IT 144 Hidráulica Aplicada HIDRÁULICA APLICADA 1. PRINCÍPIOS BÁSICOS E PROPRIEDADES FÍSICAS DOS FLUIDOS

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1 HIDRÁULICA APLICADA 1. PRINCÍPIOS BÁSICOS E PROPRIEDADES FÍSICAS DOS FLUIDOS 1.1 Definição de Fluidos (Streeter,1909) Um fluido é uma substância que se deforma continuamente quando submetida a uma tensão de cisalhamento, não importando o quanto pequena possa ser essa tensão. Uma força de cisalhamento é uma componente tangencial de força que age sobre a superfície e, dividida pela área da superfície, dá origem à tensão de cisalhamento média sobre a área. Tensão de cisalhamento num ponto é o valor da relação entre a força de cisalhamento e a área quando a área tende a um ponto. Na Figura 1, uma substância é colocada entre duas placas paralelas bem próximas e grandes de modo que as perturbações nas bordas possam ser desprezadas. A placa inferior é fixa, e uma força F é aplicada na placa superior, a qual exerce uma tensão de cisalhamento (F/A) na substância entre as placas. A é a área da placa superior. Quando a força F movimenta a placa superior com uma velocidade (não nula) constante, não importando quão pequena seja a intensidade de F, pode-se concluir que a substância entre as duas placas é um fluido. Figura 1 - Deformação resultante da aplicação de força de cisalhamento constante. O fluido em contato com a superfície sólida tem a mesma velocidade que a superfície; isto é, não há escorregamento na superfície. Este é um fato experimental que é observado em ensaios com várias espécies de fluido e materiais de superfície. O fluido na área abcd escoa para a nova posição ab c d com cada partícula fluida movendo-se paralelamente à placa e a velocidade u variando linearmente de zero na placa estacionária até U na placa superior. A experiência mostra que, mantendo-se Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 1

2 outras grandezas constantes, F é diretamente proporcional a A e a U e inversamente proporcional a t. Em forma de equação, A U F = µ (1) t na qual µ é um fator de proporcionalidade que depende do fluido em estudo. Sendo a tensão de cisalhamento ( σ = F ): A U σ =µ (2) t A relação U/t é a velocidade angular do seguimento ab ou é a velocidade de deformação angular do fluido, isto é, a velocidade com que o ângulo bad diminui. A velocidade angular também pode ser escrita du/dy, pois tanto U/t como du/dy expressam a variação de velocidade divida pela distância ao longo da qual a variação ocorre. Entretanto, du/dy é mais geral porque continua válida nas situações nas quais a velocidade angular e a tensão de cisalhamento variam com y. O gradiente de velocidade du/dy pode também ser entendido como a velocidade com a qual uma camada se move em relação à outra adjacente. Na forma diferencial, du σ =µ (3) dy é a relação entre a tensão de cisalhamento e a velocidade de deformação angular para um escoamento unidimensional. O fator de proporcionalidade µ é chamado viscosidade do fluido, e a equação 3, Lei de Newton da Viscosidade. Para fins de análise é feita freqüentemente a hipótese de que um fluido é nãoviscoso. Com viscosidade zero, a tensão de cisalhamento é sempre zero, não importando o movimento que o fluido possa ter. Se o fluido é também considerado incompressível, ele é então chamado fluido perfeito ou ideal. 1.2 Viscosidade De todas as propriedades dos fluidos, a viscosidade requer a maior consideração no estudo dos escoamentos. Viscosidade é a propriedade pela qual um fluido oferece resistência ao cisalhamento, ou seja, ao escoamento. A lei de Newton da viscosidade (Eq. 3) estabelece que, para uma dada velocidade de deformação angular de um fluido, a tensão de cisalhamento é diretamente proporcional à viscosidade. Melaço e alcatrão são exemplos de líquidos muito viscosos, enquanto que água e ar Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 2

3 apresentam viscosidades muito pequenas. Assim, um fluido de maior viscosidade apresenta maior resistência ao escoamento que, por sua vez, demandará maior energia. Um fluido em repouso ou movendo-se de modo que não haja movimento relativo entre camadas adjacentes, não apresentará forças de cisalhamento aparente, embora tenha viscosidade, porque du/dy é zero em qualquer ponto do fluido. Assim no estudo da estática dos fluidos, não se consideram as forças de cisalhamento porque as mesmas não existem nessa condição e as únicas tensões atuantes são as tensões normais ou pressões. As dimensões da viscosidade são determinadas a partir da lei de Newton da viscosidade (Eq. 3). Isolando a viscosidade µ: σ µ = (4) du/ dy Introduzindo as dimensões F, L,T de força, comprimento e tempo: σ : F L -2 u : LT - 1 y : L resulta µ com a dimensão F L -2 T. Com a dimensão da força expressa em função da massa pelo uso da segunda lei da mecânica de Newton, F M L T -2, a dimensão da viscosidade pode ser expressa como M L -1 T 1. A unidade de viscosidade no SI, o newton-segundo por metro quadrado (N s m -2 ) ou o quilograma por metro por segundo (kg m -1 s -1 ), não tem nome especial. - Viscosidade cinemática A viscosidade µ é frequentemente chamada de viscosidade absoluta ou dinâmica para se evitar confusão com a viscosidade cinemática, que é a relação entre viscosidade e massa específica do fluido: µ ν = (5) ρ A viscosidade cinemática aparece em muitas aplicações, como por exemplo, no coeficiente denominado número de Reynolds, utilizado na caracterização dos regimes de escoamento. Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 3

