MÉTODO PROBABILÍSTICO EM COMBINATÓRIA E GRAFOS ALEATÓRIOS

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1 MÉTODO PROBABILÍSTICO EM COMBINATÓRIA E GRAFOS ALEATÓRIOS Aluno: Danilo Almeida Brandão Orientador: Simon Griffiths Introdução O método probabilístico é uma ferramenta importante no estudo de combinatória. Pode ser resumido da seguinte forma: De forma a provar a existência de uma estrutura combinatória com certa propriedade, construímos um espaço amostral e mostramos que no mesmo há elementos escolhidos aleatoriamente com essa propriedade e probabilidade positiva. Em muitos casos de [1], é feito uso de grafos aleatórios para aplicações do problema. Esses são grafos cujas arestas são geradas de forma aleatória e independente entre si e com uma probabilidade p de ocorrer. Através do método probabilístico podem ser usados para demonstrar a existência de certos grafos, sem necessidade de construílo. Objetivo O objetivo do trabalho é o estudo das propriedades dos grafos aleatórios. Suas propriedades de conectividade, o tamanho e distribuição de grafos completos e vazios como subgrafos de graus aleatórios. Além de resultados sobre a distribuição de cópias de H como um subgrafo, para um grafo H qualquer. Outro tópico a ser investigado é o tamanho máximo de emparelhamento (matching) em um grafo. Primeiramente no grafo aleatório Erdös-Rényi, e depois em subgrafos aleatórios de um outro grafo (por exemplo, grafos aleatórios bipartidos, ou subgrafos aleatórios de grafos de grau limitado) Desenvolvimento Introdução aos grafos, conceitos básicos e alguns teoremas Primeiramente foi feito o estudo de grafos, através da leitura de [2]. Estudou-se as definições básicas de grafos, a definição do mesmo, os conceitos de subgrafos, um grafo obtido através de outro, podendo ser induced ou spanned. Viu-se também a ideia de isomorfismo entre grafos, ou seja, grafos que são iguais por preservarem uma correspondência de adjacência entre todos seus vértices. A

2 noção de tamanho de um grafo, dependente de uma combinação dois a dois de seus vértices se mostrou presente nos estudos e futuramente muito utilizado nos problemas de método probabilístico. Outros conceitos também usados mais à frente no projeto foi o de grau de um vértice, também denominado de vizinhança é o conjunto de vértices que possuem adjacência com um determinado vértice x, utilizado no problema de perfect matching em um grafo aleatório e os de cycles, paths e walks. Após passarmos pelo básico dos conceitos de grafos, iniciou-se o estudo de alguns teoremas. Os primeiros de [2] foi the edge set of a graph can be partitioned into cycles iff every vertex has even degree. Para sua prova supomos ter um grafo com todos os vértices de grau par e e(g)>0. Depois buscamos um ciclo no mesmo, de forma a depois buscar por novos. Denonimanos G1=G de forma que C1(primeiro ciclo encontrado) pertença a G1 e G2=G1-E(C1), de forma que todo vértice em G2 tambem tenha grau par. Assim ou E(G2) é um conjunto vazio ou então contém um ciclo C2. O processo continuo nos da ciclos disjuntos C1, C2... Ci, de tal forma que E(G) é a união desses i conjuntos. E every graph of order n and size greater than floorfunction (n 2 /4) contrains a triangle Prova-se o teorema supondo incialmente que temos um grafo sem triângulos, de forma que a interseção entre as vizinhanças de x e y, dois vértices pertencentes a uma aresas xy, seja vazia, para todo xy pertencente a E(G). Dessa forma a soma dos graus dee x e y é menor ou igual que o número de vértices do grafo. Somando verticalmente todas essas inequações temos: E por inequação de Cauchy achamos: Podendo dessa forma concluir que, Implicando que e(g) n 2 /4. Abordamos logo após outros conceitos básicos de grafos, citados a seguir. Grafos conectados, que para todo par {x,y}de vértices distintos, há um caminho (path). Cutvertex, um vértice cuja exclusão aumenta o número de components(maximal connected subgraph). Bridges, por sua vez, são arestas que ao serem deletadas tem resultado equivalente. Hipergrafos, que diferem de um grafo normal uma vez que suas arestas podem possuir mais de dois vértices, objeto de estudo de alguns exercícios realizados de [1].

