GEOGEBRA 3D: UMA NOVA POSSIBILIDADE NO ENSINO-APRENDIZAGEM DA GEOMETRIA J. F. Garcia 1 R. Sehnem 2 R. Simões Júnior 3

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1 GEOGEBRA 3D: UMA NOVA POSSIBILIDADE NO ENSINO-APRENDIZAGEM DA GEOMETRIA J. F. Garcia 1 R. Sehnem 2 R. Simões Júnior 3 Resumo: Uma das dificuldades enfrentadas no ensino da Geometria é a visualização tridimensional dos sólidos geométricos. O aluno está habituado a trabalhar com figuras planas e estáticas, e isso pode impedir que ele consiga visualizar a relação entre a profundidade do objeto e seus planos no espaço. A metodologia de ensino utilizada para o ensino desses conceitos pode provocar essa dificuldade, isto é, o ensino baseado no quadro negro, ou no livro didático, por exemplo, contribuem para a não visualização da tridimensionalidade. O GeoGebra é uma ferramenta tecnológica que permite o estudo da geometria utilizada no meio acadêmico. A versão bidimensional é conhecida e de usual manuseio no nível médio e superior, no entanto, a versão que contempla as três dimensões ainda é uma novidade que precisa ser explorada e divulgada. Nesse sentido, o Grupo PET Matemática busca, a partir desse momento, explorar e sistematizar as construções possíveis para que posteriormente possam ser socializadas no meio acadêmico. Serão apresentados exercícios em que a construção dos sólidos geométricos se faz necessária e a manipulação dos mesmos favoreça a resolução de problemas que envolvam a temática. Palavras-chave: geometria, Geo Gebra, tridimensional 1 Estudante, Curso Licenciatura em Matemática, bolsista do grupo PET Matemática, IFRS Câmpus Bento Gonçalves, Av. Osvaldo Aranha, 540, CEP , Bento Gonçalves, RS. Fone (54) , jfgarciapel@gmail.com 2 Estudante, Curso Licenciatura em Matemática, bolsista do grupo PET Matemática, IFRS Câmpus Bento Gonçalves, Av. Osvaldo Aranha, 540, CEP , Bento Gonçalves, RS. Fone (54) , rafa-sehnem@hotmail.com 3 Licenciado em Matemática, Prof. Mestre, IFRS Câmpus Bento Gonçalves, Av. Osvaldo Aranha, 540, CEP , Bento Gonçalves, RS. Fone (54) , rubilar.junior@bento.ifrs.edu.br

2 A construção do pensamento geométrico A habilidade de raciocinar e pensar geometricamente refere-se a ter capacidades como comunicação, representação e orientação espacial, coordenação de ângulos de observação distintos e o reconhecimento da utilização da geometria na resolução de problemas cotidianos. O pensamento geométrico desenvolve-se inicialmente pela visualização: as crianças conhecem o espaço como algo que existe ao redor delas. As figuras geométricas são reconhecidas por suas formas, por sua aparência física, em sua totalidade, e não por suas partes ou propriedades (PCN: Matemática, 1997, p. 127). O desenvolvimento do pensamento geométrico baseia-se na visualização do espaço e de suas formas. Depois de realizada, é possível conceder características para que, mentalmente, uma imagem seja criada. Através da resolução de problemas e análise dos conceitos e propriedades geométricas, efetua-se considerações acerca das imagens visuais e mentais, o que permite a compreensão e a possibilidade de aceitar ou negar as proposições geométricas formais. Segundo os PCNs (1997), o pensamento geométrico vai do pensar no que pode ser percebido para o que pode ser concebido. Figura 1: Construção de hipérbole por seções cônicas no GeoGebra 3D. Como alternativa para novas metodologias de ensino e aprendizagem de geometria, percebe-se a utilização da tecnologia como ferramenta para despertar novas visões a respeito do espaço, o que pode favorecer a construção do pensamento geométrico.