4 A dimensão de ν é L 2 T -1. A unidade SI de viscosidade cinemática é 1,0 m 2 s -1, e a unidade inglesa usual é 1 ft 2 s -1. Como dito anteriormente, a presença da viscosidade gera uma resistência ao deslizamento dos fluidos, tanto no interior da massa líquida (atrito interno) quanto ao longo de superfícies sólidas (atrito externo). Quando um líquido escoa em contato com uma superfície sólida, junto à mesma é criada uma camada fluida, aderente, que não se movimenta. Um exemplo importante é o que ocorre com o escoamento de um líquido em um tubo. Forma-se junto às paredes uma película fluida que não participa do movimento. Assim, junto à parede do tubo, a velocidade é zero, sendo máxima na parte central (Figura 2). Figura 2 - Perfil de velocidade em uma tubulação. Em conseqüência dos atritos e, principalmente, da viscosidade, o escoamento de um líquido em uma canalização somente se verifica com certa dissipação de energia, comumente denominada por perda de carga (Figura 3). Figura 3 Demonstração da ocorrência da perda de carga. A Tabela 1 apresenta os valores de viscosidade cinemática da água, em função da temperatura. Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 4

5 Tabela 1 Valores de viscosidade cinemática da água Temperatura ( o C) Viscosidade (x 10-6 m 2 s -1 ) 0 1,79 5 1, , , , , , , , , , , , , Demais propriedades a) Coesão e adesão A primeira propriedade permite às partículas fluidas resistirem a pequenos esforços de tensão. A formação de uma gota d'água deve-se à coesão. Quando um líquido está em contato com um sólido, a atração exercida pelas moléculas do sólido pode ser maior que a atração existente entre as moléculas do próprio líquido. Ocorreu então a adesão. b) Pressão de vapor Dependendo da pressão a que está submetido, um líquido entra em ebulição a uma determinada temperatura; variando a pressão, varia a temperatura de ebulição. Por exemplo, a água entra em ebulição à temperatura de 100 o C quando a pressão é 1,033 kgf cm -2 (1 atm), mas também pode ferver a temperaturas mais baixas se a pressão também for menor. Portanto, pressão de vapor corresponde ao valor da pressão em que há mudança da fase líquida para a gasosa. Todo líquido tem temperatura de saturação de vapor (t v ) (quando entra em ebulição), que correspondem biunivocamente a pressões de saturação de vapor ou simplesmente tensões de vapor (p v ). Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 5

6 Essa propriedade é fundamental na análise do fenômeno da cavitação, pois quando um líquido inicia a ebulição, inicia-se também a cavitação. c) Massa específica, peso específico e densidade A massa específica (ρ) de um fluido é definida como sua massa por unidade de volume. O peso específico (γ) de uma substância é o seu peso por unidade de volume. É variável com a posição, dependendo, portanto, da aceleração da gravidade. γ = ρg (6) É uma interessante propriedade quando se trata da estática dos fluidos ou de líquidos com uma superfície livre. A densidade (d) de uma substância é a relação entre seu peso e o peso de um igual volume de água nas condições normais. Pode também ser expressa como relação entre sua massa ou peso específico e os da água. A Tabela 2 apresenta alguns valores de massa específica, peso específico e pressão de vapor d água em função da temperatura. Tabela 2 Valores de massa específica, peso específico e pressão de vapor d água Temperatura ( o Massa específica Peso específico Pressão de vapor C) (kg m -3 ) (N m -3 ) d agua (Pa) 0 999, , , , , , , , , , , , , , , , Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 6

7 Exercício: Dois dm 3 de um líquido pesam 1640 gf. Calcular o seu peso específico, sua massa específica e sua densidade. Resposta: γ = 820 kgf m -3 ; ρ = 83,59 kg m -3 ; d = 0, Símbolos adotados e unidades usuais em Mecânica dos fluidos As grandezas físicas são compatíveis entre si através de medidas homogêneas, ou seja, referidas à mesma unidade. Os números sem dimensão de medidas nada informam em termos práticos: o que é maior: 8 ou 80? A pergunta necessita de sentido porque não há termo de comparação. Evidentemente que 8 m 3 significa mais que 80 litros (80 dm 3 ). Poderia ser de outra forma: 8 kg e 80 kg. As "unidades" de grandezas físicas (dimensões de um corpo, velocidade, força, trabalho ou potência) permitem organizar o trabalho científico e técnico sendo que, com apenas sete grandezas básicas é possível formar um sistema que abranja todas as necessidades. Tradicionalmente a Engenharia usava o denominado sistema MKS (metro, quilograma, segundo) ou CGC (centímetro, grama, segundo), ou Sistema Gravitacional, em que unidades básicas (MKS) são: Tabela 3 Grandezas e unidades do sistema gravitacional GRANDEZAS UNIDADE SÍMBOLO DIMENSIONAL Força quilograma - força kgf F Comprimento metro m L Tempo segundo s T Entretanto, observou-se que esse sistema estabelecia uma certa confusão entre as noções de peso e massa, que do ponto de vista físico são coisas diferentes. A massa de um corpo refere-se à sua inércia e o peso de um corpo refere-se à força que sobre este corpo exerce a aceleração da gravidade (g). Entre a força (F) e a massa de um corpo existe uma relação expressa pela equação (2ª lei de Newton): em que F = kma (7) k = constante; m = massa do corpo; e a = aceleração. Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 7

