Métodos Quantitativos II MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
O que você deve aprender? o Como encontrar a média, a mediana e a moda de uma população ou de uma amostra; o Como encontrar a média ponderada de um conjunto de dados e a média de uma distribuição de frequência o Como descrever a forma da distribuição simétrica, uniforme ou assimétrica e como comparar a média a mediana de cada um desses aspectos.
o As medidas de tendência central são utilizadas para caracterizar um conjunto de valores, representando-o adequadamente. o A denominação medida de tendência central se deve ao fato de que, por ser uma medida que caracteriza um conjunto, tenderá a estar no meio dos valores.
Conceito o Uma medida de tendência central é um valor que representa uma entrada típica ou central do conjunto de dados. o Média o Mediana o Moda
Média o É a soma das entradas de dados dividida pelo número de entradas. μ = N x x = n x Média Populacional Média Amostral
Exemplo 1 Os preços para uma amostra de voos de ida e volta partindo de fortaleza para São Paulo são listados a seguir. Qual é a média dos preços dos voos? 872 432 397 427 388 782 397 x = 872 + 432 + 397 + 427 + 388 + 782 + 397 = 3.695 x = x n = 3.695 7 527, 9
Exemplo 2 o As notas dos alunos da disciplina de Métodos Quantitativos II estão apresentadas abaixo: 8,0 8,0 10,0 10,0 8,0 8,0 10,0 8,0 8,0 10,0 10,0 8,0 10,0 8,0 10,0 10,0 8,0 9,0 9,0 9,0 8,0 8,0 9,0 10,0 9,0 8,0 8,0 10,0 8,0 10,0 10,0 9,0 9,0 8,0 9,0 8,0 10,0 10,0 8,0 8,0 μ = x N = 356 40 = 8, 9
Mediana o A mediana de um conjunto de dados é um valor que está no meio dos dados quando o conjunto de dados é ordenado. o A mediana mede o centro de um conjunto de dados ordenados dividindo-se em duas partes iguais. o Se o conjunto de dados tem um número ímpar de entradas, a mediana é a entrada de dados do meio. Se o conjunto de dados tem um número par de entradas, a mediana é a média das duas entradas do meio.
Exemplo 3 o Encontra e Mediana dos dados abaixo: 388 397 397 427 432 782 872 o Como os dados já estão ordenados e o número de entradas é ímpar, a Mediana será o termo central: 427.
Exemplo 4 26 45 28 46 33 46 34 48 34 51 42 52 42 54 45 56 Número entradas é par; Organizar os dados; Média aritmética dos dois números centrais. (45 + 45) 2 = 45.
Moda o A moda de um conjunto é uma entrada do conjunto que ocorre com a maior frequência. Se nenhuma entrada é repetida, não há moda. Se há duas entradas de mesma frequência e chama-se bimodal. 387 397 397 432 782 872 A moda é o número 397.
Moda Cursos Frequência f Administração 430 Contabilidade 344 Turismo 289 Publicidade 371 Qual a classe modal?
Vantagens e Desvantagens o Embora a Média, Mediana e Moda descrevam, cada uma, determinada entrada típica de dados, há vantagens e desvantagens no uso de cada uma delas. o Valores Outlier o Entrada de dados que está muito afastada das outras entradas de dados.
Exemplo 5 Encontra a Média, a Mediana e a Moda da amostra das idades dos alunos da turma. Qual medida central melhor descreve uma entrada típica desse conjunto de dados? Há valores discrepantes? x = x n = 475 20 23,8 20 20 20 20 20 20 21 21 21 21 22 22 22 23 23 23 23 24 24 65 Mediana= 21+22 2 = 21,5 A moda é igual a 20 anos.
Média Ponderada o É a média de um conjunto de dados cujas entradas têm pesos variados. o x = (x.w) w o Onde w é o peso de cada entrada.
Exemplo 6 o Você está frequentando uma aula na qual sua nota é determinada com base em 5 fontes: 50% média do exame, 15% do exame bimestral, 20% do exame final, 10% dos trabalhos em sala 5% das atividades em casa. o As notas foram, respectivamente: 86 96 82 98 100. Qual a média ponderada das notas? Fonte Nota x Peso w xw Média do exame 86 0,5 43,00 Exame bimestral 96 0,15 14,40 Exame final 82 0,2 16,40 Trabalhos 98 0,1 9,80 Casa 100 0,05 5,00 1 88,6 x = x = 88,6 1 (x. w) w
Medidas de Tendência Central em Dados Agrupados o A média em uma distribuição de frequência para uma amostra é aproximada por: x = x. f n o Onde x é o ponto médio e f a frequência de uma classe; o E n é igual a f.
