O GPS E A TEORIA DA RELATIVIDADE

O GPS E A TEORIA DA RELATIVIDADE JOSÉ NATÁRIO 1. Introdução Dos muitos milagres tenológios de que dispomos no séulo XXI, e que teriam sem dúvida pareido magia a gerações passadas, existe um que mudou ompletamente a forma omo nos orientamos à superfíie do planeta Terra: o Sistema de Posiionamento Global, ou GPS na sigla inglesa (de Global Positioning System). O seu apareimento alterou a forma omo se navega, omo se onduzem guerras, e até os mapas (que se julgavam rigorosos) de idades tão artografadas nos últimos séulos omo Paris ou Nova Iorque. O seu funionamento é quase uma epítome da iênia e engenharia modernas: baseia-se num sistema de satélites (engenharia aeroespaial) que emitem sinais de rádio (engenharia de teleomuniações), ujo tempo de propagação é medido por relógios atómios (Meânia Quântia) tão preisos que requerem orreções devidas à dilatação do tempo (Teoria da Relatividade), sendo o álulo da posição realizado em tempo real por um aparelho que abe na palma da mão (engenharia de omputadores). Por detrás disto tudo está, laro, a Matemátia. Neste apítulo expliaremos o funionamento geral do GPS, e a Matemátia, muito simples, da determinação da posição do reeptor a partir dos sinais dos satélites. Depois analisaremos duas das orreções mais interessantes que é neessário apliar no álulo da posição orreta: as orreções devidas à dilatação do tempo para relógios em movimento (que é uma onsequênia simples da invariânia da veloidade da luz e do Teorema de Pitágoras) e para relógios num ampo gravitaional. Este exemplo ilustra não só o papel entral desempenhado pela Matemátia na ompreensão do mundo natural, mas também a importânia da iênia fundamental: assuntos ujo interesse iniial é meramente teório aabam por, mais tarde ou mais edo, enontrar apliações prátias relevantes, e em geral imprevisíveis. 2. GPS Hoje em dia, o uso do Sistema de Posiionamento Global é generalizado. Por menos de 100 euros, é possível adquirir um reeptor de GPS (Figura 1), apaz de indiar a sua posição exata em qualquer ponto da superfíie da Terra. Muitos objetos de uso orrente, desde telemóveis a automóveis, vêm já equipados om estes aparelhos. Além das apliações ivis e militares óbvias, da aviação à artografia, o GPS tem apliações ientífias importantes, omo por exemplo a medição do movimento de falhas geológias durante tremores de terra; deu ainda origem a atividades rereativas ompletamente novas, omo o popular jogo geoahing. Figura 1. Reeptor de GPS (fonte: TomTom). 1

2 JOSÉ NATÁRIO 2.1. Ideia básia. A ideia básia do GPS é muito simples: existe uma frota ( onstelação na terminologia do GPS) de satélites em órbita ao redor da Terra, que onheem as suas órbitas om enorme exatidão, e transportam a bordo relógios atómios muito preisos (Figura 2). Periodiamente, um sinal de rádio é emitido por ada satélite, no qual este india a hora exata que mara o seu relógio, bem omo a sua posição nesse preiso instante. Figura 2. Constelação de satélites do GPS (fonte: NASA). Suponhamos que num dado instante t o reeptor de GPS reebe sinais de três satélites. O sinal do primeiro satélite india que este se enontrava na posição (x 1,y 1,z 1 ) no instante t 1. Se for a veloidade da luz, o sinal de rádio terá viajado uma distânia (t t 1 ). Deste modo, o reeptor sabe que a sua posição (x,y,z) se enontra na superfíie esféria de raio (t t 1 ) entrada no ponto (x 1,y 1,z 1 ), ou seja, é uma solução da equação (x x 1 ) 2 +(y y 1 ) 2 +(z z 1 ) 2 = (t t 1 ) 2. Da mesma forma, se o segundo satélite omunia que se enontrava na posição (x 2,y 2,z 2 ) no instante t 2, o reeptor onlui que se enontra algures na superfíie esféria de equação (x x 2 ) 2 +(y y 2 ) 2 +(z z 2 ) 2 = (t t 2 ) 2. Estas duas superfíies esférias intersetam-se numa irunferênia 1. De fato, subtraindo as equações obtemos 2(x 1 x 2 )x+2(y 1 y 2 )y +2(z 1 z 2 )z = I 12, onde I 12 = x 1 2 +y 1 2 +z 1 2 (t t 1 ) 2 x 2 2 y 2 2 z 2 2 + (t t 2 ) 2. Esta equação é a equação de um plano, que interseta as duas superfíies esférias numa irunferênia omum. Finalmente, se o tereiro satélite india que se enontrava no ponto (x 3,y 3,z 3 ) no instante t 3, o reeptor sabe que está algures na superfíie esféria de equação ou, equivalentemente, no plano de equação (x x 3 ) 2 +(y y 3 ) 2 +(z z 3 ) 2 = (t t 3 ) 2, 2(x 1 x 3 )x+2(y 1 y 3 )y +2(z 1 z 3 )z = I 13, 1 Ignoramos o aso espeial em que as superfíies esférias se intersetam num únio ponto, isto é, são tangentes; na prátia, esta situação nuna oorre.

O GPS E A TEORIA DA RELATIVIDADE 3 om I 13 = x 1 2 +y 1 2 +z 1 2 (t t 1 ) 2 x 3 2 y 3 2 z 3 2 + (t t 3 ) 2. É agora imediata a onlusão que as três superfíies esférias se intersetam em dois pontos (Figura 3): de fato, os dois planos intersetam-se numa reta, que por sua vez interseta a primeira superfíie esféria em dois pontos. Matematiamente, o reeptor resolve o sistema de três equações quadrátias (x x 1 ) 2 +(y y 1 ) 2 +(z z 1 ) 2 = (t t 1 ) 2 (x x 2 ) 2 +(y y 2 ) 2 +(z z 2 ) 2 = (t t 2 ) 2 (x x 3 ) 2 +(y y 3 ) 2 +(z z 3 ) 2 = (t t 3 ) 2 ou, equivalentemente, o sistema de uma equação quadrátia e duas equações lineares (x x 1 ) 2 +(y y 1 ) 2 +(z z 1 ) 2 = (t t 1 ) 2 2(x 1 x 2 )x+2(y 1 y 2 )y +2(z 1 z 2 )z = I 12 2(x 1 x 3 )x+2(y 1 y 3 )y +2(z 1 z 3 )z = I 13 obtendo duas soluções possíveis para a sua posição. Em geral, apenas uma destas soluções se enontra sobre a superfíie da Terra, e essa será a verdadeira posição. Alternativamente, o sinal de um quarto satélite pode ser utilizado para remover a ambiguidade. Figura 3. Interseção de três superfíies esférias. 2.2. Corrigindo o tempo. O mundo real é sempre mais ompliado que as nossas idealizações. A ideia do funionamento do reeptor de GPS desrita anteriormente presume que o relógio do reeptor é sufiientemente preiso, mas na realidade os únios relógios sufiientemente preisos para uso no GPS são os relógios atómios, ujo usto é de muitos milhares de euros. A razão da neessidade de tal preisão é simples de ompreender: o GPS funiona medindo o tempo que os sinais de rádio demoram a viajar dos satélites até ao reeptor. Os sinais de rádio viajam à veloidade da luz, 300.000 quilómetros por segundo, ou seja, era de 30 entímetros por nanosegundo (1 nano-segundo orresponde a 10 9 segundos). Assim, para que a medição da posição tenha uma preisão de 5 metros, por exemplo, é neessário que a medição do intervalo de tempo tenha uma preisão de 15 nano-segundos. Felizmente, não é neessário pagar muitos milhares de euros por um reeptor de GPS: basta que o reeptor use os sinais de quatro satélites, e resolva o orrespondente sistema de equações (x x 1 ) 2 +(y y 1 ) 2 +(z z 1 ) 2 = (t t 1 ) 2 (x x 2 ) 2 +(y y 2 ) 2 +(z z 2 ) 2 = (t t 2 ) 2 (x x 3 ) 2 +(y y 3 ) 2 +(z z 3 ) 2 = (t t 3 ) 2 (x x 4 ) 2 +(y y 4 ) 2 +(z z 4 ) 2 = (t t 4 ) 2

4 JOSÉ NATÁRIO em ordem às variáveis (x,y,z,t). Desta forma, não só obtém uma posição (x,y,z) uja preisão é determinada pela preisão dos relógios atómios a bordo dos satélites, omo pode ainda ele próprio ser utilizado omo um relógio atómio muito preiso! O sistema de equações quadrátias aima orresponde à interseção de quatro hipersuperfíies ónias em R 4, e pode ser substituido pelo sistema de uma equação quadrátia e três equações lineares (x x 1 ) 2 +(y y 1 ) 2 +(z z 1 ) 2 = (t t 1 ) 2 2(x 1 x 2 )x+2(y 1 y 2 )y +2(z 1 z 2 )z 2 (t 1 t 2 )t = J 12 2(x 1 x 3 )x+2(y 1 y 3 )y +2(z 1 z 3 )z 2 2 (t 1 t 3 )t = J 13 2(x 1 x 4 )x+2(y 1 y 4 )y +2(z 1 z 4 )z 2 (t 1 t 4 )t = J 14 onde agora J 12 = x 2 1 +y 2 1 +z 2 1 t 2 1 x 2 2 y 2 2 z 2 2 + t 2 2, e analogamente para J 13 e J 14. O novo sistema orresponde à interseção de uma hipersuperfíie ónia e três hiperplanos. Os hiperplanos intersetam-se numa reta, que por sua vez interseta a hipersuperfíie ónia em dois pontos (Figura 4). O reeptor obtém assim duas possibilidades para a sua posição, esolhendo então aquela que orresponde a um ponto da superfíie da Terra. Alternativamente, o sinal de um quinto satélite pode ser utilizado para remover a ambiguidade. Figura 4. Interseção de uma reta om uma superfíie ónia. Um detalhe ténio final é que (obviamente) os sinais dos satélites não são reebidos no mesmo instante exato t. Suponhamos que o sinal do primeiro satélite é reebido quando o relógio do reeptor mara t 1, sendo a hora exata na verdade t 1 +δ, onde δ é o desvio do relógio do reeptor (de quartzo, portanto de baixa preisão) em relação aos relógios atómios dos satélites. Assim, a equação orrespondente ao sinal do primeiro satélite é na realidade (x x 1 ) 2 +(y y 1 ) 2 +(z z 1 ) 2 = (t 1 +δ t 1) 2, e o sistema de equações quadrátias que o reeptor usa para determinar a sua posição é (x x 1 ) 2 +(y y 1 ) 2 +(z z 1 ) 2 = (t 1 +δ t 1 ) 2 (x x 2 ) 2 +(y y 2 ) 2 +(z z 2 ) 2 = (t 2 +δ t 2) 2 (x x 3 ) 2 +(y y 3 ) 2 +(z z 3 ) 2 = (t 3 +δ t 3) 2 (x x 4 ) 2 +(y y 4 ) 2 +(z z 4 ) 2 = (t 4 +δ t 4) 2 a resolver em ordem às variáveis (x,y,z,δ). O desvio δ do relógio do reeptor em relação aos relógios atómios vai variando ao longo do tempo, mas mantém-se sufiientemente estável durante

O GPS E A TEORIA DA RELATIVIDADE 5 o álulo para não afetar a preisão. Conheendo este desvio, o reeptor pode assim funionar omo um relógio de preisão idêntia à de um relógio atómio. 2.3. Outras orreções. Existem outras orreções que é neessário fazer no álulo da posição do reeptor de GPS. Parte delas prendem-se om o fato de que os sinais dos satélites se propagam na atmosfera, e portanto a sua veloidade não é exatamente a veloidade da luz no váuo. Para piorar as oisas, esta veloidade varia no espaço e no tempo, em função da ionização e da humidade das diversas amadas atmosférias. Outras orreções tornam-se neessárias para eliminar os efeitos de reflexões dos sinais de GPS (em edifíios próximos, por exemplo), que podem ser onfundidas om o verdadeiro sinal. Existem diversos métodos para implementar estas orreções, omo usar duas frequênias distintas no sinal de GPS, que reagem à ionização de maneira diferente, permitindo estimar o atraso devido a este fenómeno. Existe ainda um tereiro tipo de orreções, mais interessantes, tornadas neessárias pela inrível preisão requerida na medição dos intervalos de tempo. Tal preisão leva-nos a ter que examinar a própria natureza do tempo, que foi profundamente reformulada por Einstein 2 na sua Teoria da Relatividade. 3. Relatividade Em finais do séulo XIX tornou-se laro que a veloidade da luz era espeial: uidadosas experiênias desenhadas para detetar variações na veloidade da luz devidas ao movimento anual da Terra em torno do Sol registavam resultados teimosamente nulos. A veloidade da luz pareia ser sempre a mesma, independentemente das veloidades da fonte e do observador. Isto é altamente ontra-intuitivo, uma vez que um observador que se mova na mesma direção que um raio de luz, por exemplo, vê esse raio de luz perorrer uma distânia menor num dado intervalo de tempo, e portanto deveria obter uma veloidade menor. Após um período de grande onfusão, Einstein sugeriu, em 1905, uma solução tão simples quanto engenhosa: a únia forma de observadores diferentes obterem o mesmo valor para a veloidade da luz seria medirem intervalos de tempo diferentes entre os mesmos aonteimentos. Esta expliação, que veio a ser onheida omo a Teoria da Relatividade Restrita, revelou-se orreta: relógios em movimento (num referenial inerial) atrasam-se em relação a relógios parados. Figura 5. Albert Einstein. Mais tarde, ao tentar inorporar a gravitação na sua teoria, Einstein desenvolveu a hamada Teoria da Relatividade Geral, publiada em 1915, na qual onluiu que o ritmo de um relógio depende nãosó da sua veloidademas tambémdo loal em que este se enontra: relógiosoloados em pontos mais baixos de um ampo gravitaional atrasam-se em relação a relógios oloados em pontos mais altos. Uma vez que os satélites do GPS são basiamente relógios em órbita (portanto movendo-se a grandes veloidades num ponto elevado do ampo gravitaional da Terra), que devem estar 2 Albert Einstein (1879 1955), físio alemão, prémio Nobel da Físia (1921).

6 JOSÉ NATÁRIO ertos om uma preisão de nano-segundos, ambos os efeitos previstos por Einstein têm que ser uidadosamente onsiderados. 3.1. Relatividade Restrita. Para alular o atraso num relógio em movimento previsto pela teoriadarelatividaderestritaonsideremosumreferenialinerials, quesemoveomveloidade v ao longo do eixo dos xx de um outro referenial inerial S. Em S foi instalado um relógio de luz, formado por dois espelhos, E e F, oloados na origem e num erto ponto do eixo dos y y, omo ilustrado na Figura 6. Um ti do relógio de luz orresponde a um ilo em que um sinal luminoso parte do espelho E, é refletido no espelho F, e regressa ao espelho E, ou seja, a um intervalo de tempo t = 2 y, onde y é a distânia entre os dois espelhos em S e é a veloidade da luz. y S y S F F y raio luminoso y raio luminoso E E x Figura 6. Relógio de luz. v t x No referenial S, no entanto, os espelhos estão em movimento, e portanto o sinal luminoso perorre uma distânia diferente. Uma vez que a veloidade da luz possui o mesmo valor em S, é laro da Figura 6 e do Teorema de Pitágoras que ( ) 2 ( ) 2 v t t ( y) 2 + =, 2 2 onde y é a distânia entre os dois espelhos medida em S e t é o intervalo de tempo orrespondente a um ti do relógio medido em S. Se admitirmos a hipótese razoável de que a distânia entre os espelhos medida nos dois refereniais é a mesma, y = y, obtemos ( ) t 2 ( ) 2 ( ) 2 v t t + =, 2 2 2 donde rapidamente se onlui que o observador em S mede um intervalo de tempo menor para um ti do seu relógio de luz do que um observador em S: t = t 1 v2 ( t é o intervalo de tempo medido por um observador que se move om veloidade v em relação a um observadorinerial que mede um intervalo de tempo t). Esta é a famosa fórmulada dilatação do tempo: relógios em movimento funionam a um ritmo mais lento do que relógios repouso. Em situações do dia-a-dia, as veloidades v são muito inferiores a, e portanto t e t são muito aproximadamente iguais; no entanto, em situações que envolvam veloidades omparáveis à veloidade da luz (omo por exemplo em aeleradores de partíulas), ou grandes preisões na medida dos intervalos de tempo (omo é o aso do GPS), a dilatação do tempo tem que ser levada em onta.

O GPS E A TEORIA DA RELATIVIDADE 7 3.2. Gravidade Newtoniana. Reordemos que um ampo gravitaional Newtoniano é desrito pela hamada função potenial gravitaional Φ : R 3 R, a partir da qual se onstrói o ampo gravitaional G : R 3 R 3 de aordo om a fórmula G = gradφ. A trajetória r : R R 3 de uma partíula de massa m em queda livre no ampo gravitaional satisfaz a equação diferenial m d2 r dt 2 = mg (segunda lei de Newton 3 ). Por outras palavras, a aeleração sofrida por uma partíula em queda livre ég, independentemente da partíula(uma observaçãodevida a Galileu 4 ). Uma onsequênia da segunda lei de Newton é que a energia total é onservada. De fato, temos de d 2 dt = m r dr dt2, dt E = 1 dr 2 m dt, dr dt +mφ +m gradφ, dr = dt m d2 r dr mg, dt2 dt = 0. O termo mφ representa portanto a energia potenial gravitaional da partíula. Da equação de onservação de energia esperamos que as veloidades típias de partíulas em queda livre no ampo gravitaional sejam da ordem de Φ. O ampo é onsiderado frao (do ponto de vista da Teoria da Relatividade) se esta veloidade araterístia for muito inferior à veloidade da luz. Para ampos fraos é possível usar as fórmulas Newtonianas aima; aso ontrário é neessário entrar em onta om a dilatação do tempo, o que aaba por nos levar à Teoria da Relatividade Geral. Figura 7. Galileu Galilei e Isaa Newton. Reordemos ainda que o potenial gravitaional riado por uma massa M esferiamente simétria é dado por Φ = GM r, onde G é a onstante de gravitação universal e r = r designa a distânia ao entro. O orrespondente ampo gravitaional é G = GM r r 2 r. A veloidade v de uma órbita irular neste ampo pode ser obtida a partir da segunda lei de Newton: para uma tal órbita r é onstante, e por onservação de energia v é também onstante. A aeleração é portanto apenas a aeleração entrípeta d 2 r dt 2 = r v2 r r, 3 Sir Isaa Newton (1643 1727), físio, matemátio, astrónomo, filósofo e alquimista inglês. 4 Galileu Galilei (1564 1642), astrónomo, físio e filósofo italiano.

8 JOSÉ NATÁRIO e igualando à expressão para G aima obtém-se GM v = r (note-se que esta é preisamente a veloidade típia Φ ). 3.3. Relatividade Geral. A Teoria da Relatividade Geral é muito mais sofistiada que a Teoria da Relatividade Restrita, e não pode ser verdadeiramente ompreendida sem Geometria Diferenial, que é o ramo da Matemátia que estuda a geometria dos espaços urvos. Para ampos gravitaionais fraos, no entanto, é possível obter por métodos elementares uma fórmula aproximada para a dilatação do tempo sofrida por um relógio nesse ampo. Deduziremos essa fórmula usando dois argumentos diferentes, ambos essenialmente devidos a Einstein. Figura 8. Max Plank. O primeiro argumento utiliza uma ombinação de Meânia Quântia e Relatividade Restrita. Da Meânia Quântia sabemos que a luz se omporta omo se fosse onstituida por partíulas, hamadas fotões, om energia dada pela relação de Plank 5 E = h T, onde h é a onstante de Plank e T é o período da radiação. Da relação de equivalênia massaenergia E = m, deduzida por Einstein omo onsequênia da Relatividade Restrita (ver Apêndie), onluimos que a ada fotão orresponde uma erta massa, e portanto é de esperar que um fotão que sobe num ampo gravitaional pera energia (aso ontrário seria fáil onstruir uma máquina de movimento perpétuo). Sejam E e T a energia e o período de um fotão num dado ponto r de um ampo gravitaional, e E, T as mesmas quantidades num outro ponto r. A relação de Plank-Einstein implia que ET = h = E T. Se Φ = Φ(r ) Φ(r) for a diferença de potenial entre r e r, é de esperar que E E m Φ E E ( Φ = 1 Φ ) E. Portanto T ( 1 Φ ) T. 5 Max Plank (1858 1947), físio alemão, prémio Nobel da Físia (1918).

O GPS E A TEORIA DA RELATIVIDADE 9 Para ampos gravitaionais fraos, onde podemos usar a desrição Newtoniana do ampo gravitaional, a quantidade Φ é muito inferior a 1. Usando a aproximação de primeira ordem 2 1 1 x 1+x, válida para x muito menor que 1, temos então T ( 1+ Φ Por outras palavras, o período da radiação aumenta à medida que esta sobe num ampo gravitaional. Como podemos oniliar esta observação om o fato de que a veloidade da luz não varia? Se imaginarmos um sinal luminoso de um dado período omo uma sequênia de flashes instantâneos, é evidente que a invariânia da veloidade da luz força os períodos entre os flashes a serem os mesmos para todos os observadores em repouso, a menos que os relógios destes observadores funionem a ritmos diferentes. De fato se suposermos que um relógio oloado em r mede um intervalo de tempo t ( 1+ Φ ) T. ) t sempre que um relógio idêntio oloado em r mede um intervalo de tempo t, a relação aima entre os períodos da radiação torna-se ompatível om a invariânia da veloidade da luz. No limite em que o ponto r está no infinito, onde o potenial é zero, obtém-se Φ = Φ(r ), e portanto t (1+ Φ ) 2 t ( t é o intervalo de tempo medido num ponto onde o potenial gravitaional é Φ quando o mesmo intervalo de tempo medido por um observador no infinito é t). Esta é a famosa fórmula da dilatação gravitaional do tempo: relógios num ponto mais baixo de um ampo gravitaional funionam a um ritmo mais lento do que relógios no infinito. Em situações do dia-a-dia, o valor absoluto do potenial gravitaional Φ é muito inferior a, e portanto t e t são muito aproximadamente iguais; no entanto, em situações que envolvam ampos gravitaionais fortes (omo por exemplo próximo de buraos negros), ou grandes preisões na medida dos intervalos de tempo (omo é o aso do GPS), a dilatação gravitaional do tempo tem que ser levada em onta. Um segundo argumento para a validade da fórmula aima utiliza o hamado Prinípio da Equivalênia, formulado por Einstein em 1907. Este prinípio postula que as forças de inéria que surgem num referenial aelerado são indistinguíveis de um ampo gravitaional. Consideremos então um referenial em rotação uniforme (portanto aelerado), om veloidade angular onstante ω. A veloidade de um observador em repouso neste referenial (em relação a um referenial inerial que não roda) é v = ωr, onde r é a distânia ao eixo de rotação, e portanto o seu relógio mede intervalos de tempo t = t 1 ω2 r 2 em relação aos intervalos de tempo t medidos no referenial inerial (ou no eixo de rotação). Por outro lado, a aeleração entrífuga no referenial em rotação pode ser interpretada omo um ampo gravitaional G = v2 r r r = ω2 r = gradφ, onde r é a omponente do vetor posição ortogonal ao eixo de rotação e Φ = 1 2 ω2 r 2. Note-se que Φ = 0 no eixo de rotação, pelo que os observadores no eixo de rotação orrespondem aos observadores no infinito no argumento anterior. Deste modo, temos t = t 1+ 2Φ

10 JOSÉ NATÁRIO ou, usando a aproximação de primeira ordem (1+x) 1 x 2 1+ 2, válida para x muito menor que 1, obtemos novamente t t (1+ Φ ) 2. 4. GPS e Relatividade Temos agora a informação neessária para alular as orreções relativistas a apliar aos relógios atómios transportados pelos satélites do GPS. Reordemos que estes satélites emitem regularmente a hora exata que mara o seu relógio, bem omo sua posição nesse preiso instante. Esta posição é alulada a partir da hora marada no relógio, uma vez que as órbitas dos satélites são onheida om grande preisão, sendo onstantemente monitorizadas por estações de rastreio à superfíie da Terra (Figura 9); as efemérides, isto é, as onstantes numérias neessárias para esrever as equações da órbita, são atualizadas a ada duas horas. Estas onstantes são ajustadas usando o tempo medido pelos relógios atómios nas estações de rastreio, que tem então que ser onvertido no tempo medido a bordo dos satélites. Figura 9. Estação de rastreio do GPS usada entre 1984 e 2007. 4.1. Cálulo da orreção relativista. Sendo a Terra muito aproximadamente esféria, o seu potenial gravitaional é dado por Φ = GM r, onde M é a massa da Terra. O valor do fator GM pode ser failmente alulado a partir da aeleração da gravidade à superfíie da Terra, g 9,8 metros por segundo quadrado, e do raio da Terra, R 6.400 quilómetros, notando que g = GM R 2 GM = gr 2 Se um observador inerial no infinito mede um intervalo de tempo t, um satélite que se move om veloidade v num ponto a uma distânia r do entro da Terra mede um intervalo de tempo t SAT = 1 v2 ( 1 GM r ) t (1 v2 2 )( 1 GM r ) t, onde usámos a aproximação de primeira ordem, uma vez que a veloidade do satélite é muito inferior à veloidade da luz. Utilizando ainda a aproximação de primeira ordem (1+x)(1+y) 1+x+y, válida para x e y muito menores que 1, temos então t SAT (1 v2 2 GM r ) t.

O GPS E A TEORIA DA RELATIVIDADE 11 Do mesmo modo, um observador à superfíie da Terra mede um intervalo de tempo t TERRA (1 V 2 2 GM ) t, R onde V é a veloidade de rotação da Terra no ponto onde se enontra o observador. Portanto t SAT 1 v 2 2 GM 2 r (1 v2 t TERRA 1 V 2 2 GM )(1+ V 2 r 2 + GM ) R 2 GM 2 R 1 v2 2 GM r + V 2 2 + GM R, onde usámos novamente a aproximação de primeira ordem. Se assumirmos que o satélite se move numa órbita irular, sabemos que pelo que obtemos finalmente v 2 = GM r, t SAT 1 3v2 t TERRA 2 + V 2 2 + GM R ( t SAT é o intervalo de tempo medido a bordo dos satélites, t TERRA é o intervalo de tempo medido à superfíie da Terra, v é a veloidade orbital dos satélites, V é a veloidade de rotação da Terra no ponto da superfíie onsiderado, M e R são a massa e o raio da Terra). Seja T o período da órbita irular. Eliminando r do sistema de equações v 2 = GM r v = 2πr T obtemos ( )1 ( )1 2πGM 3 2πgR 2 3 v = =. T T As órbitas dos satélites do GPS têm um período de 12 horas (de modo que as posições dos satélites se repetem duas vezes por dia). Substituindo os valores de g, R e T (em unidades onsistentes!) na expressão aima obtemos v 3,9 quilómetros por segundo, donde 3v 2 2 2,5 10 10. Uma vez que a Terra ompleta uma rotação a ada 24 horas, a sua veloidade de rotação no equador é V 2π 6.400 0,47 quilómetros por segundo, 24 3.600 pelo que V 2 2 1,2 10 12. Esta orreção é da ordem de uma entésima da orreção devida à posição e movimento do satélite, e portanto pode ser ignorada. Deste modo, é irrelevante se o tempo medido à superfíie da Terra é medido no equador ou em qualquer outro ponto. Finalmente, GM R = gr 7,0 10 10. Conluímos portanto que t SAT 1+4,5 10 10, t TERRA ou seja, o relógio no satélite adianta-se por dia era de 4,5 10 10 24 3.600 4,0 10 5 segundos

12 JOSÉ NATÁRIO em relação a um relógio à superfíie da Terra. Se o reeptor de GPS tivesse o seu próprio relógio atómio, e alulasse a sua posição simplesmente omparando o seu relógio om o tempo indiado pelos sinais dos satélites, a dessinronização dos relógios ao fim de um dia orresponderia um erro na posição do reeptor de era de 4,0 10 5 300.000 12 quilómetros. Este número é muitas vezes itado omo sendo o erro aumulado diariamente pelo GPS se as orreções relativistas não fossem efetuadas, mas isto não está orreto, porque na prátia, omo vimos, o reeptor de GPS usa os relógios atómios dos satélites. O erro aumulado viria simplesmente do fato das equações para a posição do satélite em função do tempo, obtidas pelas estações de rastreio, utilizarem o tempo à superfíie da Terra, e não o tempo medido pelos relógios dos satélites. Ao fim de um dia os satélites errariam o álulo da sua posição em apenas era de 4,0 10 5 3.900 0,16 metros, um número muito menos dramátio que os 12 quilómetros, mas igualmente importante: aso as orreções relativistas não fossem efetuadas, o GPS estaria a errar por um metro ao fim de uma semana, por ino metros ao fim de um mês, e por 56 metros ao fim de um ano. 4.2. Efeito de Sagna. Uma outra ompliação introduzida pela Teoria da Relatividade no GPS é o efeito de Sagna 6, que difiulta a sinronização dos relógios atómios das várias estações de rastreio à superfíie da Terra (Figura 10). Figura 10. Loalização das diversas estações de rastreio do GPS (fonte: GPS.gov). A sinronização de relógios na Teoria da Relatividade é não trivial, por ausa das dilatação do tempo. Suponhamos que queremos sinronizar dois relógios em repouso num referenial inerial. Uma maneira de o fazer é aertaronosso relógio de bolso pelo primeiro relógio, transportá-loaté a segundo relógio, e utilizá-lo para aertar este último. Contudo, este proedimento tem uma falha: é que se o primeiro relógio mede um intervalo de tempo t para a nossa viagem, na qual supomos a nossa veloidade v onstante, então o nosso relógio de bolso medirá um intervalo de tempo de apenas t = t 1 v2, e portanto o segundo relógio fiará atrasado em relação ao primeiro. Podemos tentar minimizar este efeito esolhendo uma veloidade v muito pequena, e de fato isto funiona: se v fôr muito menor que então podemos usar a aproximação de primeira ordem para esrever ) t t (1 v2 = t vl, 6 Georges Sagna (1869 1926), físio franês.

O GPS E A TEORIA DA RELATIVIDADE 13 onde L = v t é a distânia entre os dois relógios, e portanto a dessinronização entre os dois relógios, t t, tende para zero quando v tende para zero. (Claro que quando v tende para zero a duração t da viagem tende para infinito, e portanto este método de sinronização não seria prátio 7 ; no entanto, estamos interessados aqui apenas na questão de prinípio). Para sinronizar relógios num referenial inerial só temos então que transportar o relógio que faz a sinronização muito lentamente (em omparação om a veloidade da luz). A superfíie da Terra, ontudo, não define um referenial inerial, porque a Terra gira. Consideremos um únio relógio em repouso à superfíie da Terra, e suponhamos que o queremos sinronizar onsigo próprio. Por simpliidade, suponhamos que este relógio se enontra no equador, e que irum-navegamos a Terra ao longo do equador om uma veloidade v muito pequena. No referenial inerial que não gira om a Terra, o relógio imóvel move-se om veloidade igual à veloidade de rotação da Terra no equador, V 0, 47 quilómetros por segundo; se viajarmos para leste, estaremos a mover-nos no referenial inerial om veloidade aproximada V + v. Desta forma, a dessinronização entre o relógio fixo e o relógio de bolso será t 1 V 2 t (V +v)2 1 t (V +v)2 V 2 (2V +v)v 2 = t 2 VL, onde t é a duração da viagem medida no referenial inerial, L v t é o omprimento do equador, e usámos novamente a aproximação de primeira ordem. Uma vez que VL = 0,47 2π 6400 300.000 2 210 10 9 segundos, vemos que o relógio de bolso se atrasaráera de 210 nano-segundosem relação ao relógio fixo, por mais pequena que seja a veloidade v. Se o relógio for transportado para oeste, a dessinronização terá o mesmo valor absoluto mas sinal oposto, isto é, o relógio de bolso adiantar-se-á era de 210 nano-segundos em relação ao relógio fixo. Isto tem a onsequênia notável que se utilizarmos o proesso habitual de sinronização, um relógio à superfíie da Terra nuna está erto onsigo próprio! Do ponto de vista prátio, se tentarmos sinronizar dois relógios no equador obtemos uma disrepânia de 210 nano-segundos entre a sinronização feita indo para leste ou indo para oeste 8. É esta dependênia do perurso da sinronização de relógios num referenial em rotação que onstitui o efeito de Sagna. Uma vez que, omo vimos, os relógios do sistema GPS têm que estar ertos ao nano-segundo, este efeito tem que ser levado em onta. A forma de resolver este problema (bem omo, na verdade, o problema da dessinronização dos relógios dos satélites om os das estações de rastreio) é que todo o sistema GPS funiona om um tempo ofiial, nomeadamente o tempo medido por um observador inerial em repouso no infinito, que na realidade não é medido por nenhum relógio em todo o sistema: o ritmo e sinronização de ada relógio é ajustado onsoante a sua loalização e veloidade por forma a que esse relógio indique o tempo ofiial. 5. Conlusão Neste apítulo expliámos omo é que a Matemátia é apliada no GPS, primeiro no seu funionamento geral e depois nalgumas das orreções finas que é neessário efetuar. Com este exemplo pretendemos ilustrar o papel entral desempenhado pela Matemátia na iênia e engenharia modernas, sem as quais nem o GPS nem a maior parte dos outros milagres tenológios que nos rodeiam poderiam sequer ser sonhados. Apêndie: Efeito de Doppler e equivalênia massa-energia Consideremos um sinal luminoso om período T para um erto observador inerial, e perguntemonos qual o período medido para o sinal por um segundo observador que se move om veloidade v em relação ao primeiro, na mesma direção que o sinal. Se imaginarmos o sinal periódio omo 7 Um método mais prátio, devido a Einstein, baseia-se na troa de sinais luminosos entre os dois relógios. As onlusões que retiramos de seguida são no entanto independentes do método de sinronização. 8 No aso geral, é possível provar que a disrepânia entre duas sinronizações é proporional à área (orientada) da região do plano equatorial limitada pelas projeções dos dois perursos.

