,3)=.95; g(,3)=0.87; g(3,3)=.0; g(4,3)=.8; g(5,3)=0; g(,3)=.43 g(,8)=0.7; g(,8)=0.40; g(3,8)=0.8; g(4,8)=0; g(5,8)=0; g(,8)=0.58 g(,0)=0; g(,0)=3.0; g(3,0)=0; g(4,0)=0; g(5,0)=0; g(,0)=0 g(,)=3.03; g,)=.7; g(3,)=3.; g(4,)=0; g(5,)=0; g(,)=.3 g(,4)=0; g(,4)=0.7; g(3,4)=0; g(4,4)=0; g(5,4)=0; g(,4)=0 g(,5)=0; g(,5)=0.7; g(3,5)=0; g(4,5)=0; g(5,5)=0; g(,5)=0 g(,9)=0.7; g(,9)=0.40; g(3,9)=0.8; g(4,9)=0; g(5,9)=0; g(,9)=0.58 g(,0)=0; g(,0)=0; g(3,0)=0; g(4,0)=0; g(5,0)=0; g(,0)=0 g(,)=0.7; g(,)=0.40 g(3,)=0.8; g(4,)=0; g(5,)=0; g(,)=0.58 g(,)=0; g(,)=0; g(3,)=0; g(4,)=0; g(5,)=0; g(,)=0 g(,)=0; g(,)=0; g(3,)=0; g(4,)=0; g(5,)=0; g(,)=0 g(,)=0; g(,)=0; g(3,)=0; g(4,)=0; g(5,)=0; g(,)=0 g(,3)=0; g(,3)=0; g(3,3)=0; g(4,3)=0; g(5,3)=0; g(,3)=0 g(,4)=0; g(,4)=0; g(3,4)=0; g(4,4)=0; g(5,4)=0; g(,4)=0 Figura 3.5.3 Função valor associada a cada um dos seis projectos para cada estado da árvore

M ) MaxZ=.9x, +.8x,3 +.09x,7 + 0.8x,8 + 0.8x,9 + 0.8x, + 3.0x,0 +.x, + 0.8x,3 + 0.7x,4 + 0.7x,5 + 0.39x,7 + 0.3x,8 + 0.3x,9 + 0.3x, + 3.4x3, +.87x3,3 +.07x3,7 + 0.73x3,8 + 0.73x3,9 + 0.73x3, +.73x 4,3 +.0x + 0.74x +.7x +.3x + 0.73x + 0.5x + 0.5x + 0.5x ( D 4,7 5,7 s.a. x + x + x + x j,7, j=,..., (cenário ) j,0 j, j,3 x j,0 + x j, + x j,3 + x j,8, j,..., x j,0 + x j, + x j,4 + x j,9, j,..., x j,0 + x j, + x j,4 + x j,0, j,..., x j,0 + x j, + x j,5 + x j,, j,..., x j,0 + x j, + x j,5 + x j,, j,..., x j,0 + x j, + x j, + x j,3, j,..., x j,0 + x j, + x j, + x j,4, j,..., j= j= j= j= j= j= j= ( + + + ) I j x j,0 x j, x j,3 x j,7 5 ( + + + ) I j x j,0 x j, x j,3 x j,8 5 ( + + + ) I j x j,0 x j, x j,4 x,9 5 ( + + + ) I j x j,0 x j, x j,4 x,0 5 ( + + + ) I j x j,0 x j, x j,5 x, 5 ( + + + ) I j x j,0 x j, x j,5 x j, 5 ( + + + ) I j x j,0 x j, x j, x j,3 5 ( + + + ), j= I j x j,0 x j, x j, x j,4 5 { } x j,k 0,, j=,...,, k= 0,,...,4.,,3,7,8,9, = (cenário ) = (cenário 3) = (cenário 4) = (cenário 5) = (cenário ) = (cenário 7) = (cenário 8) Figura 3.5.4 Formulação matemática do modelo dinâmico de orçamentação de capital Estado 7 P5 Estado 0 - Estado P e P3 Estado - Estado 3 P4 Estado 4 P Estado 5 P Estado - Estado 8 - Estado 9 - Estado 0 - Estado P e P3 Estado - Estado 3 - Estado 4 - Figura 3.5.5 Projectos aceites em cada estado da árvore binomial 7

