UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIAS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO CONTROLE ON-LINE DO NÚMERO DE NÃO-CONFORMIDADES POR ITENS, COM INSPEÇÃO RETROSPECTIVA, PARA PRODUÇÃO FINITA CARLA SIMONE DE LIMA TEIXEIRA Orientador: Prof. Dr. Pledson Guedes de Medeiros Co-orientador: Prof. Dr. Linda Lee Ho NATAL, DEZEMBRO DE 2010
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIAS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO CONTROLE ON-LINE DO NÚMERO DE NÃO-CONFORMIDADES POR ITENS, COM INSPEÇÃO RETROSPECTIVA, PARA PRODUÇÃO FINITA CARLA SIMONE DE LIMA TEIXEIRA Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Engenharia de Produção da Universidade Federal do Rio Grande do Norte (PEP - UFRN) como parte dos requisitos necessários para obtenção do título de Mestre em Engenharia de Produção. Natal, Dezembro de 2010
Para meu avô Manoel, que sempre esteve presente em todos os melhores momentos da minha vida. E sei que, de onde estiver, vai estar acompanhando mais esta vitória.
Agradecimentos A Deus, acima de tudo, e à intercessão de Nossa Senhora pois sem Eles nada disso estaria acontecendo em minha vida. Aos meus pais Sérgio e Adenilda, por todo apoio, amor e companheirismo, por acreditarem em mim até mais que eu mesma. Sem vocês eu não conseguiria. Amo muito vocês! À minha irmã, Juliana, por estar sempre ao meu lado, por todo incentivo e admiração que me fazem querer sempre ser cada vez melhor. Ao Leonel, meu namorado e melhor amigo, por sempre estar ao meu lado nos momentos felizes e difíceis, me apoiando, me animando a prosseguir quando o fardo está pesado. Essa vitória também é sua. Te amo demais! Ao Prof. Pledson Guedes de Medeiros pela orientação durante a elaboração do trabalho e por não medir esforços para que as coisas caminhassem eficientemente. À Prof. Linda Lee Ho, por quem desenvolvi profunda admiração durante a realização do trabalho, pela sugestão do tema e pela brilhante co-orientação, disponibilidade e generosidade em partilhar um pouco do seu vasto conhecimento na área. Ao prof. Damião Nóbrega da Silva pela contribuição em me fazer hoje uma apaixonada pela estatística e pela arte de ensinar. Espero ser uma profissional da educação tão dedicada quanto ele. Ao Prof. André Luis Santos de Pinho pela participação na banca da qualificação e pelas belas palavras durante a arguição que me fizeram acreditar ainda mais em minha capacidade.
Aos Professores Antônio Fernando Branco Costa, Roberto da Costa Quinino e Débora Borges Ferreira pela disponibilidade em participar da banca da defesa da dissertação, pelas sugestões para melhorar ainda mais os resultados e pelos elogios que me fizeram ter ainda mais orgulho do trabalho desenvolvido. Ao Professor Rodrigo e ao Professor Dario Aloise pelo incentivo de sempre e pela crença de que a melhoria do programa e das nossas próprias vidas está em nossas mãos. Aos meus amigos que compreenderam minha ausência e continuaram me apoiando, amando e torcendo sempre por mim. Aos companheiros de mestrado, em especial Michel, André e Rodrigo (em memória) com os quais pude partilhar dificuldades e sempre estavam presentes para me ajudar. Aos professores da banca pelas sugestões e correções. À CAPES pelo apoio financeiro.
Comece fazendo o que é necessário, depois o que é possível, e, de repente, você estará fazendo o impossível. São Francisco de Assis
Resumo Trabalhos anteriores propuseram modelos para controle on-line para variáveis em produções finitas, que visam minimizar o custo médio esperado por item produzido. Porém, em muitos casos, a qualidade do produto não é atestada por meio de mensuração. Neste trabalho será proposta uma abordagem para monitoramento do número de não-conformidades dos itens inspecionados para produções finitas, por meio de amostras não-unitárias. A taxa média de nãoconformidades por itens é considerada parâmetro da distribuição de Poisson. Será utilizada uma Cadeia de Markov finita de estados discretos para determinar as probabilidades de mudança de estado, a serem consideradas nas expressões de custo a fim de determinar a estratégia ótima de monitoração, obtida através da otimização dos parâmetros: intervalo amostral (m) e tamanho amostral (r). Os parâmetros serão obtidos computacionalmente, através de busca direta, a fim de minimizar a expressão do custo médio por item produzido. O processo inicia-se (ou reiniciase) no Estado I, onde a frequência média de defeituosos é λ 0 ; após a mudança para o Estado II, a frequência média de não-conformidades aumenta para λ 1. A mudança de estado, a cada item produzido, ocorre segundo uma distribuição geométrica com parâmetro π. A cada ciclo de produção, inspeciona-se o m-ésimo item, mais (r-1) itens retrospectivamente. É monitorado o número de não-conformidades (D) de cada item e se, entre os r itens inspecionados, todos obedecerem à regra de decisão (D ), onde representa o limite superior de especificação, o processo continua operando; caso contrário, o processo é parado para ajuste. Os itens inspecionados serão descartados depois da inspeção, somente quando há parada no processo para ajuste. Um lote adicional, que não sofrerá inspeção, será produzido para completar a encomenda do cliente. Palavras Chaves: Controle on-line. Produção Finita. Número de Não-conformidades. Poisson.
Abstract Previous papers proposed models for on-line control for variables in short-run productions, which aims to minimize the average expected cost per item. However, in many cases the quality is not attested by measurement. This work will propose an approach for monitoring the number of non-conformities of the items inspected for finite productions. The average number of non-conformities items is the parameter of the Poisson distribution and it is used to calculate the probabilities of the transition matrix, as well as to calculate the average expected cost per item produced for the inspection process. For this, a finite Markov chain of discrete states is considered in cost expressions to determine the optimal strategy for monitoring, by optimizing two parameters: the sample interval (m) and the sample size (r). These parameters are obtained computationally by direct search. The process starts (or restarts) in State I, where the average frequency of non-conformities is λ 0, after a shift to State II, the average frequency of non-conformities increases to λ 1. The shift, every item produced, occurs according to a geometric distribution with parameter π. At each cycle, is inspects the m-th item, plus (r-1) items retrospectively. The number of non-conformities (D) of each item is monitored and if, among the r items inspected, all of them meet the decision rule (D ), where is the upper specification limit, the process continues; otherwise, the process is stopped for adjustment. The items inspected are only discarded if the process is stopped for adjustment. An additional lot, which will not inspected, will be produced to complete the customer order. Key Words: On-line quality control. Short-run. Non-conformities number. Poisson.
