Construção e Análise de Figuras Regulares: elementos e características

II Simpósio Ibero-Americano de Tecnologias Educacionais - SITED2018 Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC Araranguá, SC, Brasil 11 a 13 de abril de 2018 Construção e Análise de Figuras Regulares: elementos e características Rafael dos Reis Paulo 1, André Luis Andrejew Ferreira 2, Margarete Farias Medeiros 3 Universidade Federal de Pelotas 1,2, Instituto Federal Catarinense Campus Avançado Sombrio 3 E-mail: rafael.drp@hotmail.com 1, andrejew.ferreira@gmail.com 2, margarete.medeiros@ifc.edu.br 3 Resumo. Este trabalho é resultado de uma oficina aplicada na disciplina de Laboratório de Práticas de Ensino- Aprendizagem I, na qual os participantes foram os acadêmicos da 5ª fase do curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal Catarinense Campus Avançando Sombrio no primeiro semestre de 2015. Apresenta-se um conjunto de atividades desenvolvidas as quais objetivaram a construção das figuras regulares com instrumentos de medidas tais como: régua, transferidor, esquadro e compasso. Após a construção das figuras com instrumentos físicos, realizouse a construção das mesmas utilizando-se o GeoGebra. Por meio do software permitiu-se destacar alguns aspectos relevantes sobre a utilização da Geometria Dinâmica em sala de aula: (a) o professor pode explorar o assunto estudado com maior profundidade; (b) detalhar as características e propriedades de forma rápida, instantânea e dinâmica, tendo maior proximidade e exatidão na construção das figuras regulares e (c) permite que o aluno, mesmo sem a presença do professor, consiga construir as figuras por meio do Protocolo de Construção de sequências já realizadas. Por fim, a utilização da Tecnologia Digital para representar e comparar figuras regulares se mostrou válida, pois os futuros professores, participantes dessa oficina constataram um melhor entendimento sobre os elementos e características das figuras regulares. Palavras-chaves: Figuras regulares, GeoGebra, Tecnologias Digitais; Educação Matemática. Introdução A Educação Matemática vem se mostrando nas últimas décadas um campo fértil de experimentação e pesquisa nos mais diversos eixos que a compõe, a saber, o currículo, a formação de professores, os estudos socioculturais, as metodologias, as tendências, entre outros. Dentre os citados, as tendências em Educação Matemática têm cumprido um papel importante na discussão e reflexão sobre o novo panorama educacional. Panorama esse que busca remodelar o ensino e a aprendizagem não apenas como requisito formal de todo estudante, mas sim, com vistas a uma formação profissional, social e moral. E, remetendo-se internamente às Tendências estudadas nessa área tem-se às Tecnologias Digitais (TD), que evocaram premissas de que a escola já não é a primeira fonte de conhecimento para os alunos e, às vezes, nem mesmo a principal, em muitos âmbitos (TORNAGHI, PRADO e ALMEIDA 2010, p.61). Isso provocou um crescimento notável de pesquisas e trabalho que objetivam a inserção dessas tecnologias em sala e, por conseguinte no ensino de Matemática. Gadanidis, Borba e Silva (2016) perceberam que a entrada desses novos artefatos tecnológicos modificara até mesmo a visão de mundo das pessoas, levando metaforicamente a relação seres-humanoscom-mídias como forma de explicar o impacto do avanço tecnológico. Todavia é necessário implementar efetivamente essas TDs como uma ferramenta (não como suporte) importante no processo de ensino e aprendizagem e, com a mesma magnitude que estão sendo utilizadas para o entretenimento. No âmbito da Matemática a criação e a inovação por meio de softwares, programação, mídias digitais e jogos ganham cada vez mais adeptos, pois a: tecnologia digital coloca à nossa disposição ferramentas interativas que incorporam sistemas dinâmicos de representação na forma de objetos concreto abstratos. São concretos porque existem na tela do computador e podem ser manipulados e são abstratos porque respondem às nossas elaborações e construções mentais (BÚRIGO et 370

