Capítulo 6 Medidas de localização F45 Pág. 107 1. Número de ocupantes Frequência absoluta Frequência relativa 1,0 48 5 1 1 1 1 48 4 3 8 4 5 5 3 8 48 1 6 5 48 3 48 1 16 Total 48 1. Podemos elaborar a seguinte tabela para nos auxiliar na resolução das questões colocadas. Número de irmãos Frequência absoluta Frequência relativa 3 0 3 0,15 1 8 8 0,40 5 5 0,5 3 0,10 1 4 1 0,05 5 1 1 0,05 Total 1,00.1. ( 3 + 8 ) 11 alunos têm menos de dois irmãos. ( + 1+ 1) 4 alunos têm, pelo menos, três irmãos... 40% dos alunos têm um irmão. ( 15% + 40% + 5% + 10% ) 90% dos alunos têm, no máximo, três irmãos. Capítulo 6 Página 1
Pág. 108 3. Cor preferida Frequência absoluta Frequência relativa Azul 4 4 0, 3 Amarela 3 0,15 Verde 4 4 0, 7 Vermelha 7 0,35 Castanha 0,10 Total 1,00 4.1. % dos empregados são licenciados, que correspondem a cinco elementos. Assim, estabelecendo uma regra de três simples, obtém-se: pelo que, 5 % x 100% 100 5 50 A empresa tem 50 empregados. 4.. Sabe-se que 60% dos empregados têm o 9. ano de escolaridade ou inferior, pelo que 5. 50 0,60 150. Assim, 150 empregados têm habilitações literárias ao nível do 9. ano de escolaridade ou inferior. Bolos de arroz Caule Pastéis de nata 8 7 0 6 8 9 9 8 7 6 4 4 3 3 0 1 5 5 5 6 7 8 8 9 3 1 4 8 3 3 3 6 8 8 9 9 4 4 0 1 3 1 5 Por exemplo, durante três semanas venderam-se 7 a 51 bolos de arroz e 6 a 43 pastéis de nata. Em, aproximadamente, 48% dos dias venderam-se mais de 9 e menos de bolos de arroz. Capítulo 6 Página
F46 Pág. 109 1.1. A moda é 15 cêntimos. 1.. Determinemos a média, x : 5 15 + 10 + 3 5 170 17 10 10 A média é 17 cêntimos..1. A letra t... Não, pois os dados são de natureza qualitativa. 3.1. A moda é e 5. Determinemos a média, x : 1+ + 3 + 4 + 5 + 7 + 8 1+ 4 + 3 + 4 + 10 + 7 + 8 37 9 9 9 A média é 37 9. 3.. A afirmação (A) é verdadeira. A média passaria a ser A afirmação (B) é falsa. A moda continua a ser e 5. 37 + 5 4 10 10 4, 37 > 9. Pág. 110 4.1. Determinemos a média dos tempos obtidos nas primeiras três tentativas. 4 min 3 s 3 min 47 s + 3 min 54 s 10 min 104 s Ora, 104 s 1 min 44 s. Portanto, a soma dos tempos obtidos é 11 min 44 s. Ora, 11 min 44 s 704 s. Assim, 704 3 34, ( 6 ) s A média é 704 3 s nas primeiras três tentativas. Capítulo 6 Página 3
4.. Pretende-se que o tempo médio seja 704 3 1 s, ou seja, 701 3 s. Seja t o tempo em segundos obtido na 4. a tentativa. Assim, tem-se: 704 + t 4 701 69 11 + 3t 804 3t 69 t 3 3 69 s, que corresponde a, aproximadamente, 3,84 min. 3 Ora, 30, ( 6) O atleta deverá realizar a 4. a corrida em 3,84 min, aproximadamente. 5.1. Determinemos a média do número de kiwis por caixa: 5.. 10 + 1 + 8 + 1 + 1 +10 + 8 + 1 + 9 + 10 10 A moda é 1 kiwis e a média é 10,3 kiwis. 3 10 + 4 1 + 8 + 9 10 103 10 10,3 N. de kiwis Frequência absoluta Frequência relativa 8 0, 9 1 0,10 10 3 0,30 1 4 0,40 Total 10 1 5.3. Representa o número total de pacotes de kiwis analisados. 6.1. Por exemplo: 5,, 3, 4, 5, 5. Repara que a moda é 5 e a média é 4. 6.. Por exemplo: 1, 4, 5, 5, 6, 9. Repara que a moda é 5 e a média é dada por: 1+ 4 + 5 + 6 + 9 30 5 6 6 7. Determinemos as médias das idades dos membros da família do Afonso: 64 + 58 + 30 + 35 + 6 7 A média das idades é 45 anos. 315 7 45 F47 Pág. 111 1.1. a) A moda é 18 euros e 5 euros. Capítulo 6 Página 4