Sumário 1 Introdução 13 1.1 Qualidade e Controle Estatístico de Qualidade................ 13 1.1.1 Qualidade................................ 13 1.1.2 Controle Estatístico de Processos................... 14 1.2 Controle de Qualidade on-line......................... 17 1.3 Motivação: controle on-line do número de não-conformidades por itens para produções finitas............................. 18 1.4 Objetivos Propostos.............................. 19 2 Modelos de Controle On-line 21 2.0.1 Modelo de Taguchi........................... 21 2.1 Controle on-line de processos para uma produção finita........... 25 3 Controle on-line do número de não-conformidades por itens em uma produção finita - Modelo Probabilístico 28 3.1 A Cadeia de Markov.............................. 30 4 Determinação do Custo Médio por Item Produzido 41 4.1 Custos dos Estados da Cadeia......................... 41 4.1.1 Custos de envio de itens não-conformes, entre os não inspecionados: η(uw).................................. 43 4.1.2 Custos de descarte dos itens inspecionados: γ(uw).......... 45
4.1.3 Custos relacionados à parada do processo para ajuste: ξ(uw).... 46 4.1.4 Custos relacionado ao lote adicional.................. 47 4.2 Custo médio por item produzido........................ 49 4.3 Algoritmo de Busca............................... 51 5 Exemplo Numérico 52 5.1 Análise de Sensibilidade............................ 55 Considerações Finais 62 6 Considerações Finais 63 6.1 Conclusões.................................... 63 6.2 Pesquisas Futuras................................ 65 Referências bibliográficas 66 A Programa Computacional, no software R 70
Lista de Figuras 3.1 Sistema de Inspeção para um caso de m = 6 e r = 3................. 29 3.2 Fluxograma do Processo.............................. 31 3.3 Sistema de Inspeção e Estados da Cadeia de Markov................. 32 5.1 (a) Gráfico de mxc, com r = 2 ; (b) Gráfico de rxc, com m = 27.......... 55
Lista de Tabelas 5.1 Parâmetros de acordo com dados históricos..................... 54 5.2 Parâmetros Ótimos e Custo Médio Mínimo..................... 54 5.3 Análise de sensibilidade, variando π......................... 56 5.4 Análise de sensibilidade, variando λ 1........................ 56 5.5 Análise de sensibilidade, variando λ 0........................ 57 5.6 Análise de sensibilidade, variando N......................... 58 5.7 Análise de sensibilidade, variando LE........................ 59 5.8 Análise dos custos envolvidos............................ 60 5.9 Análise de sensibilidade, variando r......................... 61 6.1 Parâmetros Ótimos e Custo Médio Mínimo para a Estratégia de Descartar Todos os Itens Inspecionados................................ 65
Capítulo 1 Introdução Serão apresentados, neste capítulo, os principais conceitos de qualidade, do controle estatístico de qualidade e do controle de qualidade on-line, os quais serão usados no decorrer do trabalho. Além disso, ele também conterá a motivação para realização da pesquisa sobre o tema proposto e os objetivos desta. 1.1 Qualidade e Controle Estatístico de Qualidade 1.1.1 Qualidade No atual mercado competitivo, a qualidade tem se mostrado um dos principais conceitos qualificadores das empresas frente à concorrência. Principalmente após os anos 80, quando a revolução da qualidade exigiu que as empresas investissem na melhoria de seus produtos e processos para sobreviverem no mercado. Há várias abordagens conceituais conhecidas, introduzidas pelos chamados gurus da qualidade. Feigenbaum (1986) introduziu o conceito de Controle da Qualidade Total (Total Quality Control), que definiu como sendo um sistema eficaz que integra desenvolvimento, manutenção e melhoria da qualidade dos vários grupos da organização, a fim de reduzir os custos e atender plenamente às necessidades dos consumidores.
1.1 Qualidade e Controle Estatístico de Qualidade 14 Outro teórico da qualidade é Edward Deming. Slack et al. (2002) o define como sendo o pai do controle de qualidade. Deming (1982) afirmou que a qualidade começa com a alta administração e é uma atividade estratégica. Para Deming, a qualidade e a produtividade aumentam à medida que a variabilidade do processo diminui. Ele enfatiza a importância de métodos estatísticos de controle, da participação, da educação e da melhoria objetiva. Sua abordagem fornece lógica sistemática e funcional que identifica estágios da melhoria da qualidade. Juran (1989) define qualidade como adequação ao uso, ou seja, uma abordagem mais voltada para o usuário do produto. Já para Taguchi (1990), qualidade estaria relacionada à perda imposta pelo produto ou serviço à sociedade, desde o momento em que ele é criado. Taguchi propôs como sugestão de melhoria a otimização do design do produto, combinada com métodos de controle estatístico. Slack et al. (2002) descreve Crosby (1979) ressaltando sua preocupação com os custos da qualidade. Crosby (1979) apresentou o prograna de zero defeitos. Seu programa privilegia a prevenção em detrimento da inspeção, porém, é visto por alguns críticos como uma atribuição da culpa aos trabalhadores pelos problemas na qualidade. Assim, temos diferentes conceitos para qualidade, mas apenas um objetivo: a otimização do processo e do produto e, consequentemente, a satisfação dos clientes. 1.1.2 Controle Estatístico de Processos O conceito de Controle Estatístico, em resumo, visa avaliar a variabilidade do processo, ou seja, avaliar se o processo opera em torno de dimensões-alvo das características da qualidade do produto. Portanto, é uma importante ferramenta na implementação da melhoria contínua e avaliação da capacidade do processo. Um dos primeiros a se preocupar com o estudo da variabilidade do processo foi Shewart. Ele desenvolveu, na década de 30, o conceito estatístico de gráficos para monitoramento de processos (gráficos de controle), o que é considerado o início formal do
1.1 Qualidade e Controle Estatístico de Qualidade 15 controle estatístico da qualidade. Segundo Shewhart (1931), todo e qualquer processo, ainda que bem projetado e bem controlado, possui uma variabilidade natural, impossível de ser eliminada, que é fruto de uma série de pequenas perturbações, ou causas aleatórias. O efeito conjunto de todas essas pequenas perturbações deixa de ser desprezível e passa a ser o responsável pela variabilidade natural do processo: inevitável e com a qual é preciso conviver. Além desta variabilidade natural, o processo também está sujeito à ocorrência ocasional de pertubações maiores que não são inerentes ao processo, chamadas causas especiais. Este é um problema ou modo de operação anormal do processo, que pode, portanto, ser corrigido ou eliminado. Costa et al. (2008) se utilizam das idéias de Shewart para definir estado de controle estatístico (ou em controle) como sendo o estado do processo que apresenta apenas a variabilidade natural. O processo fora de controle é aquele em que estão presentes as causas especiais. Para monitorar o estado do processo, uma das principais técnicas são os gráficos de controle. No gráfico de controle é plotada uma determinada estatística das medidas da característica de qualidade a ser monitorada versus o instante da amostragem. Montgomery (2001) os descreve como contendo uma linha central e limites superior e inferior de controle. A linha central representa o valor médio da característica plotada, sob o qual os pontos, com o processo em controle, devem flutuar de maneira aleatória. Os limites de controle estão associados aos desvios máximos permitidos com o processo apenas sobre a ação da variabilidade inerente a este. Eles são calculados a partir dos parâmetros do processo e definem a região de ação, ou seja, fornecem um critério que indica o momento para intervir no processo (Costa et al., 2008). Quando o valor plotado referente ao item (ou amostra) inspecionada ultrapassa os limites de controle é ideal que ocorra uma parada no processo para ajuste do mesmo. Além dos limites de controle existem também os chamados limites de especificação.
