P R O P O S T A D E R E S O L U Ç Ã O D O E X A M E T I P O 7 GRUPO I ITENS DE ESCOLHA MÚLTIPLA 1. Nas condições do enunciado, o número de triângulos que se podem formar com três dos doze pontos é (dos cinco pontos da reta escolhem-se dois e dos sete pontos da reta escolhe-se um ou dos cinco pontos da reta escolhe-se um e dos sete pontos da reta escolhem-se dois. Resposta: C 2. Sejam e os acontecimentos: : «o n-ésimo filho é do sexo masculino» e : «o n-ésimo filho é do sexo feminino», com { } Utilizando um diagrama de árvore, vem: Pretende-se determinar a probabilidade dos três filhos do casal serem do mesmo sexo, sabendo que um deles é rapariga. Assim, o número de casos possíveis é (os sete em que pelo menos um dos filhos é rapariga:,,,,, e, destes, o único caso em que os filhos são todos do mesmo sexo é, portanto o número de casos favoráveis é. Como os casos possíveis são todos equiprováveis (têm todos probabilidade de ocorrer, pode-se aplicar a lei M F F M F F (M M F M (M F M F (M F F M (F M M F (F M F M (F F M F (F F F de Laplace. Logo, a probabilidade pedida é. Resposta: B 3. Como e são independentes, então e e também são independentes i. Portanto, ( (. Cálculos auxiliares: i Nota: ( então e também são independentes. ( (. Logo, se e são independentes ii Resposta: A www.raizeditora.pt Proposta de Resolução do Exame-Tipo 7 Página 1
4. Sendo o ponto de interseção do eixo com a reta que contém o ponto e é paralela ao eixo, vem [ ]. portanto.. Logo, e Logo, ( e. Como, vem e portanto. Assim, [ ]. Resposta: A 5. Como a função é contínua em, então também o é em. A função é contínua em se e só se, assim: ( ( i A função é estritamente crescente em ] ], logo é injetiva e portanto. ( Logo,. Resposta: D 6. Como ] [ { }, vem e portanto ( (. Logo, e é um mínimo relativo da função. Resposta: D www.raizeditora.pt Proposta de Resolução do Exame-Tipo 7 Página 2
7. A resposta correta é a IC. De facto, fazendo, vem: ( ( Portanto, a condição representa a reta vertical (paralela ao eixo imaginário que contém o ponto de coordenadas. Resposta: C 8. Tem-se que. Assim: Vamos utilizar a regra do paralelogramo para resolver este problema: I (z iz z iz z z z R (z Logo, z z z Resposta: B www.raizeditora.pt Proposta de Resolução do Exame-Tipo 7 Página 3
GRUPO II ITENS DE RESPOSTA ABERTA 1. 1.1., assim:. Logo, Portanto:, { }, { } Para vem ( ( Para vem ( ( Para vem ( ( Para vem ( ( O conjunto solução da equação é: { } www.raizeditora.pt Proposta de Resolução do Exame-Tipo 7 Página 4
Representando o quadrando cujos vértices são as soluções da equação: I (z A medida do lado do quadrado é igual a área é igual a (., logo a sua O R (z 1.2. Tem-se i Cálculo auxiliar: Para escrever na forma trigonométrica, vem:. Sendo um argumento de, tem-se e quadrante, pelo que. Assim,. A imagem geométrica de pertence à bissetriz dos quadrantes pares se o seu argumento for da forma,. Assim:,,, Logo,. 2. Seja. Se e são raízes de índice de um número complexo, então e ( e portanto (. Como e ( ( ( (, vem: (,,,, www.raizeditora.pt Proposta de Resolução do Exame-Tipo 7 Página 5
Logo,,. Como é um número natural ímpar, então, I e portanto o argumento de é da forma:, I e (Como I e, obviamente que Conclui-se então que a imagem geométrica de pertence ao eixo imaginário, ou seja, é um imaginário puro. 3. 3.1. Considere-se os acontecimentos : «o automóvel escolhido tem matrícula portuguesa» e : «o automóvel escolhido é um(a «berlina» / carrinha / desportivo». Do enunciado tem-se que: ; ( ; ( ; ( e Assim: ( ( Colocando estes valores numa tabela de dupla entrada, vem: Justificações: p.m. p.m. ( www.raizeditora.pt Proposta de Resolução do Exame-Tipo 7 Página 6
Tem-se, como, vem: Portanto,. Terminando o preenchimento da tabela: p.m. ( Justificações: 0,062 p.m. ( Logo, ( (. 3.2. Considere-se a variável aleatória : «número de habitantes com olhos azuis presentes na festa em». A variável aleatória segue uma distribuição binomial de parâmetros e, isto é,. Pretende-se determinar de modo que a probabilidade de pelo menos um dos presentes na festa ter olhos azuis seja de, isto é,. Assim: Logo,, ou seja, para que a probabilidade de pelo menos um dos presentes ter olhos azuis ser de, têm de estar na festa habitantes da localidade. 4. Considere-se a variável aleatória : «produto dos números inscritos nas cinco bolas extraídas». O produto das cinco bolas extraídas pode ser:, se entre as cinco bolas extraídas não existirem bolas numeradas com o número ;, se pelo menos uma das cinco bolas extraídas estiver numerada com o número. Assim, { } e portanto tem-se e. www.raizeditora.pt Proposta de Resolução do Exame-Tipo 7 Página 7