8 Há dois sistemas de unidades que tornam a constante k igual a 1 (um): o SI ( Sistema Internacional) ou absoluto e o gravitacional. No absoluto, k é igual a 1 (um) pela definição da unidade de força e no gravitacional pela definição da unidade de massa, ou seja: Sistema Absoluto a unidade de força é aquela que, ao agir sobre um corpo com a massa de um quilograma, ocasiona uma aceleração de um metro por segundo, por segundo (1m s -2 ), e se denomina Newton. A unidade de massa nesse sistema é correspondente a um bloco de platina denominado quilograma protótipo, guardado em Sevres (França). Sistema Gravitacional a unidade de força é igual a unidade de massa por unidade de comprimento por segundo, por segundo, logo a unidade de massa neste sistema é igual a g gramas. Melhor explicando, o Sistema Gravitacional torna o k igual à unidade pela definição da unidade de massa. Se um corpo de peso unitário cai livremente, a força unitária atuará e a aceleração será g ; logo, para que a força unitária produza uma aceleração unitária, a unidade de massa será equivalente a g unidades de peso. No sistema métrico seria: 1kgf = unidade de massa x 1(m s -2 1(kgf ) ), logo: unidade de massa = = g(kg) 2 1(ms ) Em outras palavras, a força gravitacional comunica à massa de 1 kg a aceleração g: 1,0 kgf = g x 1,0 kg. O importante é entender que o peso de um corpo pode se reduzir a zero ao sair da gravidade terrestre, mas sua massa permanecerá a mesma. Por convenção internacional de 1960, foi criado o Sistema Internacional de Unidades (SI), também conhecido por Sistema Absoluto, legalmente em vigor no Brasil e na maioria dos países do mundo, do tipo MLT (massa, comprimento, tempo) e não FLT (força, comprimento, tempo) como era o Sistema Gravitacional. As unidades básicas desse sistema são o quilograma (neste caso seria um quilograma massa), o metro e o segundo. Deve-se atentar para a coincidência de nomenclatura entre a antiga unidade peso e a atual de massa, evitando-se, assim, as confusões daí advindas, infelizmente tão freqüentes. A Tabela 4 apresenta as grandezas que compõe o SI. Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 8

9 As abreviaturas das unidades SI são escritas com letras minúsculas nos termos como horas (h), metros (m) e segundos (s). A exceção é o litro, que ao invés de se abreviar por l, utiliza-se a letra L. Quando uma unidade é designada por um nome próprio, a abreviatura (mas não o nome por extenso) é escrita com letra maiúscula. Exemplos são o Watt (W), o Pascal (Pa) e Newton (N). Tabela 4 Grandezas básicas componentes do SI GRANDEZA UNIDADE SÍMBOLO Comprimento Metro m Massa Quilograma kg Tempo Segundo s Intensidade de corrente Ampére A Temperatura termodinâmica Kelvin K Intensidade luminosa Candela cd Quantidade de matéria mol mol Os múltiplos e submúltiplos, expressos em potências de 10 3, são indicados por prefixos, os quais também são abreviados. Os prefixos usuais são mostrados na Tabela 5. Tabela 5 Prefixos usualmente utilizados Múltiplo Prefixo Prefixo Abreviatura Múltiplo SI SI Abreviatura 10 9 giga G 10-3 mili m 10 6 mega M 10-6 micro µ 10 3 kilo k 10-9 nano n 10-2 centi c pico p Apresenta-se a seguir (Tabela 6) as grandezas mais freqüentes, com suas respectivas unidades para os cálculos relacionados com as atividades da hidráulica. 2. ESTÁTICA DOS FLUIDOS É a parte da Hidráulica que estuda os líquidos em repouso, bem como as forças que podem ser aplicadas em corpos neles submersos. 2.1 Pressão e Empuxo Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 9

10 Tabela 6 Grandezas e unidades mais utilizadas Grandeza Símbolo Unidades Relação com as unidades básicas Dimensional Área m² L² Volume m³ L³ Velocidade m s -1 L T -1 Aceleração m s - ² L T -2 Massa específica kg m - ³ M L -3 Força N Newton kg m s - ² M L T -2 Pressão Pa Pascal N m - ² M L -1 T -2 Energia J Joule N m M L² T -2 Potência W Watt J s -1 M L² T -3 Viscosidade dinâmica P Poise 0,1 N s m - ² M L -1 T -1 Viscosidade cinemática St Stokes 10-4 m 2 s -1 L² T -1 Momento de inércia m 4 L 4 Peso específico N m -3 M L -2. T -2 Quando se considera a pressão, implicitamente relaciona-se uma força à unidade de área sobre a qual ela atua. Considerando-se, no interior de certa massa líquida, uma porção de volume V, limitada pela superfície A (Figura 4), se da representar um elemento de área nessa superfície e df a força que nela atua (perpendicularmente), a pressão será: p = df da Considerando-se toda a área, o efeito da pressão produzirá uma força resultante que se chama empuxo (E), sendo, às vezes chamada de pressão total. Essa força é dada pela integral: E = A pda Se a pressão for a mesma em toda a área, o empuxo será: E = p A. Figura 4 - Massa líquida em repouso, com área A. 2.2 Lei de Pascal Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 10