Exemplo 7 (Média) PM f (x.f) 12,50 6 75,0 24,50 10 245,0 36,50 13 474,5 48,50 8 388,0 60,50 5 302,5 72,50 6 435,0 84,50 2 169,0 50 2.089 x = x. f f x = 2.089 50 41,8
Exemplo 8 (Média) x f (x.f) 2 5 10 5 9 45 4 13 52 11 7 77 4 5 20 7 6 42 8 2 16 50 262 x = x. f f x = 262 50 5,24
Exemplo 8 (Média) (Média) o Calcular a média do conjunto de dados abaixo: Notas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nº de Alunos 1 3 6 10 13 8 5 3 1 x = x. f f 1x2=2 3x3=9 4x6=24.. =296 x = x. f f = 296 50 = 5,92
Exemplo 9 (Média) Nº de Acidentes Nº de Motoristas 0 20 1 10 2 16 3 9 4 6 5 5 6 3 7 1 a) Qual a média de motoristas que já sofreram acidente? b) Qual a classe modal? c) O número de motoristas que não sofreram acidentes? d) O número de motoristas que sofreram pelo menos 4 acidentes? e) O número de motoristas que sofreram menos de 3 acidentes? f) A percentagem de motoristas que sofreram no máximo 2 acidentes?
Exemplo 10 (Mediana) Calcule a Mediana Se n for ímpar Nº de irmãos e/ ou irmãs fi Fac EMe = (n + 1) 2 = 32 2 = 16 5 6 6 4 7 13 3 9 22 2 5 27 1 4 31 31 Se n for par EMe = n 2 Identificar a classe tal que Eme Fac Me = 3
Exemplo 11 (Mediana) Calcule a Mediana xi fi Fac 12 1 1 14 2 3 15 1 4 16 2 6 17 1 7 20 1 8 8 EMe = n 2 = 4 Identificar a classe tal que Eme Fac Como EMe = Fac Então, Me = (15 + 16) 2 = 15,5
Exemplo 12 (Mediana) Calcule a Mediana xi fi Fac 12 1 1 14 2 3 15 1 4 16 2 6 17 1 7 20 3 8 10 EMe = n 2 = 5 Identificar a classe tal que Eme Fac Me = (16+16) 2 =16
Exemplo 13 (Mediana) o Estatura de 40 candidatos a cargos de garis da EMLURB Estatura (cm) fi Fac 150-153 4 4 154-157 9 13 158-161 11 24 162-165 8 32 166-169 5 37 170-173 3 40 40 EMe = n 2 = 20 Identificar a classe tal que Eme Fac Me = li + Ak EMe Fac fme
Exemplo 13 (Mediana) o Estatura de 40 candidatos a cargos de garis da EMLURB Estatura (cm) fi Fac 150-153 4 4 154-157 9 13 158-161 11 24 162-165 8 32 166-169 5 37 170-173 3 40 40 EMe = n 2 = 20 Me = li + h EMe Fac fme li = limite inferior da classe Med h= Largura de classe EMe = Elemento mediano Fac = Frequencia acumulada da classe anterior fme = frequencia absoluta da classe mediana
Exemplo 14 (Moda) Qual a moda? xi fi 3 2 5 7 9 13 12 8 30 xi fi 3 2 7 13 13 13 16 8 36 7 e 13, bimodal
Exemplo 15 (Moda) Salários (R$) fi 500-699 18 700-899 31 900-1099 15 1100-1299 3 1300-1499 1 1500-1699 1 1700-1899 1 70 Moda bruta Moda de King Moda de Czuber Mo = 700 + 899 2 Mo = li + h Mo = 700 + 200 Mo = li + h Mo = 700 + 200 = 799,5 fpost fant + fpost 15 18 + 15 = 790,9 fmáx fmín 2fmax (fant + fpost) 31 18 (2x31) (18 + 15) = 789,7
Passos para a escolha da melhor medida o Verifique se a distribuição é de variável qualitativa. Se sim, a melhor medida é a moda. o Se não for variável qualitativa, verifique se ela é de alta ou média dispersão. Se for de alta dispersão, a melhora medida será a mediana ou a moda. Se não for, isto é, de baixa de dispersão, a melhor medida será a média.
Formas de distribuição o Simétrica: quando a linha vertical pode ser desenhada ado meio do gráfico da distribuição e as metades resultantes são aproximadamente espelhadas.
Formas de distribuição o Uniforme (simétrica): quando todas as entradas, ou classes, na distribuição tem frequências iguais ou aproximadamente iguais.
Formas de distribuição o Assimétrica: quando a cauda do gráfico se alonga mais em um dos lados, podendo ser assimétrica à esquerda (negativamente assimétrica) se a cauda se estende à esquerda, e assimétrica à direita (positivamente assimétrica) se a cauda se estende à direita.
Formas de distribuição o Se a distribuição for simétrica e unimodal, a média, a mediana e a moda são iguais! o Se for assimétrica à esquerda, a média é menos que a mediana e a mediana é igualmente menor que a moda. o Se for assimétrica à direita, a média é maior que a mediana e igualmente maior que a moda. o A média sempre irá na direção em que a distribuição for assimétrica. Por exemplo, quando a distribuição é assimétrica a esquerda, a média está à esquerda da mediana.