Por meio de experimentos, notou-se que os portadores de carga sofriam influências de outra força, fora aquela resultante da ação do campo elétrico.

Capítulo 10 Magnetostática 10.1 Campo Magnético Por meio de experimentos, notou-se que os portadores de carga sofriam influências de outra força, fora aquela resultante da ação do campo elétrico. Tal força dependia não só da posição da partícula mas também da velocidade de seu movimento, e ela recebeu o nome de força magnética. Portanto, Em todo ponto do espaço temos duas quantidades vetoriais que determinam a força resultante que atua sobre uma carga: A primeira delas é a força elétrica, a qual fornece uma componente da força independente do movimento da carga. É possível descrevê-la, como já foi visto, em termos do campo elétrico. A segunda quantidade é uma componente adicional à força denominada força magnética, que será apresentada a seguir. Foi visto que o campo elétrico pode ser definido como a força elétrica por unidade de carga: E = F e q (10.1) 149

150 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA Isso pôde ser feito devido à existência de monopólos elétricos. Porém o ser humano não observou, até hoje, monopolos magnéticos: Todos os corpos magnetizados possuem um pólo Norte e um pólo Sul. Por causa disso, o campo magnético deve ser definido de outra maneira. Observando o movimento de cargas elétricas em campos magnéticos, notou-se que: A força magnética é proporcional à carga da partícula: F m q A força magnética é sempre perpendicular ao sentido de deslocamento da partícula: F m v = 0 Se o deslocamento da partícula é paralelo à uma direção fixa, a força magnética é nula. Caso contrário, a força magnética é proporcional à componente da velocidade que é perpendicular à essa direção. Em síntese: sendo θ o ângulo entre o vetor velocidade (v) e essa direção fixa: F m v sin θ (10.) Todo esse comportamento pode ser descrito por meio da definição do vetor campo magnético B 1, cuja direção especifica simultaneamente a direção fixa mencionada e a constante de proporcionalidade com a velocidade e a carga. F m = q v B (10.3) Utilizando as equações 10.1 e 10.3, demonstra-se que a força resultante 1 Unidade do campo magnético: B = T (tesla). 1T = 10 4 G (gauss)= wb m (weber)

10.. FORÇA MAGNÉTICA EM FIOS 151 aplicada sobre uma carga elétrica é dada por: F = F e + F m (10.4) F = q E + v B (10.5) A equação 10.5 representa a Força de Lorentz, um dos axiomas da teoria eletromagnética. Sua importância advém do fato dela ser a ponte entre a dinâmica e o eletromagnetismo. Observação: A força magnética NÃO realiza trabalho, pois ela é sempre perpendicular ao deslocamento da partícula. dw = F m d l = q v B v dt = 0 Segue que a força magnética não pode alterar apenas a direção da velocidade da carga (v). Fica então a pergunta: Como um ímã pode mover outro? Veremos isso mais adiante. 10. Força magnética em fios Vamos considerar um condutor pelo qual passa uma corrente elétrica I, imerso em um campo magnético B. Pode-se dizer que a quantidade de carga que passa pela secção transversal do fio em um tempo dt é: dq = I dt (10.6) De acordo com a equação 10.3, a força magnética aplicada nesse elemento de carga é: df m = dq v B (10.7) Substituíndo 10.6 em 10.7, temos:

15 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA df m = I dt v B df m = I v dt B df m = I d l B (10.8) Onde dl possui a mesma direção e sentido da corrente. Então integrando a equação 10.8 ao longo do comprimento do fio, encontramos a força aplicada nesse corpo: F m = Γ I d l B (10.9) Figura 10.1: Fio imerso em campo magnético Como exemplo, façamos uma análise para o caso no qual a corrente e o campo são constantes. Como I e B não variam, a integral apresentada em 10.9 fica da seguinte maneira: F m = I d l B (10.10) Γ Se somarmos todos os vetores elementares de comprimento ( d l) de um fio, obtemos como resultado o vetor l, que liga as duas extremidades desse

10.3. TORQUE EM ESPIRAS 153 objeto. Portanto, a equação 10.10 torna-se: F m = I l B (10.11) Nota-se que, para fios fechados (espiras), o vetor l é nulo, portanto a força magnética resultante é zero. Figura 10.: Força resultante na espira fechada é nula Observação: A força magnética resultante é nula, mas o torque não o é! 10.3 Torque em espiras Considere uma espira retangular imersa em um campo magnético B de tal forma que seus fios estejam paralelos aos vetores do campo, como mostrado na figura 10.3. Vamos calcular a força em cada lado da espira: Figura 10.3: Espira retangular

