José Roosevelt Dias. Incidência, Ordem, Modelos. Nota explicativa.

Transcrição

1 Nota explicativa. 1 O que segue constitui as notas de aula para um curso em Fundamentos de Geometria com a seguinte visão: Trataremos da origem do sistema axiomático, das primeiras tentativas de demonstrar o quinto postulado, veremos o efeito da axiomática na modificação nas figuras num processo gradual em no qual o objeto reta vai sofrendo a ação de extensão de conceitos até atingir o que a cristaliza como uma versão geométrica do corpo dos reais. Neste desenrolar de axiomas, acréscimos de novos grupos de axiomas e principais teoremas deles decorrentes, tratamos de temas da lógica Matemática no que concerne a estruturas e interpretações. creditamos poder legar ao leitor uma experiência única de refletir dentre outros temas, sobre a natureza da Matemática. Niterói, gosto de José Roosevelt Dias Módulo 1 Incidência, Ordem, Modelos. 1 Incidência e Paralelismo Os xiomas de Incidência reta que usamos desde o tempo da escola traduz certas propriedades como minimalidade (a menor distancia entre dois pontos é um segmento de reta unindo estes dois pontos), densidade (a reta não tem buracos ) e extensão infinita (todo segmento de extremos em dois pontos está estritamente contido na reta, ou seja, tem pontos da reta que não estão no segmento). Podemos desenvolver estas idéias de várias maneiras, devendo estas ser equivalentes, através de sistemas de axiomas. Isto será abordado mais tarde. onsidere primeiramente dois axiomas: presentamos a seguir, uma lista de quatro axiomas, denominados xiomas de Incidência. Eles se referem a pares de conjuntos (, R ), onde o primeiro é denominado conjunto de pontos e o segundo, o conjunto R, é denominado conjunto de retas. omo veremos nos exemplos, os objetos que chamamos pontos, assim como os objetos que podem assumir o papel de retas, são muito diversos entre si, podendo até mesmo ser arcos de círculos. Grupo I xiomas de Incidência I1 quaisquer que sejam os pontos e existe uma reta que passa por eles. I2 em cada reta há pelo menos dois pontos I3 quaisquer que sejam os pontos e existe no máximo uma reta que passa por eles. I4 existem três pontos não colineares onsiderando pontos como lugares ou terminais, no primeiro axioma, tratamos o objeto reta como um caminho entre dois pontos: dizemos que dois pontos sempre estão interligados por um caminho. Isto

2 não é tudo, pois latente à questão está a idéia de minimalidade: o percurso de um ponto a outro da reta seria o menor possível. No segundo axioma, proibimos que uma reta se degenere num ponto. No terceiro, damos à reta um caráter único como ligação de dois pontos, o que é coerente com o aspecto minimal que esperamos dela: um segmento de reta é o menor caminho entre dois pontos. unicidade aqui é fundamental. Por vezes, juntamos mais de um axioma numa mesma sentença. Por exemplo, podemos concluir com base em I1 e I3, que por dois pontos passa uma e uma só reta. Finalmente, no quarto axioma, tentamos caracterizar a reta como algo que possui apenas um grau de liberdade, no sentido da movimentação. Este axioma distingue o objeto reta do objeto plano, que teria dois graus de liberdade: podemos mudar a direção numa trajetória no plano, mas não na reta. Os axiomas do Grupo I já permitem demonstrar certos resultados. Este é o modo usual de se escrever a Matemática. 2 Proposição onsidere um plano de incidência (, R). (i). Duas retas se interceptam no máximo em um ponto. (ii). Existem três retas distintas que não são concorrentes. (três pontos não colineares) (iii). Para cada reta existe um ponto fora dela. (cada reta tem dois pontos. Tome um não colinear) (iv). Para cada ponto, existe uma reta que não passa por ele. (tome três pontos não colineares) (v). Por cada ponto passam no mínimo duas retas. (tome três pontos não colineares e duas retas) Demonstração (i). Se duas retas se interceptam em mais de um ponto, elas deverão ser coincidentes. (ii). Tome três pontos não colineares, e. s retas, e são três retas distintas e não são concorrentes. Por exemplo, o ponto não pertence à interseção. Para os outros itens, o leitor pode seguir a sugestão correspondente a cada item escrita na proposição. Equivalência de sistemas. Dois grupos de sentenças podem conter as mesmas conseqüências. om isto queremos dizer, que toda afirmação que decorre de um sistema decorre também do outro. Diremos nesta caso, que os sistemas são equivalentes. onsidere o grupo de axiomas abaixo: Grupo 1 Dados dois pontos distintos, existe e é única a reta que os contém. 2: Qualquer que seja a reta existem pontos que lhe pertencem e pelo menos um ponto que não lhe pertence. Mostraremos que toda afirmação o grupo I é válida no Grupo e reciprocamente, toda afirmação do grupo é válida no grupo I. firmação 1: s sentenças 1 e 2 são teoremas para o grupo I. Demonstração: Grupo I implica Grupo : afirmação 1 decorre diretamente das sentenças I1 e I3. afirmação 2 significa que uma reta tem pelo menos dois pontos e que existem pelo menos três pontos não colineares.

