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Técnicas Atuariais II 7. Reservas Matemáticas Thaís Paiva thaispaiva@est.ufmg.br Departamento de Estatística Universidade Federal de Minas Gerais Técnicas Atuariais II 7. Reservas Matemáticas 1 / 25

Programa da Aula 1 Participação nos ativos ( asset share ) 2 Alterações na apólice 3 Reserva retrospectiva Técnicas Atuariais II 7. Reservas Matemáticas 2 / 25

Participação nos ativos ( asset share ) Técnicas Atuariais II 7. Reservas Matemáticas 3 / 25

Reservas Matemáticas Ao calcular as reservas, mostramos que se: (a) o prêmio foi calculado de acordo com o princípio de equivalência; (b) o valor esperado da perda futura foi calculado de acordo com a base de cálculo do prêmio; (c) as hipóteses assumidas na base de cálculo do prêmio foram observadas na realidade; então o acúmulo dos prêmios recebidos menos as indenizações pagas a uma carteira de segurados seria precisamente suficiente para formar a reserva matemática para os sobreviventes após um certo tempo. Técnicas Atuariais II 7. Reservas Matemáticas 4 / 25

Participação nos ativos Vimos também que a condição (c) é difícil de ser observada na prática, isto é, é difícil observar juros, despesas e mortalidade exatamente iguais ao assumido. Cada apólice vigente contribui para o total de ativos da seguradora considerando a experiência observada de juros, despesas e mortalidade. É importante calcular a participação nos ativos (asset share) de cada apólice vigente em um determinado tempo. Técnicas Atuariais II 7. Reservas Matemáticas 5 / 25

Participação nos ativos Essa participação é calculada assumindo que a apólice faz parte de um grupo grande de apólices idênticas emitidas simultaneamente. Os prêmios menos indenizações e despesas são, então, acumulados usando os valores de juros, despesas e mortalidade observados pela seguradora. Em qualquer tempo t, a participação nos ativos é dada pelo total de ativos acumulados sobre o número suposto de apólices vigentes. Técnicas Atuariais II 7. Reservas Matemáticas 6 / 25

Participação nos ativos Se a experiência da seguradora é próxima das hipóteses assumidas, então esperamos que a participação nos ativos seja próxima do valor da reserva. tv : Valor da reserva no tempo t Representa a quantia que a seguradora precisaria ter naquele momento para cada apólice vigente. AS t : Participação nos ativos no tempo t Representa a quantia que a seguradora realmente tem naquele momento para cada apólice vigente. Técnicas Atuariais II 7. Reservas Matemáticas 7 / 25

Cálculo da Participação nos ativos Exemplo 7.9: (Dickson) Considere a apólice do Exemplo 7.4: Anuidade vitaĺıcia diferida por 10 anos, para um homem de 50 anos. Benefício anual de $10.000. Prêmios anuais de $11.900 por no máximo 10 anos, enquanto estiver vivo. Caso ele morra antes dos 60 anos todos os prêmios serão retornados a um beneficiário, sem juros, ao final do ano da morte do segurado. Base de cálculo: Modelo de sobrevivência seleta do livro Taxa de juros de 5% ao ano Despesas: 10% do primeiro prêmio 5% dos prêmios seguintes $25 em cada tempo de pagamento do benefício $100 quando a indenização por morte é paga Técnicas Atuariais II 7. Reservas Matemáticas 8 / 25

Cálculo da Participação nos ativos Exemplo 7.9: (Dickson) Suponha que a apólice esteve vigente por 5 anos, e a experiência da seguradora foi: Juros observados: Ano 1 2 3 4 5 Juros % 4,8 5,6 5,2 4,9 4,7 Despesas de 15% do primeiro prêmio. Despesas de 6% dos demais prêmios. Despesas de indenização por morte de $ 120, em média. Mortalidade aproximada de q [50]+t = 0, 0015 para t = 0, 1,..., 4. Calcule a participação nos ativos para essa apólice no começo de cada um dos primeiros seis anos. Técnicas Atuariais II 7. Reservas Matemáticas 9 / 25