154 Lado 1: Lado : CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA F 1 = I l1 B = 0 F = I l B = IBa î ĵ F = IBaˆk Lado 3: Lado 4: F 3 = I l3 B = 0 F 4 = I l4 B = IBa î ĵ F 4 = IBaˆk Agora é possível calcular o torque das forças F e F 4 em relação ao eixo que passa pelo centro da espira e é perpendicular aos fios 1 e 3, como mostrado na Figura 10.4. Figura 10.4: Cálculo do torque Lado : Lado 4: τ = r F = τ 4 = r 4 F 4 = b IBaˆk ĵ τ = IBab î b IBaˆk ĵ

10.3. TORQUE EM ESPIRAS 155 Então, o torque total é: τ 4 = IBab î τ = τ + τ 4 = IBabî Nota-se que o produto ab é a área da própria espira. Pode-se estender o resultado acima para uma espira qualquer de área A percorrida por uma corrente I. Sendo A um vetor normal à superfície da espira com módulo igual à A, o torque nesse objeto é dado por: Para uma espira com N voltas, temos: τ = I A B (10.1) τ = NI A B (10.13) Observando-se a importância do primeiro fator do membro direito da equação 10.13, define-se o momento de dipolo magnético µ como sendo: Logo a equação 10.13 pode ser escrita como : µ = NI A (10.14) τ = µ B (10.15) Exercício 10.1. Em um dado instante, percebeu-se que uma bobina de N voltas imersa em um campo magnético B apresentou uma aceleração angular de rotação igual à α. Sendo I seu momento de inércia, calcule a área da bobina. Considere θ como sendo o ângulo entre o plano da bobina e o vetor B Podemos calcular o torque de duas maneiras: analogia com a equação do momento de dipolo para a eletrostática

156 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA Figura 10.5: Espira imersa no campo magnético τ = Iα τ = µ B Logo: Iα = µ B (10.16) Calculando o momento de dipolo magnético: Substituíndo 10.17 em 10.16 : Então a área é: µ = i A = NiAn (10.17) Iα = NiAB n j Iα = NiAB cos θ A = Iα NiB cos θ

10.4. O MOVIMENTO CYCLOTRON 157 10.4 O Movimento Cyclotron Um dos mecanismos utilizados em aceleradores de partículas emprega campos magnéticos para que elas descrevam movimentos circulares. Tais aceleradores são conhecidos como Cyclotrons. Uma partícula lançada em um campo magnético B com uma velocidade v perpendicular à B, como mostrado na Figura 10.6, realizará esse tipo de movimento, no qual a força magnética desempenha o papel de força centrípeta. Pode-se dizer então que: Figura 10.6: Movimento de uma partícula no Cyclotron F m = qvb = mv R (10.18) Os aceleradores de partículas permitem a obtenção de certas características importantes desses corpos, tais como o momento linear. Sendo p = mv o momento linear de uma partícula, pode-se manipular a equação 10.18 e chegar ao seguinte resultado: p = qbr (10.19) Desse modo, basta lançar a partícula no campo e medir o raio de seu

158 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA movimento para medir o seu momento linear. Sabe-se que a freqüência angular do movimento circular é ω = v/r. Manipulando a equação 10.18, também é possível determinar a freqüência cyclotron: ω = qb m (10.0) Outro aspecto interessante relativo à esse movimento e que, caso a partícula apresente uma componente da velocidade paralela ao campo magnético, ela descreverá uma trajetória helicoidal. Figura 10.7: Movimento helicoidal Exercício 10.. Um feixe de partículas transitando por uma região com campo magnético B e campo elétrico E não sofre acelerações. Depois, retirou-se o campo magnético, então as partículas passaram a executar um movimento circular uniforme de raio R. Dê a relação carga/massa dessas partículas No primeiro caso, as forças elétricas e magnéticas devem equilibrar-se para que não haja acelerações. Ou seja, a Força de Lorentz deve ser nula: F = q E + v B = 0 E + v B = 0 E = vb v = E B (10.1) Para o segundo caso, temos um movimento cyclotron. De acordo com

10.5. A AUSÊNCIA DE MONOPOLOS MAGNÉTICOS 159 a equação que fornece o momento linear das partículas nesse movimento, temos: mv = qbr q m = v BR (10.) Encontramos a relação carga/massa por meio da substituição de 10.1 em 10.: q m = E B R Esse foi o processo pelo qual J. J. Thomson descobriu o elétron estudando o comportamento de raios catódicos, em 1897. 10.5 A Ausência de monopolos magnéticos Como foi dito anteriormente, nunca observaram-se monopolos magnéticos, e tal fenômeno foi tomado como outro axioma da teoria eletromagnética. Isso pode ser descrito matematicamente do seguinte modo, sendo S uma superfície fechada e V o volume delimitado por essa superfície: B ds = 0 Aplicando o Teorema de Gauss, encontramos que: B ds = B dv = 0 S S V B = 0 (10.3) A equação 10.3 pertence às equações de Maxwell. Os principais significados contidos nessa equação são:

160 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA Ausência de monopólos magnéticos As linhas do campo magnético sempre são fechadas Na eletrostática, vimos que E = ρ. Conclui-se que não há análogo 0 magnético para a carga elétrica. Não há cargas magnéticas por onde o campo magnético possa emergir (nunca divergem de nenhum ponto!), pois ele só surge na presença de correntes elétricas. Observa-se também que as linhas de campo magnético são sempre fechadas. Além disso, pelo fato de o fluxo através de uma superfície fechada ser igual a zero, todas as linhas que entram nessa superfície devem sair. As linhas nunca começam ou terminam em algum lugar. 10.6 O Efeito Hall Em 1979, E.H. Hall tentou determinar se a resistência de um fio aumentava quando este estava na presença de um campo magnético, uma vez que os portadores de carga deveriam se acumular num lado do fio. Vamos analisar tal fenômeno por meio da experiência ilustrada na Figura 10.8. Figura 10.8: Efeito Hall Considere um condutor no qual o sentido da corrente é perpendicular ao campo magnético. Os portadores de carga negativa acumular-se-ão em uma das extremidades do condutor, logo a extremidade oposta apresentará uma carga positiva, o que resultará no surgimento de um campo elétrico E H no interior do condutor. Os elétrons serão deslocados até que as forças elétricas e magnéticas entrem em equilíbrio, ou seja:

10.6. O EFEITO HALL 161 F e = F m Aplicando as equações 10.1 e 10.3, temos: ee H = e v B E H = v B (10.4) Considerando o campo constante no interior do condutor, podemos medir a diferença de potencial entre as duas extremidades, denominada ddp Hall, como sendo: H = E H d (10.5) Nota-se que essa voltagem existe no sentido transversal à corrente. É possível utilizar o Efeito Hall para investigar a natureza dos portadores de carga no condutor, como mostrado nas Figuras 10.9 e 10.10, uma vez que podemos prever como as cargas devem se comportar sob ação de campos magnéticos. Figura 10.9: Efeito Hall para portadores de carga negativa

16 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA Figura 10.10: Efeito Hall para portadores de carga positiva 10.7 A Lei de Biot Savart 10.7.1 Introdução Na eletrostática, a Lei de Coulomb permite analisar como se dá a relação entre o campo elétrico e as cargas elétricas. Será que existe uma lei correspondente para a magnetostática? A resposta é sim, e ela é conhecida como a Lei de Biot-Savart, que será discutida a seguir. Como foi visto anteriormente, definimos o campo magnético por meio da força magnética. Agora queremos defini-lo por meio de sua fonte, que é a corrente elétrica. Figura 10.11: Movimento da carga em relação à um ponto P Observe a Figura 10.11. Experimentalmente, pode-se constatar que: B qv r B v B r

10.7. A LEI DE BIOT SAVART 163 Com base nisso, pode-se dizer que o elemento do campo magnético produzido por um elemento de de carga em movimento obedece à seguinte relação: db v ˆr dq (10.6) r d B dq d l dt ˆr r d B dq dt d l ˆr r d B I d l ˆr r db = µ 0 4π I d l ˆr r B = µ 0 4π A equação 10.7 é denominada lei de Biot-Savart. I d l ˆr r (10.7) A escolha da constante de proporcionalidade foi feita de modo a facilitar os cálculos subseqüentes. No sistema MKS: µ 0 4π = 10 7 N A Onde µ 0 é a permeabilidade magnética do vácuo. 10.7. Formas Alternativas A Lei de Biot-Savart também pode ser escrita em termos da distribuição de corrente. Sabendo que I = j ds, a equação 10.7 fica da seguinte maneira: B = µ 0 4π jds d l ˆr r (10.8) Vamos aplicar a equação 10.8 para a situação ilustrada na Figura???x. Neste caso, o sistema Oxyz é um referencial fixo, enquanto o sistema Ox y z

164 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA estão situados no elemento de carga em estudo. Observe que R = r r. Como j e d l possuem a mesma direção, podemos dizer que j d l = j dl. Além disso, sabendo que dl ds = dv, pode-se dizer que a Lei de Biot-Savart fica da seguinte maneira: B (r) = µ j r ˆR 0 dv 4π R Vamos aplicar o divergente em relação ao sistema Oxyz: B (r) = µ 0 4π j r ˆR dv (10.9) R Aplicando a regra do divergente do produto vetorial 3 ao divergente presente no membro direito da equação 10.9 : j r ˆR = j r ˆR R R + ˆR R j r Nota-se que ˆR R = 1 ˆR. Logo R = 0 pois o rotacional do R gradiente é sempre nulo. Além disso j r = 0 pois o rotacional está aplicado em Oxyz enquanto j refere-se ao sistema Ox y z. Obtemos então que: B = 0 Isso corrobora a validade da Lei de Biot-Savart. 3 A B = A B + B A

