equações de Fokker-Planck não lineares

Transcrição

1 equações de Fokker-Planck não lineares Evaldo M. F. Curado Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas Rio de Janeiro, RJ, Brazil Colaboradores: Fernando D. Nobre, Veit Schwammle

2 movimento Browniano

3 Robert Brown Robert Brown (botânico)

4 R. Brown, Edinb. New Philos. J. 5 (1828)

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7 microscópio

8 difusão normal

9 Einstein Albert Einstein (1905) - tese (30 Abril, Julho -> AdP 19 (1906) 289) e artigo sobre movimento Browniano -> (Maio, 11 -> AdP 17 (1905) 549) D = RT N 1 6πkP William Sutherland (Australia) - Março > Phil. Mag. 9 (1905) 781

10 A. Einstein, Annalen der Physik 17 (1905)

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12 (x x ) 2 =2Dt

13 Jean Perrin 1908 J. Perrin, C. R. Acad. Sci. 146, 967 Les atomes (Félix Alcan, Paris, 1913)

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15 difusão linear (1 dimensão): P (x, t) = P (x, t) t 1 exp (4πDt) 1/2 = D 2 P (x, t) 2 x [ (x x 0) 2 4Dt ] < x(t) >= x 0 ; < (x(t) x 0 ) 2 >= 2Dt Einstein Relation : D = µk B T P (x, t) =t 1/2 g(x 2 /t) σ 2 t

16 equação de Fokker-Planck P (x, t) t = F (x) = dφ dx {F (x)p (x, t)} x + D 2 P (x, t) x 2 teorema H e equação de FP BG F = U T S ; U = dx φ(x)p (x, t) ; S = k B dx P (x, t) ln P (x, t) df dt 0 válido para EFP e entropia debg => relação entre EFP e entropia de BG

17 solução geral da equação de Fokker-Planck dependência no tempo F (x) = kx P (x, t) = 1 2πD(1 e 2t )/k e kx 2 2D(1 e 2t ) difusão normal (t << 1) entropia BG P (x, t) = t >> 1 1 e kx2 4Dt (x x ) 2 = 2Dt 4πDt/k k ( ) (x x ) 2 = D 1 P (x) = e kx2 2D k 2πD/k

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19 difusão anômala

20 difusão anômala < (x(t) x 0 ) 2 > t γ (γ 1) subdifusivo superdifusivo (γ < 1) (γ > 1)

21 comportamento subdifusivo

22 subdifusão < (x(t) x 0 ) 2 > t γ ( γ < 1 : Subdiffusion ) - existência de armadilhas no espaço, onde as partículas permanecem por um certo tempo, com uma larga distribuição de tempos de escape condutividade de cadeias iônicas desordenadas fotocopiadoras, impressoras laser caminhantes aleatórios em substratos fractais difusão em rolos convectivos difusão de poluentes em águas subterrâneas difusão de proteínas através de membranas celulares

23 exemplos fotocopiadoras, impressoras laser: transporte de elétrons ou buracos em semicondutores amorfos em um campo elétrico

24 subdiffusion difusão de proteinas através das membranas celulares Physics World, august 2005

25 superdifusão

26 superdifusão < (x(t) x 0 ) 2 > t γ ( γ > 1 : Superdiffusion ) - existência de correlações de longo alcance (no tempo) presentes na velocidade das partículas traçadoras ou vôos de Levy. difusão de Richardson em fluidos turbulentos difusão de micelas em água salgada vôo de albatroses bactéria, plancton, chacais, macacos aranha parece que a superdifusão supera a difusão normal (BM) como estratégia para encontrar comida localizada aleatoriamente, etc

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28 difusão anômala -> superdifusão spider monkeys modificações na eq. de FP linear

29 teorias fenomenológicas equações de Fokker-Planck não lineares equações de Fokker-Planck fracionárias eq. FP com coeficientes de difusão nãohomogêneos...

30 equação FP com derivadas fracionárias - memória temporal longa

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32 coeficiente de difusão inomogêneo

33 - stariolo PLA (94), -Kaniadakis&Quarati PhysA (97)

34 equação de Fokker-Planck não linear

35 equações fenomenológicas equação de meios porosos (M. Muskat ) P (x, t) t = D 2 P ν (x, t) x 2 (x x ) 2 t 2 ν+1 A. R. Plastino e A. Plastino, Physica A 222 (1995) 347; C. Tsallis e Bukman D. J., PRE 54 (1996) R2197 P (x, t) t = {F (x)p (x, t)} x + D 2 P ν (x, t) x 2 F (x) = dφ dx

36 P (x, t) t = {F (x)p (x, t)} x + D 2 P ν (x, t) x 2 F (x) = dφ dx solução estacionária (ν =2 q) P (x) =C[1 β(1 q)φ(x)] 1/(1 q) β = (1/D)[C q 1 /(2 q)] (C is a positive constant) mesma distribuição que maximiza a entropia de Tsallis com o vínculo externo φ(x)! NLFPE <-> entropia de Tsallis!