Exemplo 7.9 Para os cálculos, vamos assumir que essa é uma de N apólices idênticas. O valor de N não irá afetar os resultados. Queremos calcular AS t para t = 0, 1,..., 5. Vamos calcular AS t acumulando até o tempo t os prêmios recebidos menos as indenizações e despesas pagas referentes a esse grupo de N apólices, considerando a experiência observada da seguradora, e dividindo pelos sobreviventes ao tempo t. Vamos considerar que AS t não inclui os prêmios e despesas devidos no tempo t (assim, AS 0 = 0). Para essa apólice, já calculamos antes que 0 V = $490. Técnicas Atuariais II 7. Reservas Matemáticas 10 / 25

Exemplo 7.9 Primeiro ano: Os prêmios menos despesas recebidos no tempo 0 são: 0, 85 11900 N = 10115. N Essa quantia acumula até o final do ano para: (1 + 0, 048) 10115 N = 10601. N Pagamentos de indenização por morte (no caso, S = P ) mais despesas no final do ano: (11900 + 120) 0, 0015. N = 18. N Resultando na quantia no final do ano de: 10601. N 18. N = 10582. N Técnicas Atuariais II 7. Reservas Matemáticas 11 / 25

Exemplo 7.9 Como há 0, 9985. N sobreviventes no início do segundo ano, temos que: AS 1 = 10582. N/0, 9985. N = 10598 Técnicas Atuariais II 7. Reservas Matemáticas 12 / 25

Exemplo 7.9 Repetindo os cálculos para os demais anos: Ano t Ativos no começo do ano Pag. no começo do ano Ativos no final do ano (antes pag.) Inden. e despesas Ativos no final do ano Sobreviventes 1 0 10115N 10601N 18N 10582N 0, 9985N 10598 2 10582N 11169N 22970N 36N 22934N 0, 9985 2 N 23003 3 22934N 11152N 35859N 54N 35805N 0, 9985 3 N 35967 4 35805N 11136N 49241N 71N 49170N 0, 9985 4 N 49466 5 49170N 11119N 63123N 89N 63034N 0, 9985 5 N 63509 AS t Por exemplo, as indenizações e despesas no ano 5 são: 0, 9985 4 }{{} 0, 0015 }{{} (5 11900 + 120) N = 89N }{{} sobreviventes mortalidade inden. e despesas Exercício Conferir os cálculos da tabela. Técnicas Atuariais II 7. Reservas Matemáticas 13 / 25

Exemplo 7.9 Comentários: A experiência observada da seguradora foi próxima às hipóteses da base de cálculo: As taxas observadas de juros ficaram entre 4,7% e 5,6%, enquanto a taxa esperada era de 5%; As despesas observadas, tanto as do prêmio (15% inicial e 6% depois) quanto as da indenização ($120), ficaram um pouco acima das despesas assumidas (10%, 5% e $100, respectivamente); A mortalidade observada (0, 9985 5 = 0, 99252) também foi próxima à mortalidade esperada ( 5 p [50] = 0, 99283). Por causa disso, o valor da participação nos ativos AS 5 = $63509 é bem próximo ao valor da reserva 5 V = $65470. Técnicas Atuariais II 7. Reservas Matemáticas 14 / 25

Alterações na apólice Técnicas Atuariais II 7. Reservas Matemáticas 15 / 25

Alterações na apólice Até agora assumimos que os termos de contrato do seguro não eram violados ou alterados de nenhuma maneira. Na prática, no entanto, não é raro o segurado solicitar alguma alteração nos termos da apólice: Cancelamento imediato: nesse caso, pode ser apropriado o pagamento de uma quantia ao segurado, especialmente quando há um componente significativo de investimento. Interrupção de pagamentos: os prêmios não serão mais pagos, mas a apólice continuará vigente com uma soma segurada reduzida. Um seguro de vida inteiro pode ser convertido em um seguro temporário. Alteração do valor dos prêmios, alteração do valor dos benefícios, conversão entre tipos de seguro, etc. Aqui, as alterações são solicitadas pelo segurado. Técnicas Atuariais II 7. Reservas Matemáticas 16 / 25

Alterações na apólice Dependendo da legislação, o contrato incluirá algumas condições para a solicitação de alteração. Por exemplo, valores fixos ou mínimos para os resgates por rescisão. Seja C t o valor do resgate por rescisão no tempo t. Se esses valores não forem definidos previamente, o atuário deverá determinar um valor apropriado para C t. Técnicas Atuariais II 7. Reservas Matemáticas 17 / 25