3 A tecnologia em sala de aula A utilização das TICs (Tecnologias de Informação e Comunicação) na educação já vem sendo amplamente debatida e sua importância já foi consolidada perante uma nova sociedade, globalizada e habitada por nativos digitais. Em virtude disso, pesquisa-se os potenciais da utilização de recursos digitais e seu impacto na educação matemática. Isso pode ser respondido pela exploração de como as mudanças tecnológicas interagem com a aprendizagem. A tecnologia moderna pode proporcionar aos alunos uma nova forma de vivenciar conceitos matemáticos, e sendo assim, é essencial para todos os envolvidos na comunidade de ensino a compreensão do impacto desses meios na aprendizagem do estudante. Em outras palavras, é necessário entender se e como esses meios afetam e/ou contribuem para a aprendizagem e, ainda, o que os alunos compreendem a partir de sua utilização. Os educadores precisam conhecer as realidades e as possibilidades de aprendizagem na era das TICs. A Agência Britânica de Comunicações e Tecnologias Educacionais (BECTa apud CHRYSANTHOU, 2007, tradução nossa) argumenta que a tecnologia "melhora a realização e ajuda a elevar os padrões, apoia a melhoria da escola e sua eficiência, fortalece a gestão de dados das autoridades locais e ajuda a personalizar o aprendizado". A utilização das TICs, onde quer que seja possível, faz com que a construção do conhecimento ocorra de maneira mais fluida e concreta; pode-se dizer, inclusive, que os recursos digitais têm potencial para melhorar a aprendizagem cognitiva, desenvolver habilidades de resolução de problemas e de pensamento de nível superior e ampliar habilidades físicas e mentais. Segundo Borba e Penteado (2001, p.47), a uma interação entre humanos e não humanos de uma forma que aquilo que é um problema em uma determinada tecnologia passa a ser uma mera questão em outra. O ensino e a aprendizagem da matemática deve ser uma experiência agradável para os estudantes e a tecnologia é uma possível ferramenta para que isso ocorra. Os professores não devem negar desafiadoras experiências matemáticas aos alunos ou ensiná-los apenas de forma tradicional. Atualmente, o uso da tecnologia é uma importante área de pesquisa na educação, especialmente na matemática. Novas possibilidades: o GeoGebra 3D O GeoGebra é um software de geometria dinâmica que combina vários aspectos de diferentes pacotes matemáticos (Hohenwarter & Lavicza, 2007). É um software livre e de

4 código aberto que se torna uma ferramenta flexível que pode ser utilizada em construções que abrangem assuntos do ensino fundamental ao nível superior (Hohenwarter & Jones, 2007). Ele alia dinamicamente geometria, álgebra e cálculo oferecendo esses recursos em um ambiente de software totalmente conectado (Hohenwarter & Lavicza, 2007). Uma característica importante do software é que ele oferece várias representações simultâneas de cada objeto: cada expressão na Janela de Álgebra corresponde a um objeto na Janela de Visualização, o que fornece uma visão mais profunda da relação entre geometria e álgebra. Em agosto de 2013, foi disponibilizada uma versão beta do GeoGebra para testes, que incluía a Janela de Visualização 3D. Então, em setembro de 2014, foi lançada a versão final do GeoGebra 5.0 que incluía diversas modificações, dentre elas: a adaptação de recursos para visualização 3D pontos, vetores, linhas, segmentos, raios, polígonos e círculos além de novos tipos de objetos, como superfícies, planos, pirâmides, prismas, esferas, cilindros e cones. Ainda, foram desenvolvidos novos comandos para otimização da ferramenta 3D. A partir dessa versão, há comandos no campo de entrada para rotação em torno de eixo ou plano e reflexão de objetos. Também é possível marcar os pontos de interseção entre um plano ou linha e um segmento ou polígono, entre outros, além do ponto central de uma quádrica como por exemplo, o centro de uma esfera ou cone. Além disso, podem ser mostrados vetores e retas perpendiculares entre pontos e planos, entre outros, e ainda, calcular o volume de pirâmides, prismas, cones e cilindros. Na Janela de Visualização 3D, pode-se rotacionar a construção realizada pelas coordenadas e assim, gerar melhores visualizações para o objeto. Isso pode favorecer o desenvolvimento do pensamento geométrico, inclusive da noção espacial, e dessa forma, auxiliar na resolução do problema. Resolução de problemas com manipulação geométrica No momento em que se estuda a Geometria, percebe-se maior dificuldade quando se fala em três dimensões. O estudante está habituado a trabalhar com figuras planas e estáticas, o que faz com que, quando o docente propõe um problema que envolva um prisma ou um cubo, por exemplo, o aluno não consiga visualizar a relação entre seus planos no espaço e a

