Ajuste do Histórico de Produção através do Filtro Ensemble Kalman. Engenharia de Petróleos

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1 Ajuste do Histórico de Produção através do Filtro Ensemble Kalman Gonçalo José de Carvalho Rodrigues Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em Engenharia de Petróleos Orientador: Prof. Dr. Leonardo Azevedo Guerra Raposo Pereira Júri Presidente: Prof. Dra. Maria João Correia Colunas Pereira Orientador: Prof. Dr. Leonardo Azevedo Guerra Raposo Pereira Vogal: Dra. Maria João Costa Almeida Quintão Pereira Braga Novembro 2016

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3 Abstract Bayesian statistics provides an adequate framework to incorporate field observations in reservoir simulation models in a way that allows one to describe uncertainty in the reservoir parameters and the prediction about fluid flow simulations. The Ensemble Kalman Filter (EnKF) is a data assimilation method, which can be derived from Bayesian statistics. It represents an attractive method for reservoir history matching because it is easy to implement and computationally efficient. The EnKF is a sequential Monte Carlo method that provides an alternative to the traditional Kalman Filter, and is used extensively in many different fields including ocean and atmospheric sciences, oil reservoir simulations, and hydrological modeling. Due to limit the size of the initial set and of linear Gaussian assumption in the analysis stage some problems remain: excessive reduction in the variability of the ensemble, limited capacity to absorb a large quantity of independent data, loss of geological realism in case of complex geology. Many of these problems become prominent when the number of data is large, which implies that more techniques are required to obtain satisfactory results using EnKF. In this context we decided to incorporate in the initial ensemble of EnKF, nonparametric permeability models and analyse the results obtained. For that purpose we used direct sequential simulation to generate the permeability models. The results obtained in the characterization of petro physical properties were not satisfactory, although, in terms of dynamic response of the results were promising. KEYWORDS: Data Assimilation; History Matching; Ensemble Kalman Filter (EnKF); Direct Sequential Simulation; i

4 Resumo A estatística Bayesiana é uma metodologia para incorporar observações de campo em modelos de simulação de reservatórios de uma forma que permite descrever a incerteza dos parâmetros dos reservatórios e simulações de previsões. O filtro Ensemble Kalman (EnKF), que é obtido a partir de estatísticas Bayesianas representa um método atraente para a correspondência histórica e o reservatório, porque é fácil de implementar e computacionalmente eficiente. O EnKF é um método sequencial de Monte Carlo, que fornece uma alternativa para o filtro de Kalman tradicional, e é amplamente utilizado em muitas áreas da Ciência, incluindo a oceanografia, meteorologia, hidrologia e também a engenharia do petróleo, nomeadamente em engenharia de reservatórios. Devido ao limite do tamanho do conjunto inicial e à assunção da Gaussianidade na etapa de análise alguns problemas permanecem: redução excessiva na variabilidade do conjunto, capacidade limitada de assimilar uma grande quantidade de dados independentes, perda de realismo geológico em casos de geologia complexa. Muitos destes problemas tornam-se proeminentes quando o número de dados é grande, o que implica que mais técnicas sejam necessárias para obter resultados satisfatórios quando se utiliza o EnKF. Neste contexto, decidimos incorporar no conjunto inicial, realizações de permeabilidade não paramétricas e analisar os resultados obtidos, para tal utilizamos a simulação sequencial directa para gerar os modelos de permeabilidade. Os resultados obtidos na caracterização das propriedades petrofisicas não foram satisfatórios, contudo, a nível da resposta dinâmica os resultados foram promissores. PALAVRAS-CHAVE: Assimilação de Dados; Ajuste Histórico; Filtro Ensemble Kalman; Simulação Sequencial Directa; ii

5 Índice Abstract... 1 Resumo... 2 Lista de figuras... 4 Lista de Tabelas... 9 Acrónimos Capítulo 1 Introdução Introdução Motivação Objectivos... 2 Capítulo 2 Revisão teórica Ajuste Histórico (History Matching) Assimilação de dados Filtro Ensemble Kalman Simulação Sequencial Directa Multitidimensional Scaling Capítulo 3 Metodologia e workflow Capítulo 4 Caso de estudo Descrição dos dados Propriedades petrofísicas Propriedades Dinâmicas Resultados Conjunto Gaussiano versus SSD, (50 modelos) Conjunto Gaussiano versus SSD, (100 modelos) Conjunto Gaussiano versus SSD, (150 modelos) Conjunto Gaussiano versus SSD, (200 modelos) Conjunto Gaussiano versus SSD, (500 modelos) Multidimensional Scaling Análise do Erro Quadrático Médio Assimilação simples versus múltipla, (50 modelos) Capítulo 5 - Conclusões Referências iii

6 Lista de figuras Figura 1 Workflow do EnKF para aplicações de ajuste histórico de dados de produção Figura 2 Representação esquemática dos passos 3 e 4 da SSD, (Adaptado de Soares, 2001) Figura 3 - Workflow da metodologia EnKF para o estudo do ajuste do histórico de produção Figura 4 - Reservatório MRST 2D Figura 5 - Mapa real de permeabilidade, Log (K) Figura 6 - Histograma do campo de permeabilidade real Figura 7 - Histograma dos modelos de permeabilidade com distribuição Gaussiana Figura 8 - Histograma dos modelos de permeabilidade não Figura 9 - Mapa real de porosidade (%) Figura 10 - Histograma do campo real de porosidade Figura 11 - Informação real de BHP no poço injector ao longo de dias; Figura 12 - Informação real de Water cut nos 4 poços produtores ao longo de dias; a) WC produtor 1; b) WC produtor 2; c) WC produtor 3; d) WC produtor Figura 13 - Informação real de TLR nos 4 poços produtores ao longo de dias; a) TLR produtor 1; b) TLR produtor 2; c) TLR produtor 3; d) TLR produtor Figura 14 Pressão e Saturação de água no timestep 365 dias Figura 15 - Pressão e saturação de água no timestep 7300 dias Figura 16 - Figura 12 - Pressão e saturação de água no timestep dias Figura 17 - a) Mapa real de permeabilidade b) Mapa real de porosidade c) Mapa de pressão d) Mapa de saturação de água no timestep 7300 dias; Figura 18 - a) Mapa real de permeabilidade b) Mapa real de porosidade c) Mapa de pressão d) Mapa de saturação de água no timestep dias; Figura 19 - a) Modelo de permeabilidade b) Modelo de porosidade c) Modelo de pressão no timestep d) Modelo de saturação de água [timestep 7300 dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 20 - a) Modelo de permeabilidade b) Modelo de porosidade c) Modelo de pressão no timestep d) Modelo de saturação de água [timestep dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 21 - a) Modelo de permeabilidade b) Modelo de porosidade c) Modelo de pressão no timestep d) Modelo de saturação de água [timestep 7300 dias] [SSD]; Figura 22 - a) Modelo de permeabilidade b) Modelo de porosidade c) Modelo de pressão no timestep d) Modelo de saturação de água [timestep dias] [SSD]; Figura 23 BHP poço injector [timestep 7300 dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 24 - BHP poço injector [timestep dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 25 BHP poço injector [timestep 7300 dias] [SSD]; Figura 26 BHP poço injector [timestep dias] [SSD]; Figura 27 - a) WC produtor 1 b) WC produtor 2 c) WC produtor 3 d) WC produtor 4 [timestep 7300 dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 28 - a) WC produtor 1 b) WC produtor 2 c) WC produtor 3 d) WC produtor 4 [timestep dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 29 - a) WC produtor 1 b) WC produtor 2 c) WC produtor 3 d) WC produtor 4 [timestep 7300 dias] [SSD]; Figura 30 - a) WC produtor 1 b) WC produtor 2 c) WC produtor 3 d) WC produtor 4 [timestep dias] [SSD]; iv

7 Figura 31 - a) TLR produtor 1 b) TLR produtor 2 c) TLR produtor 3 d) TLR produtor 4 [timestep 7300 dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 32 - a) TLR produtor 1 b) TLR produtor 2 c) TLR produtor 3 d) TLR produtor 4 [timestep dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 33 - a) TLR produtor 1 b) TLR produtor 2 c) TLR produtor 3 d) TLR produtor 4 [timestep 7300 dias] [SSD]; Figura 34 - a) TLR produtor 1 b) TLR produtor 2 c) TLR produtor 3 d) TLR produtor 4 [timestep dias] [SSD]; Figura 35 - a) Modelo de permeabilidade b) Modelo de porosidade c) Modelo de pressão no timestep d) Modelo de saturação de água [timestep 7300 dias][conjunto Gaussiano]; Figura 36 - a) Modelo de permeabilidade b) Modelo de porosidade c) Modelo de pressão no timestep d) Modelo de saturação de água [timestep dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 37 - a) Modelo de permeabilidade b) Modelo de porosidade c) Modelo de pressão no timestep d) Modelo de saturação de água [timestep 7300 dias] [SSD]; Figura 38 - a) Modelo de permeabilidade b) Modelo de porosidade c) Modelo de pressão no timestep d) Modelo de saturação de água [timestep dias] [SSD]; Figura 39 - BHP poço injector [timestep 7300 dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 40 - BHP poço injector [timestep dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 41 - BHP poço injector [timestep 7300 dias] [SSD]; Figura 42 - BHP poço injector [timestep dias] [SSD]; Figura 43 - a) WC produtor 1 b) WC produtor 2 c) WC produtor 3 d) WC produtor 4 [timestep 7300 dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 44 - a) WC produtor 1 b) WC produtor 2 c) WC produtor 3 d) WC produtor 4 [timestep dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 45 - a) WC produtor 1 b) WC produtor 2 c) WC produtor 3 d) WC produtor 4 [timestep 7300 dias] [SSD]; Figura 46 - a) WC produtor 1 b) WC produtor 2 c) WC produtor 3 d) WC produtor 4 [timestep dias] [SSD]; Figura 47 - a) TLR produtor 1 b) TLR produtor 2 c) TLR produtor 3 d) TLR produtor 4 [timestep 7300 dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 48 - a) TLR produtor 1 b) TLR produtor 2 c) TLR produtor 3 d) TLR produtor 4 [timestep dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 49 - a) TLR produtor 1 b) TLR produtor 2 c) TLR produtor 3 d) TLR produtor 4 [timestep 7300 dias] [SSD]; Figura 50 - a) TLR produtor 1 b) TLR produtor 2 c) TLR produtor 3 d) TLR produtor 4 [timestep dias] [SSD]; Figura 51 - a) Modelo de permeabilidade b) Modelo de porosidade c) Modelo de pressão no timestep d) Modelo de saturação de água [timestep 7300 dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 52 - a) Modelo de permeabilidade b) Modelo de porosidade c) Modelo de pressão no timestep d) Modelo de saturação de água [timestep dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 53 - a) Modelo de permeabilidade b) Modelo de porosidade c) Modelo de pressão no timestep d) Modelo de saturação de água [timestep 7300 dias] [SSD]; Figura 54 - a) Modelo de permeabilidade b) Modelo de porosidade c) Modelo de pressão no timestep d) Modelo de saturação de água [timestep 7300 dias] [SSD]; Figura 55 BHP poço injector [timestep 7300 dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 56 - a) BHP poço injector [timestep dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 57 BHP poço injector [timestep 7300 dias] [SSD]; Figura 58 BHP poço injector [timestep dias] [SSD]; v