14 JOSÉ NATÁRIO uma série de flashes, vemos que o intervalo de tempo T 1 que o observador em movimento demora a detetar dois flashes onseutivos satisfaz T 1 = T +vt 1, uma vez que o sinal seguinte tem que perorrer a distânia adiional vt 1 que o observador se afasta (Figura 11). Por outras palavras, T 1 = T 1 v. v T Figura 11. Efeito de Doppler. Este é o efeito de Doppler lássio. A este efeito temos que adiionar, ontudo, a dilatação do tempo, que faz om que o observador em movimento meça na verdade um período T 1 = T 1 1 v2 = T 1 v2 1 v. Para um observador que se mova em direção ontrária à do sinal luminoso, temos apenas que inverter o sinal de v na fórmula aima: T 2 = T 1 v2 1+ v. Suponhamos que um objeto O em repouso emite dois fotões om energia total E em direções opostas, de modo que O permanee em repouso. Cada fotão possui energia E/2, e portanto período T = 2h E. Do ponto de vista de um observador que se mova om veloidade v, o fotão emitido na direção do seu movimento tem período 1 v2 T 1 = T 2 1 v = 2h 1 v2 E 1 v, e portanto energia E 1 = h T 1 = E 2 1 v E ( 1 v ) ( ) 1+ v2 1 2 E ) v v2 (1 + 2 2 v2 (onde suposémos que v é muito menor que ). Analogamente, o fotão emitido na direção oposta tem período 1 v2 T 2 = T 2 1+ v = 2h 1 v2 E 1+ v, e portanto energia E 2 = h T 1 = E 2 1+ v E ( 1+ v ) ( ) 1+ v2 1 2 E ) v v2 (1+ + 2 2. v2

O GPS E A TEORIA DA RELATIVIDADE 15 Resulta que do ponto de vista do observador em movimento, o onjunto dos dois fotões possui energia total E = E 1 +E 2 E + 1 E 2v2. Por outras palavras, do ponto de vista do observador em movimento o objeto O emitiu não só a energia E, mas ainda a energia adiional 9 E E = 1 2 mv2, onde m = E/. Esta energia só pode ter vindo da energia inétia de O, que tem veloidade v em relação ao observador em movimento. Como após a emissão O se ontinua a mover om a mesma veloidade v, somos levado à onlusão que a sua massa deve ter diminuido em m, de forma a manter a energia total onstante. Conluimos então que é possível onverter massa em energia, de aordo om a famosa relação de Einstein E = m que, para melhor ou para pior, alterou o deurso da História do planeta Terra. Figura 12. Exemplos de onversão de massa em energia: explosão de uma bomba de hidrogénio (fonte: DOE), e o Sol (fonte: NASA). Referênias [1] N. Ashby, Relativity in the Global Positioning System, Living Rev. Relativity 6 (2003) http://relativity.livingreviews.org/artiles/lrr-2003-1/ [2] H. Lorentz, A. Einstein e H. Minkowski, O Prinípio da Relatividade, Fundação Calouste Gulbenkian (2001) [3] J. Natário, General Relativity Without Calulus, Springer (2011) [4] C. Rousseau e Y. Saint-Aubin, Mathematis and Tehnology, Springer (2008) [5] E. Taylor and J. Wheeler, Exploring Blak Holes: Introdution to General Relativity, Addison Wesley (2000) [6] http://www.gps.gov/ [7] http://en.wikipedia.org/wiki/gps Centro de Análise Matemátia, Geometria e Sistemas Dinâmios, Departamento de Matemátia, Instituto Superior Ténio, 1049-001 Lisboa, Portugal 9 Note-se que isto é uma onsequênia da Relatividade Restrita: se não inluíssemos a dilatação do tempo no efeito de Doppler teríamos E = E.