Conversão Matricial. Prof. Fernando V. Paulovich 20 de maio de SCC Computação Gráca

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1 Conversão Matricial SCC Computação Gráca Prof. Fernando V. Paulovich paulovic@icmc.usp.br Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação (ICMC) Universidade de São Paulo (USP) 20 de maio de / 60

2 Introdução Sumário 1 Introdução 2 Conversão Segmento de Reta 3 Algoritmo DDA 4 Algoritmo de Bresenham Traçado de Retas Traçado de Circunferências 5 Correção de Traçado (Antialiasing) Antialiasing e OpenGL 2 / 60

3 Introdução Sumário 1 Introdução 2 Conversão Segmento de Reta 3 Algoritmo DDA 4 Algoritmo de Bresenham Traçado de Retas Traçado de Circunferências 5 Correção de Traçado (Antialiasing) Antialiasing e OpenGL 3 / 60

4 Introdução Imagem Vetorial x Imagem Matricial 4 / 60

5 Introdução Problema Traçar primitivas geométricas (segmentos de reta, polígonos, circunferências, elipses, curvas,...) no dispositivo matricial rastering = conversão vetorial matricial Como ajustar uma curva, denida por coordenadas reais em um sistema de coordenadas inteiras cujos pontos tem área associada 5 / 60

6 Introdução Sistema de Coordenadas do Dispositivo 6 / 60

7 Conversão Segmento de Reta Sumário 1 Introdução 2 Conversão Segmento de Reta 3 Algoritmo DDA 4 Algoritmo de Bresenham Traçado de Retas Traçado de Circunferências 5 Correção de Traçado (Antialiasing) Antialiasing e OpenGL 7 / 60

8 Conversão Segmento de Reta Conversão de Segmentos de Reta Dados pontos extremos em coordenadas do dispositivo P 0(x 0, y 0) (inferior esquerdo) P end (x end, y end ) (superior direito) Determina quais pixels devem ser acesos para gerar na tela uma boa aproximação do segmento de reta ideal 8 / 60

9 Conversão Segmento de Reta Conversão de Segmentos de Reta Características Desejáveis Linearidade Precisão Espessura (Densidade Uniforme) Intensidade independente de inclinação Continuidade Rapidez no traçado 9 / 60

10 Conversão Segmento de Reta Conversão de Segmentos de Reta Usar equação explícita da reta y = m x + b Com m a inclinação da reta dada por m = y end y 0 x end x 0 Com b a intersecção do eixo y dada por b = y 0 m x 0 10 / 60

11 Conversão Segmento de Reta Conversão de Segmentos de Reta Algoritmo Simples Variando-se x unitariamente de pixel em pixel, encontramos o valor de y 1 { 2 int x, x0, xend, y0, yend; 3 float y, m; 4 int valor; //cor do pixel 5 6 m = (yend - y0)/(xend - x0); 7 for (x = x0; x <= xend; x++) { 8 y = y0 + m * (x - x0); 9 write_pixel (x, round(y), valor); //arredonda y 10 } 11 } 11 / 60

12 Conversão Segmento de Reta Problema Na forma dada, só funciona para segmentos em que 0 < m < 1. Porque? 12 / 60

13 Conversão Segmento de Reta Problema Se 0 < m < 1 a variação em x é superior à variação em y. Se esse não for o caso, vai traçar um segmento com buracos!! 13 / 60

14 Conversão Segmento de Reta Solução Se m > 1, basta inverter os papéis de x e y, i.e., amostra y a intervalos unitários, e calcula x x = x 0 + y y 0 m 14 / 60

15 Algoritmo DDA Sumário 1 Introdução 2 Conversão Segmento de Reta 3 Algoritmo DDA 4 Algoritmo de Bresenham Traçado de Retas Traçado de Circunferências 5 Correção de Traçado (Antialiasing) Antialiasing e OpenGL 15 / 60

16 Algoritmo DDA Algoritmo DDA Chamando de δx uma variação na direção de x, podemos encontrar a variação δy em y correspondente fazendo δy = m δx ou similarmente δx = δy m O algoritmo Digital Dierential Analyzer (DDA) se baseia no cálculo de δx ou δy 16 / 60