1.1 Qualidade e Controle Estatístico de Qualidade 16 Costa et al. (2008) os define como limites estabelecidos pela engenharia, visando minimizar riscos técnicos ou exigências do mercado. Observando o comportamento do item inspecionado em relação aos limites de especificação, classificamos o item como conforme ou não-conforme. Utilizando a associação destes limites com a variabilidade do processo, pode-se avaliar se este é capaz ou não de produzir itens conformes (dentro das especificações). Observa-se que quando o processo é estável e está operando de maneira ajustada (em controle), espera-se que grande parte da distribuição da variável de interesse esteja dentro dos limites de especificação, porém isso nem sempre ocorre. Em resumo, os gráficos de controle podem ser vistos como uma sequência de testes da hipótese de que o processo está operando sob controle estatístico (será chamada H 0 ). Assim, um ponto plotado fora dos limites de controle equivale a rejeitar H 0 e dentro dos limites de controle equivale a aceitar essa hipótese. Antes de se utilizar os gráficos de controle é preciso planejá-los. Este planejamento envolve a determinação do tamanho da amostra, dos limites de controle e da frequência da amostragem. Uma maneira de obtê-los é por meio de critérios estatísticos, estabelecendo as seguintes medidas de seu desempenho: a probabilidade de julgar o processo como fora de controle quando este estiver em controle (erro tipo I); a probabilidade de julgar o processo em controle quando este está fora de controle (erro tipo II), habilidade do gráfico de controle em detectar mudanças de diferentes magnitudes no processo (poder do gráfico de controle). Esses procedimentos geralmente consideram o fator custo apenas de uma maneira implícita. Porém, também é possível planejar os gráficos de controle sob um ponto de vista econômico, considerando explicitamente os seguintes componentes do custo do sistema de controle: custo de inspeção, custo de envio de itens não-conformes para estágios posteriores ou para o cliente, custos das paradas para investigação de descontrole e o consequente ajuste do processo. Nessa abordagem, buscam-se os valores dos parâmetros do gráfico de controle que minimizem uma função objetivo associada aos componentes do custo do sistema de controle.
1.2 Controle de Qualidade on-line 17 Em algumas situações a avaliação e o monitoramento da qualidade não pode ser feita através de medições. Nestes casos os itens são simplesmente classificados como defeituosos (ou conformes) ou não defeituosos (ou não conformes), os seja, pelos seus atributos. Além disso, há outras situações em que não faz sentido classificar o item simplesmente como conforme ou não-conforme. O item pode apresentar não-conformidades pequenas que não impedem o seu uso e, sozinhas, não são suficientes para classificar os itens como conformes ou não-conformes. Neste caso é mais interessante verificar e monitorar a quantidade de não-conformidades do item inspecionado. Sengundo Montgomery (2001), os gráficos por atributo não são tão informativos quanto os gráficos de variáveis por que há, tipicamente, mais informações em medidas numéricas do que em classificações em conforme ou não-conforme ou em avaliação de não-conformidades. Porém, eles são de grande importância pois muitas características da qualidade encontradas nesses ambientes não são facilmente mensuráveis em uma escala numérica. 1.2 Controle de Qualidade on-line Segundo Taguchi (1985), o emprego de processos de inspeção e de ajuste, e o uso de sistemas de controle automático, são alguns dos métodos que constituem o chamado controle de qualidade on-line. Segundo Srivastava e Wu (1991), a proposta de controle de qualidade on-line é produzir produtos uniformes ajustando o processo de acordo com informações obtidas do próprio processo, analisando cada característica de qualidade ou fatores do processo que afetam o produto. Espera-se que, durante o ciclo de produção, as características de produtos permaneçam próximas dos valores alvos. Para isso devem ser feitos contínuos ajustes e monitoramentos nos processos. De acordo com Medeiros (2003), o procedimento usual é tomar observações em intervalos regulares e verificar se o desvio do valor-alvo tornou-se inaceitável.
