UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA FACULDADE DE ENGENHARIA CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL

UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA FACULDADE DE ENGENHARIA CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL ANÁLISE NUMÉRICO EXPERIMENTAL DE SISTEMAS PASSIVOS DE AMORTECIMENTO DE VIBRAÇÃO EM ESTRUTURAS FABRICIO CASSARO FURTADO DE AZEVEDO JUIZ DE FORA FACULDADE DE ENGENHARIA DA UFJF 2011

ANÁLISE NUMÉRICO EXPERIMENTAL DE SISTEMAS PASSIVOS DE AMORTECIMENTO DE VIBRAÇÃO EM ESTRUTURAS Trabalho Final de Curso apresentado ao Colegiado do Curso de Engenharia Civil da Universidade Federal de Juiz de Fora, como requisito parcial à obtenção do título de Engenheiro Civil. Área de conhecimento: Dinâmica das estruturas Orientador: Prof. Flávio de Souza Barbosa, D.Sc. Co-orientador: Juiz de Fora Faculdade de Engenharia da UFJF 2011 i

ANÁLISE NUMÉRICO EXPERIMENTAL DE SISTEMAS PASSIVOS DE AMORTECIMENTO DE VIBRAÇÃO EM ESTRUTURAS FABRICIO CASSARO FURTADO DE AZEVEDO Trabalho Final de Curso submetido à banca examinadora constituída de acordo com o Artigo 9 do Capítulo IV das Normas de Trabalho Final de Curso estabelecidas pelo Colegiado do Curso de Engenharia Civil, como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Civil. Aprovado em: / / Por: Prof. Flávio de Souza Barbosa, D. Sc. Juiz de Fora Faculdade de Engenharia da UFJF 2011 ii

Agradecimentos Agradeço aos meus pais, por todos os conselhos, por todos os abraços, por todos os sorrisos, por serem verdadeiramente meus melhores amigos. Dedico a vocês mais esta vitória, obrigado por sempre acreditarem em mim e na minha capacidade. Agradeço à Aparecida e sua família por terem sido os primeiros a me acolher em Juiz de Fora. Fica guardada uma experiência de vida que, como filho único, não tive antes. Agradeço a Cláudia Guerra e família por todo carinho, toda atenção, todos os momentos inesquecíveis que tivemos juntos e por terem me acolhido como a um filho em sua casa. Agradeço aos amigos Felipe Rodrigues, Iuri Medeiros, Guilherme Bispo, Vinícius Carandina, Raphael Britto, Marcelo e Guilherme Fonseca, Silane Mattos, Thiago Thielman e Andressa Bittar pelos vários conselhos, trabalhos e histórias compartilhados ao longo desses 6 anos de faculdade, e pelas caronas e rodízios, que tornaram esse tempo em Juiz de Fora muito divertido. Agradeço a minha namorada Roberta de Freitas que mesmo de longe, me apoiou e me reconfortou nos últimos anos de faculdade, compartilhando todos os momentos bons e ruins, mesmo que de forma virtual. Te amo muito. E finalmente ao professor Flávio pela amizade, por todos os ensinamentos, explicações teóricas e práticas, pela enorme paciência, por mergulhar de cabeça junto com os alunos nesse mundo fantástico de coisas que a engenharia nos proporciona e pela confiança depositada em mim para concluir este trabalho. Meu primeiro emprego como engenheiro não teria acontecido não fosse por sua ajuda. Muitíssimo Obrigado. iii

Resumo do Trabalho de Final de Curso apresentado à Faculdade de Engenharia UFJF como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Bacharel em Engenharia Civil. ANÁLISE NUMÉRICO EXPERIMENTAL DE SISTEMAS PASSIVOS DE AMORTECIMENTO DE VIBRAÇÃO EM ESTRUTURAS Fabricio Cassaro Furtado de Azevedo Orientador: Flávio de Souza Barbosa Departamento: Mecânica Aplicada e Computacional Com o desenvolvimento dos métodos computacionais e das tecnologias construtivas, observa-se um aprimoramento dos cálculos estruturais, o que em muitos casos leva a estruturas, cada vez mais leves e esbeltas e consequentemente mais susceptíveis a vibrações excessivas. Estas vibrações, quando acentuadas, mostram-se inadequadas, seja do ponto de vista de redução da vida útil da estrutura, ou do ponto de vista da perda de conforto dos usuários. Neste cenário, as pesquisas na área de análise dinâmica e de sistemas de amortecimento para estruturas vem sendo desenvolvidas, visando reduzir as vibrações estruturais, aumentando suas durabilidades e diminuindo o desconforto para os usuários. Partindo destes pressupostos, este trabalho visa desenvolver sistemas de controle passivo do tipo frequência sintonizada. Para tanto, simulações numéricas/computacionais desses sistemas de controle de vibrações são realizadas, visando fornecer parâmetros que auxiliem na confecção de protótipos em escala reduzida. Desta forma, apresenta-se neste trabalho dois sistemas de controle que estão presentes em algumas estruturas reais: o absorsor de massa sintonizada e o absorsor pendular. São detalhadas todas as etapas envolvidas no projeto desses sistemas de controle, incluindo a modelagem computacional, a confecção dos protótipos no Laboratório de Resistência dos Materiais da UFJF e os testes experimentais dos protótipos desenvolvidos. iv