11 Seja um líquido homogêneo e em equilíbrio, no interior do qual isola-se um prisma com altura dy, largura dx e comprimento unitário (Figura 5). Se o prisma estiver em equilíbrio, a somatória das forças atuantes na direção X será nula. (ΣFx = 0). px dy. 1 = ps.senθds. 1 ; senθ = dy ds dy dy dy px dy = psds ; px = ps ; px = ps ds ds ds Figura 5 Forças atuantes em um prisma. Na direção Y deve ocorrer o mesmo: ΣFy = 0, havendo o equilíbrio. Logo: py dx. 1 = ps ds. 1cosθ + dw py dx dxdy. 1 = ps ds. cosθ +γ 2 Sendo o prisma elementar, suas dimensões são infinitesimais e, portanto, a força resultante de seu peso é desprezível. Portanto: dx dx dx py dx = psds ; py = ps ; py = ps ds ds ds Então, px = py = ps. Este é o princípio de Pascal, que se anuncia: Em qualquer ponto no interior de uma massa líquida em repouso e homogênea, a pressão é a mesma em todas as direções. A prensa hidráulica é uma importante aplicação desta lei. Na Figura 6, considere que o diâmetro do êmbulo maior seja de 4 vezes o diâmetro do êmbulo menor. Se for Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 11

12 aplicada uma força F 1 = 50 N, a pressão do fluido transmitirá, ao êmbulo maior, uma força F 2 de 16 x 50 N, ou seja, F 2 = 800 N. (p 1 = p 2 F 1 A 2 = F 2 A 1 ) Figura 6 Desenho esquemático de uma prensa hidráulica. A Figura 7 ilustra uma solução real para obtenção da movimentação de uma carga, onde estão adicionados um reservatório e duas válvulas de retenção que viabilizam o movimento alternativo do cilindro 1, provocando um movimento contínuo do cilindro 2. O cilindro 1 e as duas válvulas caracterizam uma bomba de pistão de simples ação, ou seja, que produz vazão apenas em um sentido de movimentação do êmbulo. Figura 7 Exemplo de aplicação da Lei de Pascal Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 12

13 2.3 Lei de Stevin Na Figura 8, A é a área das faces, P é o peso da massa líquida e h é a diferença de nível entre os pontos considerados. Como Se o sistema estiver em equilíbrio, ΣFy = 0 e, portanto: P = γ. V e V = A. h então P = γ.a. h. Figura 8 Demonstração da Lei de Stevin. p A + P p p A + γah p p p A p A = γah p A = 0 2 = γh ou A = 0 p γ 2 p γ 1 = h A diferença de pressão entre dois pontos da massa de um líquido em equilíbrio é igual à diferença de nível entre os pontos, multiplicada pelo peso específico do líquido. Exercício: calcular a força P que deve ser aplicada no êmbolo menor da prensa hidráulica da Figura 9, para equilibrar a carga de kgf colocada no êmbolo maior. Os cilindros estão cheios de um óleo com densidade 0,75 e as seções dos êmbolos são, respectivamente, 40 e 4000 cm 2. Resposta: 42,8 kgf. Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 13

14 Figura 9 Desenho esquemático de uma prensa hidráulica 2.4 Manometria As pressões são grandezas físicas muito importantes no trabalho com fluidos, haja vista a equação fundamental da Estática dos fluidos, que é expressa em termos de pressões e esforços. No século XVII Torricelli executou sua conhecida e célebre experiência ao nível do mar, quando, ao emborcar uma proveta cheia de mercúrio em uma cuba, o líquido fluiu da proveta para a cuba permanecendo apenas uma coluna de 762 milímetros de altura. A conclusão lógica era de que o ar atmosférico tinha peso, por conseguinte exercia pressão. Esta pressão, medida ao nível do mar, correspondia a uma coluna de mercúrio de 762 mm de altura. Este valor de pressão foi chamado de "uma atmosfera Física". Como o peso específico do mercúrio é kgf m -3, vem: kgf m -3 x 0,762 m = kgf m -2 = 1,036 kgf cm -2 Como a densidade do mercúrio é 13,6, a mesma pressão atmosférica equilibraria uma coluna de água de: 13,6 x 0,762 = 10,36 m. Na prática da hidráulica se utiliza a atmosfera "técnica" que vale 735 mm Hg. 735 mmhg = 10 mca = kgf m -2 = 1,0 kgf cm -2 = 1,034 atm. A pressão atmosférica é medida por barômetros ou por barógrafos, que são barômetros registradores. A pressão atmosférica varia com a altitude; para cada 100 Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 14

15 metros de elevação de altitude ocorre um decréscimo na pressão atmosférica de 0,012 atm (0,12 mca); desta forma, em um local de altitude igual a 920 metros, a pressão é: p atm = 1,034 atm - (0,012. 9,2) = 1,034-0,110 = 0,92 atm Exercício: A Figura 10 reproduz a experiência de Torricelli em uma certa localidade, quando foi utilizado o mercúrio como líquido manométrico. Se, ao invés de mercúrio, tivesse sido utilizado um óleo com densidade de 0,85, qual teria sido a altura da coluna de óleo? Resposta: 11,20 mco (metros de coluna de óleo) Figura 10 Exemplo da experiência de Torricelli Tipos de pressão A um fluido com pressão atmosférica pode-se acrescentar ou "retirar pressão. Tais pressões são denominadas efetivas" ou manométricas, por que são medidas por manômetros e podem ser positivas ou negativas. Imaginem uma vasilha hermeticamente fechada contendo ar à pressão atmosférica local. Ligando-se o compressor indicado pelo sinal (+), mais ar será injetado dentro do recipiente e a pressão irá subindo concomitantemente, o que será mostrado pelo manômetro. O ponteiro girará para a direita (área positiva) partindo do valor zero. Suponha que o compressor tenha sido desligado quando a pressão manométrica era de 1,2 kgf cm -2. Em seguida, ligando-se a bomba de vácuo, ilustrada com o sinal (-), a pressão irá caindo (o ar esta sendo retirado) voltando ao valor inicial (zero). Neste ponto a pressão reinante no interior do recipiente é somente a pressão atmosférica, a qual não é acusada por manômetros. Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 15