17 Algoritmo DDA Algoritmo DDA Para m 1, na iteração i temos y i = m x i + b Sendo δ x a variação na direção de x, na iteração i + 1 temos y i+1 = m x i+1 + b y i+1 = m (x i + δx) + b y i+1 = m x i + m δx + b y i+1 = (m x i + b) + m δx y i+1 = y i + m δx Se δx = 1, então x i+1 = x i + 1, e y i+1 = y i + m 17 / 60

18 Algoritmo DDA Algoritmo DDA Se m > 1, inverte-se os papéis de x e y, isto é, δy = 1 e calcula-se x x i = yi b m x i+1 = yi+1 b m x i+1 = yi+δy b m x i+1 = yi b m + δy m x i+1 = x i + δy m Se δy = 1, então y i+1 = y i + 1, e x i+1 = x i + 1 m 18 / 60

19 Algoritmo DDA Algoritmo DDA Assume x 0 < x end e y 0 < y end (m positivo), processamento da esquerda para a direita Se não é o caso, então δx = 1 ou δy = 1, e a equação de traçado deve ser adaptada de acordo Exercício: fazer a adaptação em cada caso 19 / 60

20 Algoritmo DDA Exercício Aplique o algoritmo (e adaptações) para fazer a conversão dos seguintes segmentos de reta P1: (0,1) P2: (5,3) P1: (1,1) P2: (3,5) 20 / 60

21 Algoritmo de Bresenham Sumário 1 Introdução 2 Conversão Segmento de Reta 3 Algoritmo DDA 4 Algoritmo de Bresenham Traçado de Retas Traçado de Circunferências 5 Correção de Traçado (Antialiasing) Antialiasing e OpenGL 21 / 60

22 Algoritmo de Bresenham Traçado de Retas Sumário 1 Introdução 2 Conversão Segmento de Reta 3 Algoritmo DDA 4 Algoritmo de Bresenham Traçado de Retas Traçado de Circunferências 5 Correção de Traçado (Antialiasing) Antialiasing e OpenGL 22 / 60

23 Algoritmo de Bresenham Traçado de Retas Introdução Algoritmo DDA apesar de ser incremental, envolve cálculo com números utuantes (cálculo de m): ineciente O algoritmo de Bresenham trabalha somente com inteiros: muito mais eciente 23 / 60

24 Algoritmo de Bresenham Traçado de Retas Algoritmo de Bresenham (Retas) Assume 0 < m < 1 Incrementa x em intervalos unitários, calcula o y correspondente Abordagem considera as duas possibilidades de escolha de y, decidindo qual a melhor (x k, y k ) (x k + 1, y k ) (x k, y k ) (x k + 1, y k + 1) 24 / 60

25 Algoritmo de Bresenham Traçado de Retas Algoritmo de Bresenham (Retas) 25 / 60

26 Algoritmo de Bresenham Traçado de Retas Algoritmo de Bresenham (Retas) (d lower d upper ) 0 usar o pixel superior (d lower d upper ) < 0 usar o pixel inferior 26 / 60

27 Algoritmo de Bresenham Traçado de Retas Algoritmo de Bresenham (Retas) Com base na equação da reta (y = m x + b), na posição x k + 1, a coordenada y é calculada como y = m (x k + 1) + b Então d lower = y y k d lower = m (x k + 1) + b y k e d upper = (y k + 1) y d upper = y k + 1 m (x k + 1) b 27 / 60

28 Algoritmo de Bresenham Traçado de Retas Algoritmo de Bresenham (Retas) Um teste rápido para saber a proximidade p k = d lower d upper p k = 2m(x k + 1) 2y k + 2b 1 Assim p k > 0 : pixel superior p k < 0 : pixel inferior 28 / 60

29 Algoritmo de Bresenham Traçado de Retas Algoritmo de Bresenham (Retas) Mas calcular m envolve operações de ponto utuante m = y end y 0 x end x 0 = y x então, substituindo m por y x, e multiplicando tudo por x, temos p k = x(d lower d upper ) como x > 0, o sinal de p k não é alterado, então p k = 2 y x k 2 x y k + c com c = 2 y + x(2b 1), parâmetro constante independente da posição do pixel 29 / 60