3 firmação 2: O Grupo implica o Grupo I: Demonstração: s afirmações I1 e I3 estão compactadas na afirmação 1 e as afirmações I2 e I4 estão compactadas na afirmação Modelos e Teorias de Incidência omo vimos, um plano de incidência é apresentado formalmente pelos quatro axiomas I1 a I4. ada resultado decorrente destes axiomas são teoremas de incidência. ssim, a proposição acima consiste de cinco teoremas desta teoria. Freqüentemente apresentamos objetos matemáticos satisfazendo um grupo de axiomas. omo estes objetos já têm suas propriedades, o fato de podermos utilizá-los para de outra forma sem ferir suas propriedades intrínsecas mostra que o sistema de axioma é não contraditório. Estes objetos usados com outra conotação constituem uma interpretação do grupo de axiomas. Veremos adiante alguns modelos de plano de incidência. ntes, porém definimos paralelismo. Definição: Num plano de incidência, duas retas que não se interceptam são denominadas paralelas. Um plano de incidência é dito: Euclidiano se por um ponto fora de uma reta passa uma única paralela. Hiperbólico se por um ponto fora de uma reta passa pelo menos duas paralelas Elíptico se não existem retas paralelas, ou seja, duas retas sempre se interceptam. Exemplo 1 O par P = {,, } e R = {{, }, {, }, {, }} é um plano de incidência elíptico. Exemplo 2 Pondo P = {,,, D} e R = {{V, }, {V, }, {V, }, {, }, {, }, {, }}. Obtemos um plano de incidência euclidiano. Por exemplo, a única paralela à reta pelo ponto V é V. V Exemplo 3 Pondo P = conjunto dos vértices abaixo e R = combinações dos vértices abaixo obtemos um plano de incidência hiperbólico. Por exemplo, N e NS são duas paralelas à reta passando por. N S

4 gora apresentamos outros modelos, alguns dos quais, além de terem infinitos pontos, são modelos de sistema de axiomas maiores. Em particular, o plano cartesiano (exemplo 1 abaixo) satisfaz aos cinco grupos de axiomas apresentados por Hilbert para a Geometria Euclidiana plana e o plano hiperbólico (exemplo 2) satisfaz aos quatro primeiros grupos de axiomas, o que corresponde à Geometria bsoluta (ou neutra), mas o quinto grupo (axioma das paralelas) é de caráter hiperbólico. onsidere os seguintes pares (P, R), (1). Plano artesiano. Seja = R² o conjunto de pontos do plano euclidiano e tomemos como conjunto de retas o conjunto R = linhas verticais linhas não verticais, onde as linhas são: Linha vertical: dado um número real a, L a = {(a, y) / y R}. Linha não vertical: dados m, b números reais, L m,b = {(x, y) R 2 / y = mx+b}. Utilizando os recursos já conhecidos da geometria analítica plana, vemos que os quatro axiomas são satisfeitos, como veremos a seguir: O axioma I1 é satisfeito: Se tomarmos dois pontos quaisquer, digamos P 1 = (x 1, y 1 ) e P 2 = (x 2, y 2 ), podemos obter uma reta de R que passa por eles. Se tivermos x 1 = x 2, devemos tomar por reta o conjunto L a onde a = x 1 =x 2, já que as abscissas dos pontos vão ser sempre a mesma. ssim, a reta pelos pontos P 1 = (-1, 3) e P 2 = (-1, 5) é L -1 = {(-1, y) / y R}. y2 y1 Se o entanto x 1 x 2 então a reta buscada é y = (x-x 1 ) + y 1 que segundo a notação acima é x2 x1 y2 y1 L m,b onde m é o coeficiente angular e b = y 1. x2 x1 Vemos que o plano acima é o tratado na Geometria nalítica Plana. Para testar o axioma I1, observe que por dois pontos de R 2 sempre passa uma reta, que vai ser ou vertical ou não vertical. ssim o axioma I1 é satisfeito. O axioma I2 é satisfeito porque cada reta da analítica tem pelo menos dois pontos.nalogamente vemos que são satisfeitos os axiomas I3 e I4. (2). Plano de Poincaré gora vamos considerar como ponto somente os pontos que estão acima do eixo real. Denotemos por H 2 este conjunto. Temos H 2 = {(x, y) R 2 / y > 0}. Vamos ainda admitir dois tipos de retas: Linha tipo I al = {(x, y) H 2 / x = a} onde a é um número real fixado. Linha tipo II cl r = {(x, y) H 2 / (x-c) 2 + y 2 = r 2 } onde c e r são reais fixos e r > 0. O novo traçado de reta está mostrado na figura abaixo. Mostremos agora que os quatro axiomas são satisfeitos. xioma I1: onsidere dois pontos em H digamos P 1 = (x 1, y 1 ) e P 2 = (x 2, y 2 ). Se x 1 = x 2 então a reta hiperbólica que os liga é al onde a é o valor comum das abscissas. Vejamos agora o caso onde x 1 x 2. Queremos determinar o ponto (c, 0) que eqüidista dos pontos dados. Podemos escrever (x 1 -c) 2 + y 2 1 = (x 2 -c) 2 + y 2 2 donde x 2 1-2cx 1 + y 2 1 = x 2 2 2cx 2 + y 2 2 e temos: y2 y1 + x2 x1 2 2 c = e assim r = ( x 1 c) + y1 ( x x )