al., 2012 p. 14). Entre várias TDs utilizadas para o ensino de matemática, destaca-se a importância dos softwares e applets que permitem que o professor tenha uma aproximação real com o objeto na qual pretende ensinar. Um software que se sobressai pela sua interface simples e dinâmica é o GeoGebra que compila as plataformas de geometria dinâmica e dos sistemas de computação algébrica, o que nos leva a revisitar perspectivas importantes da segunda fase como a experimentação com tecnologias e a visualização (GADANIDIS, BORBA e SILVA, 2016, p.14), permitindo assim, mobilizar diferentes representações de um objeto matemático. Paralelamente a isso, aponta ainda os mesmos autores que o surgimento de novas tecnologias, em especial as TDs, permitem que novos tipos de problemas matemáticos sejam investigados (2016), condicionando a resolução de certos problemas matemáticos à tecnologia em uso, procurando sempre levar em consideração para a implantação dessas tecnologias dois aspectos: Primeiro, o domínio do técnico e do pedagógico não deve acontecer de modo estanque, um separado do outro. É errôneo pensar ser, primeiramente, um especialista em informática ou em mídia digital para depois tirar proveito desse conhecimento nas atividades pedagógicas. [...]O segundo aspecto diz respeito à especificidade de cada tecnologia com relação às aplicações pedagógicas. O educador deve conhecer o que cada uma destas facilidades tecnológicas tem a oferecer e como pode ser explorada em diferentes situações educacionais. (VALENTE, 2003, p. 1-2) Nessa perspectiva de não subutilizar as tecnologias (digitais ou não) e explorar diferentes maneiras de implantá-las no meio educacional é que apresentar-se-á uma oficina realizada no Instituto Federal Catarinense Campus Avançado Sombrio (IFC-CAS) acerca de diferentes tecnologias para construção e análise de figuras regulares. Nesta oficina a construção das figuras regulares se fez de duas maneiras, a primeira utilizando instrumentos de medidas como régua, esquadro, compasso e transferidos e, a segunda com a utilização do software de matemática dinâmica (GeoGebra). Metodologia A oficina sobre a construção de figuras regulares foi realizada no IFC-CAS nas aulas de Laboratório de Práticas de Ensino-Aprendizagem I no primeiro semestre de 2015, os participantes foram os acadêmicos da 5ª fase do curso de Licenciatura em Matemática. Realizou-se um sorteio com vários conteúdos abordados no ensino fundamental séries finais e, a presente oficina relatada tratou da construção e análise de figuras regulares: elementos e características. O conjunto de atividades desenvolvidas objetivou a construção de figuras regulares com instrumentos de medidas, como por exemplo: régua, transferidor, esquadro e compasso. Após a construção das figuras foi realizado uma comparação com a construção das mesmas figuras regulares utilizando o GeoGebra. Assim, em seu desenvolvimento foram consideradas as seguintes etapas: sequência didática contendo passo a passo da construção das figuras, bem como seus elementos e características; aplicação em sala; discussão e análises das figuras construídas. Durante a execução das sequências didáticas foram registadas e anotadas as conversas que os participantes discorriam sobre a oficina, seguido de uma conversa informal com alguns deles, apenas questionando como a utilização de TDs se faz necessária na construção de figuras regulares na Educação Básica. Finalizada a escrita dos procedimentos metodológicos se apresenta na próxima seção a implementação, análise e discussão das atividades aplicadas nesta oficina. Implementação, resultados e discussão A utilização de figuras regulares não é recente, povos antigos utilizavam-na para a construção e decoração de pisos, tetos, painéis e templos. Hoje comumente chamando de mosaicos (é uma forma de 371

arte decorativa milenar), egípcios, persas, bizantinos, árabes, mouros, hindus e chineses já usavam esta técnica. Até mesmo as abelhas utilizam-se do hexágono regular nas construções de suas colmeias. Nas bolas de futebol também aparecem figuras baseadas em polígonos regulares (pentágonos e hexágonos). Com isso, o estudo dessas figuras se torna necessário, pois as mesmas trazem consigo características e elementos que serão construídos e analisados no nas atividades que seguem. Para o desenvolvimento da oficina sobre a construção de figuras regulares, fez-se inicialmente uma sequência didática contendo: justificativa, para enaltecer a importância da geometria e suas formas no cotidiano e; objetivos, os quais foram: Identificar e classificar formas planas por meio de suas representações em desenhos; Analisar seus elementos e características; Construir figuras regulares tais como triângulos, quadrados e pentágonos a partir de segmentos de reta, retas e circunferências, a partir de suas propriedades. Na operacionalização da aula foi relatado os fatos históricos acerca do conteúdo, mostrando imagens de figuras regulares encontradas em obras de arte, monumentos históricos e na natureza. Tendo em vista os objetivos a serem alcançados se iniciou as atividades práticas de construção de figuras regulares. A construção das figuras se realizou da seguinte maneira, enquanto um acadêmico instruía o protocolo para a construção das figuras o outro executava o passo a passo na lousa, utilizando também os instrumentos de medidas: compasso e régua. E, após a construção com os instrumentos de medidas físicos foi solicitado a construção no GeoGebra. A primeira figura a ser construída foi o triângulo equilátero, para a sua construção fez-se necessário o cumprimento dos seguintes passos: Traçar um segmento de reta (AB) utilizando a régua; Com o auxílio do compasso construa uma circunferência com o centro em A passando pelo ponto B. Em seguida construa uma outra circunferência cujo centro é o ponto B passando pelo ponto A; Observe que as duas circunferências construídas a partir do segmento se interceptam no ponto C; Traçando um segmento de reta (AC), (AB) e (BC) forma-se o triângulo equilátero (Figura 1). Figura 1 - Triângulo equilátero construído com o auxílio de régua e compasso de madeira. Fonte: Autores (2015). Como podemos visualizar na Figura 1, os segmentos criados, ou seja, (AC), (AB) e (BC) são raios das circunferências, sendo assim possuem a mesma medida caracterizando um triângulo equilátero. Tendo assim as seguintes características e elementos: três vértices (A, B e C); três lados de mesma medida ((AC), 372