8 Figura 59 - a) WC produtor 1 b) WC produtor 2 c) WC produtor 3 d) WC produtor 4 [timestep 7300 dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 60 - a) WC produtor 1 b) WC produtor 2 c) WC produtor 3 d) WC produtor 4 [timestep dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 61 - a) WC produtor 1 b) WC produtor 2 c) WC produtor 3 d) WC produtor 4 [timestep 7300 dias] [SSD]; Figura 62 - a) WC produtor 1 b) WC produtor 2 c) WC produtor 3 d) WC produtor 4 [timestep dias] [SSD]; Figura 63 - a) TLR produtor 1 b) TLR produtor 2 c) TLR produtor 3 d) TLR produtor 4 [timestep 7300 dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 64 - a) TLR produtor 1 b) TLR produtor 2 c) TLR produtor 3 d) TLR produtor 4 [timestep dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 65 - a) TLR produtor 1 b) TLR produtor 2 c) TLR produtor 3 d) TLR produtor 4 [timestep 7300 dias] [SSD]; Figura 66 - a) TLR produtor 1 b) TLR produtor 2 c) TLR produtor 3 d) TLR produtor 4 [timestep dias] [SSD]; Figura 67 - a) Modelo de permeabilidade b) Modelo de porosidade c) Modelo de pressão no timestep d) Modelo de saturação de água [timestep 7300 dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 68 - a) Modelo de permeabilidade b) Modelo de porosidade c) Modelo de pressão no timestep d) Modelo de saturação de água [timestep dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 69 - a) Modelo de permeabilidade b) Modelo de porosidade c) Modelo de pressão no timestep d) Modelo de saturação de água [timestep 7300 dias] [SSD]; Figura 70 - a) Modelo de permeabilidade b) Modelo de porosidade c) Modelo de pressão no timestep d) Modelo de saturação de água [timestep 7300 dias] [SSD]; Figura 71 BHP poço injector [timestep 7300 dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 72 - BHP poço injector [timestep dias] [Conjunto Gaussiano] Figura 73 - BHP poço injector [timestep 7300 dias] [SSD]; Figura 74 - BHP poço injector [timestep dias] [SSD]; Figura 75 - a) WC produtor 1 b) WC produtor 2 c) WC produtor 3 d) WC produtor 4 [timestep 7300 dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 76 - a) WC produtor 1 b) WC produtor 2 c) WC produtor 3 d) WC produtor 4 [timestep dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 77 - a) WC produtor 1 b) WC produtor 2 c) WC produtor 3 d) WC produtor 4 [timestep 7300 dias] [SSD]; Figura 78 - a) WC produtor 1 b) WC produtor 2 c) WC produtor 3 d) WC produtor 4 [timestep dias] [SSD]; Figura 79 - a) TLR produtor 1 b) TLR produtor 2 c) TLR produtor 3 d) TLR produtor 4 [timestep 7300 dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 80 - a) TLR produtor 1 b) TLR produtor 2 c) TLR produtor 3 d) TLR produtor 4 [timestep dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 81 - a) TLR produtor 1 b) TLR produtor 2 c) TLR produtor 3 d) TLR produtor 4 [timestep 7300 dias] [SSD]; Figura 82 - a) TLR produtor 1 b) TLR produtor 2 c) TLR produtor 3 d) TLR produtor 4 [timestep dias] [SSD]; Figura 83 - a) Modelo de permeabilidade b) Modelo de porosidade c) Modelo de pressão no timestep d) Modelo de saturação de água [timestep 7300 dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 84 - a) Modelo de permeabilidade b) Modelo de porosidade c) Modelo de pressão no timestep d) Modelo de saturação de água [timestep dias] [Conjunto Gaussiano]; vi

9 Figura 85 - a) Modelo de permeabilidade b) Modelo de porosidade c) Modelo de pressão no timestep d) Modelo de saturação de água [timestep 7300 dias] [SSD]; Figura 86 - a) Modelo de permeabilidade b) Modelo de porosidade c) Modelo de pressão no timestep d) Modelo de saturação de água [timestep dias] [SSD]; Figura 87 BHP poço injector [timestep 7300 dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 88 - BHP poço injector [timestep dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 89 BHP poço injector [timestep 7300 dias] [SSD]; Figura 90 BHP poço injector [timestep dias] [SSD]; Figura 91 - a) WC produtor 1 b) WC produtor 2 c) WC produtor 3 d) WC produtor 4 [timestep 7300 dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 92 - a) WC produtor 1 b) WC produtor 2 c) WC produtor 3 d) WC produtor 4 [timestep dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 93 - a) WC produtor 1 b) WC produtor 2 c) WC produtor 3 d) WC produtor 4 [timestep 7300 dias] [SSD]; Figura 94 - a) WC produtor 1 b) WC produtor 2 c) WC produtor 3 d) WC produtor 4 [timestep dias] [SSD]; Figura 95 - a) TLR produtor 1 b) TLR produtor 2 c) TLR produtor 3 d) TLR produtor 4 [timestep 7300 dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 96 - a) TLR produtor 1 b) TLR produtor 2 c) TLR produtor 3 d) TLR produtor 4 [timestep dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 97 - a) TLR produtor 1 b) TLR produtor 2 c) TLR produtor 3 d) TLR produtor 4 [timestep 7300 dias] [SSD]; Figura 98 - a) TLR produtor 1 b) TLR produtor 2 c) TLR produtor 3 d) TLR produtor 4 [timestep dias] [SSD]; Figura 99 - Mapa da matriz de dissimilaridade dos modelos de permeabilidade Gaussianos, utilizando a distância de Hausdorff Figura Mapa da matriz de dissimilaridade dos modelos de permeabilidade não paramétricos, utilizando a distância de Hausdorff Figura Diagramas representativos da variância dos dois conjuntos de modelos; Figura Representação em 3D da localização dos modelos nos dois conjuntos, pontos pretos (modelos), pontos vermelhos (real); Figura Representação do MSE das várias simulações variando o tamanho do conjunto inicial de realizações Gaussianas; Figura Representação do MSE das várias simulações variando o tamanho do conjunto inicial de realizações não paramétricas; Figura a) Modelo de permeabilidade b) Modelo de porosidade c) Modelo de pressão no timestep d) Modelo de saturação de água [timestep 7300 dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura a) Modelo de permeabilidade b) Modelo de porosidade c) Modelo de pressão no timestep d) Modelo de saturação de água [timestep dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura a) Modelo de permeabilidade b) Modelo de porosidade c) Modelo de pressão no timestep d) Modelo de saturação de água [timestep 7300 dias] [SSD]; Figura a) Modelo de permeabilidade b) Modelo de porosidade c) Modelo de pressão no timestep d) Modelo de saturação de água [timestep dias] [SSD]; Figura BHP poço injector [timestep 7300 dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 110 BHP poço injector [timestep dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 111 BHP poço injector [timestep 7300 dias] [SSD]; Figura 112 BHP poço injector [timestep dias] [SSD]; vii

10 Figura a) WC produtor 1 b) WC produtor 2 c) WC produtor 3 d) WC produtor 4 [timestep 7300 dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura a)wc produtor 1 b) WC produtor 2 c) WC produtor 3 d) WC produtor 4 [timestep dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura a) WC produtor 1 b) WC produtor 2 c) WC produtor 3 d) WC produtor 4 [timestep 7300 dias] [SSD]; Figura a) WC produtor 1 b) WC produtor 2 c) WC produtor 3 d) WC produtor 4 [timestep dias] [SSD]; Figura a) TLR produtor 1 b) TLR produtor 2 c) TLR produtor 3 d) TLR produtor 4 [timestep 7300 dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura a) TLR produtor 1 b) TLR produtor 2 c) TLR produtor 3 d) TLR produtor 4 [timestep dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura a) TLR produtor 1 b) TLR produtor 2 c) TLR produtor 3 d) TLR produtor 4 [timestep 7300 dias] [SSD]; Figura a) TLR produtor 1 b) TLR produtor 2 c) TLR produtor 3 d) TLR produtor 4 [timestep dias] [SSD]; Figura Representação do MSE dos dois conjuntos iniciais de realizações de permeabilidade viii

11 Lista de Tabelas Tabela 1 - Parametrização da metodologia de ajuste histórico Tabela 2 - Estatísticos do campo real de permeabilidade Tabela 3 - Estatísticos dos modelos Tabela 4 - Estatísticos dos modelos de Tabela 5 - Estatísticos do campo de porosidade real ix