Logo, a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória é dada por: O valor médio da variável aleatória é dado por, ou seja, em cada realização da experiência o produto médio (ou produto esperado é de, portanto em 14 000 realizações desta experiência é de esperar que a soma dos produtos obtidos esteja próxima de. 5. 5.1. ( ( ( ( ( ( i Mudança de variável: Se então e portanto. Seja,. ii ( iii Mudança de variável: Se então. Seja,. Logo, como, não existe. Assíntotas verticais Tem-se que, logo a reta de equação é assíntota vertical do gráfico de. Como a função é contínua em IR { }, então o gráfico de não tem mais assíntotas verticais. www.raizeditora.pt Proposta de Resolução do Exame-Tipo 7 Página 8
Assíntotas não verticais Quando : ( ( ( ( ( Se então i Mudança de variável: Se então. Seja,. Portanto. ( ( ( ( Se então Outra resolução para o cálculo de ( : ( ( ( ii Mudança de variável: Se então. Seja,. A reta de equação é assintota horizontal do gráfico de, quando. Quando : Quando o gráfico de não tem assíntotas. www.raizeditora.pt Proposta de Resolução do Exame-Tipo 7 Página 9
5.2. Para tem-se (, assim: ( ( Portanto,. Tem-se: ( ( i Cálculo auxiliar:, logo. 6 6.1. Tem-se,. Assim: ( ( Fazendo um quadro de variação do sinal da função, vem: min. máx. min. é decrescente em ] ] e em [ ], é crescente em [ ] e em [ [, tem mínimo relativo em e em e tem máximo relativo em. www.raizeditora.pt Proposta de Resolução do Exame-Tipo 7 Página 10
6.2. A área do trapézio [ ] é dada por. Assim, como:, onde é a medida da altura do trapézio, pelo que, vem: [ ] Utilizando o editor de funções da calculadora, define-se a função na janela de visualização [ ] [ ]. Logo, as coordenadas do ponto são, com e (a área do trapézio é máxima em. y b A O a x 7. 7.1. O perímetro do trapézio [ ] é dado por. Seja. Tem-se que (ângulo interno e também, assim: Assim: α D C A α π E B Logo, como, vem e. Portanto: [ ] www.raizeditora.pt Proposta de Resolução do Exame-Tipo 7 Página 11
i Figura auxiliar: 7.2. A função é contínua em] [, pois é quociente e soma entre funções contínuas. Logo, a função também é contínua em [ ] ] [. Tem-se: ( ( ( ( ( Como, vem ( e portanto. ( ( ( ( ( ( ( Como, vem ( e portanto. Assim, como, pelo teorema de Bolzano existe pelo menos um ] [ tal que. 8. A função é afim, portanto é da forma. Além disso, a função é crescente (portanto pois o seu gráfico interseta o eixo no ponto de abcissa e o eixo num ponto de ordenada positiva, como evidenciado na figura. Assim: y f. O x www.raizeditora.pt Proposta de Resolução do Exame-Tipo 7 Página 12
Fazendo um quadro de variação do sinal da função, vem: i min. i Observa que o sinal de depende apenas do sinal de, pois, IR. Conclui-se então que a função tem um mínimo absoluto em, portanto, IR { }. Logo, a afirmação IA é verdadeira, não sendo esta a opção correta. Da análise do quadro também se conclui que a função é decrescente em ] ], isto é: ] ] Assim, como e, vem e, para todo o ] ] (se pertence ao intervalo ] ] então e também pertencem a esse intervalo. Logo:, ] ] Logo, a afirmação IC é verdadeira e portanto esta também não é a opção correta. Por outro lado, como o ponto de coordenadas pertence ao gráfico de, vem, pelo que,. Assim tem-se: ( ( www.raizeditora.pt Proposta de Resolução do Exame-Tipo 7 Página 13
Fazendo um quadro de variação do sinal da função, vem: p.i. p.i. i Observa que o sinal de depende apenas do sinal de, pois, IR e. Logo, a afirmação ID não é a correta pois é verdade que o gráfico da função em [ [. tem a concavidade voltada para cima A opção correta é a IB (o gráfico da função não tem ponto de inflexão em, portanto esta afirmação não é verdadeira. www.raizeditora.pt Proposta de Resolução do Exame-Tipo 7 Página 14