5 5 3L 2 semicírculo de centro c = 5 e raio r = Proposição O Plano de Poincaré H é de Incidência. Demonstração onsidere dois pontos em H digamos P 1 = (x 1, y 1 ) e P 2 = (x 2, y 2 ). Se x 1 = x 2 então a reta hiperbólica que os liga é a L onde a é o valor comum das abscissas. Vejamos agora o caso onde x 1 x 2. Suponhamos que os pontos dados estejam em duas retas do tipo II, a saber, c L r e d L s. Vamos mostrar que d = c e que r = s seguindo-se daí a igualdade das retas. Sabemos y2 y1 + x2 x c = = d. Por outro lado, r = ( x 1 c) + y1 = ( x 1 d) + y1 = s 2( x2 x1 ) Por outro lado, agora vamos ver nosso primeiro teorema da teoria matemática denominada geometria de incidência. Isto significa que usamos os axiomas I1 a I4 (não necessariamente todos) para demonstrar a afirmação abaixo. gora tratamos do plano da Matemática Grega clássica, antes da descoberta dos irracionais. (3). O Plano Racional Q 2 onsidere o conjunto = Q 2 como conjunto de pontos. omo conjunto de retas considere a união de R 1 = {(x,y) / x = a Q, y Q} com o conjunto R 2 = {(x,y) Q 2 / y = mx+b}. Dados dois pontos P = (p 1, p 2 ) e Q = (q 1, q 2 ) de Q 2 temos a reta r = {(x,y) Q 2 / y = mx + q 2 } p2 q2 contendo P e Q, onde m =. O par (, R ) é uma geometria de incidência. p q 1 1 O item (4) abaixo necessita de comentários introdutórios: esfera Pensemos de forma intuitiva sobre como caminhar de modo mínimo numa superfície. Esta é das características que o objeto reta possui. creditamos ser oportuno apresentar também a idéia de caminho mais curto na esfera. visamos ao leitor que após os exemplos colocamos um pequeno comentário sobre como se deslocar de forma mínima sobre a superfície da esfera. onsidere dois pontos e sobre a esfera unitária em R³. Sua equação é x² + y² + z² = 1. Já que a esfera goza de uma total simetria, suponha que tais pontos estão sobre um mesmo circulo paralelo ao equador. Perguntamos qual é o menor trajeto de para. ertamente será um arco de circunferência. Mas qual circunferência? rgumentaremos que é um arco de círculo do próprio equador. Denominemos este por E. Ele é a circunferência máxima que passa por e, ou seja, não há circunferência na esfera de raio maior que 1 como a do equador. Uma circunferência máxima é obtida pela seção de um plano passando pelo o centro O da esfera. Se r é a medida do raio de uma circunferência por e então r 1. Logo, o percurso entre e sobre é maior que se