10.7. A LEI DE BIOT SAVART 165 10.7.3 Aspectos Interessantes Um resultando interessante pode ser obtido ao combinar a Lei de Biot-Savart com a equação 10.3 na seguinte situação: imagine uma carga q 1 movendo-se com velocidade v 1 tendo ao seu redor uma outra carga q movendo-se com velocidade v. Qual a força magnética que q imprimirá em q 1? A análise inicia-se por meio da integração da equação 10.6, empregando, antes, a constante de proporcionalidade. Encontramos então que: B = µ 0 ˆr qv (10.30) 4π r Substituíndo a equação 10.30 na equação 10.3 aplicada para a carga q 1 : F m = q 1 v 1 B µ0 ˆr = q 1 v 1 qv 4π r Multiplicando e dividindo o membro direito por µ 0 : Mas, pela Lei de Coulomb: F m = µ 0 0 v 1 F e = v qq 1ˆr 4π 0 r qq 1ˆr 4π 0 r Além disso, sabendo que c = µ 1 0 1 0, temos: F m = v 1 v c c F e Se considerarmos v << c, encontramos que: F m vv 1 c F e (10.31) A equação 10.31 diz que para velocidades pequenas comparadas com a velocidade da luz, a interação magnética será muito menor que a interação

166 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA elétrica. Como F m << F e, pode parecer, à primeira vista, que a força magnética poderia ser desprezada em comparação com a força elétrica, porém existem sistemas de partículas onde isso não é assim. De fato, numa corrente de condução, onde estão presentes cargas positivas e negativas em iguais densidades, o campo elétrico macroscópico é nulo, porém o campo magnético das cargas em movimento não o é. Outro aspecto importante que pode ser derivado por meio da Lei de Biot- Savart é uma relação entre o campo elétrico e o campo magnético gerado por uma mesma partícula. Multiplicando o numerador e o denominador da equação 10.30 por 0 : B = µ 0 0 v ˆr q 4π 0 r B = v E c 10.7.4 Aplicações da Lei de Biot-Savart Agora vejamos alguns exemplos nos quais se aplica a Lei de Biot-Savart: Exercício 10.3. Calcule, por meio da Lei de Biot Savart, o campo elétrico nas vizinhanças de um fio reto. Figura 10.1: Campo gerado por um fio reto

10.7. A LEI DE BIOT SAVART 167 Podemos escrever a Lei de Biot-Savart do seguinte modo: Para o fio reto, vale: B = µ 0 4π I d l ˆr = µ 0 r 4π I d l r r 3 d l = dxî r = xî + dĵ Então, fazendo as devidas substituições: l B = µ / 0 4π l / dxî r xî + dĵ I (x + d ) 3 / l B = µ / 0 ddx I 4π l (x + d ) 3 ˆk / / Logo o campo é: B = µ 0Id 4π 1 d l x (x + d ) 1 / l será: B = µ 0I 4πd l l 4 + d ˆk 1 / Note que se considerarmos o fio como sendo infinito (l >> d), o campo

168 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA B = µ 0I πd ˆk Exercício 10.4. Calcule, por meio da Lei de Biot Savart, o campo elétrico no eixo de uma espira circular. Figura 10.13: Campo gerado por uma espira circular Podemos escrever a Lei de Biot-Savart do seguinte modo: Para a espira, vale: B = µ 0 4π I d l ˆr = µ 0 r 4π I d l r r 3 d l = a dθˆθ r = aî + zĵ Pela simetria do problema, só teremos campo paralelo ao eixo da espira. Logo precisamos calcular apenas uma componente do campo gerado por cada elemento de corrente: d B = d B 1 cos α

10.7. A LEI DE BIOT SAVART 169 Onde: cos α = a a + z Então, aplicando a Lei de Biot-Savart (para calcular apenas o elemento de campo): Fazendo as devidas substituições: db = µ 0 4π I d l r cos α r 3 d B = µ 0 4π Ia (z + a ) 3 adθˆk / Integrando de 0 a π para cobrir toda a espira, encontramos o campo desejado: µ 0 Ia B = (a + z ) 3 ˆk / Exercício 10.5. Para criar regiões com campos magnéticos constantes em laboratório, empregam-se as bobinas de Helmholtz, esquematizadas na Figura 10.14.Calcule o valor do campo ao longo do eixo das bobinas e o ponto no qual o campo é magnético é maximo : O campo gerado por uma espira circular é: µ 0 Ia B (z) = (a + z ) 3 ˆk / Então, usando o princípio da superposição para as duas espiras, o campo ao longo do eixo é: B (z) = µ 0Ia 1 1 (a + z ) 3 + / a + (b z) 3 ˆk /