b) Determinemos a média: 10 + 1 + 15 + 18 + 9 + 6 + 18 + 19 + 5 + 1+ 5 178 16,18 11 11 A média é, aproximadamente, 16,18 euros. c) Consideremos a sequência dos preços crescente, em sentido lato: 6 9 10 1 15 18 18 19 1 5 5 O valor central é o dado que ocupa a posição 11+ 1 6. A mediana é 18 euros..1. 14 equipas sofreram no máximo dois golos... 6 equipas não sofreram golos. 6 0,375 que corresponde a 37,5%. 16 37,5% das equipas não sofreram golos..3. Determinemos a média, x : 6 0 + 5 1+ 3 + 3 + 5 5 + 6 + 8 19 1,1875 16 16 16 Em média, cada equipa sofreu 1,1875 golos..4. Consideremos a sequência ordenada, por ordem crescente: 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 3 5 Como estamos perante um número par de dados, 16, então os valores centrais ocupam as posições 16 8 e 16 + 1 9 Logo, ɶ 1+ 1 1. A mediana é um golo. da sequência ordenada. Pág. 11 3.1. Determinemos a média das velocidades, x : 80 + 81+ 85 + 89 + 9 + 98 + 101+ 100 + 19 + 115 + 88 + 8 + 80 + 98 + 99 + 95 + 94 + 15 + 98 + 13 195 97,6 A média das velocidades registadas pelas autoridades foi 97,6 km/h. 3.. Das velocidades registadas, 10 desses valores são iguais ou inferiores a 95km/h. Logo, a afirmação é verdadeira. Capítulo 6 Página 5
3.3. Como temos dados, então o valor da mediana corresponde à média de valores dos dados que estão nas posições 10 e + 1 11 da sequência ordenada. Ordenando os primeiros dados, tem-se: 80, 80, 81, 8, 85, 88, 89, 9, 94, 95, 98, Logo, ɶ 95 + 98 96,5 A mediana das velocidades é 96,5 km/h. 4.1. Valor máximo:,07 m; valor mínimo: 1,80 m 4.. A amplitude das alturas dos jogadores é dada pelas diferenças (,07 1,80 ) m, ou seja, 0,7 m. 4.3. A moda das alturas é 1,83 m; 1,93 m; 1,94 m e,07 m. 4.4. Como tens 18 dados, então o valor da mediana corresponde à média dos valores dos 18 dados que estão nas posições 9 e 18 + 1 10 da sequência ordenada. 1,80 ; 1,81; 1,83; 1,83; 1,85; 1,91; 1,9; 1,93; 1,93; 1,94; 1,94; 1,95; 1,96; 1,98;,0;,05;,07;,07. 1,93 + 1,94 x ɶ 1,935. A mediana é 1,935 m. 4.5. A moda manteve-se. F48 Pág. 113 1.1. Consumo mínimo: Casa do Afonso: 7 m 3 Casa do António: 7 m 3 Consumo máximo: Casa do Afonso: 1 m 3 Casa do António: 5 m 3 1.. A moda dos gastos de água em casa do Afonso é 1 m 3. 1.3. Em cinco dos 15 dias gastaram-se menos de 13 m 3 de água em casa do António, pelo que a fração correspondente é 5 15 1 3. Portanto, em 1 3 dos dias gastaram-se menos de 13 m3 de água em casa do António. Capítulo 6 Página 6