1.3 Motivação: controle on-line do número de não-conformidades por itens para produções finitas 18 Taguchi et al. (1989) formularam um dos procedimentos de controle baseado em abordagem econômica on-line mais difundidos pela sua simplicidade e facilidade de implantação. A proposta destes autores consiste em retirar um único item da linha de produção a cada intervalo fixo de m itens produzidos. Se o valor da característica de interesse do item inspecionado ultrapassar os limites de controle, pára-se o processo para investigação e ajuste. Para Taguchi et al., este sistema de controle de qualidade on-line deve ser empregado de modo que os valores-alvos desejados da característica de qualidade possam ser economicamente controlados. O problema se resume em determinar o intervalo ótimo (m) e, no caso de controle de variáveis, o intervalo entre os limites de controle (2d), tal que minimize-se o custo médio do sistema de controle. Este procedimento pode ser utilizado em processos que empregam algum tipo de controle automático e, preferencialmente, com observações individuais. Bessegato (2009) cita como exemplos de utilização processos automáticos de solda, produção de semicondutores, diodos e placas de circuito impresso e em processos químicos. Além disso, a abordagem inicial do controle de qualidade on line é considerada para processos contínuos (intermitentes). 1.3 Motivação: controle on-line do número de nãoconformidades por itens para produções finitas Em grande parte das indústrias, o número de outputs resultante do processo produtivo não possibilita a classificação da produção em um processo contínuo. Nestas, a produção é realizada a partir de lotes com tamanhos definidos. Em Ho e Trindade (2009) foi proposto um modelo para controle on-line da qualidade para variáveis em uma produção com horizonte finito. Tal modelo visa minimizar o custo médio esperado por item produzido, através da determinação da estratégia ótima, pela
1.4 Objetivos Propostos 19 otimização dos seguintes parâmetros: intervalo entre as inspeções, limites de controle e tamanho da amostra (a ser inspecionado através de inspeção retrospectiva). A importância dessa abordagem reside no fato de os modelos anteriores (para produções em grande escala, consideradas intermitentes) não poderem ser aplicadas para horizontes finitos de produção. Porém, como já foi dito anteriormente, em muitos casos a qualidade do produto não é atestada através de uma mensuração. Assim, neste trabalho será proposta uma abordagem diferente, motivada pelo modelo apresentado em Ho e Trindade (2009), considerando agora um processo cujo monitoramento é feito por atributos, através da análise do número de não-conformidades em uma amostra de itens. Optou-se por realizar o monitoramento através de amostras não unitárias (r 2). Segundo Bessegato (2009), a utilização de amostras não unitárias torna a decisão de intervenção no processo mais precisa, podendo resultar em redução no custo do sistema de controle, dependendo das especificidades de seus parâmetros. Processos de produção de tecidos em lotes, de confecção de roupas, cujo produto final é fortemente influenciado pela moda, ou produção do tipo job shop, podem ser encaixados nas suposições deste tipo de monitoramento proposto. Assim, percebe-se que esta abordagem será de considerável contribuição científica, por tratar de um caso particular do monitoramento on-line ainda pouco explorado na literatura da área. Além disso, tem amplo potencial de uso prático em diversos processos produtivos que poderiam se encaixar no modelo proposto. 1.4 Objetivos Propostos O objetivo geral deste trabalho é desenvolver um modelo probabilístico para monitoramento on-line do número de não conformidades no item inspecionado para processos produtivos com horizonte finito, utilizando amostras não unitárias. A taxa média de
1.4 Objetivos Propostos 20 não-conformidades por itens é o parâmetro da Distribuição de Poisson a ser empregada no cálculo dos riscos α (probabilidade de declarar o item não-confome com o processo operando no estado I - erro tipo I) e β (probabilidade de declarar o item conforme com o processo operando no estado II - erro tipo II) que serão necessários para o cálculo das probabilidades da matriz de transição, bem como para o cálculo do custo médio esperado por item produzido. Para isto, será utilizada uma Cadeia de Markov finita de espaço de estados discretos para determinar as probabilidades de mudança de estado, a serem consideradas nas expressões de custo, a fim de determinar a estratégia ótima de monitoração. Esta estratégia ótima será obtida através da otimização dos seguintes parâmetros: o intervalo amostral (m) e o tamanho da amostra a ser inspecionada (r). Esses parâmetros serão obtidos computacionalmente, através de busca direta, a fim de minimizar o custo médio por item produzido. O trabalho está estruturado da seguinte forma: no Capítulo 2 será apresentada uma revisão dos modelos desenvolvidos na literatura para o controle on-line por atributos e uma breve exposição do modelo para o caso de variáveis. No Capítulo 3 será apresentado o modelo probabilístico para o controle on line por atributos para o caso de produções finitas, através das probabilidades de transição do estado de controle (Estado I) para o de descontrole (Estado II). No Capítulo 4 será obtida a expressão do custo médio do sistema de controle por item produzido desenvolvido a partir do modelo proposto, que será minimizado a partir da otimização dos parâmetros. A expressão de custo médio será obtida considerando os ciclos de inspeção, bem como o número esperado de itens descartados e, consequentemente, do lote adicional a ser produzido para que o cliente receba o lote conforme a encomenda. No Capítulo 5 será apresentado um exemplo numérico para ilustrar o uso das expressões obtidas e uma análise de sensibilidade demonstrando o comportamento dos parâmetros do processo a partir de diversos cenários. E, por fim, no Capítulo 6 estarão apresentadas as conclusões e recomendação para futuros trabalhos.
Capítulo 2 Modelos de Controle On-line Neste capítulo será exposta uma breve revisão sobre o modelo de monitoramento on line de processos por atributos, assim como trabalhos de extensões propostos por outros autores. 2.0.1 Modelo de Taguchi Taguchi et al (1989) propuseram um planejamento econômico para monitoramento on-line de processos por atributos. O artigo considerou duas situações: 1. a mudança de uma proporção 0 de defeitos para 1; 2. a mudança de uma proporção 0 de defeitos para π; O 1 o caso (1), o ciclo de produção se inicia com uma fração de itens defeituosos igual a zero e, em um momento aleatório, ocorre uma mudança para a fração não conforme de 1. Assume-se que os itens são produzidos de maneira independente e que se examina o m-ésimo item. Caso o item seja julgado conforme, o processo continua; caso contrário, ele é parado para ajuste e depois volta a operar com fração de defeitos igual a zero. Entre a sinalização do descontrole e a parada do processo para ajuste, são produzidos mais l itens (atraso).