170 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA Figura 10.14: Bobinas de Helmholtz Para calcular o ponto no qual o campo magnético apresenta valor máximo, basta encontrarmos o valor de z tal que a derivada da função acima se anula: d B (z) dz Vemos que: = µ 0Ia 3 z (a + z ) 5 / 3 (b z) ( 1) a + (b z) 5 ˆk / d B (z) dz = 0 z = b Agora veremos a condição para que o campo nesse ponto seja aproximadamente constante. Derivando mais uma vez a função do campo magnético: d B (z) dz = 0 a 4b = 0 b = a z=b A condição é que a separação das bobinas seja igual ao raio. Fazendo a expansão em séries de Taylor, é possível calcular o quão próximo esse campo está de um campo constante:

10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE 171 Sabendo que B (a/) = B (a/) = 0, a expansão fica: a B (z) B a B (z) = B + 1 z a 4 1 144 15 4 4 B z 4 a +... z= z a / 4 A partir desse resultado, é possível inferir que, para z a / < a / 10 B (z) = B ( a / ), o campo varia em menos de uma parte e meia em dez mil. a 10.8 A Lei Circuital de Ampère 10.8.1 Introdução As experiências de Oersted, além de comprovarem que correntes elétricas geram campos magnéticos ao seu redor, motivou a comunidade científica a compreeender a relação entre fenômenos elétricos e magnéticos. Após tais experimentos, uma semana foi tempo suficiente para que Ampere deduzisse a apresentasse sua lei. Enquanto que a Lei de Biot-Savart corresponde à Lei de Coulomb, a Lei de Ampère faz a vez da Lei de Gauss na magnetostática. Considere um fio infinito por onde passa uma corrente I, como mostrado na Figura 10.15. Utilizando a Lei de Biot-Savart, demonstrou-se que o campo gerado nesse caso é dado por: Figura 10.15: Fio infinito

17 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA B = µ 0I πr ˆθ Calcularemos a circulação do campo magnético por meio de vários caminhos ao redor do fio. Considerando, inicialmente, o caminho como sendo um círculo: Figura 10.16: Caminho ao redor do fio para cálculo da circulação Γ B d l = µ 0I πr πr = µ 0I Vamos calcular a circulação pora outro caminho: Figura 10.17: Caminho ao redor do fio para cálculo da circulação Γ B d l = B d l + B d l + B d l + Γ 1 Γ Γ 3 Γ 4 B d l Como os vetores B e d l são paralelos para os fios e 4, as integrais para Γ e Γ 4 são nulas. Logo temos o seguinte resultado:

10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE 173 Γ Mais um caminho para calcular: B d l = µ 0I πr 1 πr 1 + 0 + µ 0I πr πr = µ 0 I Figura 10.18: Caminho ao redor do fio para cálculo da circulação B d l = B d l + B d l + B d l + Γ Γ 1 Γ Γ 3 Γ 4 B d l A mesma observação feita para os fios e 4 anteriormente valem para esse caso. Então temos: Γ B d l = µ 0I πr 1 θr 1 + 0 + µ 0I πr (π θ) r = µ 0 I Obsevou a semelhança dos resultados? Então vamos generalizá-los para um caminho qualquer. Figura 10.19: Caminho ao redor do fio para cálculo da circulação

174 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA Em coordenadas cilíndricas: d l = drˆr + r dθˆθ + dzˆk Sabendo que B = B ˆθ, encontramos que: B d l = Br dθ = µ 0I πr r dθ = µ 0I π dθ Fazendo a integral ao redor do fio: Γ B d l = Disso resulta a Lei de Ampère: Γ Γ µ 0 I π dθ = π 0 µ 0 I π dθ = µ 0I π π B d l = µ 0 I int (10.3) Observação: Na Lei de Coulomb, utilizávamos SUPERFÍCIES que envolviam as cargas para fazer o cálculo do campo elétrico, mas na Lei de Ampère, precisamos criar CURVAS que envolvam os condutores a fim de calcular o campo magnético. Assim como a Lei de Coulomb, a Lei de Ampère sempre é válida. No entanto sua maior utilidade se dá em casos nos quais é possível notar simetria no campo magnético, como será mostrado no exercícios mais adiante. 10.8. A forma diferencial da Lei de Ampère Aplicando o Teorema de Stokes no membro esquerdo da equação 10.3: B d l = B ds (10.33) Γ Analisando o membro direito da equação 10.3: S