Sumário 1 INTRODUÇÃO... 1 2 DINÂMICA ESTRUTURAL... 6 2.1 Equações diferenciais de equilíbrio dinâmico para um problema de dois graus de liberdade conectados em série: SCP com massa mola sintonizados... 7 2.2 Equações diferenciais de equilíbrio dinâmico para um sistema de 1 grau de liberdade com pêndulo absorsor de vibrações... 8 2.3 Solução das equações diferenciais de equilíbrio dinâmico... 9 3 ANÁLISE DO SISTEMA DE CONTROLE PASSIVO COM MASSA SINTONIZADA... 11 3.1 Descrição do protótipo com apresentação da geometria e fotos... 11 3.2 Determinação dos parâmetros do modelo numérico da estrutura... 18 3.2.1 Massa m 1 da estrutura... 18 3.2.2 Rigidez k 1 (rigidez da estrutura)... 18 3.2.3 Coeficiente de amortecimento c 1... 19 3.3 Determinação dos parâmetros do modelo numérico do sistema de controle passivo.. 19 3.3.1 Massa m 2 do sistema... 19 3.3.2 Rigidez k 2 do sistema... 20 3.3.3 Coeficiente de amortecimento c 2 do sistema... 21 3.4 Resultados para sistema de controle massa-mola... 21 4 ANÁLISE DO SISTEMA DE CONTROLE PASSIVO DOTADO DE ABSORSOR PENDULAR... 23 4.1 Descrição do protótipo com apresentação da geometria e fotos... 23 4.2 Determinação dos parâmetros do modelo numérico da estrutura... 26 4.3 Determinação dos parâmetros do modelo numérico do sistema de controle dotado de absorsor pendular... 26 4.3.1 Massa m 2 do sistema... 26 4.3.2 Comprimento L do pêndulo do sistema de controle... 26 4.4 Resultados para sistema de controle dotado de absorsor pendular... 27 5 - CONCLUSÕES... 27 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 30 v

Lista de Figuras Figura 1: Foto da Ponte Rio-Niterói (Divulgação Ponte S.A.)... 2 Figura 2: SCP instalado na Ponte Rio-Niterói. Extraído de Battista (2001)... 3 Figura 3: Vistas do edifício Taipei 101, Taipei Taiwan (foto: divulgação).... 4 Figura 4: Vistas do sistema de amortecimento Edifício Taipei 101 (foto: divulgação).... 4 Figura 5: Shangai World Financial Center. (imagem: divulgação Mori Building).... 5 Figura 6: Detalhe do sistema de amortecimento ativo. (imagem: divulgação Mori Building).5 Figura 7: Modelo proposto para estruturas do tipo torre esbelta.... 7 Figura 8: Modelo de um sistema com 2 graus de liberdade.... 8 Figura 9: Modelo de um sistema dotado de pêndulo com 2 graus de liberdade PINHEIRO (1997).... 9 Figura 10: Maquete eletrônica da estrutura vista em perspectiva... 11 Figura 11: Partes constituintes do protótipo.... 12 Figura 12: Foto da haste do protótipo, exibindo as bases de ancoragem e de fixação soldadas.... 13 Figura 13: Detalhe da base de ancoragem com o parafuso de fixação e o conjunto de porcas e arruelas.... 13 Figura 14: Formato e dimensões da base de apoio (F) para os sistemas de amortecimento. 14 Figura 15: Detalhe das bases de fixação e de apoio, com o conjunto de parafusos, porcas e arruelas utilizadas.... 14 Figura 16: Dimensões projetadas para o protótipo.... 15 Figura 17: Projeto da massa do sistema massa-mola sintonizadas.... 15 Figura 18: Foto da massa ( carrinho ) utilizada no sistema massa-mola sintonizadas.... 16 Figura 19: Detalhe da massa e das molas, utilizadas no sistema massa-mola sintonizadas.. 16 Figura 20: Instalação da haste da estrutura na mesa de testes.... 17 Figura 21: Montagem da base dos sistemas de amortecimento na haste da estrutura.... 17 Figura 22: Estrutura com sistema de amortecimento massa-mola sintonizadas.... 18 Figura 23: Deslocamento x tempo - para vibrações livres da estrutura não controlada.... 19 Figura 24: Ensaio para determinação da constante elástica da mola (K)... 20 Figura 25: Deslocamento da massa do sistema de amortecimento massa-mola sintonizada desacoplado da estrutura.... 21 Figura 26: Comparação de respostas experimentais e numéricas para sistema não controlado.... 22 Figura 27: Comparação de respostas experimentais e numéricas para sistema controlado.. 22 Figura 28: Esquema do eixo de ligação entre os pêndulos.... 23 Figura 29: Foto mostrando a base de apoio, o eixo e as barras que serão utilizados no sistema absorsor pendular.... 24 Figura 30: Detalhe da montagem do eixo para o sistema absorsor pendular, sobre a base de apoio.... 24 Figura 31: Detalhe da fixação da haste do pêndulo ao eixo de ligação.... 25 vi

Figura 32: Protótipo dotado do sistema absorsor pendular.... 25 Figura 33: Detalhe da fixação da massa na ponta do pêndulo do sistema absorsor pendular.... 26 Figura 34: Comparação entre dados experimentais e numéricos para estrutura controlada via absorsor pendular.... 27 Figura 35: Comparação entre estrutura não controlada e controlada, via sistema massamola sintonizadas.... 28 Figura 36: Comparação entre estrutura não controlada e controlada, via absorsor pendular.... 29 Lista de Tabelas Tabela 1: Obtenção da constante elástica (k2) da mola....20 vii

1 INTRODUÇÃO Os avanços tecnológicos na área da construção civil, no que tange os métodos computacionais voltados à otimização estrutural e o surgimento de novos materiais e técnicas construtivas, permitem que sejam projetadas e edificadas estruturas cada vez mais altas e esbeltas. Esta esbeltez pode ser entendida como função de fatores estéticos e econômicos que se quer atingir (PINHEIRO, 1997 e ALMEIDA, 2005). Estas estruturas estão sujeitas, durante sua construção e utilização, a carregamentos estáticos e dinâmicos. Dentre os carregamentos estáticos pode-se citar o peso próprio da estrutura. Como carregamentos dinâmicos tem-se cargas de vento, abalos sísmicos, tráfego de veículos, entre outros que apresentem alteração na intensidade ou no ponto de aplicação sobre a estrutura ao longo do tempo. Como consequente resultado da maior esbeltez estrutural que se observa nos dias de hoje e dos carregamentos que atuam nas estruturas, observa-se que tem aumentado o número de casos de construções com problemas dinâmicos de vibrações excessivas (PINHEIRO, 1997). Pensando na redução das vibrações sofridas por estas estruturas é que se desenvolveram sistemas auxiliares de absorção de vibrações que são introduzidos diretamente nos componentes estruturais durante a construção, como elementos sanduíche visco-elásticos (BARBOSA, 2000), bem como sistemas aerodinâmicos (PINHEIRO, 1997), ou em forma de sistemas mecânicos acoplados à estrutura, como os do tipo massa-mola sintonizadas (MOUTINHO, 2004, PINHEIRO, 1997 e BATTISTA, 2002) e os absorsores pendulares (PINHEIRO, 1997). Os sistemas mecânicos acoplados, que serão o foco deste trabalho, podem ser classificados segundo dois tipos: passivos ou ativos. No caso de sistemas de controle passivos (SCP), sua atuação está condicionada às respostas do sistema principal que induzem forças inerciais, forças de amortecimento viscoso e forças elásticas que se contrapõe à vibração da estrutura, objetivando a redução de vibrações, sem que haja introdução de energia no sistema. Já os sistemas de controle ativo (SCA), contam com a introdução de força externa através de 1

excitadores eletro-magnético-mecânicos ou hidráulicos para que as forças de controle geradas, apresentem melhor desempenho em comparação aos sistemas de controle passivo. Na prática, observa-se a utilização destes sistemas em grandes construções, no exterior e em algumas construções nacionais. Pode-se citar como exemplos de estruturas que utilizam sistemas de amortecimento, a ponte Rio-Niterói (Figura 1), que apresenta um sistema múltiplos atenuadores passivos dinâmicos sincronizados (BATTISTA, 2001) introduzidos no interior das vigas caixões (Figura 2). Figura 1: Fotos da Ponte Rio-Niterói (Divulgação Ponte S.A.) 2

(c) Figura 2: SCP instalado na Ponte Rio-Niterói. Extraído de Battista (2001) (a) vista da seção transversal; (b) modelo da estrutura; (c) Imagem sintética do sistema de controle instalado. Outro exemplo é o edifício Taipei 101, situado em Taipei, capital de Taiwan com 509 m de altura (Figura 3). Este edifício possui o maior e mais pesado sistema de amortecimento passivo do mundo, composto de um pêndulo com uma massa feita de placas metálicas totalizando 660 toneladas, sendo o amortecedor visível ao público (Figura 4). Com o uso deste SCP, os projetistas do edifício afirmam que o prédio é capaz de suportar terremotos de até 7 graus na escala Richter e ventos de mais de 450 km/h pois o absorsor pendular reduz em 60% os efeitos dinâmicos dos tremores na estrutura. 3

Figura 3: Vistas do edifício Taipei 101, Taipei Taiwan (foto: divulgação). Figura 4: Vistas do sistema de amortecimento Edifício Taipei 101 (foto: divulgação). E finalmente, tratando-se de sistema de amortecimento híbrido, ou seja, ativo e passivo, pode-se citar o edifício Shangai World Financial Center, em Shangai Sul da China com 492m 4

de altura (Figura 5). Este prédio possui um sistema de amortecimento com uma massa de 150 toneladas ligada a um sistema de amortecedores e a um motor que controla sua posição, que em conjunto reduzem em 40% a vibração no topo da estrutura. Esta edificação conta ainda com um sistema que detecta a carga de vento instantânea e a vibração da estrutura, tornando o sistema mais eficaz (Figura 6). (FIGUEROLA, 2003). Figura 5: Shangai World Financial Center. (imagem: divulgação Mori Building). Figura 6: Detalhe do sistema de amortecimento ativo. (imagem: divulgação Mori Building). 5

Neste trabalho são analisados, através de estudos técnicos de seus comportamentos dinâmicos, da criação de protótipos físicos destes e das suas modelagens computacionais, dois tipos de sistemas mecânicos de controle passivo, o massa-mola sintonizadas e o absorsor pendular. Estes sistemas são acoplados a uma estrutura em escala reduzida, que simula o comportamento de estruturas altas e esbeltas, como arranha-céus ou torres de telecomunicações (PINHEIRO, 1997), com intuito de se obter a redução das vibrações. Foram realizados estudos, acerca da modelagem dos sistemas de amortecimento, dos carregamentos dinâmicos e da solução da equação diferencial de equilíbrio dinâmico. Estas equações são resolvidas ora de forma analítica, ora de forma aproximada por método incremental depois de simplificações das equações de movimento, utilizando o método das diferenças finitas. Neste trabalho, são abordados o dimensionamento e o detalhamento dos protótipos dos sistemas de controle passivo analisados. Nos capítulos de resultados e discussões (capítulos 3 e 4), foram avaliados os resultados obtidos numérica e experimentalmente para os dois protótipos. Foi feita ainda, a comparação dos resultados obtidos experimentalmente para os sistemas com e sem controle, verificando a eficiência dos dois sistemas de redução de vibrações. Finalmente, são apresentadas as conclusões e algumas sugestões para aperfeiçoamento dos protótipos e para trabalhos futuros. 2 DINÂMICA ESTRUTURAL Segundo BARBOSA (2006), existem duas diferenças básicas entre um problema estático e um dinâmico. A primeira refere-se ao fato de que o carregamento num problema dinâmico varia com o tempo. A segunda, e mais importante diferença, é o aparecimento das forças inerciais. Partindo-se destas características, percebe-se que o uso da análise dinâmica em contrapartida a análise estática, se faz necessária nas ocasiões onde os carregamentos dinâmicos geram vibrações na estrutura, com acelerações elevadas, a ponto de gerar forças inerciais consideráveis. Segundo PINHEIRO (1997), enquadram-se nestes casos, as estruturas 6

tipo torre, os arranha-céus esbeltos, pontes e outras estruturas arrojadas, onde a análise dinâmica não pode ser desconsiderada, devido principalmente aos efeitos de fadiga estrutural e ao desconforto gerado aos usuários. Visando então compreender o comportamento dinâmico estrutural, nos próximos itens são analisadas as equações diferenciais que regem o comportamento dinâmico dos sistemas abordados neste trabalho. Como hipótese básica simplificadora, admite-se que o comportamento dinâmico das estruturas analisadas pode ser descrito por apenas um grau de liberdade generalizado. Esta hipótese é válida nos casos em que a estrutura analisada vibra de forma predominante em uma única frequência de vibração. 2.1 Equações diferenciais de equilíbrio dinâmico para um problema de dois graus de liberdade conectados em série: SCP com massa mola sintonizados Este SCP pode ser empregado em edifícios altos e esbeltos. A Figura 7 mostra, de forma esquemática, uma estrutura real, um protótipo que visa simular seu comportamento dinâmico e um modelo com 2 graus de liberdade, onde o grau de liberdade está associado ao deslocamento horizontal no topo da estrutura e o grau de liberdade está associado ao SCP acoplado. Figura 7: Modelo proposto para estruturas do tipo torre esbelta. Considerando o sistema estrutura-amortecedor como dois graus de liberdade conectados em série, como mostrado na Figura 8, tem-se a equação matricial de equilíbrio dinâmico expressa na equação 2.1, (BARBOSA, 2006), desprezando-se os esforços de atrito. 7

... MX + CX + KX = F (2.1) Onde: é a matriz de massa do sistema, sendo m 1 e m 2, respectivamente as massas associadas à estrutura e a o controlador passivo; C = é a matriz de amortecimento, sendo c 1 e c 2, respectivamente, os coeficientes de amortecimento viscoso k relativos à estrutura e ao amortecedor; 1 +k 2 -k 2 é a matriz de rigidez do sistema, -k 2 k 2.... x 1 sendo k 1 e k 2, respectivamente a rigidez relativa à estrutura e ao controlador;.., x 1. x 2. X = { }. e, são os vetores de aceleração (1), velocidades (2) e deslocamentos, respectivamente, sendo x 1 e x 2 os deslocamentos das massas m 1 e m 2, respectivamente; e f F ={ 1 f 2 } e 2 respectivamente. m 1 0 M = [ 0 m 2 ] x X = { 1 } x 2 K = [ ] c [ 1 +c 2 -c 2 ] -c 2 c 2 X = { } o vetor de força aplicados, sendo f 1 e f 2 as forças aplicadas nos graus de liberdade 1 x 2 Figura 8: Modelo de um sistema com 2 graus de liberdade. 2.2 Equações diferenciais de equilíbrio dinâmico para um sistema de 1 grau de liberdade com pêndulo absorsor de vibrações Considerando o sistema estrutura-pêndulo absorsor como dois graus de liberdade conectados conforme mostrado na Figura 9, tem-se a equação matricial de equilíbrio dinâmico que expressa na equação 2.2, (PINHEIRO, 1997). (1).. d²x x = dt² (2) (2). dx x = dt 8

x.. x. x... θ θ θ M{ }+ C { }+ K { }= F (2.2) θ m 1 + m 2 m 2 L Onde: M = [ m 2 L m 2 L ] 2 é a matriz de massa do sistema, sendo m 1 e m 2, respectivamente as massas associadas à estrutura e ao controlador passivo e L o comprimento 0 0 do pêndulo; C = [ 0 c ] é a matriz de amortecimento, onde c é o coeficiente de k 0 amortecimento viscoso relativo à estrutura; K = [ 0 mgl ] é a matriz de rigidez do sistema,... x x x sendo k e g respectivamente a rigidez da estrutura e a aceleração da gravidade; {.., e θ }{. θ } θ são os vetores de aceleração (3), velocidades (4) e deslocamentos, respectivamente, sendo x o f F ={ 1 } deslocamento linear da estrutura e o deslocamento angular do pêndulo; e o vetor de força aplicados, sendo f 1 e f 2 as forças aplicadas nos graus de liberdade θ θ 1 e θ 2 respectivamente. f 2 { } Figura 9: Modelo de um sistema dotado de pêndulo com 2 graus de liberdade PINHEIRO (1997). 2.3 Solução das equações diferenciais de equilíbrio dinâmico Neste trabalho a integração numérica das equações diferenciais de equilíbrio dinâmico é feita através de um método explícito para o qual se exprime as derivadas temporais dos deslocamentos por aproximações discretas obtidas via método das diferenças finitas (BARBOSA, 2006). d²x (3).... x = dt² ; θ = (4) (4). dx. x = ; θ = dt d²θ dt² dθ dt 9

Assim sendo, para uma variável x(t), aproxima-se suas derivadas primeira e segunda com relação ao tempo para o t = t i, conforme equações 2.3 e 2.4, respectivamente:.. x(t x(t i+1 ) - 2x(t i ) + x(t i+1 ) i ) Δt 2. x(t i ) x(t i+1 ) - x(t i-1 ) 2Δt (2.3) (2.4) Onde Δt é intervalo de tempo entre o tempo t i e t i+1, i (conjunto dos inteiros positivos), considerando-se uma discretização temporal igualmente espaçada. Desenvolvendo as equações 2.1 e 2.2 para as derivadas temporais aproximadas pelas equações 2.3 e 2.4, pode-se chegar às equações 2.5 e 2.6, respectivamente. Nestas equações, tem-se de forma explicita, os valores das variáveis de estado dos modelos calculados para um instante de tempo t = t i+1 em função dos parâmetros dos modelos, do passo da discretização temporal (Δt) e dos valores de estado para os instantes t = t i-1 e t = t i. x i+1 1 = (8m 2 m 1 x i 1 4m 2 m 1 x i-1 1 4m 2 Δt 2 x i 1 k 1 + 2Δtc 2 x i-1 1 m 2 + c 2 Δt 2 c 1 x i-1 1 + + 2Δtx i-1 1 c 1 m 2 + 4k 2 x i 2 Δt 2 m 2 4x i 1 Δt 2 k 2 m 2 + 4c 2 Δtm 1 x i 1 2c 2 Δtm 1 x i-1 1 2c 2 Δt³x i 1 k 1 + 4c 2 Δtm 2 x i 2 4c 2 Δtm 2 x i-1 2 ) / (4m 1 m 2 + 2c 2 Δtm 2 + Δt²c 1 c 2 + + 2m 1 c 2 Δt + 2Δtc 1 m 2 ) x 1+1 2 = (8m 1 m 2 x i 2 + 2Δt³c 1 x i 1 k 2 + 4c 2 Δtm 1 x i 1 4c 2 Δtm 1 x i-1 1 2c 2 Δt³x i 1 k 1 + + 4m 1 x i 1 Δt²k 2 + 4c 2 Δtm 2 x i 2 2c 2 Δtm 2 x i-1 2 2Δt³c 1 k 2 x i 2 4m 1 m 2 x i-1 2 + 4Δtc 1 m 2 x i 2 2Δtc 1 m 2 x i-1 2 4m 1 k 2 x i 2 Δt² + Δt²c 1 c 2 x i-1 2 + 2m 1 c 2 Δtx i-1 2 ) / (4m 1 m 2 + 2c 2 Δtm 2 + + Δt²c 1 c 2 + 2m 1 c 2 Δt + 2Δtc 1 m 2 ) (2.5) x i+1 = ( 2m 1 x i-1 m 2 L² + m 1 x i-1 C p Δt 4m 1 x i m 2 L² 2m 1 x i C p Δt + + 2m 2 LC p Δtθ i-1 + 2kx i Δt²m 2 L² 2x i m 2 C p Δt 2m 2 L²gθ i Δt² 2m 2 Lθ i C p Δt + + x i-1 m 2 C p Δt + kx i Δt³C p )/(2m 1 m 2 L² + m 1 C p Δt + m 2 C p Δt ) θ i+1 = ( -2m 1 m 2 L²θ i-1 + 4m 1 m 2 L²θ i + m 2 C p Δtθ i-1 + m 1 C p Δtθ i-1 2m 1 m 2 glθ i Δt² 2m 2 ²gLθ i Δt² + 2m 2 Lkx i Δt² )/( 2m 1 m 2 L² + m 1 C p Δt + m 2 C p Δt ) 10 (2.6)

Assim sendo, uma vez conhecida as condições iniciais do sistema (deslocamento inicial e velocidade inicial) é possível, através de um procedimento incremental, calcular os vetores que aproximam de forma discreta os valores das funções que descrevem o comportamento dinâmico dos sistemas analisados. Por exemplo, para um sistema que parte do repouso e com deslocamento inicial zero, tem-se para o conjunto de equações 2.5. x 0 1 = 0 ; x 1 1 = 0 (2.7) x 0 2 = 0 ; x 1 2 = 0 (2.8) Substituindo as equações 2.7 e 2.8 nas equações 2.5 pode-se calcular x 1 2 e x 2 2, que por sua vez, possibilitam o calculo de x 1 3 e x 2 3, e assim sucessivamente. 3 ANÁLISE DO SISTEMA DE CONTROLE PASSIVO COM MASSA SINTONIZADA 3.1 Descrição do protótipo com apresentação da geometria e fotos Para se analisar os SCP apresentados neste trabalho, foi desenvolvido o protótipo de uma estrutura, a qual pudessem ser acoplados os sistemas de amortecimento Figura 10. Figura 10: Maquete eletrônica da estrutura vista em perspectiva. 11

Figura 11: Partes constituintes do protótipo. Como visto na Figura 11, o protótipo é composto de uma haste de aço (C) colocada na vertical engastada na sua base numa mesa de ensaios pelo parafuso de fixação (B), e com a outra extremidade livre. Adotou-se uma seção transversal retangular para a haste (C) de (30 mm x 4 mm) e comprimento de 850 mm, afim de que as vibrações aconteçam predominantemente através da flexão em torno do eixo de menor momento de inércia. Foram previstas duas bases para a estrutura, uma base de ancoragem (A) para garantir o engastamento da estrutura à mesa de ensaios. E a base de fixação (E) para prender a base de apoio (F) do sistema de amortecimento à estrutura, através dos parafusos (G) com diâmetro de 5 mm. A base de ancoragem (A) foi dotada de um parafuso (B) com diâmetro de 10 mm e comprimento de 230 mm. As bases de fixação (E) e de apoio (F) foram dotadas de 4 furos cada, com diâmetro de 5 mm, possibilitando que as duas sejam conectadas por meio dos 12

parafusos (G). Foram previstas ainda 4 cantoneiras triangulares (D) com lado de 50 mm, juntando as bases (A) e (B) à haste (C), garantindo a ligação sólida entre haste e bases. Figura 12: Foto da haste do protótipo, exibindo as bases de ancoragem e de fixação soldadas. Figura 13: Detalhe da base de ancoragem com o parafuso de fixação e o conjunto de porcas e arruelas. Levando-se em consideração que a base de apoio (F) deverá suportar uma massa e molas ligadas a esta, e permitir certa amplitude de deslocamento desta massa, adotou-se as medidas para a base (F) conforme o esquema da Figura 14. 13

Figura 14: Formato e dimensões da base de apoio (F) para os sistemas de amortecimento. Figura 15: Detalhe das bases de fixação e de apoio, com o conjunto de parafusos, porcas e arruelas utilizadas. protótipo. A Figura 16 a seguir, representa de forma sintetizada as dimensões projetadas para o 14

Figura 16: Dimensões projetadas para o protótipo. A massa do sistema de controle foi projetada como um carrinho dotado de rolamentos para diminuir o atrito com a base (Figura 17). Foi dotado ainda de um sistema de ancoragem similar ao da base de apoio (F), para inserção das molas. E finalmente um pequeno parafuso com 9 mm de diâmetro e 80 mm de comprimento, que servirá de eixo para adicionar placas metálicas para ajuste fino da massa. Figura 17: Projeto da massa do sistema massa-mola sintonizadas. 15

Figura 18: Foto da massa ( carrinho ) utilizada no sistema massa-mola sintonizadas. Figura 19: Detalhe da massa e das molas, utilizadas no sistema massa-mola sintonizadas. 16

Figura 20: Instalação da haste da estrutura na mesa de testes. Figura 21: Montagem da base dos sistemas de amortecimento na haste da estrutura. 17

Figura 22: Estrutura com sistema de amortecimento massa-mola sintonizadas. 3.2 Determinação dos parâmetros do modelo numérico da estrutura 3.2.1 Massa m 1 da estrutura Considerada como a soma da massa da chapa metálica do topo da haste (base de apoio F) com 70% da massa da haste, (BATTISTA, 2002). Assim sendo, 3,51 kg + 70% x 1,08 kg obtendo-se m 1 = 4,27 kg. 3.2.2 Rigidez k 1 (rigidez da estrutura) Através de um ensaio em vibrações livres da haste com a base de apoio F com carregamento inicial imposto, obteve-se a freqüência natural do sistema ω 1 = 0,971 Hz x 2π = 6,10 rad/s. Sabendo-se que ω 1 = k 1 / m1, para m 1 já conhecida, obteve-se o valor de k 1 = 158,74 N/m. Os resultados desse ensaio de vibrações livres são mostrados no gráfico da Figura 23. 18

Figura 23: Deslocamento x tempo - para vibrações livres da estrutura não controlada. 3.2.3 Coeficiente de amortecimento c 1 Também através do ensaio de vibrações livres, aplicando a equação 2.9 é possível determinar o coeficiente de amortecimento ξ 1 = 0,4 %. Sabendo-se que c 1 = 2ξ 1 ω 1 m 1, tem-se c 1 = 0,206, uma vez que: ξ = 1 / 2π. ln u p /uq (2.9) Onde u p e u q são dois valores de máximo local consecutivos no Figura 23, respectivamente. 3.3 Determinação dos parâmetros do modelo numérico do sistema de controle passivo 3.3.1 Massa m 2 do sistema Definida como aproximadamente 10% da massa m 1. Esta recomendação consta em Battista (2002). 19

3.3.2 Rigidez k 2 do sistema Após diversas simulações numéricas obtidas através das equações 2.5, onde os valores para k 2 foram tomados num intervalo entre 10 e 200 N/m, adotou-se para k 2 o valor que resultou no melhor desempenho para o sistema de controle, o que foi obtido para k 2 = 50 N/m. A constante elástica k 2 da mola, foi obtida através da medição da mola em estado de repouso e depois quando submetida a um carregamento conhecido. Com a diferença entre estas duas medidas, obteve-se o alongamento Δx. Com isso, utiliza-se a equação k 2 = F / Δx para obter a constante elástica (Figura 24). Figura 24: Ensaio para determinação da constante elástica da mola (k 2 ). A Tabela 2 apresenta os resultados obtidos no ensaio de determinação da constante elástica da mola. Tabela 2: Obtenção da constante elástica (k 2 ) da mola. Comprimento da mola Alongamento Constante elástica F 1 = 0 kgf F 2 = 0,290 kgf = 2,9 N Δx k 2 = F / Δx 0,06 m 0,11 m 0,05 m 58 N/m 20

3.3.3 Coeficiente de amortecimento c 2 do sistema Para um ensaio de vibrações livres com deslocamentos iniciais impostos para o sistema massa-mola amortecidos relativo ao controlador passivo desacoplado da estrutura e aplicando a equação 2.9, obteve-se ξ 2 = 4,86 %, o que fornece c 2 = 1,00. Os resultados desse ensaio de vibrações livres são mostrados no gráfico da Figura 25. Figura 25: Deslocamento da massa do sistema de amortecimento massa-mola sintonizada desacoplado da estrutura. 3.4 Resultados para sistema de controle massa-mola De posse dos parâmetros do modelo computacional e de resultados experimentais os gráficos da Figura 26 e Figura 27 foram construídos. 21

Figura 26: Comparação de respostas experimentais e numéricas para sistema não controlado. Figura 27: Comparação de respostas experimentais e numéricas para sistema controlado. 22

4 ANÁLISE DO SISTEMA DE CONTROLE PASSIVO DOTADO DE ABSORSOR PENDULAR 4.1 Descrição do protótipo com apresentação da geometria e fotos Para o dimensionamento do sistema absorsor pendular, levou-se em consideração o exposto por PINHEIRO (1997). Foram projetados dois pêndulos conectados por um eixo central de ligação que os força a oscilar de forma sincronizada (Figura 28). Assim, pode-se considerar o sistema como sendo de dois graus de liberdade. Figura 28: Esquema do eixo de ligação entre os pêndulos. 23

Figura 29: Foto mostrando a base de apoio, o eixo e as barras que serão utilizados no sistema absorsor pendular. O eixo central de ligação entre os pêndulos foi apoiado em dois rolamentos com 28mm de diâmetro, que foram soldados à base do sistema de amortecimento, permitindo a oscilação com um mínimo de atrito. Figura 30: Detalhe da montagem do eixo para o sistema absorsor pendular, sobre a base de apoio. 24

Figura 31: Detalhe da fixação da haste do pêndulo ao eixo de ligação. Figura 32: Protótipo dotado do sistema absorsor pendular. 25

Figura 33: Detalhe da fixação da massa na ponta do pêndulo do sistema absorsor pendular. 4.2 Determinação dos parâmetros do modelo numérico da estrutura A estrutura utilizada foi a mesma do exemplo anterior Capítulo 3.2. Assim sendo temos: m 1 = 4,27 kg; ω 1 = 6,10 rad/s; k 1 = 158,74 N/m; ξ 1 = 0,4 %; c 1 = 0,206. 4.3 Determinação dos parâmetros do modelo numérico do sistema de controle dotado de absorsor pendular 4.3.1 Massa m 2 do sistema Definida como aproximadamente 10% da massa m 1. Esta recomendação consta em Battista (2002). 4.3.2 Comprimento L do pêndulo do sistema de controle Através de simulações numéricas obtidas através das equações 2.6 onde os valores para L foram tomados num intervalo entre 200 e 700 mm, adotou-se para L o valor que resultou no melhor desempenho para o sistema de controle, o que foi obtido para L = 700 mm. 26

4.4 Resultados para sistema de controle dotado de absorsor pendular Figura 34: Comparação entre dados experimentais e numéricos para estrutura controlada via absorsor pendular. 5 - CONCLUSÕES Através da análise comparativa dos resultados numéricos e experimentais obtidos, da estrutura controlada e não controlada, verifica-se que o protótipo projetado com atuação do sistema de redução de vibrações massa-mola sintonizadas, atingiu os objetivos esperados, reduzindo significativamente a vibração da estrutura, e que o sistema dotado de absorsor pendular, embora tenha apresentado uma parcela de redução de vibração, estas reduções ficaram abaixo do esperado. Verifica-se pela análise do gráfico da Figura 35, que houve uma redução significativa das vibrações experimentadas pela estrutura quando dotada do sistema de redução de vibrações do tipo massa-mola sintonizadas. Em um intervalo de 13 segundos obteve-se redução de 83% na amplitude das vibrações, passando de 15 cm a 2,5 cm, contra redução de 26% para o sistema não controlado. 27

Figura 35: Comparação entre estrutura não controlada e controlada, via sistema massamola sintonizadas. Observa-se que após 13 segundos o sistema massa-mola sintonizadas não atua mais, devido principalmente a ação de forças de atrito entre a massa e a base, que impedem a movimentação adequada do sistema. Isto pode ser verificado pela diferença encontrada entre os dados experimentais e numéricos (Figura 27). Para o sistema dotado de absorsor pendular, encontrou-se dificuldades em sintonizar a frequência natural de vibração do pêndulo com a da estrutura. Foram adotados a princípio os parâmetros de dimensionamento calculados através da análise do modelo numérico das equações 2.6. Porém, a utilização destes parâmetros de massa e de comprimento do pêndulo, não resultaram reduções de vibração para a estrutura. Sendo observado, que a vibração ficou variando entre a estrutura e o pêndulo de forma oscilatória, sem que houvesse redução considerável. Durante os ensaios o pêndulo apresentou vibrações com frequências altas, o que não é desejável, pois significa que o modelo proposto para análise numérica não representa bem a realidade. Estas frequências observadas podem estar associadas a vibrações secundárias ou em direção diferente a da vibração principal, devido a baixa rigidez da haste que constitui o pêndulo e a erros construtivos e de concepção do protótipo. Então partiu-se para ensaios com variação das massas, do comprimento e material das hastes do pêndulo, a fim de que se conseguisse sintonizar as frequências. Porém este ajuste não alcançou a precisão desejada e o pêndulo projetado não apresentou resultado de redução de vibração satisfatório (Figura 36), não alcançando a performance verificada nas análises numéricas (Figura 34). 28

Figura 36: Comparação entre estrutura não controlada e controlada, via absorsor pendular. 29

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