12 Acrónimos BHP Bottom Hole Pressure EnKF Ensemble Kalman Filter HM History Matching MRST Matlab Reservoir Simulation Toolbox SSD Simulação Sequencial Directa TLR Total Liquid Rate WC Water cut x

13 Capítulo 1 Introdução 1.1 Introdução A simulação de fluídos é uma metodologia pelo qual através de um modelo numérico das características petrofísicas de um reservatório de hidrocarbonetos se obtém o comportamento dos fluídos ao longo do tempo nesse mesmo reservatório. A simulação de fluídos é um complemento de observações de campo, testes de laboratório, teste de modelos analíticos, e é usada para estimar as características de produção de um determinado campo, calibrar os parâmetros do reservatório, visualizar os padrões de fluxo do reservatório, por exemplo. O principal objectivo da simulação de fluídos é fornecer um conjunto de dados e informações que possam ajudar as companhias petrolíferas a gerir o posicionamento de poços maximizando a recuperação de petróleo e gás. Embora o problema de prever o desempenho futuro de um reservatório seja um aspecto importante das metodologias de ajuste do histórico de produção, o termo ajuste histórico implica muito mais do que apenas previsão. O objectivo explícito do ajuste histórico é de atribuir valores aos parâmetros do modelo a optimizar de tal forma que o modelo matemático do reservatório reproduza o comportamento observado durante o período de produção. A utilidade do modelo, no entanto, é um resultado da sua capacidade para prever o comportamento futuro com maior confiança, e para realizar experiências computacionais em metodologias de gestão dos reservatórios. Com um modelo das propriedades de subsuperfície confiável é possível, explorar locais diferentes para os poços, potenciais benefícios de poços inteligentes e optimizar a gestão de um reservatório. Com a popularidade da modelização geostatística e o aumento do poder computacional, a simulação de reservatórios é agora usada para quantificar o efeito da heterogeneidade no comportamento do fluxo do reservatório. Tornou-se comum o uso de modelos de simulação com centenas de milhares de células que fazem parte da malha do reservatório, cada um com valores diferentes de permeabilidade horizontal, vertical e porosidade. Os avanços na modelização e simulação de reservatórios mudou muitos aspectos da aplicação de técnicas de ajuste do histórico de produção e também induziu um aumento no esforço de investigação nesta área. O grande número de parâmetros do modelo aumenta significativamente a dimensionalidade do problema inverso, i.e. o ajuste dos dados de produção simulados aos dados reais, mas são extremamente necessários para a caracterização do reservatório com menor grau de incerteza associado. Uma vez que o número de parâmetros do modelo geralmente excede o número de dados independentes, a solução do problema inverso é normalmente posta em causa se se usar apenas o conhecimento geoestatístico do reservatório. Um algoritmo de optimização eficiente necessita de modelos de reservatório plausíveis que minimizem os desvios entre os dados de produção reais e simulados. O objectivo final do ajuste histórico de produção mudou de encontrar um único conjunto correcto de variáveis de um modelo para encontrar vários modelos combinados do histórico que possam ser usados para a quantificação da incerteza do desempenho futuro do reservatório. 1

14 Dezasseis anos após a sua introdução, o filtro Ensemble Kalman tornou-se num método viável e popular para a assimilação de dados temporais em diversas áreas da ciência como é o caso da meteorologia, oceanografia, hidrologia e engenharia de reservatórios. No campo da engenharia de reservatórios, o filtro Ensemble Kalman, tornou-se cada vez mais popular nos últimos anos como um método de actualização de modelos de simulação de reservatórios condicionados por informação geoestatística e informação de dados de produção, contudo a sua aplicação na modelização de reservatórios nunca teve o sucesso alcançado em outras áreas da ciência. Devido à sua fácil implementação, eficiência computacional e o facto de gerar vários modelos de ajuste histórico que permitem a quantificação da incerteza na caracterização do reservatório e consequentemente fazer previsões do desempenho futuro, o filtro Ensemble Kalman fornece uma técnica muito promissora para o ajuste do histórico de produção assim como a capacidade de lidar com uma grande quantidade de dados e não-linearidades acentuadas, (Anderson and Anderson, 1999). 1.2 Motivação O progresso na assimilação de dados originou técnicas que são capazes de lidar com grandes quantidades de dados e não-linearidades entre parâmetros e resposta do modelo. O foco desta tese concentra-se no comportamento do filtro Ensemble Kalman aplicado a uma metodologia de ajuste do histórico de produção. Tendo em vista a estimação de reservas e maximização da produção de petróleo e de gás, é fundamental caracterizar propriedades desconhecidas do reservatório, isto é, a distribuição espacial das propriedades petrofísicas de interesse. No entanto, é algo bastante desafiante tendo em conta a não-linearidade do problema em causa e a existência de um elevado número de variáveis com diferentes níveis de incerteza. Embora as aplicações com o EnKF pareçam promissoras, existem alguns problemas já identificados para actualização de um modelo de reservatório. Em primeiro lugar, embora existam muitos dados e medidas observadas disponíveis, a tendência para encontrar a solução pode não parecer satisfatória após um determinado número de actualizações, especialmente perto das fronteiras do modelo do reservatório. Em segundo lugar, tendo em conta que o EnKF é baseado em métodos teóricos matemáticos, a solução, por vezes, inclui valores para as propriedades petrofísicas fisicamente irreais. Portanto precisamos de melhorar a metodologia EnKF para obter melhores resultados. 1.3 Objectivos O principal impulso para o desenvolvimento desta Tese de Mestrado é avaliar as limitações da metodologia EnKF, e dar alguma contribuição para que esta metodologia possa ter o sucesso na indústria do petróleo e gás que teve e continua a ter em outras áreas da ciência. O EnKF foi introduzido na indústria do petróleo recentemente e tem atraído atenção como um método promissor na resolução 2

15 do problema de ajuste histórico. Nos últimos anos, principalmente na última década, a metodologia EnKF tem sido objecto de inúmeros estudos com o objectivo de mitigar algumas limitações que a metodologia apresenta em casos não-lineares, casos relacionados com distribuições não paramétricas. Estas mesmas limitações têm afastado esta metodologia promissora da indústria do petróleo e gás. Nesta tese apresenta-se uma aplicação de uma metodologia de EnKF, que permite a integração em simultâneo de: dados de poços, dados de produção e tem como ponto inicial um conjunto (ou ensemble) de realizações de permeabilidade. Uma das vantagens deste método é o baixo custo computacional quando comparado com métodos semelhantes e pouco tempo despendido. Em seguida são apresentados os objectivos do trabalho desenvolvido: - Familiarização com o software de simulação de fluídos MRST; - Familiarização com a toolbox EnKF-MRST; - Implementação de uma metodologia de ajuste do histórico de produção utilizando o filtro Ensemble Kalman; - Optimização do desvio do ajuste histórico e das previsões para um reservatório sintético; - Análise da sensibilidade dos parâmetros de input de uma metodologia de EnKF tradicional; Para o desenvolvimento desta tese foi utilizado o Matlab Reservoir Simulation Toolbox (MRST). O MRST foi desenvolvido por um grupo de geociêntistas do Department of Applied Mathematics no SINTEF ICT. A MRST consiste principalmente num conjunto de ferramentas para a esquematização rápida e demonstração de novos métodos de simulação e de conceitos de modelização. Juntamente com o MRST foi utilizado o módulo EnKF-MRST, este módulo foi desenvolvido por Olwijn Leeuwenburgh (TNO) e incluí um esquema de EnKF. 3

16 Capítulo 2 Revisão teórica O trabalho desenvolvido no âmbito desta tese requer um optímo conhecimento teórico em diversos temas específicos que foram abordados tais como geostatística, simulação sequencial directa, ajuste do histórico de produção, filtro de Ensemble Kalman, multidimensional scaling, assimilação de dados. Desto modo, é muito importante localizar e explicar parte significante dos conceitos envolvidos no desenvolvimento com recurso a publicações científicas recentes de forma a dar sequência ao trabalho que tem sido desenvolvido nesta área. 2.1 Ajuste Histórico (History Matching) Os processos relacionados com a integração de informação dinâmica em modelos numéricos de reservatórios, que posteriormente são utilizados para a previsão do comportamento dinâmico de um reservatório, são tradicionalmente conhecidos como metodologias de ajuste histórico (history matching). Nestas metodologias de caracterização e modelização de reservatório o desafio é incorporar as informações dos dados de produção na perturbação dos parâmetros do modelo do reservatório, i.e. as propriedades petrofísicas do modelo de maneira a abranger de forma consistente a incerteza nas previsões. O ajuste histórico é o processo de construção de um ou mais conjuntos de modelos numéricos (que representam o reservatório), que pretendem reproduzir os dados de produção observados e medidos nos diferentes poços produtores e injectores. Durante qualquer tipo de processo de calibração do modelo do reservatório é importante notar que: - Modelos de reservatórios são modelos e não a realidade. Existem erros e aproximações inevitáveis que são encontradas em qualquer modelo de fenómenos físicos; - O processo de ajuste histórico é realizado com o propósito de tomada de decisão; - Os dados de entrada do modelo são incertos, e a incerteza é quase sempre subestimada; - Os dados observados de produção contêm erros de medição; O ajuste de histórico deve ser considerado no contexto geral de quantificação da incerteza, dos quais a vertente do histórico de produção é apenas uma parte. Para uma tomada de decisão adequada, a incerteza associada aos resultados deve ser avaliada. No entanto é importante referir que a avaliação da incerteza é sempre subjetiva independentemente da metodologia adoptada. A metodologia de ajuste histórico escolhida deve possibilitar o acesso à incerteza dos parâmetros inferidos, que é posteriormente utilizada para a tomada de decisão. 4