3.. Testes Computacionais Atendendo a Meier, Christofides e Salkin (00), sabe-se que, a experiência computacional associada ao modelo dinâmico de orçamentação de capital consistiu na resolução de mais cinquenta problemas. Estes problemas foram gerados de forma similar à do exemplo apresentado no ponto 3.5.. A dimensão dos problemas teste foi limitada devido às características do PC utilizado (Intel Chip com 48-5 MHz e 4 MB de RAM), concretamente, o número de projectos variou entre três e dez e o número de períodos, da árvore binomial, alternou entre três e quatro. Constata-se que, a experiência computacional dos autores foi bastante limitada, no que diz respeito, ao número de períodos subjacente à árvore binomial. Assim, com o objectivo de alcançar mais informação sobre o comportamento do modelo dinâmico de orçamentação de capital quando o número de períodos, da árvore binomial, aumenta, procedeu-se à geração de um conjunto de problemas teste e à respectiva resolução. Em cada problema teste gerado, constituído por uma restrição orçamental de B unidades monetárias e por N, 5 N 0, projectos, os quais são representados por vectores ( V j,0, α j, σ j, δj, Ij), j=,..., N, define-se um conjunto de subproblemas. Estes subproblemas variam entre si, no que diz respeito, ao número de períodos subjacente à árvore binomial que serve de base à geração dos cenários. Concretamente, o número mínimo de períodos, M, admissível, em cada problema teste, é tal que, T M, o qual permite construir o primeiro subproblema e, o número máximo de períodos, M em cada problema teste, é o último valor para o parâmetro M, em que, o respectivo período da árvore binomial possui valores positivos para a função valor, g( j, k), j=,..., N, M i M k =,...,. i= 0 i= 0 i Neste estudo, atendendo às características dos problemas teste, o número máximo de períodos, que foi considerado na árvore binomial, atingiu o valor M = 9, originando um subproblema com 8 ( 0 ) = 838800 variáveis e 9 9 = 47859 restrições. Numa tentativa de reduzir o número de variáveis dos subproblemas associados a um elevado número de períodos, desenvolveu-se um procedimento que analisa as variáveis cujos coeficientes na função objectivo são nulos. A eliminação de variáveis, por sua vez, origina uma actualização no conjunto de restrições, a qual, provoca a eliminação de várias restrições. A aplicação destes procedimentos, ao subproblema em causa, permitiu reduzir o número de variáveis para 854 e o número de restrições para 79305. Além, dos problemas teste gerados, também, se considerou o exemplo apresentado por Meier, Christofides e Salkin (00), no qual, a geração de cenários está a cargo de uma árvore binomial com M = 3 períodos. Para este exemplo, definiram-se vários subproblemas, sendo o primeiro, associado a uma árvore binomial composta por M = 4 períodos e, o último, associado a uma árvore binomial constituída por M = 4 períodos. A optimização dos 8 problemas teste esteve a cargo do package CPLEX Linear Optimizer 7.0.0 with Mixed Integer & Barrier Solvers Copyright (c) ILOG 997-000 e, da sua versão mais recente, CPLEX Interactive Optimizer 9.0.0 with Simplex, Mixed Integer & Barrier Optimizers Copyright (c) ILOG 997-003. Os tempos, expressos em segundos, relativos à optimização do conjunto de problemas teste permitem concluir que, um aumento no número de períodos da árvore binomial, provoca um aumento significativo no tempo computacional associado à optimização do respectivo subproblema. Tal facto ocorre, porque o número de variáveis, bem como, o número de restrições, do modelo ( M D ) sofrem um aumento exponencial, quando o número de períodos da árvore binomial aumenta. Por exemplo, para um problema teste 8

com N = 8 projectos, a optimização do correspondente subproblema com M = 0 períodos, demorou 7.0 segundos, enquanto que, a solução óptima do subproblema com M = 5 períodos é alcançada após 7334.95 segundos (aproximadamente, horas) e, finalmente, a optimização do subproblema com M = 8 demorou cerca de 99 horas e 43 minutos. Em relação, ao comportamento do valor óptimo dos subproblemas, associados a cada problema teste, é de destacar, o facto deste sofrer, apenas, pequenas oscilações, à medida que o número de períodos da árvore aumenta. A primeira fase dos testes computacionais foi realizada num Pentium II, 350 MHz e 8 Mb de RAM, estando a optimização a cargo da versão mais antiga do package CPLEX. Não foi possível resolver, no óptimo, alguns subproblemas, em que, o número de períodos, M, associado à árvore binomial estava compreendido entre e 4. Nestes casos, o package CPLEX estabeleceu limites, inferior e superior, para o respectivo valor óptimo do subproblema. Em, subproblemas com um número de períodos superior ou igual a quinze, não foi possível determinar qualquer solução admissível, devido ao elevado número de variáveis e restrições. Numa fase posterior, os testes computacionais foram realizados num Pentium IV,,4 GHz e 5 Mb de RAM, e utilizou-se a versão mais actual do CPLEX para resolver, no óptimo, as várias instâncias pendentes. Atendendo às características do PC, foi, agora, possível determinar a solução óptima dos subproblemas com M 5 períodos, excepto do subproblema com M = 9 períodos. Atendendo aos elevados tempos computacionais associados à optimização de certas instâncias e ao facto, de não ser possível resolver, no óptimo, outras, tem sentido o estudo de abordagens alternativas para o modelo dinâmico de orçamentação de capital. 4. Aproximação heurística para o modelo dinâmico de orçamentação de capital A aproximação heurística desenvolvida para o modelo dinâmico de orçamentação de capital teve origem na análise realizada sobre a árvore binomial, que define o conjunto de cenários plausíveis para os valores futuros dos projectos. Esta análise permitiu enunciar a seguinte propriedade. 4.. Propriedade da árvore binomial A árvore binomial construída, de acordo, com o esquema binomial log-transformado de Trigeorgis (99) e que representa as alterações de valor de cada projecto j, j=,..., N, recombina, i.e., o valor do projecto resultante de um movimento ascendente precedido de um movimento descendente é igual ao valor obtido a partir de um movimento descendente precedido de um movimento ascendente. A árvore binomial que resulta da operação recombinação, designa-se por, árvore binomial recombinada. Caso não seja aplicada a operação recombinação, a árvore binomial diz-se completa. Na árvore binomial recombinada existem dois tipos de estados: estados simples (os quais correspondem a valores dos projectos resultantes, exclusivamente, de movimentos ascendentes ou descendentes; i.e., são estados onde não é possível aplicar a operação recombinação) e, estados agrupados (os quais correspondem a valores dos projectos resultantes de movimentos ascendentes e descendentes; i.e., são estados onde é possível aplicar a operação recombinação). Com base nesta propriedade, pretende-se desenvolver um modelo matemático alternativo para o problema de investimento, baseado em cenários, com restrições de 9