10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE 175 µ 0 I = µ 0 j d S (10.34) S Pela própria Lei de Ampère, podemos igualar 10.33 e 10.34, encontrando que: B ds = µ 0 j ds S S Finalmente, temos a forma diferencial da Lei de Ampère: B = µ 0 j (10.35) Se aplicarmos o divergente na equação 10.35 B = µ 0 j j = 0 Percebe-se algo importante diante desse resultado: a Lei de Ampère é válida apenas para correntes estacionárias 4 10.8.3 Aplicações da Lei de Ampère Seguem alguns exemplos nos quais é fundamental a aplicação da Lei de Ampère para a resolução dos problemas: Exercício 10.6. Calcule o campo magnético, em todo o espaço, gerado por um ciclindro infinito percorrido por uma corrente I. Devido à simetria cilíndrica do problema, podemos escolher amperianas circulares para calcular o campo no interior e ao redor do fio, pois o campo magnético será constante ao longo de toda a curva, facilitando a integração. 4 corrente estacionária: dρ dt = 0

176 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA Figura 10.0: Cilindro condutor Para r > R (Figura 10.1): Figura 10.1: Amperiana fora do cilindro Γ 1 B d l = µ0 I Bπr = µ 0 I B = µ 0I πr ˆθ Para r < R (Figura 10.): Γ B d l = µ0 I int Bπr = µ 0 I πr πr B = µ 0Ir πr ˆθ

10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE 177 Figura 10.: Amperiana dentro do cilindro Sintetizando os resultados na forma de um gráfico: Figura 10.3: Campo magnético gerado por um cilindro infinito Exercício 10.7. Calcule o campo magnético, em todo o espaço, gerado por um cabo coaxial percorrido por correntes de mesma intensidade mas de sentidos opostos em cada face. Vamos dividir o espaço em 4 regiões e aplicar a Lei de Ampère para cada uma delas: Para r < a: Para determinar a corrente interna à amperiana, vamos considerar que

178 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA Figura 10.4: Cabo coaxial a densidade de corrente ao longo do cabo é constante e igual à j, logo sendo πr a área delimintada pela amperiana: Aplicando a Lei de Ampère: j = I int πr = I int = r a I πa Para a < r < b: Bπr = µ 0 I r a B = µ 0Ir πa ˆθ A corrente interna à amperiana será sempre a corrente total que passa pelo cabo interno, logo pela Lei de Ampère: Para b < r < c: Bπr = µ 0 I B = µ 0I πr ˆθ A corrente interna à amperiana será a corrente total que passa pelo cabo interno menos a corrente que passa pela porção do cabo externo

10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE 179 delimitada pela curva. Considerando também a densidade de corrente constante no cabo externo: Aplicando a Lei de Ampère: I int = I r b c b Bπr = µ 0 I µ 0Iπ (r b ) ˆθ B π (c b ) = µ 0I 1 r b ˆθ πr c b c B r = µ 0 I ˆθ c b Para r > c: A corrente interna à amperiana será a soma das correntes que passam pelo cabo interno e pelo cabo externo. Como as duas correntes possuem a mesma intensidade mas possuem sentidos opostos, a soma sempre será nula. Então, pela Lei de Ampère: B = 0 Exercício 10.8. Considere dois solenóides infinitos concêntricos de raios a e b. Calcule o campo magnético em todo o espaço. As correntes de cada solenóide possuem mesma intensidade mas têm sentidos contrários. Primeiro vamos analisar o campo gerado por um solenóide para depois empregar o princípio da superposição Observa-se que a corrente no interior da amperiana (Figura: 10.6) depende do número de espiras englobadas: I int = NI Aplicando então a Lei de Ampère:

180 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA Figura 10.5: Solenóides Figura 10.6: Amperiana no interior do solenóide Logo: Γ B d l = Γ 1 B d l + =0pois B=0 Γ B d l =0pois B d l + B d l + Γ 3 Γ 4 B d l =0pois B d l Γ B d l = µ 0 I B dentro l = µ 0 NI B dentro = µ 0 N l I = µ 0nI onde n = N indica a densidade de espiras do solenóide l Agora, façamos uma amperiana para calcular o campo fora do solenóide

10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE 181 (Figura: 10.7) : Figura 10.7: Amperiana externa ao solenóide Note que, neste caso, a corrente interna à curva é zero. Portanto o campo magnético fora do solenóide infinite é nulo: B fora = 0 Agora, vamos usar o princípio da superposição para calcular o campo para os dois solenóides. Para r < a : Neste caso, temos a influência dos campos dos dois solenóides. Sendo B 1 o campo gerado pelo solenóide interno e B o campo gerado pelo solenóide externo: B = B 1 B = µ 0 In 1 µ 0 In B = µ o I (n 1 n ) Para a < r < b : Aqui, temos influência apenas do solenóide externo