Alterações na apólice O valor de C t pode ser baseado em t V, se for determinado previamente; ou baseado em AS t caso contrário. Não será igual para não incentivar a rescisão, ou prejudicar os segurados que continuarem com o contrato inicial. Além disso, o segurado pode estar agindo motivado por uma informação desconhecida pela seguradora (anti-seleção). A seguradora terá gastos no caso de alterações na apólice. A alteração poderá causar também um risco de liquidez para a seguradora, no caso de pagamento por rescisão. Técnicas Atuariais II 7. Reservas Matemáticas 18 / 25

Alterações na apólice C t + V P E ( prêmios futuros do novo contrato, no tempo t ) = V P E ( benefícios e despesas ) futuros do novo contrato, no tempo t A idéia é a mesma do princípio da equivalência: a quantia disponível C t mais os prêmios futuros deverá arcar com os benefícios e despesas futuros. Técnicas Atuariais II 7. Reservas Matemáticas 19 / 25

Exemplo - Alterações na apólice Exemplo 7.13: (Dickson) Considere a apólice do Exemplo 7.4. A experiência da seguradora nos primeiros cinco anos é dada pelas condições do Exemplo 7.9. No começo do sexto ano, antes de pagar os prêmios, o segurado solicita que: (a) A apólice seja cancelada imediatamente; ou (b) O pagamento dos prêmios seja interrompido e o valor da anuidade a partir dos 60 anos seja reduzido. O benefício de indenização em caso de morte se mantém; ou (c) O pagamento dos prêmios continua, mas o benefício é alterado para um montante fixo (dotal puro) se sobreviver aos 60 anos. O benefício de indenização em caso de morte se mantém, e há uma despesa de $100 associada ao pagamento do benefício de sobrevivência. Técnicas Atuariais II 7. Reservas Matemáticas 20 / 25

Exemplo - Alterações na apólice Exemplo 7.13: (Dickson) Calcule o valor de resgate por rescisão C t no caso de (a), a anuidade reduzida no caso de (b), e o valor do benefício no caso de (c), assumindo que a seguradora use para calcular C t : (i) 90% de AS t menos uma despesa de $200; ou (ii) 85% de V t menos uma despesa de $200. Já sabemos dos exemplos anteriores que: 5V = 65470 e AS 5 = 63509 Assim, a quantia C 5 é dada por: (i) 0, 9 AS 5 200 = 56958 (ii) 0, 85 V 5 200 = 55449 Técnicas Atuariais II 7. Reservas Matemáticas 21 / 25

Exemplo 7.13 - Alterações na apólice (a) No caso de cancelamento, os valores de resgate por indenização são iguais a C 5 ($56958 e $55449). (b) No caso da anuidade reduzida: C 5 = 5 11900 A 1 55:5 + 100 A 1 55:5 + (X + 25)v5 5p 55 ä 60 Assim, (i) X = $4859, e (ii) X = $4728. (c) No caso do dotal puro com os prêmios: C 5 + 0, 95 11900ä 55:5 = 11900 ( (IA) 1 55:5 + 5A 1 ) 55:5 +100A 1 55:5 + v5 5p 55 (S + 100) Assim, (i) S = $138314, e (ii) S = $136364. Técnicas Atuariais II 7. Reservas Matemáticas 22 / 25

Reserva retrospectiva Técnicas Atuariais II 7. Reservas Matemáticas 23 / 25

Reserva retrospectiva Definimos o valor da reserva matemática baseado na variável aleatória da perda futura. Alguns autores consideram essa uma reserva prospectiva. Podemos definir também as reservas retrospectivamente. Reserva retrospectiva É calculada acumulando-se os prêmios recebidos menos benefícios pagos até o tempo t, assumindo que a experiência da seguradora segue exatamente a base de cálculo da apólice. Técnicas Atuariais II 7. Reservas Matemáticas 24 / 25

Reserva retrospectiva As reservas retrospectiva e prospectiva serão iguais sob algumas condições: (a) O prêmio for calculado usando o princípio da equivalência; (b) O valor esperado da perda futura for calculado usando a base de cálculo do prêmio; (c) A experiência da seguradora seguir exatamente as hipóteses na base de cálculo do prêmio. O valor da reserva retrospectiva será igual ao valor da participação nos ativos SE a experiência da seguradora seguir exatamente as hipóteses na base de cálculo da reserva. Técnicas Atuariais II 7. Reservas Matemáticas 25 / 25