30 Algoritmo de Bresenham Traçado de Retas Algoritmo de Bresenham (Retas) No passo k + 1 temos p k+1 = 2 y x k+1 2 x y k+1 + c subtraindo p k dos dois lados temos p k+1 p k = (2 y x k+1 2 x y k+1 + c) p k p k+1 p k = 2 y(x k+1 x k ) 2 x(y k+1 y k ) mas x k+1 = x k + 1 (incremento unitário em x), então p k+1 = p k + 2 y 2 x(y k+1 y k ) 30 / 60

31 Algoritmo de Bresenham Traçado de Retas Algoritmo de Bresenham (Retas) Nessa equação p k+1 = p k + 2 y 2 x(y k+1 y k ) y k+1 y k será 0 ou 1 dependendo do sinal de p k Se p k < 0, então o próximo ponto é (x k + 1, y k ) então y k+1 y k = 0 e p k+1 = p k + 2 y Caso contrário o ponto será (x k + 1, y k + 1) então y k+1 y k = 1 e p k+1 = p k + 2 y 2 x 31 / 60

32 Algoritmo de Bresenham Traçado de Retas Algoritmo de Bresenham (Retas) Esse cálculo iterativo é realizado para cada posição x começando da esquerda para a direita O ponto de partida é calculado como p 0 = 2 y x 32 / 60

33 Algoritmo de Bresenham Traçado de Retas Algoritmo de Bresenham (Retas) 1 void bresenham (int x1,int x2, int y1,int y2) 2 int dx,dy, incsup, incinf, p, x, y; 3 int valor; 4 { 5 dx = x2-x1; dy = y2-y1; 6 p = 2*dy-dx; /* fator de decisão: valor inicial */ 7 8 incinf = 2*dy; /* Incremento Superior */ 9 incsup = 2*(dy-dx); /* Incremento inferior */ x = x1; y = y1; 12 write_pixel (x,y,valor); /* Pinta pixel inicial */ while (x < x2) { 15 if (p <= 0) { /* Escolhe Inferior */ 16 p = p + incinf;} 17 else { /* Escolhe Superior */ 18 p = p + incsup; 19 y++;} /* maior que 45o */ 20 x++; 21 write_pixel (x, y, valor); 22 } /* m do while */ 23 } /* m do algoritmo */ 33 / 60

34 Algoritmo de Bresenham Traçado de Retas Algoritmo de Bresenham (Retas) Exercício: aplique o algoritmo para P1: (5,8) P2: (9,11) 34 / 60

35 Algoritmo de Bresenham Traçado de Circunferências Sumário 1 Introdução 2 Conversão Segmento de Reta 3 Algoritmo DDA 4 Algoritmo de Bresenham Traçado de Retas Traçado de Circunferências 5 Correção de Traçado (Antialiasing) Antialiasing e OpenGL 35 / 60

36 Algoritmo de Bresenham Traçado de Circunferências Traçado de Circunferências Circunferência com centro na origem e raio R Forma explícita x 2 + y 2 = R 2 Forma parmétrica x = R cos θ, y = R sen θ Porque não usar a equação explícita para traçar 1 4 da circunferência? Porque não usar a forma paramétrica? 36 / 60

37 Algoritmo de Bresenham Traçado de Circunferências Algoritmo do Ponto Médio (Circunferência) Traçado de arco de 45 0 no segundo octante, de x = 0 a x = y = R/ 2 O restante da curva pode ser obtido por simetria Se o ponto (x, y) pertence à circunferência, outros 7 pontos sobre ela podem ser obtidos de maneira trivial / 60

38 Algoritmo de Bresenham Traçado de Circunferências Simetria de Ordem 8 38 / 60

39 Algoritmo de Bresenham Traçado de Circunferências Simetria de Ordem 8 1 void CirclePoints (int x, int y, int value) 2 { 3 write_pixel( x, y,value); 4 write_pixel( x,-y,value); 5 write_pixel(-x, y,value); 6 write_pixel(-x,-y,value); 7 write_pixel( y, x,value); 8 write_pixel( y,-x,value); 9 write_pixel(-y, x,value); 10 write_pixel(-y,-x,value); 11 } 39 / 60