6 6 caminharmos sobre o arco de circulo sobre o equador. Estas considerações nos permitem tomar como retas na esfera as circunferências máximas. Veja abaixo como um arco de circulo tem a curvatura inversamente proporcional ao seu raio. E (4). Pontos sobre a Esfera Denominamos um grande círculo da esfera S 2 = {(x,y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 = 1} à interseção da esfera com um plano passando pelo centro desta esfera. condição de um plano ax + by + cz = d conter a origem é d = 0. ssim, para determinar a reta que passa por dois pontos P 1 = (x 1, y 1, z 1 ) e P 2 = (x 2, y 2, z 2 ) basta encontrar os valores de a,b,c no sistema ax 1 + by 1 + cz 1 = 0 e ax 2 + by 2 + cz 2 = 0. onsidere os conjuntos = pontos da superfície esférica e R = os círculos máximos (mais adiante damos uma justificativa do uso destes círculos como retas ; mas para nós aqui, o que importa é que funciona axiomáticamente). Neste caso o axioma I1 é satisfeito, pois dados dois pontos da esfera, digamos P 1 = (x 1, y 1 ) e P 2 = (x 2, y 2 ), existe um plano no R 3 que passa por eles e pelo centro da esfera. Este plano determina um círculo máximo passando por P 1 e P 2. Isto mostra que o axioma I1 é satisfeito. xioma I2: Vamos analisar agora o axioma I2. Naturalmente, um círculo máximo tem pelo menos dois pontos. Então, o que consideramos reta neste exemplo, sempre tem dois pontos pelo menos. xioma I3: Este axioma pede a unicidade, o que não é satisfeito sobre a esfera, pois se os pontos forem antípodas (estiverem nos extremos de um diâmetro da esfera, como o pólo norte e o pólo sul) existem infinitos círculos máximos passando por eles. oncluímos assim que a superfície da esfera, com os círculos máximos como retas, não constitui um plano de incidência. Finalmente, note que o axioma I4 é satisfeito, pois nenhum círculo máximo contém todos os pontos da esfera, ou seja, existem três pontos não colineares. No entanto, não sendo satisfeito o axioma I3, não temos aqui um plano de incidência. Exercício 02: Determine: (1). No plano de Poincaré a reta que passa por (1, 2) e (3, 4) (2). Na esfera S uma reta que passa por (,, ) e por (1, 0, 0) (3). Na esfera S duas retas contendo os pontos (0, 0, 1) e (0, 0, -1). Exercício 03: Verifique que a reta L é uma paralela à reta + 5 L que passa por ( , 3). 2 5

7 7 (5). O plano finito (n) = {1,2,3...,n} (onde n é um número natural) omecemos pondo n=3, assim que (3) = {1, 2, 3}. O primeiro axioma exige que se tenha pelo menos R = {{1,2},{1,3},{2,3}} como conjunto de retas. Podemos visualizar este plano como tendo uma forma triangular como veremos abaixo. s extremidades 1, 2 e 3 não nos causam surpresa em representar pontos. Mas nossas retas são de fato bem distantes daquelas euclidianas: cada uma só tem dois pontos, não têm extensão finita, nem pontos interiores Os axiomas I1 a I3 são satisfeitos, como vemos imediatamente. Vemos ainda que existem três pontos não colineares: não existe reta contendo os pontos 1, 2 e 3. Uma pergunta que podemos fazer frente a um sistema de axiomas é: algum dos axiomas pode ser deduzido dos outros? Esta pergunta foi feita pelos matemáticos com respeito ao sistema euclidiano desde a antiguidade. Tentava-se mostrar que o quinto postulado era um teorema. Esta questão tem uma historia longa e culminou com a descoberta das geometrias não euclidianas. Mas no nosso caso, estamos diante de uma questão fácil de responder pois nosso sistema é bem simples, e é isto que faremos a seguir. onfigurações: Mostremos alguns planos de incidência para n = 5. onsidere P = {1, 2, 3, 4, 5}. onfiguração1 : R = {{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3, 4} } onfiguração Dois modelos podem ter uma mesma configuração, embora tenham nomes diferentes. Tais modelos são ditos isomórficos. Quantas configurações não isomórficas existem para n = 5? Existem modelos não isomórficos para n = 3?

8 8 independência de axiomas onsidere novamente o modelo onde = {1, 2, 3} e R = {{1,2},{1,3},{2,3}}. Se não há independência, podemos deduzir um axioma a partir dos outros. Vejamos primeiro a independência do axioma I1 com respeito aos outros I2, I3 e I4. Para isto basta exibir um par de conjuntos e R que satisfazem os axiomas I2, I3 e I4, mas não ao axioma I1. Independência de I1 Ponha ={1, 2,3}; R = {{1,2}, {1,3}}; vale I2, I3, I4, mas não vale I Independência de I2: Ponha ={1, 2, 3,4}; R = {{1,2}, {1,3}, {2,3}, }. Independência de I3: Ponha ={1, 2, 3,4}; R = {{1,2}, {1, 2,3}, {2, 3,4}, {1,4}}. Independência de I4 Ponha ={1,2}; R = {{1,2}}. Planos projetivo e afim Definição: Um plano projetivo é um plano de incidência com a propriedade elíptica das paralelas e tal que cada reta tem pelo menos três pontos. Um plano afim é um plano de incidência com a propriedade euclidiana das paralelas. Exemplo: O menor modelo afim é obtido com o tetraedro. Definição: onsidere a relação binária entre retas num plano afim definida por: r s se, e só se r = s ou r // s. relação é de equivalência e [r] denota a classe de equivalência da reta r. Dizemos que [r] é o ponto no infinito de r. onsidere agora um plano afim. Para cada reta a de ponha α = a [a]. Se β = b [b] ponha: a b se a b α β = [ a] se a // b Note que toda reta tem pelo menos três pontos. De fato, uma reta α como acima tem dois pontos afins de a e ainda o ponto [a]. Proposição O par P = {[a] / a é reta afim}, R = {a {[a]}/ a é reta fim } é um plano projetivo dito completamento projetivo de.