22 A função custo L, do modelo proposto por Taguchi é dada por: L = C ( ) i m + 1 m + Cd + l 2 u + C a u, (2.1) onde C i é o custo de inspeção, C d é o custo decorrente da produção de um item nãoconforme, C a é o custo de ajuste, u é o tempo médio previsto entre as retificações (expresso em itens de produção) e l o número de itens do atraso. O intervalo amostral (ou intervalo de inspeção) m é escolhido afim de minimizar a função custo L. Desprezando a dependência entre u e m e considerando u >> l e C d >> C a u, Taguchi at al. igualaram a zero a derivada da Equação (2.1) em relação a m e obteve o intervalo ótimo. m o = 2uCi C d (2.2) Taguchi et al. sugeriram que seja usada a expressão u + m 2 no lugar de u em 2.1 e o valor ótimo de m seja obtido utilizando aproximação por séries de Taylor quando as condições estabelecidas para obtenção de (2.2) não sejam atendidas. Nesta nova expressão não se tornam necessárias as suposições antes feitas, nela o custo da expressão por item é fixado e é aproximadamente igual à perda causada pela produção de itens não conformes. Assim: m o = 2(u + l)c i C d Ca u (2.3) Já para o segundo caso (2), o processo muda sua fração de defeitos de 0 para π. Por este motivo, Taguchi et al. introduziram um novo componente de custo: C D, que é o custo de enviar um item não conforme para as próximas etapas do processo. Além disso, é definido o custo de detectar um item defeituoso, C d, sendo C D >> C d. Utilizando as mesmas simplificações adotadas na primeira situação, Taguchi obteve a seguinte expressão: m o = 2(u + l)c i C D Ca u (2.4)
23 Os detalhes para obtenção das expressões obtidas também podem ser vistos em Taguchi et al. (1989) e Souza (1999). Através das expressões descritas anteriormente, pode-se observar que o modelo de Taguchi é bastante simplificado. Vários estudos posteriores foram propostos. Porém, o trabalho de Nayebpour e Woodall (1993) é a principal referência crítica ao modelo proposto por Taguchi. Nayebpour e Woodall (1993) criticaram a ausência de um modelo probabilístico formal para descrever a mudança de estado no modelo de Taguchi e as supposições simplificadas para obter expressões analíticas para m o. Assim, é apresentado um modelo para o controle on-line de atributos assumindo que a mudança de estado ocorre segundo uma distribuição geométrica de parâmetro π. O ciclo de produção é definido como o período de tempo a partir do início da produção até a detecção e remoção da causa especial. A sequência de produção, controle e ajuste, com os custos contabilizados a cada ciclo, é modelada pela Teoria da Renovação (ver Ross, 2003). Foi então recomendado aumentar a frequência de inspeção caso a proporção de itens defeituosos seja inaceitavelmente alta para o intervalo de inspeção ótimo, isto é, que restrições estatísticas sejam associadas ao modelo econômico, sem, contudo, considerá-las no modelo. As variáveis aleatórias C (custo por ciclo), T (comprimento do ciclo) e L (custo por item produzido) foram definidas. Tal que, E(L) = E(C) E(T ), (2.5) ou seja, o custo médio por item produzido é a razão entre os valores esperados do custo por ciclo e do comprimento do ciclo. Tal modelo proposto por Nayebpour e Woodall (1993) emprega os mesmos componentes de custo do modelo de Taguchi. Com as considerações probabilísticas introduzidas no modelo, não é possível obter uma expressão analítica para m o, necessitando de uma pesquisa computacional para obtenção do custo mínimo.
24 Outro trabalho que aborda o planejamento econômico de sistema de controle on-line é o de Adams e Woodall (1989). Este trabalho ressalta que o controle ótimo é, geralmente, determinado minimizando a razão entre o custo esperado do procedimento de controle em um ciclo de produção (que corresponde ao período desde o início ou re-início do processo de produção até a inspeção ou até um ajuste) e o número esperado de itens produzidos em um ciclo. Johnson et al. (1991) considerou a possibilidade de haver erros de classificação durante a inspeção e que tais erros podem comprometer seriamente o processo de avaliação da qualidade por atributos. Greenberg e Strokes (1995) propuseram o uso de classificações repetidas, a fim de reduzir o impacto dos erros de classificações e, consequentemente, o custo médio do sistema de controle por item produzido. Eles propuseram um procedimento que admite apenas a existência de um tipo de erro na determinação do número ótimo de classificações repetidas. As propostas posteriores, baseadas neste procedimento, empregaram critérios diferentes na classificação final do item inspecionado (o item examinado é classificado repetidamente e independentemente r vezes e, em cada classificação, é avaliado como conforme ou nãoconforme). Os trabalhos baseados no modelo de Taguchi também foram questionados em Borges et al. (2001), no qual foi observado que o controle on-line poderia apresentar erros de classificação, comprometendo a determinação do intervalo ótimo entre as inspeções. Foram considerados dois tipos de erros: tipo I (classificar o processo como fora de controle quando o item inspecionado na verdade foi produzido com o processo em controle) e tipo II (classificar como em controle o processo que está fora de controle) e concluiram que o custo do sistema de controle é sensível à presença de erros de classificação. Quinino e Suyama (2002) desenvolveram um modelo para determinar o número ótimo de classificações independentes repetidas e o critério de decisão. Porém, eles não consideraram o caso on-line.