3 Outro conceito que se mostrou presente no estudo da existência de emparelhamento perfeito em grafos aleatórios e estudado foi o conceito de grafos bipartidos. Esses possuem V(G) composto pela união de duas classes de vértice V1 e V2 que possuem interseção vazia e nenhuma aresta liga dois vértices de mesma classe. Há também grafos r-partidos, que possuem ao invés de duas classes um número arbitrário r de classes. O símbolo K(n1,..,nr) denota um grafo r-partido completo, com ni vértices na i-ésima classe e novamente todas as arestas ligam vértices em classes distintas. Com relação a esse tópico, foi considerado o teorema 4 A graph is bipartite iff it does not contain na odd cycle, o qual não comentarei sua prova, embora ela tenha sido estudada. Ao final da compreensão destes conceitos básicos no que tange a teoria de grafos, demos continuação no assunto, seguimos ao capitulo Flows, connectivity and matching, mais especificamente a terceira parte sobre matchings (emparelhamento). Esse é definido da seguinte forma, dado um grafo G, um emparelhamento qualquer A é um conjunto de arestas não-adjacentes, não compartilham de um vértice em comum, par-a-par. Um emparelhamento maximal (maximal matching) é um caso especifico em que se possui a propriedade de que se adicionarmos a ele uma aresta que não o pertença, ele deixa de ser um emparelhamento. Ou seja, não é um subconjunto próprio de qualquer outro emparelhamento no grafo G. Abaixo seguem alguns exemplos, onde o emparelhamento explicito como as arestas coloridas em vermelho. Esse conceito, por sua vez, difere do de emparelhamento máximo (maximum matching), definido como o emparelhamento que contém o maior número de arestas possível. Em um grafo pode ocorrer mais de um emparelhamento máximo. O número de emparelhamento (matching number), v(g), é o tamanho do emparelhamento máximo. As figuras abaixo são alguns exemplos de emparelhamentos máximos. Outro caso particular abordado no que tange a esse assunto da teoria de grafos foi o conceito de emparelhamento perfeito (perfect matching). Ele consiste em um matching que todo vértice do grafo é adjacente a exatamente uma aresta no matching. Usa-se também a nomenclatura de emparelhamento completo. Na figura acima, o grafo (b) é um exemplo do mesmo. Em [1] encontramos a condição que permite um grafo bipartido ter um perfect matching, denominada Hall s Theorem(Teorema de Hall). Basta que para todo subconjunto S de V1, sua vizinhança seja maior ou igual a seu tamanho. Como

4 denota o teorema A bipartite graph G with vertex sets V1 and V2 contains a complete matching from V1 to V2 iff N(S) S for every S of V1. O teorema é comumente pensado em questão de arranjo de casamentos, ou seja, uma classe de vértices é para mulheres e outra para homens. Assim, tratamos cada pessoa como um vértice e tentamos fazer pares com homens e mulheres que já se conheçam, de forma a obter um emparelhamento perfeito, pensando na teoria dos grafos seria escolher arestas que ligam os dois vértices. Se tivermos k garotas que conhecem no máximo k-1 garotos, não conseguimos formar casamentos, por exemplo. Dessa forma, para que se tenha a condição desejada, emparelhamento completo de V1 para V2 então para todo grupo S contido em V1 teríamos pelo menos o número de elementos desse grupo em V2 adjacente a um vértice em S. Sabendo que a condição de Hall é necessária, a sua prova tem como função mostrar sua suficiência. Em [1] há três provas diferentes, me atentarei a comentar apenas uma, a segunda. Ela se dá por indução através do tamanho do conjunto V1. Voltando ao raciocínio de arranjar casamentos, temos m= V1, como o número de garotas. Para m=1 a condição se mostra suficiente, logo temos que trabalhar com m 2 então a condição valerá para valores menores que m. Supomos primeiro que qualquer k garotas (1 k < m) conheçam no mínimo k + 1 garotos. Conseguimos arranjar um casamento arbitrariamente. O restante de garotas e garotos continuam satisfazendo a condição de forma que eles continuam podendo ser casados por indução, repetindo-se o passo anterior até que se casem todas as garotas. Agora supomos que haja um número k (1 k < m) de garotas que conheçam k garotos. Essas podem ser arranjadas com seus respectivos pares por indução. Porém devemos agora nos preocupar com as que restaram. Se elas também satisfazerem a condição, podemos arranjar os pares por indução. Entretanto, a condição é satisfeita, uma vez que se algumas l garotas restantes conhecem menos do que l garotos que sobraram, então essas junto as k inicias conheceriam menos do que k + l garotos. Com esse teorema encerrou-se a primeira parte dos estudos teóricos de grafos. Antes de passar para o estudo do método probabilístico foi pensado em um exercício, retirado de [1], provar que em um grafo com n vértices (n>0) não é possível ter todos os vértices com grau diferente. A prova encontrada foi por indução, supomos ter um grafo com n vértices. O maior grau que um vértice pode ter é n-1 e o menor zero. Iremos então fazer a ligação entre eles de forma a botar cada aresta obedecendo o grau dos vértices, entretanto, como teremos um grau zero e um n-1, não é possível que todos sejam diferentes e logo pelo menos dois dos vértices terão o mesmo grau. Introdução aos estudos de método probabilístico Após a leitura acerca da teoria e conceito básicos de grafos deu-se início o estudo do método probabilístico através da leitura de [2]. É uma ferramenta útil em