9 baixo está a configuração do menor plano projetivo: 9 G F E D presentar o plano projetivo real. Ver também interpretação segundo a esfera. Para dar mais clareza ao aumento de axiomas para a Geometria Euclidiana como apresentado por Hilbert, retomemos por um instante os postulados de Euclides, os quais foram as regras sobre as quais se ergueu toda a Geometria Euclidiana. Os postulados de Euclides E1. Traçar uma reta de um ponto para qualquer ponto E2. Estender indefinidamente um segmento de reta E3. Podemos traçar um círculo dado um centro e uma distância para raio E4. Dois ângulos retos são congruentes E5. Se uma transversal corta duas retas formando ângulos colaterais internos que somam menos que dois retos, as retas se interceptam no lado onde isto ocorre. axiomática de Euclides é insuficiente para responder a várias questões da geometria, notadamente as de continuidade e separação. Esta era uma situação que dificultava bastante a tentativa de demonstração do quinto postulado. gora convidamos, ou mais propriamente, desafiamos o leitor a demonstrar as seguintes afirmações: (Q1) Entre dois pontos de uma reta existe pelo menos um ponto. (Q2) bissetriz de um vértice de um triângulo intercepta o lado oposto. (Q3) Uma reta não pode estar inteiramente contida num triângulo ou num círculo. (Q4) Se uma reta intercepta um ponto interior a um círculo, então esta reta possui dois pontos comuns com este círculo.

10 10 Grupo II Os axiomas de Ordem O grupo de axioma que veremos agora, não foi contemplado pela axiomática de Euclides. Este assumia propriedades intuitivas de pontos sobre a reta. ssim, na Geometria Euclidiana usa-se como fato natural que existem pontos entre dois pontos de uma reta: veja a figura abaixo tal como se apresenta num curso de geometria elementar: (Na figura, o ponto está entre os pontos e ). Vemos que para tratar da relação estar entre nos referimos sempre a três pontos distintos. Denominamos binária uma relação que envolve dois termos. omo exemplo temos a relação de incidência, que envolve um ponto e uma reta. Já uma relação que necessita de três objetos para ser posta, é denominada ternária. Tal é o nosso atual caso com a relação estar entre. relação ternária estar entre tem algumas propriedades básicas importantes que vamos explicitar numa situação geral, através de axiomas. omo veremos, será possível definir segmento (intervalo) de pontos e munir a reta de uma ordem, de modo análogo ao que fazemos entre números reais. Daí o nome axiomas de ordem. apresentação do grupo abaixo irá pressupor uma relação ternária θ sobre o conjunto P ou seja, tal que θ x x onde (,, ) θ pode ser lido como está entre e. O axioma II.1 abaixo pode ser lido assim: Se o ponto está entre e então também está entre e. Definição Um conjunto de pontos é dito colinear se estão sobre uma mesma reta. aso contrário dizemos que o conjunto é não-colinear. Definição ada dois pontos distintos, determinam um segmento de reta indicado por, constituído dos pontos, e os que estão entre e. Os pontos entre e formam o Segmento berto ][. Grupo II xiomas de Ordem II.1 Se (,, ) θ isto é, se o ponto se encontra entre os pontos e, então, e são pontos diferentes de uma mesma reta e (,, ) θ isto é, também se encontra entre e. II.2 Dados dois pontos e, existe ao menos um ponto sobre a reta tal que (,, ) θ isto é, tal que está entre e. II3 Entre três pontos quaisquer de uma reta, no máximo um deles pode estar entre os outros dois. II4 (xioma de Pasch sobre a disposição de pontos no plano) Sejam,, três pontos não colineares e seja r uma reta no plano que não contem nenhum dos pontos,,. Então, se a reta r passa por algum ponto do segmento, também passará por algum ponto do segmento ou do segmento. Daqui por diante, abreviaremos a relação estar entre escrevendo ao invés de escrever (,, ) θ. Exemplo O plano euclidiano E 2 definida do seguinte modo: satisfaz aos axiomas do Grupo II com a relação estar entre