5 profundidade que o objeto tem. Pode-se atrelar isso ao exercício, ou as definições, serem fornecidos ao aluno sempre em duas dimensões ao estar no quadro negro, ou no livro, por exemplo. Dessa forma, em problemas como os exemplos seguintes, o estudante não consegue perceber as relações entre os ângulos e lados do objeto. A utilização do GeoGebra, em especial de sua Janela de Visualização 3D, permite maior manipulação e então, com simples movimentações, que possamos chegar ao resultado esperado. Exemplo 1: Considere um cubo de aresta 10 e um segmento que une o ponto P, centro de uma das faces do cubo, ao ponto Q, vértice do cubo, como indicado na figura abaixo. Determine a medida do segmento PQ. Figura 2: Comparação do exemplo 1 fornecido pelo livro e a visualização na janela 3D do GeoGebra. Exemplo 2: Um livro de páginas quadradas é aberto segundo um ângulo reto, conforme figura abaixo. Neste caso, qual o ângulo determinado pelas diagonais das páginas (indicadas em azul na figura abaixo)? Figura 3: Comparação do exemplo 2 fornecido pelo livro e a visualização na janela 3D do GeoGebra. Exemplo 3: No cubo abaixo, considere P e Q como pontos médios das arestas. Qual é a quadrilátero formada pelos pontos HPBQ?

6 Figura 4: Comparação do exemplo 3 fornecido pelo livro e a visualização na janela 3D do GeoGebra. Nota-se que, grande parte dos alunos não consegue relacionar o que o problema solicita com a imagem bidimensional fornecida. Como alternativa para solucionar isso, o GeoGebra permite a criação de planos, segmentos entre vértices opostos e mostra ângulos entre planos, vértices, vetores, retas e pontos, o que favorece a visualização dos exercícios propostos. Considerações finais A disponibilização de ferramentas que possibilitam construções algébricas e geométricas em três dimensões abre margem para uma infinidade de possibilidades a serem exploradas e mesmo aquelas que já são utilizadas, a terem uma relação de maior proximidade entre o abstrato e o concreto. Tendo isso em vista, o GeoGebra apresenta a possibilidade de, com fácil manuseio e simples comandos para construções, ampliar a forma de visualização de situações-problema. Isso posto, julga-se essencial a permanência dos estudos a respeito de possibilidades para o ensino-aprendizagem de conteúdos matemáticos, uma vez que, com a presença tecnológica no cotidiano educacional, vislumbram-se novos horizontes.

7 Referências bibliográficas BRASIL. Secretaria da Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, BORBA, M., & PENTEADO, M. G. Informática e Educação Matemática: Autêntica, CHRYSANTHOU, I. The use of ICT in primary mathematics in Cyprus: the case of GeoGebra. 94 p. Dissertação para Mestrado de Filosofia em Educação - University of Cambridge, Reino Unido, 14 ago HOHENWARTER, M., & JONES, K. (2007). Ways of linking Geometry and Algebra: The case of GeoGebra. Paper presented at the Proceedings of the British Society for Research into Learning Mathematics, University of Northampton, UK. HOHENWARTER, M., & LAVICZA, Z. (2007). Mathematics teacher development with ICT: Towards an International Geogebra Institute. Paper presented at the Proceedings of the British Society for Research into Learning Mathematics.