40 Algoritmo de Bresenham Traçado de Circunferências Algoritmo de Bresenham (Circunferência) Dene um parâmetro de decisão para denir o pixel mais próximo da circunferência Como a equação da circunferência é não linear, raízes quadradas serão necessárias para se calcular distâncias dos pixels Bresenham evita isso comparando o quadrado das distâncias 40 / 60

41 Algoritmo de Bresenham Traçado de Circunferências Algoritmo do Ponto Médio Baseado na equação da circunferência dene-se qual o pixel mais próxima da mesma Isso é feito em um único octante, o resto é obtido por simetria 41 / 60

42 Algoritmo de Bresenham Traçado de Circunferências Algoritmo do Ponto Médio F circ (x, y) = x 2 + y 2 R 2 F circ(x, y) < 0 se (x, y) está dentro da circunferência F circ(x, y) = 0 se (x, y) está na circunferência F circ(x, y) > 0 se (x, y) está fora da circunferência Incrementa x e testa pixel está mais perto da circunferência F circ(x, y) é o parâmetro de decisão e cálculos incrementais podem ser feitos 42 / 60

43 Algoritmo de Bresenham Traçado de Circunferências Algoritmo do Ponto Médio Partindo de (x k, y k ) as opções são (x k + 1, y k ) (x k + 1, y k 1) 43 / 60

44 Algoritmo de Bresenham Traçado de Circunferências Algoritmo do Ponto Médio Então a função de decisão é p k = F circ(x k + 1, y k 1 2 ) p k = (x k + 1) 2 + (y k 1 2 )2 R 2 Se p k < 0 o ponto está dentro da circunferência e y k está mais próxima da borda Caso contrário, y k 1 está mais próxima 44 / 60

45 Algoritmo de Bresenham Traçado de Circunferências Algoritmo do Ponto Médio A formulação incremental pode ser feita avaliando x k p k+1 = F circ (x k+1 + 1, y k ) p k+1 = [x k+1 + 1] 2 + (y k )2 R 2 p k+1 = p k + 2(x k + 1) + (y 2 k+1 y2 k )(y k+1y k ) + 1 Se p k < 0, então o próximo ponto é (x k+1, y k ) p k+1 = p k + 2x k Caso contrário será (x k + 1, y k 1) p k+1 = p k + 2x k y k+1 com 2x k+1 = 2x k + 2 e 2y k+1 = 2y k 2 45 / 60

46 Correção de Traçado (Antialiasing) Sumário 1 Introdução 2 Conversão Segmento de Reta 3 Algoritmo DDA 4 Algoritmo de Bresenham Traçado de Retas Traçado de Circunferências 5 Correção de Traçado (Antialiasing) Antialiasing e OpenGL 46 / 60

47 Correção de Traçado (Antialiasing) Correção de Traçado (Antialiasing) Segmentos de retas em sistemas raster tem espessura - ocupa uma área Devido ao processo de amostragem (discretização), segmentos de retas pode apresentar uma aparência serrilhada Uma forma de diminuir esse problema é usar monitores com pixels menores Problemas para manter a taxa de restauro em 60Hz 47 / 60

48 Correção de Traçado (Antialiasing) Correção de Traçado (Antialiasing) 48 / 60

49 Correção de Traçado (Antialiasing) Correção de Traçado (Antialiasing) Em sistemas que podem mostrar mais de dois níveis de intensidade, é possível usar uma solução de software Uma solução simples é conhecida como superamostragem Aumenta a taxa de amostragem simulando um monitor com um (sub)pixel de menor tamanho A intensidade do pixel real é denida com base na quantidade de subpixels cobertos 49 / 60

50 Correção de Traçado (Antialiasing) Superamostragem Dividir cada pixel em sub-pixels A intensidade é dada pelo número de sub-pixel que estão sob o caminho da linha 50 / 60

51 Correção de Traçado (Antialiasing) Máscara de Ponderação do Sub-Pixel Dene uma máscara que assinala maior peso (intensidade) para sub-pixels no centro da área do pixel 51 / 60