16 Com a continuação do processo, a pressão passará a ser negativa, com o ponteiro do manômetro girando para a esquerda; estará ocorrendo o que denomina-se "vácuo" ou depressão. Desligando-se o conjunto, o manômetro estará marcando uma pressão negativa (efetiva) de, por exemplo, -0,2 kgf cm -2. Praticamente um fluido está sujeito, portanto, a dois tipos de pressão: a atmosférica e a efetiva. A somatória dos valores das duas pressões dará o que denomina-se pressão absoluta. No exemplo considerado, sendo por hipótese a pressão igual a 0,9 atm, as pressões absolutas serão: a) para pressão efetiva nula (ar à pressão atmosférica no interior do recipiente) P abs = P atm + P ef = 0,9 + 0,0 = 0,9 atm b) para pressão efetiva de 1,2 atm P abs = P atm + P ef = 0,9 + 1,2 = 2,1 atm c) para pressão efetiva de -0,2 atm. P abs = P atm + P ef = 0,9 + (-0,2) = 0,7 atm Pode-se verificar que na situação do caso c, a pressão absoluta é menor que a pressão atmosférica local; logo, há depressão ou vácuo, no interior do recipiente. Como já mencionado a pressão efetiva é medida por manômetros. Vacuômetro é o manômetro que mede pressões efetivas negativas. Exercício: tomando como referência a Figura 11 e sabendo que a pressão da água numa torneira fechada (A) é de 0,28 kgf cm -2, calcule: a) a altura da água (H) na caixa; b) mantendo a pressão no ponto A, qual seria a densidade do líquido se H fosse igual a 3,2 m? Resposta: a) H = 0,8 m; b) d = 0, Classificação dos medidores de pressão a) Manômetro de líquido ou de coluna líquida São aqueles que medem as pressões em função das alturas da coluna dos líquidos que se elevam ou descem em tubos apropriados. Nesta categoria se agrupam: Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 16

17 Figura 11 Reservatório e canalização. a1) Tubo Piezométrico, Piezômetro simples ou Manômetro Aberto É o tipo mais simples desses aparelhos. Consiste de um tubo transparente inserido no interior do ambiente onde se deseja medir a pressão (Figura 12). O líquido circulante no conduto se elevará no tubo piezométrico a uma altura h, que corrigida do efeito da capilaridade, dá diretamente a pressão em altura de coluna líquida. Figura 12 Esquema de um tubo piezométrico. P A = γ h Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 17

18 A pressão no ponto A será: P A = γ h (Lei de Stevin), em que P A é a pressão em A (N m -2 ou kgf m -2 ); γ é o peso específico do líquido (N m -3 ou kgf m -3 ) e h é a altura de coluna líquida acima do ponto A (m). Observações: o diâmetro do tubo piezométrico deve ser maior que 1,0 cm, quando o efeito da capilaridade é desprezível. O tubo piezométrico pode ser inserido em qualquer posição em torno de uma tubulação que o líquido atingirá a mesma altura h, acima de A. a2) Manômetro de tubo em U É usado quando a pressão a ser medida tem um valor grande ou muito pequeno. Para tanto é necessário o uso de líquidos manométricos que permitam reduzir ou ampliar as alturas da coluna líquida. Esta redução ou ampliação da coluna é obtida utilizando-se um outro líquido que tenha maior ou menor peso específico, em relação ao líquido escoante (Figura 13). y h Figura 13 Esquema de um tubo em U. Este outro líquido é denominado líquido manométrico, e deve apresentar algumas características, como: - não ser miscível com o líquido escoante; Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 18

19 - formar meniscos bem definidos; - ter densidade bem determinada. Para pequenas pressões os líquidos manométricos mais comuns são: água, cloreto de carbono, tetracloreto de carbono, tetrabrometo de acetileno e benzina. Para grandes pressões, o líquido mais usado é o mercúrio. Nos manômetros de tubo em U, a pressão já não é dada diretamente pela altura da coluna líquida, mas através de equações que caracterizam o equipamento. Para se conhecer a pressão em A, deve-se proceder da forma seguinte: 1) Demarque os meniscos separando assim as diferentes colunas líquidas e cancele as colunas equivalentes; 2) Começando em uma das extremidades escreva o valor da pressão nesse ponto; sendo incógnita use um símbolo; 3) Escreva em continuação o valor da pressão representada por uma a uma das colunas líquidas; para isto, multiplique a altura da coluna pelo peso específico do fluido; cada parcela será precedida do sinal (+) se a coluna tender a escoar para adiante sob a ação da gravidade e (-) em caso contrário; 4) Atingindo-se o último menisco a expressão será igualada à pressão nesse ponto, seja ela conhecida ou incógnita. Baseando-se nestes preceitos, chega-se a dois pontos: 1 e 2, onde: P A + γ 1 y - γ 2 h = P atm = 0 O índice 2 se refere às características do líquido manométrico. Quando o manômetro é em forma de duplo U (Figura 14) ou mais (triplo U), é preferível começar por um dos ramos até chegar ao outro. P 1 P2 P3 ; P B = PC ; P D = PE P + γ1(x + h1) γ 2h1 + γ1y γ2h2 A = P + (x + y + h1) γ1 (h1 + h2 ) γ2 A = 0 0 Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 19