37 FPE entropia LFP NLFP S BG F = U TS BG S q F = U TS q MEP MEP Gaussian φ(x) = 1 2 kx2 q-gaussian

38 equação de Langevin

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41 equação mestre

42 equação mestre -> equação de Fokker-Planck NL P (n, t) t = m= [P (m, t)w m,n (t) P (n, t)w n,m (t)] taxas de transição não lineares -> equação de Fokker-Planck não linear ω m,n (t) ω m,n (P, t) P (x, t) t = {F (x)ψ[p (x, t)]} x + x { } P (x, t) Ω[P (x, t)] x

43 teorema H S[P ] = g[p (x, t)] dx NLFP d 2 g dp β d 2 g[p ] dp 2 = Ω[P ] Ψ[P ] df dt 0 S[P ] F = U TS[P ] MEP solução estacionária

44 família de EFPs <-> entropias 1 β d 2 g dp 2 = Ω[P ] Ψ[P ] relação entropia <-> FPE mesma razão Ω[P ] Ψ[P ] mesma entropia! seja Ω[P ]=a[p ]b[p ] ; Ψ[P ]=a[p ]P liberdade do funcional a[p] d 2 g[p ] dp 2 = β Ω[P ] Ψ[P ] = β a[p ]b[p ] a[p ]P = β b[p ] P Schwammle V, Nobre FD, EMFC, PRE 2007 Schwammle V, EMFC, Nobre FD, EPJB 2007

45 atratores gaussianos - BG

46 NLFPEs <-> entropia de Boltzmann-Gibbs d 2 g[p ] dp 2 = β b[p ] P b[p ]=D β = k B /D dg dp = βd ln P + C g[p ]= k BP ln P S = k B P (x) ln P (x)dx if a[p ] P ν 1 P (x, t) t = x (F (x)p (x, t)ν ) + D x ( ) ν 1 P (x, t) P (x, t) x ν = 1 equation de Fokker-Planck

47 F (x) = kx P (x, 0) = δ(x) t = 0.1 ν = 0.7, 0.9, 1, 1.1, 1.25

48 b[p ] = D 0.01 <x 2 > (b)!!"!#$%!!"!#!!"!&$' x 2 ( ) 2 ν 2 t 2 ν+1 1e t linear FPE difusão normal Gaussian BG difusão anômala NLFPE NLFPE

49 atratores q-gaussianos

50 NLFPEs <-> entropia de Tsallis d 2 g[p ] dp 2 = Ω[P ] Ψ[P ] = β b[p ] P b[p (x, t)] = DνP (x, t) ν 1 g[p ]=k B P P ν ν 1 if a[p ] P µ 1 P (x, t) t = x (F (x)p (x, t)µ ) + D x ( ) µ+ν 2 P (x, t) P (x, t) x µ =1 P&P-PhysA1995

51 µ = 1 a) (NLFPE - Plastino&Plastino1995) P (x, t) t = x (F (x)p (x, t)) + D x ( ) P ν 1 P (x, t) (x, t) x 1 (a) 1 (b) <x 2 > !!"!#$%!!"!#!!"!&$% <x 2 > final - <x 2 > e t t < x 2 > t 2/(ν+1) < x 2 > final < x 2 > e (ν+1)t

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53 EFP não linear -> difusão normal b) ν = 2 µ (µ 1) P (x, t) t = x (F (x)p (x, t)µ ) + D 2 P (x, t) x 2 solução estacionária -> q-gaussiana

54 1 <x 2 > 0.01 ~t t µ = 0.7, 1, 1.2, 1.5

55 NLFPE µ = 1 ν 1 b[p (x, t)] = DνP (x, t) ν 1 difusão anômala q-gaussiana µ 1 ν = 2 µ difusão normal q-gaussian µ 1 ν 1 difusão anômala

56 observações finais NLFPE -> difusão normal e anômala NLFPEs <-> entropias <-> MEP eq. Langevin -> NLFPE (2) eq. mestre -> NLFPE NLFPE -> fenômenos físicos diferentes