11 Diremos que o ponto (x 2, y 2 ) está entre os pontos (x 1, y 1 ) e (x 3, y 3 ) de acordo com os casos: (aso 1) Se a direção da reta pelos dois pontos é vertical o ponto (x 2, y 2 ) está entre os pontos (x 1, y 1 ) e (x 3, y 3 ) se o número real y 2 está entre os dois outros y 1 e y 3. (aso 2) Se a reta contendo os dois pontos não é vertical devemos ter x 2 entre x 1 e x 3. onseqüências dos axiomas I a II Proposição Dados dois pontos e existe um ponto D na reta que está entre e. Demonstração onsidere um ponto E fora da reta pelo axioma I3. Por II2 existe um ponto F após E, ou seja, tal que o ponto E está entra e F. Usamos novamente II2 para garantir a existência de um ponto G onde está entre F e G. Por II3 o ponto G não está no segmento F. onsidere o triângulo F que é interceptado no lado F em E pela reta EG. Pelo axioma de Pasch II4 a reta EG deve interceptar um dos lados ou F. Se EG intercepta F coincidiria com FG (teria dois pontos comuns). Logo, EG intercepta num ponto D que é, portanto interior ao segmento. F 11 E D Proposição Dados três pontos distintos colineares,,, um deles está entre os outros dois. Demonstração Suponha que não está entre e nem está entre e. Veremos que --. Seja D um ponto que não está na reta. Trace a reta D e seja G um ponto tal que D está em entre e G. No G a reta D deverá interceptar o lado G num ponto F já que intercepta G em D. nalogamente e com respeito ao G a reta D intercepta o lado G num ponto E. O ponto D está entre, E ( EG, reta F) finalmente ( E, reta G), concluímos que está entre e (pois G não está entre E e ). G G F D E Lema 1 Se está no segmento e o ponto está em segmento D então e estão em D. Demonstração (ver figura 1). Primeiro note que os quatro pontos,, e D são colineares. gora tome um ponto E fora da reta e na reta E tome um ponto F onde E esteja entre e F.Por

12 hipótese o ponto está no segmento ; o uso do axioma de Pasch no triângulo E com a reta F mostra que a reta F intercepta um dos segmentos E ou E. O ponto E está entre e F; logo, F não pode estar entre E e. Portanto a reta F intercepta o segmento E. Seja G este ponto. plicando agora o mesmo raciocínio ao triângulo F e a reta F vemos que G está entre F e. plicando ainda o axioma II4 ao triângulo GD, vemos que a reta F corta o segmento GD num ponto H. gora note que o ponto H deve estar no segmento GD e que o ponto E não pertence ao segmento G. Logo, a reta EH terá algum ponto comum (que é o ponto ) com o segmento D. Portanto, o ponto está no segmento D. Finalmente, E com a reta FG permitem concluir que está entre e D. 12 F G E H D (Figura 1) Lema 2 Se está no segmento D e está no, então está em D e o ponto está em D. (ver fig. 2) Demonstração: Fixe um ponto G fora da reta e escolhamos um ponto F tal que G está em F. reta F não tem ponto comum nem com o segmento G nem com o segmento ; alem disso não intercepta G (senão o ponto estaria entre e ). Logo, F intercepta a reta GD num ponto interior H do segmento GD; daí, vemos que a reta F intercepta o segmento D num ponto interior que só pode ser o ponto. Logo é interior a D. seguir usamos o lema 1 para garantir que o ponto está no segmento D. F G H D Figura 2 Lema: Se está entre e D então [] [D] ou seja, D. Demonstração: afirmação decorre diretamente do Lema 2.