20 Figura 14 Esquema de um manômetro de duplo U. Exercício: a Figura 15 representa um manômetro instalado em uma tubulação. Calcule a pressão no Ponto A, expressando-a em kgf m -2, kgf cm -2 e Pa (atmosfera técnica). Considere: - líquido escoando na tubulação: água; - líquido manométrico: mercúrio; - x = 15 cm; y = 20 cm; z = 8 cm; h = 22 cm; j = 20 cm. Resposta: kgf m -2 ; 0,4204 kgf cm -2 ; Pa Figura 15 Manômetro de duplo U. - Com base no tensiômetro de mercúrio da Figura 16, mostre que o potencial matricial no ponto A é ψa = 12,6h + h2 + h1 Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 20

21 Figura 16 Desenho esquemático de um tensiômetro de mercúrio. a3) Manômetro Diferencial 17). É o aparelho usado para medir a diferença de pressão entre dois pontos (Figura Figura 17 Esquema de um manômetro diferencial. P + (x + y + h) γ γ h γ y = P A B Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 21

22 P A PB = γ3h + γ 2y (x + y + h) Outro método: P 1 = P 2 P = P + (x + y + h γ e = P + γ y + h 1 A ) 1 γ 1 P2 B 2 γ3 PA + (x + y + h) γ1 = PB + γ 2y + γ3h P P = γ y + γ h (x + y + h γ A B 2 3 ) em que P A P B é a diferença de pressão entre A e B. 1 a4) Manômetro inclinado Aparelho usado para medir pressões ou diferenças de pressões muito pequenas. A inclinação do tubo em por finalidade ampliar a escala de leitura. Conforme Figura 18, P A = γ h. Mas h = L senθ. Portanto: P A = γ L senθ. Figura 18 Esquema de um manômetro inclinado. Figura 19 Esquema de um manômetro inclinado diferencial. Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 22

23 P + γ y + γ h γ x = P P = γ (y x) + γ h A B PB A 1 2 Exercício: considere o manômetro conectado a uma tubulação, como mostra a Figura 20. Sabendo que a densidade do óleo é 0,83, calcule a diferença de pressão entre os pontos 1 e 2. Resposta: 90,10 kgf m -2 Figura 20 Exemplo de um manômetro diferencial. b) Manômetro metálico ou de Bourdon São os manômetros metálicos os mais utilizados na prática, pois permitem leitura direta da pressão em um mostrador (Figura 21). a Figura 21 Manômetro (a) e vacuômetro (b) metálicos. b Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 23

24 As pressões são determinadas pela deformação de uma haste metálica oca, provocada pela pressão do líquido na mesma. A deformação movimenta um ponteiro que se desloca em uma escala. É constituído de um tubo metálico transversal (seção reta) elíptica que tende a se deformar quando a pressão P aumenta. Com isso a seção reta tende a ser circular que por sua vez acarreta um aumento no raio de curvatura do tubo metálico e movimenta o ponteiro sobre a escala graduada diretamente para medir a pressão correspondente à deformação. Geralmente são utilizados para medir grandes pressões. Os manômetros metálicos devem adquiridos levando em consideração algumas características importantes, como: tamanho, fundo de escala, material de fabricação e necessidade da presença de glicerina Relações entre as unidades de pressão Atmosfera padrão 1 atm = 760 mmhg = 1,033 kgf cm -2 = 10,33 mca = 14,7 psi = Pa = kgf m -2 = 1,013 bar = 1013 mbar Atmosfera técnica 1 atm = 735 mmhg = 1,0 kgf cm -2 = 10,0 mca = 14,7 psi = 10 5 Pa = 10 4 kgf m -2 = 1,0 bar = 1000 mbar 2.5 Empuxo exercido por um líquido sobre uma superfície plana imersa Freqüentemente, o engenheiro encontra problemas relativos ao projeto de estruturas que devem resistir às pressões exercidas por líquidos. Tais são os projetos de comporta, registros, barragens, tanques, canalizações e outros Grandeza e direção do empuxo A Figura 22 mostra uma área de forma irregular, situada em um plano que faz um ângulo θ com a superfície livre do líquido. Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 24

25 Para a determinação do empuxo que atua em um dos lados da mencionada Figura, essa área será subdividida em elementos da, localizada em profundidade genérica h e a uma distância de y da interseção 0. Figura 22 Representação do empuxo. A força agindo em da será: df = pda = γhda = γy sen θda Cada uma das forças df será normal às respectivas áreas. A resultante ou empuxo (total) sobre total área, também normal, será dado por F = df = γysenθda = γsenθ A A yda. A yda é o momento da área em relação à interseção 0. Portanto yda = A y, A expressão onde y é a distância do centro de gravidade da área até 0, e A área total. F = γy senθa Como y sen θ = h F = γh A O empuxo exercido sobre uma superfície plana imersa é uma grandeza tensorial perpendicular à superfície e é igual ao produto da área pela pressão relativa ao centro de gravidade da área Determinação do centro de pressão Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 25