2.1 Controle on-line de processos para uma produção finita 25 Quinino e Ho (2004) desenvolveram um modelo com erros de classificação considerando que os itens seriam inspecionados repetitivamente até observar a classificações conformes para o item ser declarado conforme, ou b classificações não-conformes para o item ser classificado como não-conforme. Porém, também não consideraram a abordagem de controle on-line. No modelo apresentado por Trindade, Ho e Quinino (2007 - A) considera-se o uso das classificações repetidas, com a fração de itens não-conformes variando de p 1 (sob controle) para p 2 (fora de controle). O monitoramento do processo é feito como proposto pelo modelo de Taguchi. O modelo probabilístico é desenvolvido através das propriedades de cadeias de Markov de estados discretos para determinar a estratégia ótima de controle, que minimize o custo médio: intervalo entre as inspeções (m), número de classificações repetidas para o item inspecionado (r) e o número mínimo de classificações conformes, entre as r, para julgar o item conforme w. Rodrigues (2009) propõe um modelo de monitoramento on-line para o número de não conformidades por item através da otimização do intervalo amostral e dos limites de controle que minimizam o custo por item produzido, porém, não considera o caso de produções com horizonte finito. 2.1 Controle on-line de processos para uma produção finita As primeiras abordagens sobre controle neste tipo de processo produtivo foram sugeridas po Hillier (1969) e Yang e Hillier (1970). Segundo Hillier (1969), gráficos de controle para produções finitas são necessários no início de novos processos ou durante o reinicio de um processo recém colocado em controle e para processos em que o total de outputs não são em quantidade suficiente para utilizar
2.1 Controle on-line de processos para uma produção finita 26 as constantes dos gráficos de controle tradicionais. Castillo e Montgomery (1996) classificam a produção finita em dois tipos: repetitiva e não repetitiva. A primeira é encontrada em empresas que utilizam o modo de produção just-in-time; onde o processo é repetitivo e muitos lotes pequenos de peças similares são fabricadas na mesma máquina sem grandes tempos de set-up. Neste caso, são emitidas ordens de produção em pequena quantidade, pois, geralmente, os consumidores deste tipo de produto prezam pela exclusividade (por exemplo, produção em lotes sob encomenda de roupas ou sapatos). A segunda classificação engloba os casos de produção do tipo job shop. Gaither e Frazier (2001) definem que uma das principais características do sistema job shop de produção é o baixo volume de produção, isto é, os tamanhos dos lotes de manufatura são pequenos (ou unitários) e determinados conforme os pedidos dos clientes, como indústria aeroespacial e fabricação de navios, por exemplo. Castillo e Montgomery (1996) propuseram um modelo econômico para produção finita baseado no modelo de Ducan (1956). Neste modelo, assume-se que mudanças bruscas na média ocorrem segundo uma distribuição exponencial. O tamanho do ciclo é indicado por mim(k, T ), onde K é o tempo do início da produção da sequência até a redefinição do processo e T é o comprimento do ciclo de produção. O objetivo é encontrar (n, d, f) que minimizem o custo médio por ciclo; onde n é o tamanho da amostra, d é a largura dos limites de controle e f é o número de amostras do ciclo de inspeção. Abordagens econômicas para gráficos de controle para produções com horizontes finitos são bastante difundidas através do trabalho de diversos autores, baseado na contribuição pioneira de Ducan (1956). Planejamento econômico para gráficos X foi considerado por Knappenberger e Grandage (1969), Saniga (1977), Lorenzen e Vance (1986), entre outros. Nesses modelos os parâmetros ótimos do gráfico são: intervalo amostral (m), tamanho da amostra (n) e coeficiente do limite de controle (k). Esses parâmetros visam minimizar o custo médio por unidade de tempo ou o custo esperado por item. Para revisão, ver: Montgomery (1980), Vance (1983) e Ho e Case (1994). Akamine et al. (2004) desenvolveram um trabalho onde estudou-se um problema de
2.1 Controle on-line de processos para uma produção finita 27 produção em pequeno lote, relacionados ao primeiro caso descrito pelo modelo de Taguchi e os itens que são não conformes podem ser retrabalhados para correção. Ho e Trindade (2009) propuseram um modelo para o controle de qualidade on-line para o grafico X para produção finita (short-run) que minimiza o custo médio por item produzido, utilizando as propriedades de Cadeia de Markov discreta. Neste trabalho foram considerados a otimização dos seguintes parâmetros: intervalo entre as inspeções, limites de controle e tamanho da amostra a ser inspecionada retrospectivamente. No modelo proposto, a cada m itens produzidos, um é inspecionado e, se este ultrapassar os limites de controle, o processo é paralisado e (r 1) itens são inspecionados retrospectivamente. Os itens considerados não-conformes, entre os inspecionados sofrem correção. Bessegato (2009) propõe um sistema de controle on-line por atributo sujeito a erros de classificação, em que o processo de produção opera durante um espaço de tempo finito. Um dos objetivos desta abordagem é conhecer a consequência do uso de parâmetros de planejamento de controle on-line de horizonte infinito, no monitoramento de atributos de processos de produção de pequenos lotes. Neste, é considerado o descarte do item inspecionado e fabricação itens para completar o lote, essa quantidade é denominada resíduo (m res ).
Capítulo 3 Controle on-line do número de não-conformidades por itens em uma produção finita - Modelo Probabilístico Neste capítulo serão descritos os procedimentos realizados para a obtenção do modelo probabilístico, utilizando uma cadeia de Markov finita de estados discretos. Considerando um sistema de produção, o processo se inicia, obrigatoriamente, sob controle e, depois da ocorrência de uma causa especial num tempo aleatório, ele passa a operar no estado fora de controle. O monitoramento do processo está baseado no modelo proposto por Taguchi et al. (1989), de se inspecionar um a cada m itens produzidos, porém são estabelecidas as seguintes suposições: A variável aleatória D é o número de não-conformidades em cada item inspecionado e assume-se que D tem distribuição de Poisson com parâmetro λ; O processo se inicia (ou se reinicia) no Estado I (em controle), em que a frequência média de número de não-conformidades por item é λ 0. Após a mudança para o
29 Estado II (fora de controle), a frequência média de não-conformidades aumenta para λ 1, tal que 0 λ 0 λ 1 ; A mudança do Estado I para o Estado II, a cada item produzido, ocorre segundo uma distribuição geométrica com parâmetro π, tal que 0 π 1; A cada ciclo de inspeção, inspeciona-se o m-ésimo item produzido, mais (r 1) itens retrospectivamente, onde r 2. Isso ocorre até a produção do N-ésimo item do lote; É monitorado o número de não-conformidades (D) em cada item inspecionado e se, entre os r itens inspecionados, todos obedecerem à regra de decisão D (itens conformes), onde é o limite superior de especificação (o limite inferior será considerado zero), o processo continua operando; caso contrário, se, pelo menos, um item é não conforme (D > ), o processo é parado para ajuste (critério de ajuste). A Figura 3.1 ilustra um caso para m = 6 e r = 3: Figura 3.1: Sistema de Inspeção para um caso de m = 6 e r = 3 Sob H 0, a decisão está sujeita ao erro α, que é a probabilidade de declarar o processo como fora de controle quando ele está em controle. E, sob H 1, a decisão está sujeita