(AB) e (BC)); soma dos ângulos internos 180º, medindo 60º cada ângulo interno; 360º é a soma dos ângulos externos e medindo 120º cada ângulo externo (as medidas de ângulos foram verificadas utilizando o transferidor como instrumento de medida). Após a construção do triângulo usando os materiais manipulativos, fez-se a necessidade de comparálo com a construção a partir do GeoGebra (Figura 2) elencando algumas características do mesmo. Figura 02 Triângulo equilátero construído com o auxílio Do GeoGebra. Fonte: Autores (2015). A construção do triângulo equilátero por meio do software permitiu destacar algumas facilidades segundo os participantes da oficina: A utilização de instrumentos de medidas é necessária no ambiente escolar, porém alguns destes instrumentos são pontiagudos e podem ser utilizados como ferramenta de perfuração, sendo de responsabilidade do professor a vigilância sobre a utilização desses materiais. Já utilizando o software, os alunos não têm contato com estes tipos de ferramentas permitindo ao professor explorar mais intensamente o assunto estudado; Durante as aulas comumente escritas na lousa, o professor se preocupa em desenhar ou representar figuras (regulares, em perspectiva ou figuras curvilíneas) o mais próximo das características conceitualmente definidas. No entanto, é notável a dificuldade de representá-las, necessitando de um maior tempo para construir, bem como, a utilização de vários instrumentos como régua, compasso, entre outros. Com a utilização do GeoGebra o professor consegue trabalhar as mesmas características e propriedades de forma rápida, instantânea e dinâmica, tendo maior proximidade e exatidão na construção das figuras; O software permite que o aluno mesmo sem a presença do professor consiga construir as figuras por meio do Protocolo de Construção (ferramenta do GeoGebra), visto que em sala de aula o aluno teria que escrever a sequência passo a passo de como o professor construiu a figura na lousa; Dentre esses aspectos levantados pelos estudantes é importante ressaltar a ferramenta Protocolo de Construção, pois permite ao professor verificar de que forma o aluno representou a figura que aparece na janela de visualização, veja na Figura 3 abaixo a construção do mesmo triângulo equilátero da Figura 2. 373

Figura 3 Protocolo de construção do triângulo equilátero. Fonte: Autores (2015). Na oficina ministrada, fez-se também a construção do quadrado (Figura 4) na lousa e no software. Para a construção de um quadrado segue a sequência: Traçar um segmento de reta AB; Com um auxílio de um compasso construa uma circunferência com o centro A passando pelo ponto B. Em seguida, construa uma outra circunferência cujo centro é o ponto B passando pelo ponto A; Utilizando o esquadro trace uma reta perpendicular ao segmento AB, com origem no ponto B, em seguida trace outra reta perpendicular com segmento AB, com origem no ponto A; Em seguida, marque os pontos em que as retas perpendiculares interceptam as circunferências, chamando-os de ponto C e D; Através de um segmento de reta una os pontos C e D Figura 4 Comparação da construção do quadrado na lousa e no GeoGebra respectivamente. Fonte: Autores (2015). Observe no quadrado ABCD que seus lados correspondem aos segmentos que são raios das circunferências e, os ângulos internos são retos, pois utilizamos o esquadro (no software retas perpendiculares). As características e elementos são: quatro vértices; quatro lados; soma dos ângulos internos 360º, medindo 90º cada ângulo interno e; soma dos ângulos externos 360º, medindo 90º cada ângulo externo. E, para enaltecer a importância da utilização da TD na construção das figuras regulares foi construído o pentágono regular (Figura 5). Para a construção de um pentágono regular, devem seguir os passos abaixo: Com auxílio de um compasso desenhe uma circunferência centro em O; Trace dois seguimentos de retas perpendiculares entre si, interceptando-se no centro O da circunferência. Nas intersecções com a circunferência, marque os pontos E, F e G; Trace a mediatriz H do segmento OF; Com centro em H, descreva uma circunferência de raio HE e marque a intersecção com o segmento OG como I; 374