5 discreta para provar a existência de uma estrutura com certa propriedade. Consiste em definir um espaço amostral de estruturas e então mostrar que a estrutura que queremos mostrar existir ocorre no mesmo com probabilidade positiva. Para ilustrar o método, o livro utiliza de exemplos, o primeiro deles utilizando o número de Ramsey (Ramsey number), R(k,l). Ele é o menor n inteiro, tal que qualquer coloração por duas cores das arestas de um grafo completo de n vértices contém um Kk da primeira da primeira cor ou um Kl da segunda cor. Temos em [1] então a primeira preposição e primeiro exemplo do uso do método probabilístico. Segue a mesma: A princípio a preposição parece não ter muito sentido a preposição, mas vamos a sua prova, que dará sentido à mesma. Primeiro consideramos uma coloração aleatória de duas cores das arestas de Kn (grafo completo com n vértices), em que cada cor acontece com mesma probabilidade. Temos para um conjunto R qualquer de tamanho k dos vértices o evento AR em que o subgrafo induzido é monocromático. Dessa forma temos então que a probabilidade desse evento ocorrer é 2 1 /2^( k 2 ). E como há (n ) formas possíveis para escolher R a k probabilidade de pelo menos um dos eventos AR ocorrer é o número de formas de escolher R vezes a probabilidade do evento AR. Como o mesmo ocorre com probabilidade menor do que 1, o evento contrário de pelo menos um dos eventos AR ocorrerem também ocorre com probabilidade positiva e então tem uma coloração sem um Kk monocromático. Ou seja, R(k,k)>n. O exemplo mostra então claramente a existência da condição que queríamos testar, sem a necessidade de construir um exemplo para provar, mas ainda assim mostrando de uma forma não construtiva que o grafo desejado existe. Antes de passar ao próximo exemplo foi necessário a compreensão de torneio (tournament) em grafos. Os estudados até então eram grafos não-direcionados, ou seja, as arestas não vão de um vértice a outro, sendo assim bidirecionais. Os direcionados, por sua vez, são aqueles cujas arestas possuem orientação, ou seja para todos dois vértices distintos x e y, as arestas (x,y) ou (y,x) podem pertencer ao conjunto de arestas( E(G) ), mas não ambos simultaneamente. O torneio então é uma orientação das arestas do grafo completo. Podemos pensar que o conjunto V(G) são os participantes de um torneio e que as arestas são as partidas, de forma que a aresta (x,y) pertence ao torneio se e somente se o jogador x ganha do jogador y. Uma propriedade relevante sobre torneios que deve ser mencionada é a propriedade Sk. Um torneio a possui, se para todo conjunto de k jogadores, existir um que vença dos demais. O exemplo demonstrado em [2] é de um triangulo direcionado T3 = (V, E), onde V= {1,2,3} e E= {(1,2),(2,3),(3,1)}, que contém S1. não contém S2 por não conseguirmos formar três pares onde todos percam para o mesmo jogador, pode ser verificado trivialmente pelo número de vértices e partidas, que já impossibilita tal propriedade de existir.

6 Após ter compreendido o conceito de torneio e da propriedade Sk, passamos ao teorema de [2] e sua prova. O mesmo tem como intuito a aplicação do método probabilístico para provar a existência da probabilidade Sk em um torneio com n vértices. Primeiro supomos ter um torneio qualquer com um conjunto de vértices V={1,...,n}. Consideramos então subconjuntos fixos K de tamanho k em V. Sendo Ak o evento em que nenhum vértice vence todos os demais em K, que possui probabilidade (1-2 -k ) n-k. A razão para tal é que cada vértice que não pertence a K, a probabilidade dele não vencer todos em K é 1 menos a probabilidade dele o fazer(2 -k ) e como todos os n-k vértices que não pertencem a K, tem seus eventos independentes, elevamos essa probabilidade pelo número de elementos não pertencentes a K. Como a união dos eventos é o que nos interessa, devemos controlar-la para vermos se ela é menor do que 1.Tentando provar assim que o evento contrário a Ak ocorre com probabilidade positiva. Como já obtemos acima a probabilidade da soma desses eventos. Podemos fazer uma relação dessa soma de eventos com a união dos eventos. Temos então que a probabilidade da soma é maior ou igual a união dos eventos e a mesma é menor do que 1. Dessa forma, o evento contrário ocorre com probabilidade positiva e existe um torneio com n vértices que possui a propriedade Sk. Podemos testar então se um torneio com 3 vértices possui a propriedade S2. Utilizando os valores de n e k sugeridos vemos que a inequação citada acima é falsa, não havendo assim um torneio com 3 vértices com probabilidade S2. Exercicios do método Probabilistico Após o segundo exemplo de aplicação do método partimos para tentar solucionar alguns exercicios afim de familiarizarmos com o mesmo para futura aplicação na pesquisa. O primeiro realizado, retirado de [2], retoma a questão do número de Ramsey. Ele pede para povarmos que R(k,t) > n, se tivermos um número real p tal que p esteja entre 0 e 1, de tal forma que: Assim para provarmos, primeiro supomos ter um grafo completo G. Iremos colorir as arestas do grafo de duas cores, por escolha vermelho e azul de forma aleatória. De tal forma que as arestas são pintadas em vermelho com probabilidade p, e por evento contrário as arestas azuis ocorrem com probabilidade (1-p), dado que as arestas ou são azuis ou vermelhas. O lado esquerdo da inequação nada mais é do que a probabilidade de termos um Kk vermelho ou um Kt azul. E como esse vento ocorre com probabilidade positiva menor do que 1 o evento de não se ter