13 Teorema Entre dois pontos de uma reta existe infinitos pontos Demonstração onsidere dois pontos e D. Tome um ponto D. Existe um ponto. Pelo lema teremos D o que determina dois pontos de D. gora é só repetir o processo. Retomando nossos exemplos anteriores, vemos que o da esfera na é plano de incidência pois não satisfaz efetivamente o Grupo I. Vemos agora que o exemplo 5 não satisfaz ao Grupo II, uma vez que entre dois pontos tem de existir infinitos pontos e neste modelo dispomos somente de finitos pontos. 13 Semi-reta. Semiplano. Definição Fixemos um ponto O de uma reta r. Dizemos que dois pontos e de r distintos de O estão em lados opostos com respeito a r se o ponto O está entre e. Se isto não ocorre, dizemos que os pontos e estão do mesmo lado com respeito a O se o ponto O não está entre e. Teorema Um ponto O de uma reta r separa seus pontos em duas classes de pontos não vazias e Disjuntas de tal forma que cada ponto de r salvo O está numa das classes. Demonstração: onsidere um ponto O de r e seja outro ponto de r. onsidere agora os conjuntos: r + = {P / P do mesmo lado que em r } e r - = {P / P e estão em lados opostos}. Note que O não está em nenhum destes dois conjuntos. Se Q é um ponto de r e Q O, sabemos que uma das condições dentre Q - O -, O - Q - ou O - - Q ocorre (axioma II2 e uma proposição já demonstrada). No primeiro caso temos Q em r -, e nos outros dois temos Q em r +. Podemos escrever então que r = r + r - {O}. Vemos assim que a relação estar do mesmo lado que é uma relação de equivalência. Definição Fixemos um ponto O de uma reta r. Dado outro ponto de r, denominamos semi-reta de origem O, ao conjunto de pontos de r que estão do mesmo lado de como respeito ao ponto O. Usando o símbolo O para a semi-reta, escrevemos então: O = [O] {X r / O--X}. Note que se é um ponto da semi-reta O então as semi-retas O e O coincidem (ou seja, tem os mesmos pontos). Podemos também observar que um ponto determina duas semi-retas distintas de mesma origem O e O onde e estão de lados distintos. Lembremos que um conjunto é dito convexo, se todo se todo segmento de extremos em dois de seus pontos está inteiramente contido nele.

14 14 a elipse é convexa o conjunto acima não é convexo Teorema (da separação). onsidere um plano de incidência (, R ) que satisfaz o grupo II de ordem. Então, cada reta separa os pontos deste plano em duas classes distintas H 1 e H 2 denominadas semiplanos de tal forma que: (s1) (s2) (s3) s classes H 1 e H 2 não são vazias. mbas são conjuntos convexos. s classes são disjuntas. (s4) O plano é a união r H 1 H 2. Demonstração Seja P um ponto do plano fora da reta r e seja R um ponto da reta. Seja H 1 o conjunto dos pontos do plano tais que, r P = e tome um ponto Q da reta PR tal que P R Q. Seja H 2 o conjunto de todos os pontos S tais que QS r =. Vemos que os conjuntos r, H 1 e H 2 não são vazios e são disjuntos e que o plano fica assim dividido: X H 1 se, e só se PX r =. (o ponto X está no mesmo semiplano que P com respeito à r). X H 2 se, e só se QX r =. (o ponto X está no semiplano oposto ao de P com respeito à r). X r se, e só se XR r. (o ponto está na reta r). Isto define uma relação de equivalência no plano, onde cada um dos conjuntos acima é uma classe de equivalência no plano definida por se e pertencem a uma mesma classe dentre as três citadas acima. Na figura abaixo,, e R R ; além disso, (P ), ( ) etc. P R R a Q

15 Uma equivalência do axioma de Pasch 15 Definição Denominamos axioma de separação para um par (, R ) de pontos e retas as propriedades abaixo: Para cada reta r Є R, existem dois subconjuntos H 1, H 2 (chamados semiplanos) tais que: (1) - r = H 1 H 2 (2) H 1 e H 2 são disjuntos e convexos. (3) Se H 1 e Є H 2 então o segmento intercepta r, ou seja, r Ø. Proposição (Equivalência Pasch Separação). Suponha que uma Geometria de Incidência (, R ) com uma relação ternária entre pontos, satisfazendo II1, II2 e II3 (só não está incluído o axioma de Pasch) satisfaz ao axioma separação. Então (, R ) satisfaz também ao axioma de Pasch. Reciprocamente, se (, R ) satisfaz aos grupos de axiomas I e II, então vale o axioma de separação. Demonstração recíproca já foi demonstrada acima. Resta portanto demonstrar o outro sentido da afirmação. onsideremos então três pontos não colineares, e. Suponha ainda que uma reta r intercepte, isto é, que H 1 e H 2 mas não intercepte. Veremos que r Ø. De fato, temos, Є H 1 senão r Ø. lém disso, temos Є H 2 pois r Ø. Isto implica que r intercepta, já que e estão em semiplanos distintos. H 1 r H 2 firmação: Uma reta não pode interceptar os três lados de um triângulo em pontos interiores. Demonstração onsidere três pontos não colineares,, e suponhamos que uma reta r intercepta os segmentos, e nos pontos P,Q e R, respectivamente. Mostraremos que esta suposição leva a um absurdo. Na figura abaixo, os três pontos P, Q e R estão em r. P R Q Notando que P, o ponto não pode estar em PQ, senão e PQ teriam dois pontos em comum (P e ), implicando na igualdade = PQ e portanto em que,, estariam na reta PQ = r.