3.1 A Cadeia de Markov 30 ao erro β, é a probabilidade de declarar o processo como em controle quando ele está fora de controle; Após a detecção do descontrole, a parada do processo ocorre imediatamente (não há itens produzidos entre o instante de detecção e a parada do processo); O processo sob o Estado II só pode retornar ao Estado I após ajuste. Nos estados da cadeia onde há parada (ou seja, quando o número de não conformidades de, pelo menos, um item ultrapassa o limite superior de controle) os r itens são descartados após inspecionados. Ao final dos N m ciclos, onde N representa o número total e itens produzidos, um lote adicional de tamanho N, onde N denota o número esperado de itens descartados, será produzido para que o cliente não tenha prejuízos quanto a quantidade de produtos encomendada. O lote adicional não sofrerá inspeção. A Figura 3.2 ilustra o procedimento proposto. 3.1 A Cadeia de Markov O processo de inspeção é modelado através de uma cadeia de Markov finita, considerando o seguinte conjunto de estados discretos: E = {00, 01, 10, 11, 20, 21, 30, 31} no qual cada estado é descrito por um par de índices u e w: (uw). O índice u está relacionado ao estado do processo em que os itens foram produzidos, sendo: u = 0 (u 0 ): todos os itens foram produzidos no Estado I;
3.1 A Cadeia de Markov 31 Figura 3.2: Fluxograma do Processo u = 1 (u 1 ): ocorreu uma mudança do Estado I para o Estado II no ciclo de inspeção e apenas itens produzidos no Estado II foram incluídos entre os r itens inspecionados; u = 2 (u 2 ): também ocorreu uma mudança do Estado I para o Estado II no ciclo de inspeção, porém, pelo menos um item produzido no Estado I está incluído entre os inspecionados. Caso r = 1, ou seja, quando apenas o m-ésimo item é inspecionado, o Estado u 2 não existe porque o item inspecionado, por definição, necessariamente foi produzido no Estado II; u = 3 (u 3 ): todos os itens do ciclo foram produzidos no Estado II. O índice w indica a classificação do item inspecionado em conforme ou não-conforme: w = 0 (w 0 ): o número de não-conformidades (D) de cada um dos itens inspecionados
3.1 A Cadeia de Markov 32 não ultrapassou o limite de especificação ( ), os seja, o critério de ajuste não foi satisfeito e, consequentemente, o processo continua operando normalmente; w = 1 (w 1 ): o número de não-conformidades (D) de, pelo menos, um dentre os r inspecionados ultrapassou o limite de especificação. Assim, o processo precisará sofrer uma parada para ajuste e os r itens são descartados. O fluxograma apresentado na Figura 3.1 ilustra o sistema de controle on-line proposto e relaciona o processo de produção aos estados da cadeia. Figura 3.3: Sistema de Inspeção e Estados da Cadeia de Markov A matriz de transição P (m) relativa aos estados será escrita a seguir, em que P (a),(b) se refere à probabilidade da inspeção atual estar no Estado b dado que a inspeção anterior ocorreu no Estado a. O índice (m) é usado para lembrar que as probabilidades de transição dependem do tamanho do intervalo de inspeções m. Assim,
3.1 A Cadeia de Markov 33 P (m) = P (00)(00) P (00)(01) P (00)(10) P (00)(11) P (00)(20) P (00)(21) P (00)(30) P (00)(31) P (01)(00) P (01)(01) P (01)(10) P (01)(11) P (01)(20) P (01)(21) P (01)(30) P (01)(31) P (10)(00) P (10)(01) P (10)(10) P (10)(11) P (10)(20) P (10)(21) P (10)(30) P (10)(31) P (11)(00) P (11)(01) P (11)(10) P (11)(11) P (11)(20) P (11)(21) P (11)(30) P (11)(31) P (20)(00) P (20)(01) P (20)(10) P (20)(11) P (20)(20) P (20)(21) P (20)(30) P (20)(31) P (21)(00) P (21)(01) P (21)(10) P (21)(11) P (21)(20) P (21)(21) P (21)(30) P (21)(31) P (30)(00) P (30)(01) P (30)(10) P (30)(11) P (30)(20) P (30)(21) P (30)(30) P (30)(31) P (31)(00) P (31)(01) P (31)(10) P (31)(11) P (31)(20) P (31)(21) P (31)(30) P (31)(31) Para exemplificar a notação utilizada, P (00)(01) representa a probabilidade de que a inspeção i tenha ocorrido no Estado (00) e que a inspeção atual (i + 1) ocorra sob o Estado (01), ou simplesmente P (00)(01) = P (E i+1 = 01 E i = 00). Neste exemplo: inspeção anterior: as m peças foram produzidas no Estado I e o número de nãoconformidades de cada um dos itens inspecionados é inferior ao limite, consequentemente, o processo continua operando normalmente, sem intervenção. inspeção atual: as m peças foram produzidas no Estado I, porém o número de não-conformidades de, pelo menos, um item inspecionado excedeu e, consequentemente, o processo é paralisado para ajuste. A seguir, serão detalhadas cada probabilidade da matriz de transição P (m). (a) A probabilidade P (00)(00) = P (E i+1 = 00 Ei = 00), indica que: todos os itens foram produzidos no Estado I; o número de não-conformidades de cada item inspecionado é inferior ao limite.
3.1 A Cadeia de Markov 34 Seja Θ i uma variável aleatória não observável, que representa o estado no qual o i-ésimo item foi produzido. Assim, temos que Θ i pode assumir: 0, Estado I; 3, Estado II. No ciclo de inspeção em questão, todos os m itens foram produzidos no Estado I e a probabilidade de que o processo permaneça no Estado I até o m-ésimo item produzido no ciclo é determinada da seguinte maneira: P (Θ m = 0) = P (Θ 1 = 0,..., Θ m = 0) = P (Θ 1 = 0).P (Θ 2 = 0 Θ 1 = 0)... P (Θ m = 0 Θ m 1 = 0,..., Θ 1 = 0) = (1 π) (1 π)... (1 π) (3.1) O produto (1 π). (1 π) ocorrerá m vezes. E, consequentemente, a probabilidade de o processo permanecer no Estado I até a produção do m-ésimo item, será: P (Θ m = 0) = (1 π) m (3.2) Consequentemente, a probabilidade de mudança de estado, durante o ciclo, será dada pelo complementar da Equação (3.2): P (Θ m = 3) = 1 (1 π) m (3.3) Considerando como sendo o Limite de Especificação, α como sendo a probabilidade de considerar o processo fora de controle quando ele está em controle e a β como sendo a probabilidade de considerar o processo sob controle quando ele está fora de controle, temos: α = P (D > λ = λ 0 ) 1 α = P (D λ = λ 0 ) = D=0 e λ 0 λ D 0 D! (3.4)
3.1 A Cadeia de Markov 35 1 β = P (D > λ = λ 1 ) β = P (D λ = λ 1 ) = Combinando 3.2, 3.4 e 3.5, tem-se: D=0 e λ 1 λ D 1 D! (3.5) r P (00)(00) = P (Θ m = 0). P (D i λ = λ 0 ) = i=1 = (1 π) m. (1 α) r (3.6) Após sofrer ajuste, o processo, por definição, retorna a operar no Estado I. Portanto, todas as probabilidades da matriz de transição que partem de qualquer estado em que o ajuste ocorre, são iguais às que partem do Estado inicial (00). Assim, P (00)(00) = P (01)(00) = P (11)(00) = P (21)(00) = P (31)(00) (3.7) (b) Em P (00)(01) os itens do ciclo também foram produzidos no Estado I, porém, o número de não conformidades de, pelo menos, um dos itens inspecionados ultrapassou o limite de especificação (D > ) e, consequentemente, o processo foi parado para ajuste. Assim, r P (00)(01) = P (Θ m = 0).[1 P (D i λ = λ 0 )] = (3.8) i=1 = (1 π) m [1 (1 α) r ] As seguintes igualdades também ocorrem, pelo mesmo motivo descrito no item anterior: P (00)(01) = P (01)(01) = P (11)(01) = P (21)(01) = P (31)(01) (3.9) Por este motivo, observa-se que, na matriz de transição, as linhas pares são iguais à primeira linha da matriz e as linhas ímpares (com exceção da primeira) são iguais entre si.
