Axiomas básicos. Etapas da análise de algoritmos

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1 Aula 02b Introdução à análise da complexidade de algoritmos Prof. Dr. Alexandre da Silva Simões Prof.a MSc. Esther Luna Colombini Análise de complexidade de algoritmos Metodologias para comparar algoritmos para ver quanto eles são rápidos ou quanta memória eles exigem: Benchmarking: mede o desempenho de um programa específico, escrito em uma linguagem específica, funcionando em um computador específico, com um compilador específico e com dados de entrada específico Análise de algoritmos: análise matemática que independe da implementação e das entradas Esther Colombini / Alexandre Simões 2 Etapas da análise de algoritmos Axiomas básicos Etapas: 1. Realizar uma abstração sobre a entrada, a fim de encontrar algum parâmetro que caracterize o tamanho da entrada 2. Realizar uma abstração sobre a implementação, com o objetivo de encontrar alguma medida que reflita o tempo de execução do algoritmo, mas que não esteja ligada a um compilador ou computador específico 1. Os tempos requeridos para recuperar um operando da memória e para armazenar o resultado na memória são contstantes, τ rec e τ arm, respectivamente 2. Os tempos necessários para realizar operações aritméticas elementares são todos constantes e dados por τ +, τ -, τ x, τ e τ < 3. Os tempos necessários para chamar e retornar um método são constantes e iguais a τ chamada e τ retorno 4. O tempo requerido para passar um parâmetro para um método é o mesmo tempo requerido para armazenar um valor na memória τ arm Esther Colombini / Alexandre Simões 3 Esther Colombini / Alexandre Simões 4 1

2 Exemplos simples y=x; T=τ rec +τ arm y=1; T=τ rec +τ arm y=y+1; T= 2. τ rec +τ + +τ arm y=f(x); T= τ rec +τ arm +τ chamada +T f(x) +τ retorno +τ arm T= τ rec + 2.τ arm +τ chamada +T f(x) +τ retorno Somatórios 1. função SOMATÓRIO (valor) retorna somatório 2. soma = 0; 3. para i 1 até n 4. soma+= i; 5. retorna soma Cálculo do tempo de processamento: 2: τ rec + τ arm soma=0 3a: τ rec + τ arm inicialização (i=1) 3b: (2.τ rec + τ < ).(n+1) teste de término, executando antes da primeira iteração do loop (i<=n) 3c: (2.τ rec + τ + + τ arm ).n passo de incremento, executado uma vez a cada iteração do loop (i=i+1) 4: (2.τ rec + τ + + τ arm ).n soma=soma+1; 5: τ rec + τ retorno retorno Esther Colombini / Alexandre Simões 5 T(n) = t 1 + t 2.n Esther Colombini / Alexandre Simões 6 Ferramenta para análise de complexidade de algoritmos sem conhecer n Indica a taxa de crescimento do algoritmo O (Big oh): limite superior da função O(n), O(n 2 ), O(n 3 ),... Definição: T(n) é O(f(n)) se T(n) c.f(n) para algum c, para todo n > n o Em termos práticos: 1. Achar um valor de c e n que satisfaçam a inequação 2. Observar se, aumentando assintoticamente o valor de n, a inequação se mantém verdadeira Esther Colombini / Alexandre Simões 7 Esther Colombini / Alexandre Simões 8 2

3 Exemplo 1 Exemplo 2 Seja a função: T(n)=8.n+128 Testando f(n)=n 1 8.n+128 c.n /n c verdade para n=128 e c=9 verdade para n>128 Logo, T(n)=8.n+128 9n é O(n) Seja a função T(n) = 2n 2-3n Testando f(n)=n 1 : 2n 2-3n c.n 2n-3 c verdade para n=2 e c=2 falsa para n=10. Testando f(n)=n 2 : 2n 2-3n c.n 2 2-3/n c verdade para n=3 e c=2 verdadeira para n>3 Logo, 2n 2-3n 2n 2 é O(n 2 ) Esther Colombini / Alexandre Simões 9 Esther Colombini / Alexandre Simões 10 Intuitivamente: Termos de baixa ordem podem ser negligenciados (insignificantes para grandes valores de n) c adotado com o valor ligeiramente maior do que o coeficiente de mais alta ordem Classes de problemas Classe P: problemas onde o número de computações de pelo menos um algoritmo conhecido cresce polinomialmente em função do tamanho da instância (no tempo O(n k ) para algum k constante) Classe NP: problemas P não-determinísticos (nem sempre retornam o mesmo resultado para o mesmo conjunto de parâmetros). Não têm solução em tempo polinomial, mas podem ser verificados em tempo polinomial. Não se sabe se algoritmos melhores serão encontrados (P=NP?) Classe NP-completo: problemas mais difíceis da classe NP. Muitos teóricos acreditam que problemas NP-C são intratáveis, dada a grande quantidade de problemas NP-C já estudados até hoje sem que ninguém tenha descoberto uma solução em tempo polinomial para qualquer um deles (se 1 NP-C tiver solução em tempo polinomial, então todo NP-C tem solução em tempo polinomial) Classe NP-Hard: Problema para o qual, mesmo em teoria, não existe uma solução rápida ou inteligente. Exemplos incluem: Tetris, caxeiro viajante. Esther Colombini / Alexandre Simões 11 Esther Colombini / Alexandre Simões 12 3

4 Classes de problemas Problema NP: exemplo Problema do caixeiro viajante: dada uma matriz de distâncias entre n cidades, determinar uma rota visitando todas as cidades que tenha tamanho menor do que k SP RJ BH BR SA SP RJ BH BR SA Diagrama de Euler Esther Colombini / Alexandre Simões 13 Esther Colombini / Alexandre Simões 14 Problema NP: exemplo Problema NP-Completo: Exemplo Número de percursos possíveis entre N cidades: (N-1)! 2 cidades: 1! (1) 3 cidades: 2! (4) 4 cidades: 3! (6) 5 cidades: 4! (24) cidades: 15! ( ) Um computador analisando 100 percursos por segundo, precisará de vários anos para checar todas as possibilidades para apenas 16 cidades!!!! Não há solução conhecida em tempo polinomial Dada uma possível solução, é possível determinar em tempo polinomial se ela é realmente solução do problema Esther Colombini / Alexandre Simões 15 Problema do caixeiro viajante: dada uma matriz de distâncias entre n cidades, determinar a menor rota visitando todas as cidades Não há solução em tempo polinomial Dada uma possível solução,não há sequer como descobrir se ela realmente é solução Esther Colombini / Alexandre Simões 16 4

5 Problema NP-Completo: Métodos de resolução Atividades extra-classe Leitura complementar: CORMAN, T. H.; LEISERSON,C. E.; RIVEST, R. L.; STEIN, C. Introduction to algorithms. MIT Press Capítulos 3 e 34. 9/12/11 Esther Colombini / Alexandre Simões 17 Esther Colombini / Alexandre Simões 18 5