Abra o compasso e posicione a ponta seca em E. Descreva uma nova circunferência com raio EI e marque a intersecção com a primeira circunferência como A; Analogamente, faça novas circunferências de raio EI marcando os pontos de intersecção como B, C e D; Unindo os pontos A, B, C, D e E, formamos o pentágono ABCDE. Da mesma forma, as características e elementos são: cinco vértices; cinco lados; soma dos ângulos internos 540º, medindo 108º cada ângulo interno e; soma dos ângulos externos 360º, medindo 72º cada ângulo externo. Figura 5 Comparação da construção do pentágono regular na lousa e no GeoGebra respectivamente. Fonte: Autores (2015). As discussões sobre a construção do quadrado e do pentágono regular foram semelhantes àquelas apresentadas na construção do triângulo equilátero, salva a exceção em que os licenciandos apontaram que o pentágono regular teve maior discrepância nos valores de ângulo interno e externo comparando os que foram construídos no ambiente lápis e papel em relação ao GeoGebra. Dessa forma considera-se as palavras de Medeiros (2017, p.81): O software GeoGebra oportuniza a realização de atividades educativas, as quais seriam impossíveis, sem o apoio do computador criação de atividades de movimentação e dinamismo nas construções geométricas. Além de permitir ao estudante ir além do que o professor está propondo em sala de aula. Propicia ao estudante adentrar em caminhos até então desconhecidos pelo mesmo e, talvez pelo professor; oportuniza conjecturar, refletir sobre sua ação, abstrair e generalizar. Para tanto, uma maneira de implementar a utilização dessas duas tecnologias é a partir do quadrado realizar as construções somente no software, pois além de avançar nos demais polígonos (hexágono, heptágono) tem-se uma representação muito próxima do objeto real, ou seja, polígonos regulares. Também oportunizando ao aluno a possibilidade já comentada na citação anterior. Conclusão Ao concluir a oficina sobre a construção de figuras regulares envolvendo a utilização de instrumentos de medidas juntamente com o GeoGebra, podem-se estabelecer alguns aspectos conclusivos em relação a inserção das TDs em sala de aula. A utilização do software de matemática dinâmica para representar e comparar figuras regulares, se mostrou válida nos seguintes aspectos: na visualização dos elementos e análise das características das figuras regulares; nas construções das figuras a partir de suas propriedades; na economia de tempo e de materiais escolares; na utilização correta dos instrumentos de medidas e; garantiu maior proximidade e exatidão na construção das figuras regulares. Além disso, analisou-se a dinamicidade das figuras construídas no GeoGebra, a partir de suas 375

propriedades, em relação às construídas na lousa. O software possui o recurso da Geometria Dinâmica, sob a ação da ferramenta mover, tanto o professor quanto o aluno, poderão movimentar suas construções sem que a mesma se deforme, ou seja, poderá mudar de tamanho, mas continuará sendo uma figura semelhante à figura original não perdendo suas propriedades iniciais. E, também, o professor que utiliza recursos tecnológicos digitais não necessita possuir formação específica na área para utilizar softwares ou applets, é necessário que o mesmo saiba manipular as ferramentas do aplicativo tendo o domínio dos conceitos e suas definições, bem como ser um mediador entre o objeto m estudo e o aluno. Agradecimentos À Fundação de Amparo à pesquisa do Estado do Rio Grande do Sul (FAPERGS) e Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) pelo apoio financeiro. Referências BÚRIGO, E. Z.; BASSO, M. V.; GARCIA, V. C. V.; GRAVINA, M. A. Matemática, mídias digitais e didática: tripé para formação do professor de matemática. Porto Alegre: EVANGRAF, 2012. GADANIDIS, D.; BORBA, M. C.; SILVA, R. S. R. Fases das tecnologias digitais em educação matemática: sala de aula e internet em movimento. Belo Horizonte: Autêntica, 2006. MEDEIROS, M.F. et al. A Atenção Voluntária na Construção de Conceitos Trigonométricos em Ambientes de Geometria Dinâmica. Brazilian Journal of Computers in Education (Revista Brasileira de Informática na Educação -RBIE), 25(1), 77-93, 2017. Disponível em: http://www.brie.org/pub/index.php/rbie/article/view/7084>. Acesso em: 29 mar.2018 TORNAGHI, A. J. C.; PRADO, M. E. B. B.; ALMEIDA, M. E. B. Tecnologias na educação: ensinando e aprendendo com as TIC: guia do cursista. Brasília: MEC/SED, 2010. VALENTE, J. A. Pesquisa, comunicação e aprendizagem com o computador. Série Pedagogia de Projetos e Integração de Mídias - Programa Salto para o Futuro, set., 2003.CESED. Portal CESED. Disponível em: <http://www.cesed.br/portal/>. Acesso em: 16 ago. 2017. 376