3.1 A Cadeia de Markov 36 (c) As probabilidades P (00)(10) e P (00)(11) indicam que ocorreu uma mudança do Estado I para o Estado II no atual ciclo de inspeção e apenas itens produzidos no Estado II foram incluídos entre os r itens inspecionados, (u 1 ). A primeira delas indica que a produção foi, erroneamente, continuada, já que o número de não conformidades de cada itens inspecionado permaneceu inferior ao limite de especificação (w 0 ). Já na segunda, o número de não conformidades encontrado em, pelo menos, um item entre os inspecionados excedeu o limite de especificação e o processo foi corretamente paralisado para ajuste (w 1 ). Para auxiliar no cálculo das próximas probabilidade, será definida também outra variável aleatória não observável para representar o momento da ocorrência da mudança. Esta variável será chamada de Φ r e poderá assumir os seguintes valores: 1, todos os itens inspecionados foram produzidos no Estado II, pois a mudança de estado ocorre em algum momento até a produção do primeiro item incluído entre os inspecionados; 2, pelo menos um item incluído entre os inspecionados foi produzido no Estado I, pois a mudança de estado ocorre em algum instante após a produção do primeiro item incluído entre os inspecionados. Considerando a possibilidade de a mudança de estado ocorrer em algum momento até a produção do primeiro item incluído entre os inspecionados, a probabilidade de o processo permanecer no Estado I, (1 π), ocorrerá (m r) vezes. Consequentemente, teremos a seguinte probabilidade de mudança: P (Φ r = 1) = 1 (1 π) m r (3.10) Assim, as probabilidades P (00)(10) e P (00)(11) serão dadas por: P (00)(10) = P (Φ r = 1). = r P (D i λ = λ 1 ) = i=1 [ 1 (1 π) (m r)].β r (3.11)
3.1 A Cadeia de Markov 37 e, conforme motivo já descrito anteriormente P (00)(10) = P (01)(10) = P (11)(10) = P (21)(10) = P (31)(10) (3.12) P (00)(11) = P (Φ r = 1).[1 = r P (D i λ = λ 1 )] = (3.13) i=1 [ 1 (1 π) (m r)]. (1 β r ) e P (00)(11) = P (01)(11) = P (11)(11) = P (21)(11) = P (31)(11) (3.14) (d) As probabilidades P (00)(20) e P (00)(21) também indicam que ocorreu uma mudança do Estado I para o Estado II no atual ciclo de inspeção. Porém, diferentemente das probabilidades anteriormente descritas, pelo menos um item produzido no Estado I está entre os inspecionados (u 2 ). A primeira probabilidade indica que o número de não conformidades de todos os itens inspecionados foi inferior ao limite de especificação e o processo foi erroneamente continuado (w 0 ). Já a segunda indica a parada correta do processo para ajuste, já que o número de não conformidades de, pelo menos, um item entre os inspecionados excedeu o limite de controle. A probabilidade de a mudança de estado ocorrer em um instante após o primeiro item incluído entre os inspecionados será dada pela diferença entre a probabilidade de o processo permanecer no Estado I até o primeiro item incluído entre os inspecionados e a probabilidade de os m itens serem produzidos no Estado I: P (Φ r = 2) = (1 π) (m r) (1 π) m (3.15) Portanto, as probabilidades P (00)(20) e P (00)(21) serão dadas por:
3.1 A Cadeia de Markov 38 P (00)(20) = P (Φ r = 2). j r 1 P (D i λ i = λ 0 ). P (D i λ i = λ 1 ) = i=1 [ = (1 π) (m r) (1 π) m] r 1. (1 α) i β (r i) (3.16) i=1 j+1 e P (00)(20) = P (01)(20) = P (11)(20) = P (21)(20) = P (31)(20) (3.17) P (00)(21) = P (Φ r = 2). [ 1 ] j r 1 P (D i λ i = λ 0 ). P (D i λ i = λ 1 ) = i=1 j+1 [ ] [ = (1 π) (m r) (1 π) m] r 1. 1 (1 α) i β (r i) i=1 (3.18) e P (00)(21) = P (01)(21) = P (11)(21) = P (21)(21) = P (31)(21) (3.19) (e) Para as probabilidades restantes, P (10)(30), P (20)(30), P (30)(30), P (10)(31), P (20)(31) e P (30)(31), são consideradas apenas a probabilidade de julgar os itens inspecionados como conformes ou não-conformes, visto que o ciclo já se inicia no Estado II. Assim: P (10)(31) = [1 r P (10)(30) = P (D i λ = λ 1 ) = β r = P (20)(30) = P (30)(30) (3.20) i=1 r P (D i > λ] = λ 1 ) = (1 β r ) = P (20)(31) = P (30)(31) (3.21) i=1 (f) Por definição, não é possível ir dos estados (0w) para os (3w), em que w pode assumir os valores 0 ou 1. Isso ocorre porque, estando o ciclo atual sendo produzido no Estado I, o próximo ciclo primeiramente precisará passar por um dos estados que representam mudança de Estado (u 1 ) ou (u 2 ). Por isso: P (00)(30) = P (00)(31) = P (01)(30) = P (01)(31) = 0