7 nenhum dos dois ocorre também com probabilidade positiva. Dessa forma o número de Ramsey é maior do que n. Outro exercicío realizado foi o de provar a existência de uma coloração dos vértices de H, por quatro cores, de tal forma que em toda aresta esteja presentes as 4 cores utilizadas. H, por sua vez, sendo um hipergrafo n-uniforme, n 4, com no máximo 4 n-1 /3 n arestas. Cada aresta tem probabilidade menor que 4*3 n /4 n de ser colorida com no máximo 3 cores. Porém queremos trabalhar com a união dos eventos, os mesmos sendo não disjuntos nos fazem usar do mesmo artificio usado para provar o teorema 2. Assim a probabilidade da união dos eventos é menor do que a soma das probabilidades dos eventos e como os mesmos são independentes, a soma das probabilidades é o número de arestas vezes a probabilidade de uma aresta ser colorida com no máximo 3 cores. Essa probabilidade é menor do que 1, provando assim que o evento ter mais do que 3 cores ocorre com probabilidade positiva e determinada coloração ocorre. Início da pesquisa com grafos aleatórios Antes de entrar na pesquisa foi visto rapidamente o conceito de grafos aleatórios. Grafos nos quais os vértices são fixos, mas as arestas ocorrem de forma aleatória com uma probabilidade p cada. O primeiro tópico a ser pesquisado foi a existência de um emparelhamento perfeito em grafos aleatórios. A forma pensada como mais fácil de se abordar o problema foi o uso do método probabilístico para tal, buscando provar que o evento que o grafo não tenha emparelhamento perfeito ocorre com probabilidade positiva menor do que 1 e dessa forma o evento dele possuir ocorre com probabilidade positiva. Primeiramente foi difícil achar uma forma boa de abordar o problema. Após algum tempo foi pensado em partir o grafo em dois, tornado ele em um grafo bipartido com classes de vértice X e Y cada uma com n/2 vértices. Dessa forma era possível utilizar a condição de Hall para emparelhamento perfeito. Assim tínhamos a nossa condição, a vizinhança de um S qualquer contido em X ser menor que a vizinhança do mesmo, para podermos calcular a probabilidade. Determinamos Es como evento em que N(S) S para um S qualquer e E, o evento em que se tem um emparelhamento perfeito, ou seja Es

8 (interseção dos eventos de cada S satisfazer a condição de Hall). Todavia queremos trabalhar com o evento contrário (E c ) a E para provar que E ocorre com probabilidade positiva. O evento contrário por sua vez é a união dos eventos contrários de Es. E usando novamente o artifício usado nos exercícios a probabilidade da união é menor do que a soma das probabilidades. Assim, é necessário mostrar apenas que essa soma é menor que 1. Após chegar a essas conclusões, foi necessário estudar sobre Chernoff bounds, ferramenta útil para controle de probabilidades. Entretanto cálculo da probabilidade não foi concluído até o momento da entrega desse relatório. Conclusão O método probabilístico se mostrou eficaz para a demonstração da existência de certas propriedades em estruturas estudadas. Devido a entrada tardia no projeto, e um tempo considerável após o inicio usual das pesquisas, pouco foi o avanço além da bibliografia básica até o momento. Entretanto, conseguiu-se adquirir o conhecimento necessário ao começo da pesquisa no que tange a grafos, desde então novo ao estudante. Além disso, a compreensão do método probabilístico e sua implementação em alguns exercícios, por mais que não sendo o alvo da pesquisa, importantes para a familiarização do método e futura aplicação na pesquisa. FONTES/REFERÊNCIAS 1-BOLLOBAS,Béla. Modern Graph Theory. Springer, p. 2-NOGA, Alon; SPENCER, Joel H. The Probabilistic Method. 4.ed.Nova Jersey:Wiley, p.