26 A Figura 23 representa a posição do centro de pressão que pode ser determinada aplicando-se o teorema dos momentos, ou seja, o momento da resultante em relação à interseção 0 deve igualar-se aos momentos das forças elementares df. F y p = df y Na dedução anterior, df = γysenθda e F = γysenθa. Substituindo, Logo: γ y senθayp = A γy senθday = γ senθ A y y 2 A y da I =, Ay Ay p = 2 da Figura 23 - Determinação do centro de pressão Nesta expressão, I é o momento de inércia em relação ao eixo-interseção. Mais comumente, conhece-se o momento de inércia relativo ao eixo que passa pelo centro de gravidade (Tabela 7), sendo conveniente a substituição. 2 I = I Ay (Teorema de Huygens) o + I0 + Ay = Ay y p 2 y = y p + I 0 Ay Como I 0 = k 2, quadrado do raio de giração (da área relativa ao eixo, passando A pelo centro de gravidade), tem-se, ainda, 2 p. y k = y + y Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 26

27 O centro de pressão está sempre abaixo do centro de gravidade a uma distância igual a k 2, medida no plano da área. y Tabela 7 Momento de inércia de algumas figuras Figura I 0 Retângulo 1 3 I 0 = bh 12 Triângulo 1 3 I 0 = bh 56 Círculo 4 πh I0 = 64 Exercício: numa barragem de concreto vertical está instalada uma comporta circular de ferro fundido com 0,20 m de raio, situada a 4,0 m abaixo do nível da água. Determine o empuxo que atua na comporta e a profundidade relativa ao seu centro de pressão. Respostas: 527,78 kgf e 4,202 m 3. HIDRODINÂMICA (Princípios gerais do movimento e Teorema de Bernoulli) 3.1 Movimento dos fluidos A Hidrodinâmica tem por objetivo o estudo dos movimentos dos fluidos. Consideremos um fluido perfeito em movimento, referindo as diversas posições dos seus pontos a um sistema de eixos retangulares 0 x, 0 y, 0 z. O movimento desses fluidos ficará perfeitamente determinado se, em qualquer instante t, forem conhecidas a grandeza e a direção da velocidade v, relativa a qualquer ponto; ou, então, o que vem a ser o mesmo, se forem conhecidas as componentes v x, v y, e v z, dessa velocidade, segundo os três eixos considerados. Além disso, há de se considerar também, os valores da pressão p e da massa específica ρ, que caracterizam as condições do fluido em cada ponto considerado. Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 27

28 O problema relativo ao escoamento dos fluidos perfeitos comporta, portanto, cinco incógnitas, v x, v y, v z, p e ρ, que são funções de quatro variáveis independentes, x, y, z, e t. A resolução do problema exige um sistema de cinco equações. As cinco equações necessárias compreendem: as três equações gerais do movimento, relativas a cada um dos três eixos; a equação da continuidade, que exprime a lei de conservação das massas; e uma equação complementar, que leva em conta a natureza do fluido. São dois os métodos gerais para a solução de problema: o método de Lagrange, que consiste em acompanhar as partículas em movimento, ao longo da suas trajetórias; e o de Euler, que estuda, no decorrer do tempo e em determinado ponto, a variação das grandezas mencionadas. 3.2 Vazão ou descarga Chama-se vazão ou descarga, numa determinada seção, o volume de líquido que atravessa essa seção na unidade de tempo. Na prática, a vazão é expressa em m³ s -1 ou em outras unidades múltiplas ou submúltiplas. Assim, para o cálculo de canalizações, é comum empregarem-se litros por segundo (L s -1 ); os perfuradores de poços e fornecedores de bombas costumam usar litros por hora (L h -1 ) ou metros cúbicos por hora (m 3 h -1 ). 3.3 Classificação dos movimentos Uniforme Permanente Movimento Nao uniforme Nao permanente Acelerado Re tardado Movimento permanente é aquele cujas características (força, velocidade, pressão) são função exclusiva de ponto e independem do tempo. Com o movimento permanente, a vazão é constante em um ponto da corrente. Matematicamente: v = 0; t p = 0; t ρ = 0 t Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 28

29 As características do movimento não permanente, além de mudarem de ponto para ponto, variam de instante em instante, isto é, são função do tempo. De maneira v p ρ semelhante: 0; 0; 0 t t t O movimento permanente é uniforme quando a velocidade média permanece v constante ao longo da corrente ( = 0 ). Neste caso, as seções transversais da L corrente são iguais. No caso contrário, o movimento permanente pode ser acelerado v ou retardado ( 0 ), ou seja, não uniforme. L Um rio pode servir para ilustração (Figura 24). Há trechos regulares em que o movimento pode ser considerado permanente e uniforme. Em outros trechos (estreitos, corredeiras, etc.), o movimento, embora permanente (vazão constante), passa a ser acelerado. Durante as enchentes ocorre o movimento não permanente: a vazão altera-se. Figura 24 - Movimento permanente uniforme (a), acelerado (b) e não permanente (c). 3.4 Regimes de movimento A observação dos líquidos em movimento leva- nos a distinguir dois tipos de movimento, de grande importância: a) regime laminar; b) regime turbulento. Figura 25 - Regimes laminar e turbulento. Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 29