18 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA B = µ 0 In (10.36) Para r > b : Como estamos fora de ambos os solenóides, o campo neste caso é nulo B = 0 Exercício 10.9. Considere um cilindro de raio a com uma cavidade cilíndrica de raio b. A distância entre os centros dos cilindros é d. Sendo j a densidade de corrente no condutor, qual é o campo magnético no interior da cavidade? Figura 10.8: Condutor com cavidade Considere como sendo x a posição do ponto em questão em relação ao eixo do condutor e y como sendo a posição do ponto em relação ao eixo da cavidade: Para resolver esse exercício, será necessária a utilização do princípio da superposição. Observe que a configuração final do sistema pode ser obtida se somarmos dois cilindros com sentidos de correntes opostos, como apresentado na Figura 10.30 : Portanto, devemos calcular o campo gerado pelo cilindro maior em um ponto que dista x do seu eixo e somar com o campo gerado pelo cilindro

10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE 183 Figura 10.9: Posicionamento do ponto Figura 10.30: Princípio da superposição menor em um ponto que dista y de seu centro. Cilindro maior Figura 10.31: Lei de Ampère para cilindro maior

184 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA B d l = µ0 I int Γ B 1 πx = µ 0 jπx B 1 = µ 0jx θ B x = µ 0 j x Cilindro menor Figura 10.3: Lei de Ampère para cilindro menor B d l = µ0 I int Γ B πy = µ 0 jπy B = µ 0jy ϕ B = µ 0 j y Como os sentidos das correntes são opostos, o campo resutante será: B = B 1 B µ 0 j B = x µ 0 j y µ 0 j B = ( x y ) Mas a seguinte relação sempre é válida: x y = d. Portanto o campo no interior da cavidade é constante e igual à: B = µ 0 j d

10.9. POTENCIAL VETOR 185 Exercício 10.10. Calcule o campo no centro da seção circular de um toróide de N espiras. Figura 10.33: Toróide Vamos passar uma amperiana no interior do toróide Figura 10.34: Amperiana no toróide Temos que a corrente interna à amperiana será I int = NI. Logo B d l = µ 0 I int Bπr = µ 0 NI B = µ 0NI πr ˆθ 10.9 Potencial Vetor As 4 equações que sintetizam a teoria eletromagnética vistas até agora são: ELETROSTÁTICA E = ρ 0 0 (10.37) E = 0 (10.38)

186 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA MAGNETOSTÁTICA B = 0 (10.39) B = µ 0 j (10.40) Para a eletrostática, devido à equação 10.38, percebe-se que o campo elétrico é um campo conservativo. Logo foi possível definir o potencial elétrico da seguinte forma: E = 0 E = Aplicando esse resultado à equação 10.38: Segue que: E = V V = V V = ρ 0 0 Será que é possível definir um potencial análogo para o campo magnético? Sabe-se que B = 0. A partir disso, pode-se inferir que B é um campo rotacional. Em outras palavras, é possível encontrar um campo vetorial tal que seu rotacionalresulta no campo magnético. Esse campo é denominado potencial vetorial A, que é definido do seguinte modo: B = 0 B = A (10.41) Aplicando esse resultado à equação 10.40: B = A = A A Como pode-se determinar mais de um campo que satisfaça a equação 10.41, é permitido escolher adequadamente um campo A tal que A = 0 5. 5 Denomina-se isso como escolha de calibre, ou escolha de gauge

10.9. POTENCIAL VETOR 187 Segue então que: B = A A = µ0 j (10.4) Observação: A não é o operador Laplaciano, pois está sendo aplicado a um campo vetorial. Na verdade, temos que: A = A A Particularmente, para coordenadas cartesianas: A x = µ 0 j x A y = µ 0 j y A z = µ 0 j z Outras formas de expressar o potencial vetor em função das densidades de corrente 6 são: Densidade volumétrica A (r) = µ 0 4π j r dv r r (10.43) Densidade superficial A (r) = µ 0 4π k r ds r r (10.44) 6 r:posição do ponto em relação ao referencial fixo. r : posição do ponto em relação a um elemento de carga. (ver Figura 10.11)

188 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA Densidade linear A (r) = µ 0 4π I r dl (10.45) r r Façamos alguns exemplos: Exercício 10.11. Calcule o potencial vetor para um fio finito percorrido por uma corrente I. Figura 10.35: Fio finito Vamos aplicar a equação que fornece o potencial vetor em função da densidade linear de carga (equação 10.45 ): A = µ 0I 4π A = µ 0 4π Idzˆk, comr = z r + s dz ˆk µ 0 I A = z + s 4π ln z + z + s z z 1 ˆk A µ 0 I = 4π ln z + z + s z 1 + z 1 + s ˆk Observe que se aplicarmos o rotacional ao resultado, obtemos o vetor B:

10.10. CONDIÇÕES DE CONTORNO NA MAGNETOSTÁTICA 189 A As = z A z ˆθ.Assim, s B = A = A z s ˆθ = µ 0 I s 4π ln z + z + s z 1 + ˆθ z1 + s B Exercício 10.1. (Griffths, pág, ex: 5.3) Qual densidade de corrente produziria um vetor potencial A = k ˆ phi, em coordenadas cilíndricas (k é constante)? Para resolver esse exercício, primeiro aplicaramos o rotacional em A para determinar o campo magnético. Depois aplicaremos o rotacional em B para determinar a densidade de corrente, de acordo com as equações da magnetostática. Observação: aplicar o rotacional em coordendadas cilíndricas A φ = k B = A = 1 ρ ρ (ρaρ) ˆk = Aφˆk = k ρ ρ ˆk B = B zˆk B = µ 0J j = 1 B = 1 B z ˆφ = + k µ 0 µ 0 ρ µ 0 ρ ˆφ 10.10 Condições de Contorno na Magnetostática Vimos que existe uma descontinuidade no campo elétrico em de superfícies carregadas, no sentido perpendicular à essa superfície. Da mesma forma, o campo magnético também é descontínuo numa superfície de corrente. Para facilitar a análise desse fenômemo, vamos dividí-lo em 3 etapas, uma para cada componente do campo magnético 7 : 7 B = B superficie, B // // = B//corrente //corrente, B// = B//superficie corrente

190 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA 10.10.1 Componente perpendicular à superfície Considere uma superfície percorrida por uma corrente I, cuja densidade superficial é k. Vamos envolver uma porção dessa superfície por um retângulo cujas faces possuem área A, como mostrado na Figura 10.36. Figura 10.36: Superfície fechada para cálculo do fluxo de B Como não há monopólos magnéticos: B ds = 0 S Considerando apenas a componente do campo perpendicular à superfície, teremos fluxo apenas na face superior e inferior do retângulo, portanto: B ds = BacimaA BabaixoA = 0 S Logo essa componente é contínua. B acima = B abaixo 10.10. Componente paralela à superfície e paralela à direção da corrente Para a mesma superfície descrita anteriormente, vamos traçar uma amperiana da forma como está apresentada na Figura 10.37.

10.10. CONDIÇÕES DE CONTORNO NA MAGNETOSTÁTICA 191 Figura 10.37: Amperiana para cálculo de B // // Nota-se que a corrente que passa pelo interior da amperiana é nula. Então, aplicando a Lei de Ampère (10.3): Γ B d l = B // //acima l B// //abaixo l = 0 B // //acima = B// //abaixo Logo essa componente também é contínua. 10.10.3 Componente paralela à superfície e perpendicular à direção da corrente Agora, ainda na mesma superfície, traçaremos uma outra amperiana, desta vez em outra direção, como mostrado na Figura 10.38. Figura 10.38: Amperiana para cálculo de B // A corrente que passa pelo interor da amperiana é I int = kl. Aplicando a

19 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA Lei de Ampère (10.3) encontramos que: Γ B d l = B // acima l B// abaixo l = µ 0I int B // acima l B// abaixo l = µ 0kl B // acima B// abaixo = µ 0k B // acima B // abaixo = µ 0 k n Conclui-se que o campo magnético, na direção paralela à superfície e perpendicular ao sentido da corrente, é descontínuo. 10.11 Expansão em multipólos Assim como foi feito para o campo elétrico, buscaremos uma forma de expressar o potencial vetorial em uma série de potências de 1, onde r é a distância r do multipolo até o ponto em questão. A idéia é que esta equação seja útil para analisar o comportamento do campo magnétic à grandes distâncias. Considere a espira apresentada na Figura 10.39. Figura 10.39: Posição do ponto P em relação à espira Vimos na Seção 10.9 que o potencial vetor, para densidades lineares, é dado por:

10.11. EXPANSÃO EM MULTIPÓLOS 193 A (r) = µ 0 4π Γ I r dl (10.46) r r Podemos reescrever o denominador do integrando da seguinte maneira: 1 r 1 = = 1 r r + r rr cos θ r Onde p n é o Polinômio de Legendre 8. r n p n cos θ (10.47) n=0 r Considerando a corrente constante e substituíndo 10.47 em 10.46, encontramos a expressão de multipólos magnéticos: A (r) = µ 0I 4π n=0 1 r n+1 Γ (r ) n p n cos (θ ) d l É interessante notar que o termo correspondente ao monopólo (n=0) é 1 Γ r d l = 0, o que está de acordo com os observações. Então, o termo mais importante da sequência corresponde ao dipolo magnético (n=1): A dipolo = µ 0I 4πr Γ ˆr r d l = µ 0 µ ˆr 4πr Onde µ é o momento de dipolo magnético definido na equação 10.14. 8 P n (x) = 1 n d x n 1 n n! dx

194 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA