INFERÊNCIA EM MODELOS LINEARES GENERALIZADOS ANÁLISE DE DEVIANCE

INFERÊNCIA EM MODELOS LINEARES GENERALIZADOS ANÁLISE DE DEVIANCE

A análise de deviance é uma generalização, para modelos lineares generalizados, da análise de variância. No caso de modelos lineares, utiliza-se a chamada "etra soma de quadrados" para avaliar a significância de termos incluídos ao modelo; Em MLG, de forma semelhante, é de interesse testar a significância da inclusão de novos termos. Neste sentido, usaremos com frequência a epressão modelos encaiados; Dizemos que dois modelos são encaiados se um modelo é obtido a partir do outro impondo alguma restrição aos valores dos parâmetros (é usual assumir valor zero aos parâmetros, caso se desee investigar a hipótese de nulidade dos mesmos); Na sequência são apresentados os preditores lineares de diferentes modelos lineares generalizados para avaliarmos se configuram modelos encaiados.

3 o Caso : ( ) ( ) 3 3 0 4 4 3 3 0 g Modelo g Modelo µ µ = = - Modelos encaiados! A comparação dois modelos apresentados no par poderia fundamentar o teste da hipótese: 0 : 4 0 = = H, contra a alternativa que os parâmetros sob teste não são conuntamente nulos.

o Caso : Modelo Modelo g ( µ ) = g 0 ( µ ) = 0 3 4 4 3 3 4 4 - Modelos encaiados! A comparação dois modelos apresentados no par poderia fundamentar o teste da seguinte hipótese: H = ; = 0; =. 0 : 3 4

o Caso 3: Modelo Modelo g ( µ ) = 0 3 g( µ ) = 0 - Modelos encaiados! A comparação dois modelos apresentados no par 3 poderia fundamentar o teste da seguinte hipótese: H 0. 0 : 3 = Repare que, mediante este par de hipóteses, estaríamos testando a eistência de interação entre e. 5

o Caso 4: Modelo Modelo g ( µ ) = g 0 ( µ ) = 0 3 3 - Modelos encaiados! A comparação dois modelos apresentados no par 4 poderia fundamentar o teste da seguinte hipótese: H = 0, 0. 0 : 3 = Repare que, mediante este par de hipóteses, estaríamos testando a eistência de efeito cúbico ou quadrático de em y. Nota Note que em qualquer um dos quatro eemplos apresentados, a hipótese nula representa o modelo restrito e a hipótese alternativa o modelo não restrito. No conteto de teste de hipóteses, a reeição de H 0 corresponde à diferença dos austes dos dois modelos, sendo que se deve optar, nesses casos, pelo modelo não restrito (com mais parâmetros). 6

7 o Caso 5: ( ) ( ) 4 4 0 3 3 0 g Modelo g Modelo µ µ = = - Modelos não encaiados! o Caso 6: ( ) ( ) ( ) 0 3 3 0 ln g Modelo g Modelo µ µ = = - Modelos não encaiados!

Teste da razão de verossimilhanças (TRV) em MLG O teste da razão de verossimilhanças é amplamente utilizado em MLG para testar a nulidade conunta de (ou alguma outra restrição envolvendo) parâmetros de modelos lineares generalizados. Sea M p um MLG com p parâmetros e M q um modelo encaiado a M p, a partir de uma restrição a p q parâmetros, restando q < p parâmetros não fiados (irrestritos). Considere D p e D q, respectivamente, os desvios de M p e M q. A estatística é uma medida de diferença dos auste de M p e M q, que pode ser entendida como o ganho de auste decorrente da inclusão de p q parâmetros ao modelo mais simples. 8

A estatística do teste da razão de verossimilhanças para comparação dos dois modelos fica dada por: ( µ ˆ ) p; y ( ) µ ˆ ; y D q Dp L ξ RV = = φ { l( µ ˆ p; y) l( µ ˆ q; y) } = φ ln, φ L q que, sob a hipótese nula de que as restrições são válidas, tem assintoticamente distribuição χ p q. Caso a hipótese nula sea de nulidade de p q parâmetros e o resultado do teste indique a não reeição de H 0, isso pode ustificar a eliminação dos termos (covariáveis, fatores...) associados aos p q parâmetros nulos. 9

Nota O teste da razão de verossimilhanças pode ser aplicado a um único parâmetro (Eemplo: H 0 : k = 0 vs H : k 0), sendo que neste caso, sob H 0 ξ RV tem, assintoticamente, distribuição χ. Nota Podemos testar a significância do modelo austado considerando a hipótese nula H0 : = =... = p = (só com intercepto). 0, ou sea, comparando o auste do modelo com p parâmetros ao do modelo nulo No R: auste=glm(...)### Modelo maior auste=glm(...)### Modelo menor anova(auste,auste,test= Chisq ) 0

Procedimento geral para o teste da razão de verossimilhanças em Modelos Lineares Generalizados. Formular as hipóteses de interesse e estabelecer adequadamente os modelos restrito ( M q) e não restrito ( M p) correspondentes;. Austar os dois modelos aos dados e etrair os correspondentes desvios ( D q e D p); 3. Calcular a estatística do teste da razão de verossimilhanças ( ξ RV ); 4. Com base no valor de ξ RV, testar a hipótese nula de que a restrição considerada é válida. Por eemplo, para um nível de significância α, reeitamos H 0 se RV distribuição χ p q. ξ eceder o quantil ( α ) da

Teste F para o caso em que φ é desconhecido Para as distribuições em que o parâmetro de dispersão é desconhecido (Normal, Gama e Normal Inversa, por eemplo), pode-se utilizar uma estimativa e considerar como alternativa o uso do teste F, ao invés de χ. A estatística do teste F é definida por: ( D D ) ( p q) q ξ RV =, D p p ( n p) que, sob a hipótese nula de que as restrições impostas em H 0 são válidas, tem assintoticamente distribuição Fp q, n p.

Nota Pode-se substituir ( n p) φ. D p no denominador da estatística F por alguma estimativa consistente de No R: auste=glm(...)### Modelo maior auste=glm(...)### Modelo menor anova(auste,auste,test= F ) 3

Análise de deviance desvio (Tabela ANODEV) A análise de deviance configura uma etensão da análise de variância para os modelos lineares generalizados. Baseia-se na comparação das deviances avaliadas para modelos encaiados, permitindo testar o efeito de sucessivas inclusões inclusão (ou eclusões) de variáveis, fatores e interações a um modelo corrente. A Tabela Anodev é a representação de uma sequência de TRVs para um modelo linear generalizado, em que os termos do preditor linear são acrescentados sucessivamente ao modelo (começando pelo modelo nulo), e a significância de suas inclusões avaliadas via TRV. 4

A título de ilustração, considere um MLG qualquer, com quatro variáveis no preditor linear ( X, X, X 3, X 4 ). Então, na tabela Anodev serão apresentados os desvios, as diferenças de deviances, os correspondentes graus de liberdade e os testes de razão de verossimilhança para: o Inclusão de X ao modelo que contém apenas o intercepto; o Inclusão de X ao modelo que contém X ; o Inclusão de X 3 ao modelo que contém X e X ; o Inclusão de X 4 ao modelo que contém X, X e X 3. 5

Notas-. A ordem de inclusão das variáveis é determinada pelo usuário e, eceto em casos bem específicos, vai alterar a significância das variáveis;. A ordem de inclusão de termos ao modelo, quando na ocorrência de interações, deve obedecer ao principio hierárquico. Ou sea, se temos no modelo X, X e X X, primeiramente inserimos ao modelo X e X (na ordem que bem se entender) para depois inserir o termo correspondente à interação. O mesmo vale para modelos polinomiais, em que os termos de menor ordem são os primeiros a serem inseridos. No R: Comando anova. 6

Uma forma alternativa de se fazer a análise do desvio é avaliando a significância de uma variável quando inserida ao modelo que contém todas as demais variáveis, eceto a variável em questão. A título de ilustração, considere um MLG qualquer, com quatro variáveis no preditor linear ( X, X, X 3, X 4 ). Então, na tabela Anodev serão apresentados os desvios, as diferenças de deviances, os correspondentes graus de liberdade e os testes de razão de verossimilhança para: o Inclusão de X ao modelo que contém X, X 3 e X 4; o Inclusão de X ao modelo que contém X, X 3 e X 4; o Inclusão de X 3 ao modelo que contém X, X e X 4; o Inclusão de X 4 ao modelo que contém X, X e X 3. No R: Comando Anova, pacote car. 7

Teste de Wald O teste de Wald baseia-se na distribuição assintótica normal dos estimadores de máima verossimilhança dos parâmetros do modelo. Sea ˆ o estimador de máima verossimilhança de, um particular parâmetro de um MLG. Conforme discutido anteriormente, para n, (, Var ( ˆ ) ˆ ~ Normal, em que Var ( ˆ ) é estimada através do correspondente termo da diagonal da matriz de covariâncias ^ ^ Var ( ˆ ) = ( X Wˆ X) φˆ. Vamos denotar por ep( ˆ ) Var ( ˆ ) = o erro padrão de ˆ. 8