30 Com o regime laminar, as trajetórias das partículas em movimento são bem definidas e não se cruzam. Já o regime turbulento caracteriza-se pelo movimento desordenado das partículas. 3.5 Linhas e tubos de corrente Em um líquido em movimento, consideram-se linhas de corrente as linhas orientadas segundo a velocidade do líquido e que gozam da propriedade de não serem atravessadas por partículas do fluido. Figura 26 - Linhas e tubo de corrente. Em cada ponto de uma corrente passa, em cada instante t considerado, uma partícula de fluido animada de uma velocidade v. As linhas de corrente são, portanto, as curvas que no mesmo instante t considerado, se mantém tangentes em todos os pontos à velocidade v. Pelo próprio conceito, essas curvas não podem cortar-se. Admitindo-se que o campo de velocidade v seja contínuo, pode-se considerar um tubo de corrente como uma figura imaginária, limitada por linhas de corrente. Os tubos de corrente, sendo formados por linhas de corrente, gozam da propriedade de não poderem ser atravessados por partículas de fluido: as suas paredes podem ser consideradas impermeáveis. Esses conceitos são de grande utilidade no estudo do escoamento de líquidos. 3.6 Equações Gerais do Movimento Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 30

31 Seja no interior da massa líquida (em movimento) um ponto M, fixo, de coordenadas x, y, e z, ao redor do qual tomamos um cubo infinitesimal de arestas dx, dy e dz. A massa contida no cubo é ρdxdydz (Figura 27). Sejam v x, v y, v z, as componentes da velocidade V com que as partículas atravessam nos sucessivos instantes de tempo o cubo em questão. Sejam ainda P e ρ as pressões e massas específicas, grandezas que são funções contínuas e uniformes das coordenadas. Figura 27 - Volume líquido elementar. Sobre o prisma, agem os seguintes esforços: - as forças externas que dependem do volume considerado, como o peso, por exemplo, e que podem ser expressas por suas componentes segundo cada eixo e por unidade de massa: X, Y e Z; e - os esforços decorrentes das pressões atuantes nas faces do prisma 3.7 Equação da conservação das massas Equação da continuidade Se no interior do cubo não há vazios (Figura anterior), ou seja, se ele permanece cheio de fluido durante o movimento, segue-se que a diferença entre a massa que entrou e a que saiu durante o tempo dt é igual à variação da massa no interior do mesmo. Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 31

32 A massa fluida que durante o intervalo de tempo dt entra pelas três faces do prisma é: ρ v x dydzdt + ρv y dxdzdt + ρv z dxdydt De outra forma, considere o tubo de corrente da Figura 28. A quantidade de fluido com massa específica ρ 1 que passa pela seção A 1, com velocidade média v 1, na unidade de tempo é: m 1 = ρ 1 v1 A 1 t Figura 28 - Tubo de corrente utilizado para demonstração do Teorema de Bernoulli. m Por analogia, na seção 2 tem-se: 2 = ρ2 v2 A 2 t Em se tratando de regime permanente a massa contida no interior do tubo é invariável, logo: v1 A1 = ρ2 v2 A2 = cons tan te ρ1 = M Esta é a equação da conservação da massa. Tratando-se de líquidos, que são praticamente incompressíveis, ρ1 é igual a ρ2. Então: v A = v A = v A n n = ou Q v A Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 32

33 A equação da continuidade mostra que, no regime permanente, o volume de líquido que, na unidade de tempo, atravessa todas as seções da corrente é sempre o mesmo. 3.8 Teorema de Bernoulli para fluidos perfeitos Aplicando-se a equação de Euler (equações gerais do movimento) aos líquidos em movimento permanente, sob a ação da força gravitacional, e em dois pontos de uma tubulação, por exemplo, tem-se: 2 p 2 v p v z = + + z1 γ 2g γ 2g = 2 constante Este é o importante Teorema de Bernoulli que pode ser anunciado: Ao longo de qualquer linha de corrente é constante a soma das alturas cinética ( v 2 ), 2g piezométrica ( γ p ) e geométrica ou potencial (Z). Este teorema é o próprio princípio da conservação da energia. Cada um dos termos da equação representa uma forma de energia. É importante notar que cada um dos termos pode ser expresso em metros, constituindo o que se denomina carga. 3.9 Demonstração experimental do Teorema de Bernoulli Em 1875, Froude apresentou importantes experiências sobre o teorema de Bernoulli. Uma delas consiste numa canalização horizontal e de diâmetro variável, conectada a um reservatório de nível constante (Figura 29). Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 33

34 Figura 29 - Ilustração do Teorema de Bernoulli. Instalando-se piezômetros nas diversas seções, verifica-se que a água sobe à alturas diferentes; nas seções de menor diâmetro, a velocidade é maior e, portanto, também é maior a carga cinética, resultando menor carga de pressão. Como as seções são conhecidas, podem-se verificar a distribuição e a constância da carga total (soma das alturas). Exercício: Um líquido incompressível de massa específica igual a 800 kg m -3 escoa pelo duto representado na Figura 30 com vazão de 10 L s -1. Admitindo o escoamento como ideal e em regime permanente, calcule a diferença de pressão entre as seções 1 e 2 (1 N = 1 kg m s -2 ). Resposta: 3.058,10 kgf m -2 ou N m -2 = Pa = 30 kpa Figura 30 Exemplo da aplicação da equação de Bernoulli. Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 34