17 Os principais procedimentos para a maioria das metodologias de ajuste do histórico de produção baseiam-se na perturbação dos parâmetros do modelo do reservatório, seguindo os seguintes passos: 1. Criação de um conjunto inicial (ensemble) a partir do conhecimento prévio das propriedades petrofísicas: dados obtidos através diagrafias para (porosidade e permeabilidade). Os modelos do reservatório são criados a partir desta informação e tentam descrever a distribuição espacial das propriedades de interesse do subsolo; 2. Executar simulações dinâmicas nos modelos gerados no passo anterior para obter o histórico de produção simulada por poço; 3. Comparar os dados de produção simulados para cada modelo com os dados reais do histórico de produção através de uma função objectivo; 4. Perturbação do modelo simulado em 2) com as informações obtidas a partir da função objectivo, obtida em 3). Repetir todas as etapas anteriores até que seja atingido o valor mínimo pré-definido para a função objectivo; O principal objectivo do ajuste do histórico de produção é de alcançar uma aproximação razoável entre os dados de produção observados e o comportamento dos modelos simulados, de modo a estabelecer se a ferramenta de gestão do reservatório tem uma qualidade satisfatória. Isto é feito sob as premissas do modelo geológico, dos parâmetros do reservatório e de outros dados estáticos e dinâmicos que são utilizados. Podem ser aplicadas duas abordagens na realização de um estudo de ajuste do histórico: ajuste de histórico manual e assistido (automático). Tradicionalmente, o ajuste de histórico é executado por uma abordagem de tentativa-erro. Neste caso, uma série de tarefas estão envolvidas, como a alteração do modelo de simulação de reservatórios, execução de simulações de reservatório, analisar os resultados e comparar com os dados observados. Por outro lado a principal vantagem do ajuste histórico assistido é de automatizar as tarefas manuais, tais como modificações do modelo de simulação do reservatório, execuções de simulações do reservatório. No entanto, é necessária atenção na criação de limites nos parâmetros envolvidos para garantir que as soluções são fisicamente válidas e geologicamente consistentes. 5

18 2.2 Assimilação de dados Um modelo numérico de assimilação de dados pretende determinar como um estado de um determinado modelo inicial constituído por vários parâmetros se vai encontrar num momento posterior. Para uma previsão perfeita do estado futuro da produção de um reservatório de hidrocarbonetos, o estado inicial dos modelos numéricos tem também que ser uma representação perfeita do sistema actual. No entanto, por definição um modelo é sempre uma representação, i.e. uma aproximação de um sistema físico real. Pode dizer-se que a assimilação de dados é um conjunto de técnicas matemáticas que permitem estimar o melhor possível o estado de um sistema a partir de informação temporal passada sobre este tendo em conta o grau de incerteza dessa informação, i.e. ruído presente nos dados observados. A estimativa obtida pretende ser melhor em média que as observações disponíveis e denomina se análise. Assimilação de dados é o processo pelo qual as observações de um sistema real são incorporadas num modelo de modo a actualizar os parâmetros desse mesmo modelo numérico. As aplicações da assimilação de dados surgem em vários campos das geociências como é o caso da hidrologia e a engenharia do petróleo. As técnicas matemáticas usadas na assimilação de dados podem usar vários ramos da matemática tais como: Teoria da estimação, Estatística Bayesiana, Teoria dos sistemas dinâmicos, Análise funcional, Teoria do problema inverso, Teoria do controle. Análise variacional, Teoria da informação e Teoria dos Jogos. A assimilação de dados consiste num problema inverso. Para tal apresentamos as definições de problema directo e inverso. Consideremos X, o vector de estado e Y o vector reunindo as observações do sistema. As observações efectuadas por medição directa ou indirecta são sujeitas a diversos tipos de erro que juntamos de forma sintética no vector erro W. As observações estão relacionadas com o vector de estado através de um operador H que é o operador de observação. Assim Y=H(X,W). Um problema directo consiste na obtenção, a partir de um suposto estado do sistema: X0, das observações perfeitas Y0 que se obteriam a partir de X0, assumindo erro nulo (W=0) ou seja: Problema directo Y0=H(X0, W=0). Um problema inverso é em geral muito mais difícil de resolver e consiste em obter uma estimativa Xa do vector de estado do sistema, a chamada análise em assimilação de dados, a partir das observações disponíveis Y, de estatísticas hipotéticas dos erros W e de outros possíveis constrangimentos (tais como modelos dinâmicos). 6

19 2.3 Filtro Ensemble Kalman O filtro Ensemble Kalman introduzido por Evensen (1994), tornou-se um método muito popular para o ajuste do histórico de dados de produção e de integração de dados de reflexão sísmica em modelos de reservatórios petrolíferos. EnKF é um método sequencial de assimilação de dados, em que um conjunto inicial de realizações das propriedades petro-físicas da subsuperfíce é utilizado para proceder à actualização do vector de estado que contém toda a informação do reservatório, parâmetros estáticos, informação dinâmica e dados simulados. O EnKF permite estimar um grande número de variáveis do modelo, assimilar diferentes tipos de dados e ser combinado facilmente com qualquer simulador de reservatórios. O EnKF difere dos outros métodos tradicionais de ajuste histórico no esquema de actualização sequencial, proporcionando vários modelos de ajuste histórico combinados e em simultâneo possibilitando ainda a calibração de variáveis de estado como é o caso da pressão e da saturação do reservatório assim como as variáveis do modelo, i.e. os valores de permeabilidade e porosidade da malha do reservatório. As variáveis do modelo, como por exemplo, a permeabilidade e a porosidade e as variáveis de estado, saturação e pressão, são actualizadas quando aplicado o EnKF e todas as variáveis são agregadas a um vector, geralmente referido como vector de estado Y. O vector de estado do EnKF contém toda a incerteza e as variáveis estáticas e dinâmicas que definem o estado do reservatório (Dean S. Oliver, 2005), em determinado espaço temporal o vector de estado do reservatório é expresso por, y i = [(m i ) T, d(m i ) T ] T (1) onde m i consiste nas variáveis que caracterizam as propriedades de subsuperfície e do escoamento no reservatório para cada célula da malha do modelo de reservatório, d (mi) representa o conjunto de dados de produção simulados desde a realização anterior. O número de dados simulados no vector d (mi) não tem a necessidade de ser no mesmo tempo de assimilação pois depende do número de dados observados em determinado tempo i. O vector de estado y, (Equação 1), é um vector de alta dimensionalidade que consiste em parâmetros estáticos, i.e. (todos os parâmetros incertos que queremos estimar), e variáveis dinâmicas (como por exemplo pressão e saturações), dados de produção simulados e/ou dados sísmicos e é escrito assim, y = ( Variáveis dinâmicas Parâmetros estáticos ) Dados simulados 7

20 Existem duas principais fases na metodologia EnKF, a fase de previsão e a fase de análise. Na fase de previsão do EnKF, um conjunto de vectores de estado y é integrado utilizando equações dinâmicas, tipicamente através de um simulador de fluídos. Na fase de análise do EnKF os vectores de estado são actualizados através da seguinte equação: y j u = y j p + K e (d j Hy j p ), para j = 1,, N e (2) Onde, o expoente p indica o vector de estado previsto, em contraste com u que significa o vector de estado actualizado, K e é o ganho de Kalman e H é um operador de medição, que extrai os dados simulados do vector de estado y p. d i representa os dados observados no tempo actual mais o erro, com a mesma distribuição do erro de medição. d j = d obs + j, para j = 1,, N e (3) O ganho de Kalman é calculado da seguinte forma: K e = C Y,e H T (HC Y,e H T + C D ) 1 (4) Onde a matriz de covariância dos vectores de estado, em qualquer tempo, pode ser obtido a partir dos membros do conjunto pelo estimador padrão: C P Y,e = N e 1 N e 1 ( y P i y P) (y P j y P) T i,j=1 (5) onde y P é a média dos membros do conjunto N e na etapa actual de assimilação de dados. y representa o conjunto de vectores de estado. As fases de previsão e análise do EnKF são repetidas no tempo, ao longo do histórico de produção de um determinado reservatório. Deste modo, os dados observados de produção são assimilados de forma sequencial Bayesiana. Em cada tempo de assimilação de dados a estimativa é uma combinação de informações fornecidas pelos dados mais actuais, simulados no passo anterior, e toda a informação anterior aos dados actuais. É esta característica do EnKF que requer que as variáveis de estados sejam actualizadas em cada tempo de assimilação de dados, de modo que o passo seguinte de previsão continua sem a necessidade de re-simular todos dados de produção histórica passados (Emerick e Reynolds, 2012). A covariância cruzada entre os dados e o modelo e as variáveis de estado e a covariância entre os dados são estimadas através do conjunto inicial de modelos considerados, como por exemplo 8