16 firmamos que nenhum dos três pontos P, Q e R está entre os outros dois; isto implica que não são colineares. De fato, o ponto R não está no segmento PQ, senão a reta teria o ponto R no segmento Q (já que não pode ser em Q) ou no segmento P (já que não pode ser em P), o que implicaria = e novamente os três pontos,, seriam colineares. De modo análogo mostra-se que nem P esta entre R e Q nem tampouco Q esta entre P e R. Isto implica que os três pontos P,Q e R não satisfazem a relação estar entre, não sendo, portanto colineares. Exercícios onsidere um plano (P, R) satisfazendo aos axiomas do grupo I e II acima. Mostre que: (1). Se um reta intercepta um vértice de um triângulo e contém um ponto interior então a reta intercepta o terceiro lado. (2). Uma reta formada por um ponto interior e um exterior a um triângulo intercepta dois lados deste triângulo. (3). Uma reta não pode estar contida num triângulo. Soluções: (1). onsidere um triângulo e uma reta passando pelo vértice e por um dos seus pontos interiores P. Prolongue o lado até um ponto onde e aplique o axioma de Pasch no triângulo. reta P deverá interceptar o lado ou o lado. segunda hipótese não pode ocorrer pois P está no semiplano oposto ao de formados pela reta. P (2). Deixamos a cargo do leitor. (3). Sugestão: Sejam E e D dois pontos de r interiores ao triângulo. Forme o triângulo D e use o exercício do item (1). 16 E D Ordem na reta O grupo de axiomas II permite definir uma relação de ordem entre seus elementos: Definição onsidere um plano de incidência que satisfaz ao grupo II. Para ordenar os pontos de uma reta r, fixe um ponto O de r. Para caracterizar as semi-retas, tome outro ponto de r. Denomine de primeira a semi-reta contendo (veja a figura abaixo). Diremos que o ponto O precede ao ponto. Para quaisquer outros dois pontos P e Q diremos que:

17 17 (i). Se P e Q estão na primeira semi-reta, P precede Q, se segmento(op) segmento (OQ). (ii). Se e estão na segunda semi-reta, precede se segmento(o) segmento(o). (iii). Finalmente, todo ponto da segunda semi-reta precede O e qualquer um da primeira. O P Q Definição: Um plano que satisfaz aos grupos de axiomas I e II será denominado Plano de Pasch Proposição: Se P é um ponto interior a um ângulo (O, O) então a semireta OP está inteiramente contida nesse ângulo. Demonstração: De fato, um ângulo é convexo por ser interseção de conjuntos convexos. ssim, dado um ponto Q de OP o segmento OQ está contido no interior do ângulo. Note ainda que a reta OQ não pode interceptar um dos lados pois seria um deles. Isto implica em particular que OP = OQ não intercepta os lados do ângulo. Lema do Z: onsidere uma reta r =D num Plano de Pasch e tomemos dois pontos e em semiplanos distintos. Então os segmentos e D não se interceptam. lem disso, a semi-reta não intercepta a semi-reta D. D Demonstração: Os pontos e estão em semiplanos H e H distintos com respeito à reta D digamos H e H. Se P é um ponto comum aos segmentos e D, ponto este diferente de e de D, teremos P H H. Teorema (rossbar Theorem) Numa geometria de Pasch, se P int( ) então P intercepta num único ponto com -F-. Demonstração: Seguindo a notação do enunciado, seja E um ponto da reta com E--. reta P intercepta o lado E de em e deverá interceptar um dos outros dois lados. Usemos o lema acima para a reta e os pontos E e P, que estão em semiplanos opostos com respeito à reta. omo E =, P deverá interceptar o lado. E P

18 18 Definição: Numa geometria de Pasch um quadrilátero é convexo se cada lado fica situado num mesmo semiplano determinado pela reta suporte de seu lado oposto. Por exemplo, um retângulo é convexo, mas o quadrilátero abaixo não é convexo. D proposição abaixo decorre das definições de convexo e de ponto interior: Proposição: Numa geometria de Pasch, um quadrilátero é convexo se, e só se o cada vértice está no interior do ângulo formado pelos lado que não o contem. Demonstração: onsidere um quadrilátero convexo de vértices D. Tomemos o ângulo (,D). O ponto é comum aos semiplanos determinados por e D donde é ponto interior do ângulo em questão. O mesmo raciocínio pode ser feito com os outros três vértices. Para a recíproca, mostremos que por exemplo o lado D está inteiramente contido num mesmo semiplano determinada por. Para isto basta usar que é ponto interior ao ângulo (D,). D Proposição: Numa geometria de Pasch, as diagonais de um quadrilátero convexo se interceptam num ponto interior ao quadrilátero. Demonstração: Num quadrilátero convexo D o ponto D está no interior do ângulo (,) donde a semireta D de origem intercepta o segmento e tal ponto é interior ao quadrilátero.