1.4. Média dos gastos em casa do Afonso: 7 + 8 + 9 + 3 1 + 14 + 15 + 18 +19 + + 1 15 14 + 16 + 9 + 36 + 14 + 15 + 18 + 19 + + 4 3 13,5 15 15 Média dos gastos em casa do António: 7 + 9 + 10 +1 + 13 + 14 + 16 + 17 + 18 + + 3 + 5 15 16 + + 5 + 30 + 17 + 36 + 44 + 48 15 36 15 15,7 Em média, em casa do Afonso, gastaram-se 13,5 m 3 de água por dia, aproximadamente. Em média, em casa do António, gastaram-se 15,7 m 3 de água por dia, aproximadamente. 1.5. O valor da mediana corresponde ao dado na posição Mediana dos gastos em casa do Afonso: 1 m 3. Mediana dos gastos em casa do António: 16 m 3. 1.6. a) A moda dos gastos é 11 m 3, 19 m 3 e 3 m 3. 15 + 1 8 b) Determinemos a média com a leitura correta dos dados, x : 8 + 10 + 11+ 13 + 14 + 15 + 17 +18 + 19 + 3 + 4 + 6 15 18 + + 7 + 3 + 18 + 38 + 46 + 50 51 15 15. Como, 51 15 36 15 15 15 1 da lista ordenada. A média é, aproximadamente, 16,7 m 3 e sofreu um aumento de 1 m 3 relativamente aos dados anteriores. 1.7. A média diária nos 16 dias, seria dada por: + 3 a x, onde a designa o gasto de água, em m 3, no 16. dia. 16 Como se pretende diminuir 0,5 m 3, em média, por dia, então: 3 + a 3 1 83 3045 + 15a 348 1 15a 348 1 3045 a 5,5 16 15 15 O Afonso deveria gastar 5,5 m 3, aproximadamente. Pág. 114.1. A moda das idades dos alunos da turma é 1 anos. Capítulo 6 Página 7
.. Determinemos a média das idades dos alunos: 11+ 8 1 + 6 13 + 3 14 + 96 + 78 + 4 38 1,53 19 19 19 A média das idades é, aproximadamente, 1,53 anos..3. Como estamos perante um conjunto de 19 dados, então a mediana é o valor correspondente ao dado na posição 19 + 1 10, da sequência ordenada das idades dos alunos da turma. Assim, conclui-se que a mediana é 1 anos..4. a) A média das idades dos alunos desta turma, incluindo os novos alunos é dada por: 3.1. 38 + 15 38 + 30 68 1,8 19 + 1 1 A média é, aproximadamente, 1,8 anos. 75% + 80% + 100% + 60% 4 315% 4 78,75% O Alexandre obteve uma classificação média de 78,75%. 3.. Pretende-se determinar a classificação mínima de modo a que a média seja não inferior a 79%. Determinemos a classificação do quinto teste de modo a que a média seja exatamente 79%. + 315% t x, onde t é a classificação obtida no quinto teste. 5 Logo, 315% + t 5 79% t 5 79% 315% t 395% 315% t 80% Portanto, o Alexandre terá de obter uma classificação mínima de 80% no quinto teste. 3.3. A média das classificações dos quatro testes é dada por: 3 80% + 85% 40% + 85% 35% 81,5% 4 4 4 A média das classificações obtidas nos quatro testes à disciplina de Português é igual a 81,5%. A6 Pág. 115 1. Observando cada um dos setores do gráfico, conclui-se que a resposta correta é (D). Capítulo 6 Página 8
. Vamos analisar cada uma das seguintes opções: Opção A: Pela leitura do gráfico, sabe-se que 9% dos alunos da escola preferiram como destino de férias a Grécia. Ora, 9% de 600 alunos corresponde a 0,09 600 alunos, ou seja, a 54 alunos. Logo, a opção A é incorreta. Opção B: Determinemos o número de alunos da escola que preferiram Portugal: 0,58 600 348 Exclui-se a opção B. Opção C: Ora, 9% + 33% 4% Como, 0,4 600 5, conclui-se que 5 alunos fizeram férias no estrangeiro. Opção correta: (C). Repara que 33% dos alunos da escola entrevistados fizeram férias em Espanha. Logo, a opção (D) é incorreta. 