52 Correção de Traçado (Antialiasing) Antialiasing Baseado em Área Intensidade proporcional a área coberta do pixel considerando que a linha tem largura nita 52 / 60

53 Correção de Traçado (Antialiasing) Antialiasing Baseado em Área 53 / 60

54 Correção de Traçado (Antialiasing) Técnicas de Filtragem Similar a técnica de máscara, porém mais precisa Uma superfície contínua de ponderação é usada para determinar a cobertura do pixel A ponderação é calculada por integração Uso de tabelas para acelerar o processo 54 / 60

55 Correção de Traçado (Antialiasing) Compensando Diferenças de Intensidade Antialiasing pode compensar outro problema de sistemas raster Linhas desenhadas com mesma quantidade de pixels apresentarem tamanhos diferentes Linhas menores mais brilhantes 55 / 60

56 Correção de Traçado (Antialiasing) Antialiasing e OpenGL Sumário 1 Introdução 2 Conversão Segmento de Reta 3 Algoritmo DDA 4 Algoritmo de Bresenham Traçado de Retas Traçado de Circunferências 5 Correção de Traçado (Antialiasing) Antialiasing e OpenGL 56 / 60

57 Correção de Traçado (Antialiasing) Antialiasing e OpenGL Antialiasing e OpenGL A função de antialiasing em OpenGL é ativada usando 1 gl.glenable(tipoprim) Tipos de primitivas GL.GL_POINT_SMOOTH GL.GL_LINE_SMOOTH GL.GL_POLYGON_SMOOTH Também necessário ativar blending em RGBA (RGB) 1 gl.glenable(gl.gl_blend); 2 gl.glblendfunc(gl.gl_src_alpha, GL.GL_ONE_MINUS_SRC_ALPHA); 57 / 60

58 Correção de Traçado (Antialiasing) Antialiasing e OpenGL Antialiasing e OpenGL 1 public class Antialiasing implements GLEventListener { public static void main(string[] args) { 5 //cria o painel e adiciona um ouvinte GL 6 GLJPanel panel = new GLJPanel(); 7 panel.addgleventlistener(new Antialiasing()); 8 9 //cria uma janela e adiciona o painel 10 JFrame frame = new JFrame("Aplicao JOGL Simples"); 11 frame.add(panel); 12 frame.setsize(400, 400); 13 frame.setdefaultcloseoperation(jframe.exit_on_close); 14 frame.setlocationrelativeto(null); 15 frame.setvisible(true); 16 } 17 public void display(glautodrawable drawable) { 18 GL gl = drawable.getgl(); 19 gl.glclear(gl.gl_color_buffer_bit); //desenha o fundo (limpa a janela) 20 gl.glcolor3f(1.0f, 0.0f, 0.0f); //altera o atributo de cor gl.glbegin(gl.gl_lines); //desenha uma linha 23 gl.glvertex2i(10, 10); 24 gl.glvertex2i(190, 170); 25 gl.glend(); gl.glflush(); //processa as rotinas OpenGL o mais rápido possível 28 } 29 } 58 / 60

59 Correção de Traçado (Antialiasing) Antialiasing e OpenGL Antialiasing e OpenGL 1 public class Antialiasing implements GLEventListener { public void init(glautodrawable drawable) { 5 GL gl = drawable.getgl(); 6 gl.glclearcolor(1.0f, 1.0f, 1.0f, 1.0f); //dene cor de fundo 7 gl.glmatrixmode(gl.gl_projection); //carrega a matriz de projejção 8 gl.glloadidentity(); //carrega a matriz identidade 9 10 //ativa antialiasing para linha 11 gl.glenable(gl.gl_line_smooth); 12 gl.glenable(gl.gl_blend); 13 gl.glblendfunc(gl.gl_src_alpha, GL.GL_ONE_MINUS_SRC_ALPHA); GLU glu = new GLU(); 16 glu.gluortho2d(0.0, 200.0, 0.0, 200.0); //dene projeção ortogonal 2D 17 } 18 } 59 / 60

60 Correção de Traçado (Antialiasing) Antialiasing e OpenGL Antialiasing e OpenGL 60 / 60