Embora possam ser aplicados ao teste de hipóteses de dois ou mais parâmetros, o uso mais frequente do teste de Wald contempla apenas um parâmetro por vez. Em situações envolvendo mais parâmetros, é mais usual aplicar o teste da razão de verossimilhanças. Considere então o seguinte par de hipóteses: H H 0 : = : ( 0) ( 0), em que ( 0) é algum valor postulado para (é comum tomarmos ( ) 0 = 0, a fim de testarmos a nulidade de ). Então, o teste de Wald baseia-se na seguinte estatística-teste: Z t ˆ ( 0) =, ep ( ˆ ) que, sob a hipótese nula, tem assintoticamente distribuição Normal padrão. 9

Para um nível de significância α, reeitaremos H 0 caso Z t > z α /, em z α / representa o quantil α / da distribuição Normal padrão. Nos casos em que φ é desconhecido, pode-se usar a distribuição t Student com n p graus de liberdade, reeitando H 0, para um nível de significância α, se Z t > t n p; α /. No R: A estatística e o teste de Wald são apresentados no próprio summary de um MLG. Nota A função waldtest, do pacote lmtest permite aplicar o teste de Wald para hipóteses envolvendo p parâmetros, baseado numa distribuição assintótica χ n p. 0

Intervalos de confiança Dentre os métodos disponíveis para obtenção de intervalos de confiança em Modelos Lineares Generalizados, serão destacados os intervalos baseados na razão de verossimilhanças e na estatística de Wald. Mais adiante discutiremos o uso de simulação (bootstrap) para a obtenção dos intervalos. Intervalos de confiança baseados na razão de verossimilhanças Um intervalo com nível de confiança assintótico α para, baseado na razão de verossimilhanças, contém todos os valores ( 0) para os quais a hipótese nula H ( 0) = não 0 : seria reeitada pelo TRV, ao nível de significância α.

Para fins de ilustração, considerando um nível de confiança (assintótico) de 95%, o intervalo de ( 0) confiança para conteria todo para o qual a hipótese H ( 0) = produzisse: 0 : ξ ( µ ˆ ; y) ( µ ˆ ; y) D0 D L = = φ ln χ0,95; = 3,84 φ L 0 RV, ( 0) sendo D 0 o desvio avaliado considerando = e D o desvio avaliado no modelo sem restrição para. No R: Função confint.

Intervalos de confiança baseados na estatística de Wald Uma vez que, assintoticamente: ˆ ep ( ˆ ) ~ Normal ( 0, ), pode-se determinar quantis z α / e z α / tais que: P z ˆ < < α α ˆ /, 0 < α <. ep ( ) α / z Isolando no centro da desigualdade, temos: ( ˆ z ep ( ˆ ) < < ˆ z ep ( ˆ )) α P α / α /. 3

Assim, um intervalo de confiança α (assintótico) para fica dado por: IC ( α ) = ( ˆ ± z ep( ˆ ) ; α /. No R: confint.default(auste). 4

Intervalo de confiança para a resposta média em = 0 A estimativa pontual da resposta média para um vetor de covariáveis = = (,, ) [ ] µ 0 = E y, baseada no auste de um modelo linear generalizado, é dada por: 0 0 0 0,..., 0 p, ( 0ˆ ) 0 = ˆ µ g, onde g é a função de ligação do modelo e ˆ a estimativa de máima verossimilhança de. Sea ˆ0 η = 0ˆ a estimativa do preditor linear calculada em 0. A variância assintótica de ˆ η 0 fica dada por: ( ) ( 0 ˆ ) 0 ( ˆ ˆ0 = Var = Var ) 0 Var η. 5

Como, ˆ ˆ0 η = é uma combinação linear dos ˆ s, temos que, assintoticamente: 0 (, Var( ˆ ) ) η ~ Normal. ˆ0 0 0 0 Assim, um intervalo de confiança α assintótico para η = 0 fica dado por: 0 ( Vaˆ ( ˆ ) ) IC η α ˆ, ( 0, ) = 0 ± zα / 0 r 0 sendo z α / o quantil α / da distribuição Normal padrão. Apenas para efeito de notação, vamos representar o intervalo de confiança para 0 η por ( ) η 0 L ;η0u. 6

Assim, um intervalo de confiança assintótico αpara µ 0 fica dado por: ( ) ( µ, α ) = g ( η ) g ( η ) IC 0 0L ; 0U, se g for estritamente crescente e ( ) ( µ, α ) = g ( η ) g ( η ) IC 0 0U ; 0L se g for estritamente decrescente. No R: p=predict(auste,type= link,newdata=0,se.fit=t) ### 0 é um dataframe com os dados para os quais se quer estimar a resposta. ### O argumento se.fit=t é para retornar os erros padrões das estimativas. estimat=p$fit errpad=p$se.fit ic=ep(estimatc(-.96,.96)*errpad) ### Vale se a ligação for logarítmica. Se for outra, basta trocar ep() pela inversa da ligação usada. 7