3.1. A moda do número de calçado dos alunos da turma é 36, pois é a observação que tem maior frequência. Determinemos a média, utilizando as frequências relativas sob a forma de dízimas: 35 0,10 + 36 0,40 + 37 0,10 + 38 0, + 39 0,10 + 40 0,05 + 41 0,05 3,5 + 14,4 + 3,7 + 7,6 + 3,9 + +,05 37,15 A média do número do calçado dos alunos é 37,15. A partir das frequências relativas, listemos os dados ordenados: 35, 35, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 37, 37, 38, 38, 38, 38, 39, 39, 40, 41 Como o número de dados é (número par), então a mediana é igual à média aritmética dos dados na posição n e n + 1. Ora, 10 " posição 10, corresponde ao dado 36. + 1 11 " posição 11, corresponde ao dado 37. Logo, 36 + 37 36,5. A mediana do número de sapatos é 36,5. 3.. A afirmação é falsa, pois 40% dos alunos calçam sapatos com número superior a 37. Capítulo 6 Página 9
4. Sabe-se que o peso médio de cinco melancias é,6 kg, pelo que o peso total das cinco melancias é igual a 5,6 kg 13 kg. Sabe-se, também, que o peso médio de quatro melancias é,4 kg, pelo que o peso total das quatro melancias é igual a 5,4 kg, ou seja, 9,6 kg. Logo, a quinta melancia pesa 13 kg 9,6 kg 3,4 kg. Resposta (A). Pág. 116 5.1. A moda das classificações médias é 80%, pois é a observação de maior frequência 5.. (ocorreu nos testes 3 e 5). 60% + 50% + 80% + 60% + 80% + 40% 6 370% 6 61, ( 6) Em média, a turma obteve 61,7% na realização dos seis testes à disciplina. 5.3. a) De acordo com os dados fornecidos, conclui-se que: 40% dos alunos obteve 60%, ou seja, 0,4 8 alunos obtiveram 60% % dos alunos obteve 50%, ou seja, 0, 4 alunos obtiveram 50% 30% dos alunos obteve 70%, ou seja, 0,3 6 alunos obtiveram 70% 10% dos alunos obteve 80%, ou seja, 0,1 alunos obtiveram 80% Assim, a média das classificações obtidas no 7. teste é: 8 60% + 4 50% + 6 70% + 80% 160% 63% A turma obteve uma classificação média no 7. teste de 63%. b) O professor poderia referir, por exemplo, que houve um progresso relativamente à média do 6. teste. No entanto, nos sete testes realizados a turma demonstrou alguma oscilação nos resultados obtidos. 6.1. População: todos os alunos que participaram na viagem de estudo. 6.. Variável: quantia, em euros, que os alunos levaram consigo para a visita de estudo. 0 5 5 6 6 6 6 7 7 8 8 8 8 9 9 9 9 1 0 0 0 0 0 1 1 6.3. A afirmação é verdadeira, pois 9 dos 5 alunos levaram consigo pelo menos 10 euros para a viagem de estudo. Capítulo 6 Página 10
6.4. Média: 5 + 4 6 + 7 + 4 8 + 4 9 + 5 10 + 11+ 1 5 10 + 4 + 14 + 3 + 36 + 50 + + 4 5 1 55 8,48 Mediana: 5 + 1 A mediana diz respeito ao valor da sequência ordenada na posição 13. Assim, observando o diagrama elaborado em 6.., conclui-se que ɶ 9. A modo é 10 euros, pois é o dado com maior frequência. Em síntese, 8,48 euros ; ɶ 9 euros; M o 10 euros. Capítulo 6 Página 11