21 realizações geoestatísticas, por isso, o custo computacional desta metodologia é independente do número de variáveis do modelo e do número de dados. A qualidade das estimativas da covariância, no entanto, depende muito do tamanho do conjunto inicial. A aplicação do EnKF a um conjunto (ensemble) de realizações de reduzidas dimensões enfrenta dois problemas críticos. Em primeiro lugar, a estimativa da covariância cruzada tende a ser corrompida por correlações espúrias. A existência de correlações espúrias induz alterações desnecessárias e leva ao colapso da variabilidade do conjunto. Em segundo lugar, o número de graus de liberdade é tão grande como o tamanho do conjunto e é impossível ao EnKF assimilar uma grande quantidade de dados independentes e precisos. As medidas previstas (simuladas), estão incluídas no vector de estado, uma vez que são nãolinearmente relacionadas com o estado do modelo e a sua inclusão no vector simplifica a comparação com os dados medidos no sistema de actualização do EnKF. As medidas previstas são tipicamente taxas de produção de óleo, gás e água de cada poço. As taxas de gás e água são frequentemente representadas pela razão gás-óleo e pelo water cut, que são adicionados ao vector de estado também. Por vezes dados de reflexão sísmica 4D são também utilizados para condicionar a dinâmica do modelo, a resposta sísmica também pode estar incluída no vector de estado. Uma vez gerado um conjunto inicial de modelos petrofísicos de um reservatório, o EnKF é usado para actualizar sequencialmente este conjunto de modo a honrar as novas observações para o intervalo de tempo considerado. A assimilação de dados sequencialmente é uma particularidade do EnKF e é uma importante característica em comparação com outros métodos tradicionais de ajuste histórico, pois permite aplicações em tempo real e uma rápida actualização do modelo. O modelo pode ser actualizado sempre que estejam disponíveis novos dados sem a necessidade de reintegrar o período histórico completo. Na fase de previsão, o conjunto de modelos de reservatório está integrado à frente no tempo através do modelo dinâmico. Cada membro do conjunto é integrado até ao próximo momento em que as medidas de produção estão disponíveis, o que leva ao conjunto de previsão. O workflow geral do EnKF para aplicação em engenharia de reservatórios pode ser sintetizado na seguinte sequência de passos (Figura 1): 1) O conjunto inicial que expressa de forma explícita o modelo de incerteza, é o ponto de partida para o filtro de Ensemble Kalman (A). 2) Integração no tempo de cada membro do conjunto leva ao conjunto de previsão (B). 3) As actualizações são realizadas em cada momento em que as medidas de dados de produção estão disponíveis (C). 4) Estes dois processos, a previsão e análise, consistem no esquema principal do EnKF e que levam a um conjunto actualizado (D). 9

22 Os principais parâmetros de incerteza identificados no modelo são normalmente a distribuição espacial dos campos de permeabilidade e porosidade, profundidades de contactos de fluídos, permeabilidade relativa. As distribuições de porosidade e permeabilidade derivam a partir da interpolação de dados de poço disponíveis. Figura 1 Workflow do EnKF para aplicações de ajuste histórico de dados de produção. Neste contexto, os dados observados dj que são assimilados, são considerados variáveis aleatórias com uma distribuição, com a média igual ao valor observado e uma covariância do erro que reflecte a precisão da medição. Gera-se um conjunto de observações (Equação 3), onde j, representa o erro de medição. Na análise da Figura 1 (C), as seguintes alterações são calculadas para cada um dos membros do conjunto inicial. A matriz de covariância do conjunto Equação 5, onde y P é a média ao longo do conjunto. A Equação 5 representa um operador que relaciona o vector de estado com os dados de produção e extrai a medição da informação prevista. O conjunto actualizado Figura 1 (D) é integrado até à próxima actualização. O resultado é um conjunto actualizado de modelos condicionado a todos os dados de produção anteriores. O filtro Ensemble Kalman e os seus variantes têm provado ser eficazes em metodologias de ajuste histórico, combinando problemas desafiantes e complexos com algoritmos evoluídos. A metodologia EnKF é facilmente adaptada a diferentes tipos de dados e variáveis do modelo. Actualmente o EnKF tem demonstrado estar próximo de oferecer boas soluções em metodologias de ajuste do histórico de 10

23 produção em casos de estudo realistas. Nos últimos 15 anos tem ocorrido um grande progresso no seu desenvolvimento. Em particular, tornou-se possível fazer ajuste histórico de grandes modelos de reservatório com centenas de milhares de parâmetros incertos (Oliver D.S, Yan Chen, 2010). Os tipos de parâmetros que podem estar incluídos tornaram-se também mais variados e a quantidade de dados que podem ser combinados é muito maior do que era possível anteriormente. Apesar do rápido progresso em termos de capacidade, parece não haver um método ideal para se fazer ajuste do histórico de produção, uma vez que uma metodologia de ajuste histórico depende dos parâmetros do problema e dos dados que precisam ser combinados. Ao longo dos anos esta metodologia tem vindo a ser alvo de inúmeros estudos, vários investigadores sentem dificuldade em fazer uma caracterização das propriedades petrofísicas em casos de ajuste histórico. (Naevda et al, 2003) aplicaram o EnKF para actualizar continuamente um modelo de um reservatório 2D de 3 fases. Um dos casos, um modelo sintético com 2 produtores e 1 injector, e o outro, um modelo simplificado de um campo petrolífero do Mar do Norte. As medições de ambos os casos incluíam pressão no fundo do poço, taxas de produção de óleo, rácios gás-óleo e water cut. Os modelos de reservatório foram actualizados através da assimilação de dados de produção de pelo menos uma vez por mês e também de informações de quando um poço iniciava a produção ou era fechado. Eles concluíram que a previsão da futura performance do campo, era melhorada com mais dados assimilados, contudo a estimativa da permeabilidade piorava. Gu and Oliver (2005), utilizaram o EnKF no problema PUNQ-S3 (Floris et al., 2001). Eles verificaram que o EnKF foi muito eficiente em comparação com os métodos de gradiente típicos e forneceram estimativas bastante razoáveis da incerteza. Apesar destas aplicações aparentemente parecerem promissoras, existem alguns problemas associados à actualização dos modelos do reservatório utilizando o EnKF. Por vezes, apesar de estarem disponíveis mais dados observados, a tendência de encontrar uma solução pode não ser satisfatória depois de algumas actualizações, especialmente perto das fronteiras do modelo, zonas com um nível de incerteza mais elevado. 2.4 Simulação Sequencial Directa A simulação sequencial directa (SSD), é um tipo de simulação sequencial estocástica habitualmente utilizada no ramo da geoestatística. É utilizada para a inferência da distribuição espacial de uma determinada propriedade de interesse dentro de uma área de estudo. Esta técnica de simulação sequencial estocástica chamada directa porque ao contrário de outras metodologias de simulação sequencial estocásticas, como é o caso da simulação sequencial Gaussiana ou da simulação sequencial da indicatriz, não necessita de qualquer transformação da variável original (Soares, 2001). A SSD é hoje utilizada nas mais diferentes áreas das ciências da Terra e do ambiente: caracterização de reservatórios petrolíferos, ciências da agricultura e agronomia, estudos ambientais, entre outras. 11

24 Com a SSD, a média local e a variância de krigagem simples são usadas para reamostrar a lei da função de distribuição global concionada, ao contrário da simulação sequencial Gaussiana que utilizaas para definir a lei da distribuição local Gaussiana. Na prática é uma reamostragem da função de distribuição global condicionada Fz(z), de forma a obter uma nova função Fz`(z) com intervalos centrados na média local e com um intervalo proporcional aos da variância local condicionada. Este dois parâmetros são estimados por krigagem simples (Soares, 2001). Para simular o valor z(x), utilizando o algoritmo SSD, os seguintes passos devem ser seguidos: 1. Definir um caminho aleatório que inclua toda a malha que vai ser simulada xu, u = 1,, N, [com N igual a todos os nós da malha] sendo N o número total de nós da malha; 2. Estimar a média e variância locais de z(xu), através de estimador de krigagem z(xu) *, e o estimador da variância σ 2 sk(xu). Estes valores têm que ser condicionados aos dados experimentais e aos valores anteriormente simulados; 3. Definir Fz(z) para ser amostrado, utilizando a lei de distribuição Gaussiana: G(y(x u ) ; σ 2 sk(x u )) com, y(x u ) = φ(z(x u ) ) (6) 4. Gerar um valor zs(xu) da cdf Fz(z); - Gerar um valor u de uma distribuição uniforme U(0,1); - Gerar um valor y s de G(y(x u ) ; σ 2 sk(x u )); - Simular o valor da variável original Z s (x u ) = φ 1 (y s ); 5. Simular até que cada nó da malha de simulação esteja simulado; O passo 3 e 4 são esquematicamente representados na Figura 2. Figura 2 Representação esquemática dos passos 3 e 4 da SSD, (Adaptado de Soares, 2001). 12

25 De realçar, que na SSD a transformação Gaussiana é utilizada apenas para reamostrar o intervalo da distribuição Fz(z). Os modelos simulados através de SSD honram os dados experimentais disponíveis, na sua localização, reproduzem os principais estatísticos e continuidade espacial imposta por um modelo de variograma que descreve o comportamento da variável em estudo. 2.5 Multitidimensional Scaling A metodologia de Multidimensional Scaling (MDS), permite avaliar o grau de similaridade entre elementos de um conjunto de dados como por exemplo diferentes realizações de uma determinada propriedade dentro de um conjunto de simulações. Refere-se a um conjunto de técnicas relacionadas com a ordenação de informação, usadas em particular, para exibir as informações contidas numa matriz de distância. O algoritmo de MDS visa colocar cada objecto, i.e. modelo, no espaço N-Dimensional, de tal modo que as distâncias entre cada objecto que sintetizam a similaridade entre variáveis, são preservadas. A cada objecto são atribuídas coordenadas em cada uma das N dimensões. O número de dimensões de um gráfico de MDS pode ser superior a duas, tendo que ser especificada a priori. Ao escolher N=2, a MDS vai permite a localização de cada modelo num espaço bidimensional. Resumidamente, a MDS é uma metodologia estatística para avaliação da incerteza em processos estocásticos. A MDS converte uma matriz de dissimilaridade em pontos, os quais podem ser representados num espaço cartesiano, o espaço MDS. Em primeiro lugar, a matriz é convertida numa matriz de produto escalar, em seguida, é decomposta por decomposição vectorial em que apenas os primeiros componentes principais, ou vectores próprios são retidos (Scheidt e Carers, 2008, Caers, 2011). Algoritmo simplificado de uma metodologia de MDS: 1. Atribuir pontos para coordenadas arbitrárias no espaço N-dimensional; 2. Calcular a distância euclidiana, ou outra, entre todos os pares de pontos, para formar a matriz das distâncias entre todos os pontos; 3. Comparar a matriz das distâncias com a de entrada, avaliando a função de stress; 4. Quanto menor for o valor, maior a correlação entre os dois; 5. Ajustar as coordenadas de cada ponto na direcção que maximiza o stress; 6. Repetir os passos 2) e 4) até que o stress não obtenha um valor menor; 13

26 Capítulo 3 Metodologia e workflow Esta tese apresenta uma aplicação da metodologia Ensemble Kalman Filter num caso de ajuste do histórico de produção. Para além da parametrização tradicional introduzimos a técnica SSD na geração de modelos de permeabilidade para constarem no conjunto inicial de realizações de permeabilidade na metodologia EnKF. Com esta introdução pretendemos averiguar o impacto inerente a esta alteração, sabendo antemão que tradicionalmente são utilizados modelos de permeabilidade de distribuição Gaussiana no conjunto inicial. Sendo o conjunto inicial, um parâmetro fundamental da metodologia EnKF, esta tese também apresenta a análise de sensibilidade da variação do número de modelos do conjunto inicial em 50, 100, 150, 200 e 500 modelos. Por fim apresenta a aplicação desta mesma metodologia com assimilação de dados múltipla, fazendose assim a comparação entre assimilação simples e assimilação múltipla. O workflow geral da metodologia EnKF para aplicações em reservatórios petrolíferos consiste nas seguintes etapas: - O conjunto inicial que representa explicitamente o modelo de incerteza é o ponto de partida para o filtro Ensemble Kalman; - A integração de cada membro do conjunto no tempo, através do simulador de fluídos, vai gerar o conjunto previsto (etapa de previsão); - A actualização dos modelos (etapa de análise) ocorre em cada timestep quando os dados de produção estão disponíveis; - Estes dois processos, a previsão e a análise, consistem na principal ferramenta para alcançar um conjunto de realizações actualizadas; Conjunto Inicial de realizações de permeabilidade Foram utilizados nesta aplicação prática dois conjuntos iniciais de realizações de permeabilidade para comparar o impacto do tipo de ensemble inicial nos resultados obtidos através de EnKF. Um conjunto inicial vem associado ao módulo MRST-EnKF e outro conjunto inicial foi gerado através dos dados experimentais dos valores reais da localização dos poços do modelo real de permeabilidade. Para gerar o novo conjunto inicial de realizações de permeabilidade utilizámos a simulação sequencial directa (SSD). 14

27 Previsão Na fase de previsão do EnKF, um conjunto de vectores de estado é integrado no simulador de reservatórios utilizando equações dinâmicas. Análise Na etapa de análise do EnKF, os vectores de estado são actualizados utilizando a Equação (2). Ganho de Kalman De realçar que a Equação 4 corresponde ao ganho de Kalman que é parte fundamental na actualização dos modelos das propriedades físicas. O filtro Ensemble Kalman é um estimador mínimo da média do erro quadrático. Sendo o erro numa estimação a posteriori, procuramos minimizar o valor esperado do quadrado da magnitude desse valor. Isto é equivalente a minimizar a matriz de covariância de uma estimativa a posteriori. Por outras palavras e de forma a expor o ganho de Kalman de forma mais simplificada, o Ganho de Kalman é calculado com base na informação do erro da estimativa e com o erro dos dados (medições). O Ganho de Kalman pode ser expresso pelo seguinte rácio: K e = Erro na estimação Erro na estimação + Erro das medições, 0 K e 1 Sendo a estimava actual (Est t ), e a estimativa anterior (Est t 1 ), e as medições (dados observados, d obs ), o Ganho de Kalman vai inferir à estimativa actual informação sobre o erro e os valores reais da estimativa anterior: Est t = Est t 1 + K e d obs Est t 1 A previsão e a análise são repetidos no tempo, os dados são assimilados dentro de um sistema sequencial Bayesiano. Em cada tempo de assimilação de dados a estimativa correspondente é uma combinação de informações fornecidas pelos dados mais actuais (através da probabilidade), e toda a informação anterior (através do conjunto inicial). Esta característica sequencial do EnKF requer variáveis para serem actualizadas em cada momento de assimilação de dados, de modo que o próximo passo de previsão vai continuar sem a necessidade de resimular a história passada. 15

28 16 Figura 3 - Workflow da metodologia EnKF para o estudo do ajuste do histórico de produção.

29 Capítulo 4 Caso de estudo A metodologia de EnKF para ajuste histórico de reservatórios petrolíferos foi testada e implementada a um conjunto de dados sintéticos. Para dar suporte à aplicação desta metodologia, escolhemos a Matlab Reservoir Simulation Toolbox (MRST). A MRST foi desenvolvida por um grupo de Geocientistas do Department of Applied Mathematics (SINTEF ICT). Esta Toolbox foi desenvolvida com o intuito de ajudar os estudantes das mais diversas áreas a desenvolver os seus projectos de investigação sem necessitarem de software sujeito a licenças comerciais. Juntamente com a MRST foi utilizado o módulo EnKF-MRST que serve de base à vertente prática da dissertação. Este módulo foi desenvolvido pelo Dr. Olwijn Leeuwenburgh do Center for Earth, Environmental and Life Sciences (TNO), inclui os esquemas EnKF e EnRML, localização, inflação, concede dados de produção (Bottom hole pressure, Water cut e Total liquid rate) e também informação sísmica (saturação de água). O módulo EnKF-MRST está programado com uma metodologia de ajuste de histórico de produção, com informação de dados de produção ao longo de vinte anos e que permite fazer previsão até trinta anos. O reservatório onde a metodologia é testada é num reservatório sintético 2D. 4.1 Descrição dos dados O reservatório utilizado para a aplicação desta metodologia é um reservatório sintético 2D, a malha do reservatório é definida por 441 blocos, caracterizado por [21x21] células. O reservatório tem quatro poços produtores e um poço injector configurados em sistema 5-spot (Figura 5). Figura 4 - Reservatório MRST 2D. 17

30 Os dados de produção históricos disponíveis foram obtidos após 30 anos de produção deste reservatório. Os dados de produção disponíveis são: bottom hole pressure (BHP) do poço injector, o BHP dos poços produtores é constante, o water cut (WC), dos poços produtores e o total liquid rate (TLR) dos poços produtores. No âmbito desta Tese de Mestrado foi variado o número de anos de produção utilizado para o ajuste histórico de modo a avaliar a performance do método na previsão da produção nos anos seguintes não considerados para o ajuste histórico. Uma estratégia de ajuste histórico requer a parametrização de vários parâmetros. A parametrização utilizada para a análise e discussão dos resultados está presente na Tabela 1. Tabela 1 - Parametrização da metodologia de ajuste histórico. Tempo final de simulação Tempo final de Ajuste de histórico de produção Tempo de cada assimilação Tempo em que os dados observados estão disponíveis Tempo de cada actualização Tempo em que a informação sísmica está disponível 30 anos 20 anos 0,5 anos 1 ano 1 ano 0,5 anos Propriedades petrofísicas Permeabilidade O modelo real de permeabilidade (Figura 5; Tabela 2; Figura 6), que corresponde ao modelo geológico, foi seleccionado aleatoriamente do conjunto de modelos gerados inicialmente e definido como modelo real da subsuperfície. Tabela 2 - Estatísticos do campo real de permeabilidade. Permeabilidade (Log(K)) (md) Média 0,547 Desvio padrão 1,104 Mínimo - 2,153 Máximo 2,855 Figura 5 - Mapa real de permeabilidade, Log (K). 18

31 Figura 6 - Histograma do campo de permeabilidade real. Modelos dos conjuntos iniciais de realizações de permeabilidade Os dados originais disponíveis com o EnKF-MRST tem como conjunto inicial realizações de permeabilidade com distribuições Gaussiana, geradas através de Simulação Sequencial Gaussiana. Um dos grandes objectivos desta dissertação é analisar o impacto de uma metodologia de EnKF trabalhar com modelos de realizações de permeabilidades obtidos através de SSD, ou seja, modelos não paramétricos. Tendo em conta este factor, originámos 1000 modelos de realizações de permeabilidade através de SSD a partir do hard-data na localização dos poços. Realizações de permeabilidade Gaussianas, estatísticos: Tabela 3 - Estatísticos dos modelos de permeabilidade Gaussianos. Permeabilidade (Log(K)) (md) Média 0,024 Desvio padrão 0,933 Mínimo -4,813 Máximo 4,206 Figura 7 - Histograma dos modelos de permeabilidade com distribuição Gaussiana. 19

32 Realizações de permeabilidade não paramétricas, estatísticos: Tabela 4 - Estatísticos dos modelos de permeabilidade não paramétricos. Permeabilidade (Log(K)) (md) Média 0,531 Desvio padrão 0,879 Mínimo -2,152 Máximo 2,854 Figura 8 - Histograma dos modelos de permeabilidade não paramétricos obtidos através de SSD. Porosidade A porosidade é calculada a partir de cada modelo de permeabilidade considerado segundo a seguinte equação, phi = 0.25 ( K 200 )0.1 (7) Estatísticos: Tabela 5 - Estatísticos do campo de porosidade real. Porosidade (%) Média 0,197 Desvio padrão 0,022 Mínimo 0,149 Máximo 0,247 Figura 9 - Mapa real de porosidade (%). 20

33 Figura 10 - Histograma do campo real de porosidade Propriedades Dinâmicas Existem duas fases no reservatório: Óleo e água. O reservatório produz através do influxo de água. A razão de injecção de água é constante, de 9434 stb/d. O reservatório tem 5 poços, 4 poços produtores localizados nos cantos e um injector no centro, em sistema 5-spot. O reservatório tem uma produção de óleo e água ao longo de dias, contudo a metodologia de ajuste histórico apenas considera os dados de produção até os 7300 dias. Os restantes dias são apenas utilizados para comparação da performance da previsão após o ajuste aos dados históricos de produção. Ao longo dos 30 anos estão disponíveis dados de poço das seguintes variáveis: Bottom hole pressure (pressão de fundo de poço), Water cut (corte de água) e Total liquid rate (Taxa total de produção de liquidos). 21

34 Informação real da pressão de fundo de poço: Figura 11 - Informação real de BHP no poço injector ao longo de dias; Informação real de water cut: Figura 12 - Informação real de Water cut nos 4 poços produtores ao longo de dias; a) WC produtor 1; b) WC produtor 2; c) WC produtor 3; d) WC produtor 4. 22

35 Taxa real de produção de líquido: Figura 13 - Informação real de TLR nos 4 poços produtores ao longo de dias; a) TLR produtor 1; b) TLR produtor 2; c) TLR produtor 3; d) TLR produtor 4. Pressão e Saturação de água A pressão e saturação em água do reservatório varia ao longo da produção do mesmo. As figuras apresentadas em baixo sintetizam essa evolução. Figura 14 Pressão e Saturação de água no timestep 365 dias. 23

36 Figura 15 - Pressão e saturação de água no timestep 7300 dias. Figura 16 - Figura 12 - Pressão e saturação de água no timestep dias. 24

37 4.2 Resultados Na secção anterior foram apresentados os dados reais do caso de estudo presente bem como todos os parâmetros envolvidos para o desenvolvimento desta tese. Esta secção apresenta os resultados da aplicação do EnKF a este conjunto de dados. Foram simulamos 1000 modelos de permeabilidade recorrendo à simulação sequencial directa (SSD) a partir de dados experimentais extraídos a partir do modelo real de permeabilidade, mais concretamente foram usados os valores reais de permeabilidade na localização dos 5 poços. Pretendíamos modelos que não fossem muito condicionados aos dados reais logo não foi dada muita importância ao estudo da continuidade espacial (variograma), tendo em conta a pequena escala do reservatório e o condicionamento que os dados experimentais iriam dar aos restantes nós da malha. Para fazer uma análise exaustiva entre estes dois conjuntos de realizações, corremos no simulador de fluídos variando o número de modelos presentes no conjunto inicial. Esta aplicação foi testada numa metodologia de ajuste de histórico de produção preparada para fazer ajuste histórico até 20 anos (7300 dias) e previsões futuras até 30 anos (10950 dias). As diferentes parametrizações de teste consistiram na variação do tamanho do conjunto inicial de realizações de permeabilidade (50, 100, 150, 200, 500 modelos). Outro parâmetro avaliado foi o tipo de assimilação dos dados single (simples) e multiple (múltiplo) history matching variando a distribuição do conjunto inicial de realizações de permeabilidade Conjunto Gaussiano versus SSD, (50 modelos) Em primeiro lugar foi avaliado o impacto da alteração do tipo de distribuição do conjunto de modelos de entrada para o EnKF. Apenas a forma da distribuição do conjunto de realizações de permeabilidade, foi alterado, não tendo sido efectuado qualquer alteração na parametrização original do EnKF. Desde modo foi possível verificar o comportamento do filtro com o conjunto inicial de realizações com distribuições não paramétricas, i.e. com distribuição não Gaussiana. A seguinte sequência de Figuras está ordenada do seguinte modo: Informação real de Permeabilidade, Porosidade, Pressão e saturação de água no tempo 7300 dias (20 anos) e a mesma informação para o tempo dias (30 anos). As figuras que contêm a informação real servem de comparação das variáveis de estado para todos os cenários apresentados. As restantes figuras das variáveis de estado representam os modelos simulados através das duas distribuições. Na primeira linha estão a informação obtida através do input com modelos de permeabilidade de distribuição Guassiana. Na segunda linha a informação obtida através do input com modelos de permeabilidade obtidas através de SSD. Na primeira coluna está representado o timestep 7300 dias e na segunda coluna o timestep dias. 25

38 A introdução do conjunto de realizações com distribuições não paramétricas deu origem a mapas de permeabilidade e porosidade com valores com maior variabilidade do que com os modelos de distribuição Gaussiana. É com naturalidade que se observa este resultado, pois, já tínhamos verificado esta situação nos estatísticos associados às duas distribuições, na descrição das propriedades petrofísicas. Em relação à pressão e saturação de água os valores são relativamente idênticos. Isto indica que o EnKF tem dificuldade em lidar com uma distribuição não paramétrica na caracterização das propriedades petrofísicas, i.e. os modelos de permeabilidade e porosidade pouco têm a ver com os modelos reais destas propriedades, Figuras (17, 18, 19, 20, 21, 22). Variáveis de estado Informação real Figura 17 - a) Mapa real de permeabilidade b) Mapa real de porosidade c) Mapa de pressão d) Mapa de saturação de água no timestep 7300 dias; Figura 18 - a) Mapa real de permeabilidade b) Mapa real de porosidade c) Mapa de pressão d) Mapa de saturação de água no timestep dias; 26

39 Figura 19 - a) Modelo de permeabilidade b) Modelo de porosidade c) Modelo de pressão no timestep d) Modelo de saturação de água [timestep 7300 dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 20 - a) Modelo de permeabilidade b) Modelo de porosidade c) Modelo de pressão no timestep d) Modelo de saturação de água [timestep dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 21 - a) Modelo de permeabilidade b) Modelo de porosidade c) Modelo de pressão no timestep d) Modelo de saturação de água [timestep 7300 dias] [SSD]; Figura 22 - a) Modelo de permeabilidade b) Modelo de porosidade c) Modelo de pressão no timestep d) Modelo de saturação de água [timestep dias] [SSD]; A informação dinâmica obtida através da aplicação do EnKF a partir dos dois conjuntos de realizações é apresentada com a seguinte ordem nas figuras abaixo: Bottom hole pressure (BHP), Water cut (WC) e Total liquid rate (TLR). Em relação à pressão no fundo do poço injector (Figuras 23, 24, 25, 26), o conjunto de realizações não paramétricas obteve um ajuste de histórico mais assertivo, representando a curva vermelha a média dos valores de todos os modelos mais próxima da curva azul que representa os valores reais. Com este resultado pode-se constatar que o EnKF obteve um bom resultado no ajuste histórico da pressão no fundo do poço. Como se pode verificar na Figura 25 a informação prevista (modelos) de BHP (curvas cinza), estão mais próximos dos valores reais. 27

40 Em relação ao water cut ambos os conjuntos iniciais têm um ajuste do histórico pouco sucedido. Os resultados obtidos pelos dois são idênticos, Figuras (27, 28, 29, 30). Em relação ao líquido total produzido nos 4 poços produtores os resultados de ambos foram praticamente iguais. Os resultados obtidos surgem em consequência do que verificamos no water cut, o ajuste histórico não apresenta um bom resultado em ambos os casos, Figuras (31, 32, 33, 34). Figura 23 BHP poço injector [timestep 7300 dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 24 - BHP poço injector [timestep dias] [Conjunto Gaussiano]; 28

41 Figura 25 BHP poço injector [timestep 7300 dias] [SSD]; Figura 26 BHP poço injector [timestep dias] [SSD]; 29

42 Figura 27 - a) WC produtor 1 b) WC produtor 2 c) WC produtor 3 d) WC produtor 4 [timestep 7300 dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 28 - a) WC produtor 1 b) WC produtor 2 c) WC produtor 3 d) WC produtor 4 [timestep dias] [Conjunto Gaussiano]; 30

43 Figura 29 - a) WC produtor 1 b) WC produtor 2 c) WC produtor 3 d) WC produtor 4 [timestep 7300 dias] [SSD]; Figura 30 - a) WC produtor 1 b) WC produtor 2 c) WC produtor 3 d) WC produtor 4 [timestep dias] [SSD]; 31

44 Figura 31 - a) TLR produtor 1 b) TLR produtor 2 c) TLR produtor 3 d) TLR produtor 4 [timestep 7300 dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 32 - a) TLR produtor 1 b) TLR produtor 2 c) TLR produtor 3 d) TLR produtor 4 [timestep dias] [Conjunto Gaussiano]; 32

45 Figura 33 - a) TLR produtor 1 b) TLR produtor 2 c) TLR produtor 3 d) TLR produtor 4 [timestep 7300 dias] [SSD]; Figura 34 - a) TLR produtor 1 b) TLR produtor 2 c) TLR produtor 3 d) TLR produtor 4 [timestep dias] [SSD]; Através da análise dos resultados, pode-se concluir que a nível da caracterização das propriedades petrofísicas o EnKF não lidou bem com os modelos não paramétricos, os modelos de permeabilidade e porosidade obtidos não são uma boa representação das propriedades reais. No entanto, em relação à resposta dinâmica não se verificou uma diferença substancial. Este resultado é uma consequência natural da solução não única dos problemas de history matching. Em seguida, optou-se por verificar o impacto da variação do tamanho do conjunto inicial de realizações de permeabilidade, tanto do conjunto Gaussiano como do conjunto não paramétrico. O conjunto inicial foi variado para tamanhos de 100, 150, 200, 500 modelos. Através desta experiência pretendemos avaliar o impacto que existe em variar o número de modelos do conjunto inicial, tendo em conta que o conjunto inicial de modelos é um parâmetro essencial da metodologia Ensemble Kalman Filter. 33

46 4.2.2 Conjunto Gaussiano versus SSD, (100 modelos) Com 100 modelos de realizações de permeabilidade no conjunto inicial os resultados obtidos com o conjunto de realizações paramétricas não foram satisfatórios. Os mapas dos modelos inferidos após o EnKF estão consideravelmente diferentes do real. O conjunto não paramétrico continua a gerar mapas de permeabilidade e porosidade com informação mais distante da realidade quando comparado com o conjunto Gaussiano. O conjunto Gaussiano por sua vez embora não faça um bom acerto, a nível estrutural apresenta valores mais próximos do real, aparecendo duas populações de valores mais elevados de permeabilidade como no mapa real. O conjunto Gaussiano lidou melhor com a existência de mais realizações no conjunto inicial de permeabilidade, Figuras (35, 36, 37, 38). Figura 35 - a) Modelo de permeabilidade b) Modelo de porosidade c) Modelo de pressão no timestep d) Modelo de saturação de água [timestep 7300 dias][conjunto Gaussiano]; Figura 36 - a) Modelo de permeabilidade b) Modelo de porosidade c) Modelo de pressão no timestep d) Modelo de saturação de água [timestep dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 37 - a) Modelo de permeabilidade b) Modelo de porosidade c) Modelo de pressão no timestep d) Modelo de saturação de água [timestep 7300 dias] [SSD]; Figura 38 - a) Modelo de permeabilidade b) Modelo de porosidade c) Modelo de pressão no timestep d) Modelo de saturação de água [timestep dias] [SSD]; 34

47 Em relação à pressão no fundo do poço Figuras (39, 40, 41, 42), os resultados obtidos acompanham os resultados obtidos com 50 modelos. Obtiveram-se melhores resultados com o conjunto de realizações não paramétricas tanto no ajuste histórico como também na previsão. Em relação ao water cut com ambos os conjuntos iniciais, o ajuste histórico não foi bem-sucedido. As curvas da informação real e da média dos modelos estão distantes. Os resultados obtidos pelos dois são muito parecidos, Figuras (43, 44, 45, 46). O aumento para 100 modelos não revelou melhoras em relação à taxa de líquido produzido, em ambos os casos o ajuste histórico apresenta um desvio considerável, Figuras (47, 48, 49, 50). Figura 39 - BHP poço injector [timestep 7300 dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 40 - BHP poço injector [timestep dias] [Conjunto Gaussiano]; 35

48 Figura 41 - BHP poço injector [timestep 7300 dias] [SSD]; Figura 42 - BHP poço injector [timestep dias] [SSD]; 36

52 Figura 49 - a) TLR produtor 1 b) TLR produtor 2 c) TLR produtor 3 d) TLR produtor 4 [timestep 7300 dias] [SSD]; Figura 50 - a) TLR produtor 1 b) TLR produtor 2 c) TLR produtor 3 d) TLR produtor 4 [timestep dias] [SSD]; 40

53 4.2.3 Conjunto Gaussiano versus SSD, (150 modelos) Com 150 modelos, a simulação com modelos Gaussianos piorou consideravelmente. Em relação ao conjunto inicial composto de realizações não paramétricas os resultados continuam a não ser satisfatórios, Figuras (51, 52, 53, 54). Os mapas de porosidade e permeabilidade apresentam valores consideravelmente diferentes, a nível estrutural as populações de valores mais elevados não se encontram na mesma posição do mapa real. Figura 51 - a) Modelo de permeabilidade b) Modelo de porosidade c) Modelo de pressão no timestep d) Modelo de saturação de água [timestep 7300 dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 52 - a) Modelo de permeabilidade b) Modelo de porosidade c) Modelo de pressão no timestep d) Modelo de saturação de água [timestep dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 53 - a) Modelo de permeabilidade b) Modelo de porosidade c) Modelo de pressão no timestep d) Modelo de saturação de água [timestep 7300 dias] [SSD]; Figura 54 - a) Modelo de permeabilidade b) Modelo de porosidade c) Modelo de pressão no timestep d) Modelo de saturação de água [timestep 7300 dias] [SSD]; 41

54 Em relação à pressão no fundo do poço, os resultados obtidos acompanham os resultados obtidos com 50 modelos. Obtiveram-se melhores resultados com o conjunto de realizações não paramétricas tanto no ajuste histórico como também na previsão, Figuras (55, 56, 57,58). Em relação à simulação com 150 modelos de permeabilidade obtiveram-se melhores resultados em relação ao ajuste histórico do water cut no conjunto composto de modelos Gaussianos. Em relação à simulação com o conjunto inicial composto de modelos não paramétricos não apresenta resultados satisfatórios, exeção feita ao poço produtor 4, Figuras (59, 60, 61, 62). Em relação ao TLR, o conjunto de realizações Gaussianas o ajuste histórico apresenta um desvio mais reduzido na generalidade dos poços e as previsões também se revelam mais próximas dos dados observados. Em relação à simulação com o conjunto não paramétrico os resultados não são satisfatórios, Figuras (63, 64, 65, 66). 42

55 Figura 55 BHP poço injector [timestep 7300 dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 56 - a) BHP poço injector [timestep dias] [Conjunto Gaussiano]; 43

61 4.2.4 Conjunto Gaussiano versus SSD, (200 modelos) Com 200 modelos no conjunto inicial começa-se a constatar mapas de permeabilidade e porosidade mais suaves, começa-se a perder os valores mais altos, Figuras (67, 68, 69, 70). Figura 67 - a) Modelo de permeabilidade b) Modelo de porosidade c) Modelo de pressão no timestep d) Modelo de saturação de água [timestep 7300 dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 68 - a) Modelo de permeabilidade b) Modelo de porosidade c) Modelo de pressão no timestep d) Modelo de saturação de água [timestep dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 69 - a) Modelo de permeabilidade b) Modelo de porosidade c) Modelo de pressão no timestep d) Modelo de saturação de água [timestep 7300 dias] [SSD]; Figura 70 - a) Modelo de permeabilidade b) Modelo de porosidade c) Modelo de pressão no timestep d) Modelo de saturação de água [timestep 7300 dias] [SSD]; 49

62 Em relação à pressão no fundo do poço, os resultados obtidos acompanham os resultados obtidos com 50, 100, 150 modelos. Obtiveram-se melhores resultados com o conjunto de realizações não paramétricas tanto no ajuste histórico como também na previsão, Figuras (71, 72, 73, 74). Com 200 modelos de realizações de permeabilidade obtiveram-se resultados melhores em relação ao ajuste histórico do water cut em ambos os conjuntos, apenas o poço produtor 3 apresenta um resultado mais distante dos valores reais, Figuras (75, 76, 77, 78) Em relação ao TLR o conjunto de realizações Gaussianas no que respeita ao ajuste histórico é razoável à exceção do poço produtor 4 e as previsões também se revelam boas. Em relação à simulação com conjunto não paramétrico os resultados não são satisfatórios, Figuras (79, 80, 81, 82). Figura 71 BHP poço injector [timestep 7300 dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 72 - BHP poço injector [timestep dias] [Conjunto Gaussiano] 50

63 Figura 73 - BHP poço injector [timestep 7300 dias] [SSD]; Figura 74 - BHP poço injector [timestep dias] [SSD]; 51

68 4.2.5 Conjunto Gaussiano versus SSD, (500 modelos) Com 500 modelos de realizações de permeabilidade também não obtivemos resultados satisfatórios na caracterização das propriedades petrofísicas, os mapas obtidos são consideravelmente diferentes dos mapas com a informação real. A introdução de 500 modelos revelou a perda de valores extremos no caso Gaussiano e a nível estrutural os resultados não foram bons com o conjunto não paramétrico. Em relação à pressão e saturação de água os resultados seguem a tendência dos outros tamanhos de conjunto inicial, Figuras (83, 84, 85, 86). Figura 83 - a) Modelo de permeabilidade b) Modelo de porosidade c) Modelo de pressão no timestep d) Modelo de saturação de água [timestep 7300 dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 84 - a) Modelo de permeabilidade b) Modelo de porosidade c) Modelo de pressão no timestep d) Modelo de saturação de água [timestep dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 85 - a) Modelo de permeabilidade b) Modelo de porosidade c) Modelo de pressão no timestep d) Modelo de saturação de água [timestep 7300 dias] [SSD]; Figura 86 - a) Modelo de permeabilidade b) Modelo de porosidade c) Modelo de pressão no timestep d) Modelo de saturação de água [timestep dias] [SSD]; 56

69 Em relação à pressão no fundo do poço, os resultados obtidos acompanham os resultados obtidos com 50, 100, 150, 200 modelos em relação ao ajuste histórico e às previsões. Obtiveram-se melhores resultados com o conjunto de realizações não paramétricas tanto no ajuste histórico como também na previsão, Figuras (87, 88, 89, 90). Com 500 modelos de realizações de permeabilidade obtiveram-se resultados melhores em relação ao ajuste histórico do water cut em ambos os conjuntos, apenas o poço produtor 3 apresenta um resultado mais distante dos valores reais, valores idênticos verificaram-se com um conjunto inicial composto de 200 modelos, Figuras (91, 92, 93, 94). Em relação ao TLR, os resultados obtidos são muito parecidos aos obtidos com um conjunto composto por 200 modelos, o conjunto de realizações Gaussianas no que respeita ao ajuste histórico é razoável à exceção do poço produtor 4 e as previsões também se revelam boas. Em relação à simulação com conjunto não paramétrico os resultados não são satisfatórios, Figuras (95, 96, 97, 98). Figura 87 BHP poço injector [timestep 7300 dias] [Conjunto Gaussiano]; Figura 88 - BHP poço injector [timestep dias] [Conjunto Gaussiano]; 57

75 4.2.6 Multidimensional Scaling Como já foi abordado anteriormente, na revisão teórica, recorremos ao MDS, acrónimo do inglês (Multidimensional scaling), para analisar o comportamento dos dois conjuntos de modelos de permeabilidade, perceber o nível de similaridade dos modelos presentes nos dois conjuntos. Começámos por calcular a distância de Haussdorf modificada entre cada um dos modelos dos dois conjuntos considerados. Esta distância é sensível à geometria das formas de cada modelo. A representação gráfica das matrizes de distância é apresentada na Figura 99 e Figura 100. É possível interpretar que o conjunto de modelos não paramétricos encontram-se mais próximos entre si, ou seja apresentam uma menor variabilidade em relação ao conjunto Gaussiano. Tal facto é justificado tendo em conta que ao realizar a SSD todos os modelos estão condicionados aos dados experimentais do hard-data, ao modelo de variograma e histograma, o que origina modelos equiprováveis. Figura 99 - Mapa da matriz de dissimilaridade dos modelos de permeabilidade Gaussianos, utilizando a distância de Hausdorff 63

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