TABELAS DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS

Transcrição

1 TABELAS DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS É o primeiro passo para resumir numericamente uma variável!! Tabela de Frequências Simples construção: contar o n o de vezes que um valor se repete

2 Exemplos: Tabela 1 Distribuição das queixas sobre desconforto de aviões Reclamações Frequência % Assentos desconfortáveis ,5 Espaço insuficiente para as pernas ,5 Espaço insuficiente para bagagem de mão 218 8,9 Corredores estreitos 146 6,0 Banheiros insuficientes 58 2,4 Outras queixas ,7 TOTAL ,0

3 Tabela 2 Distribuição da escolaridade do chefe de família Nível de Instrução Frequência % Acumulada Nenhum ensino completo 6 15,0 15,0 Ensino fundamental 11 27,5 42,5 Ensino médio 23 57,5 100,0 TOTAL ,0

4 Tabela 3 Ausência de alunos durante o semestre, sem licença amparada por lei N o de dias ausente Frequência % Acumulada 0 3 7,0 7, ,7 11, ,6 23, ,6 41, ,3 58, ,7 62, ,2 93, ,7 97, ,0 97, ,3 100,0 TOTAL ,0 (1) (1) Soma das parcelas difere do total devido a critérios de arredondamento

5 ESTATÍSTICAS DAS TABELAS DE FREQUÊNCIAS SIMPLES r número de valores distintos da variável i i-ésimo valor distinto (i = 1, 2,, r ) n i = número de vezes que i ocorre frequência absoluta de i (ou simplesmente, frequência de i) r n= i=1 n i frequência total (ou só total) f i = n i n frequência relativa de i i fa = i j=1 f j frequência relativa acumulada de i *pode ser calculada alternativamente a frequência absoluta acumulada (sobre n i ), e a porcentagem acumulada (ou somente, acumulada) de i: fa i 100

6 Tabela de Frequências com intervalos construção em 3 etapas: 1) escolha dos intervalos 2) enquadramento dos valores nestes intervalos 3) contagem do número de unidades em cada intervalo

7 Exemplo: quantidade diária de óxido de enxofre (em toneladas) emitidas por uma indústria em 70 dias Dados: 15,8 26,4 17,3 11,2 23,9 24,8 18,7 13,9 9,0 13,2 22,7 9,8 6,2 14,7 17,5 26,1 12,8 28,6 17,6 23,7 26,8 22,7 18,0 20,5 11,0 20,9 15,5 19,4 16,7 10,7 19,1 15,2 22,9 26,6 20,4 21,4 19,2 21,6 16,9 19,0 18,5 23,0 24,6 20,1 16,2 18,0 7,7 13,5 23,5 14,5 8,3 21,9 12,3 22,3 13,3 11,8 19,3 20,0 25,7 31,8 25,9 10,5 15,9 27,5 18,1 17,9 9,4 24,1 20,1 28,5

8 Tabela 4 Distribuição de toneladas emitidas de óxido de enxofre Óxido de Frequência % Acumulada enxofre (ton) 5,0 8,9 3 4,3 4,3 9,0 12, ,3 18,6 13,0 16, ,6 34,2 17,0 20, ,6 62,8 21,0 24, ,0 82,8 25,0 28,9 9 12,9 95,7 29,0 32,9 1 1,4 100,0 TOTAL ,0 (1) (1) Soma das parcelas difere do total devido a critérios de arredondamento.

9 Dados de emissão diária de óxido de enxofre variam entre 6,2 e 31,8 Tabela 4 7 intervalos enquadrando valores entre 5,0 e 32,9 É possível criar outro conjunto de intervalos para os dados de emissão do óxido de enxofre: de 6 intervalos: 5,0 9,9; 10,0 14,9; ; 30,0 34,9 de 9 intervalos: 5,0 7,9; 8,0 10,9; ; 29,0 31,9 valor muito acima do máximo observado

10 COMO CRIAR INTERVALOS Sempre que possível: 1) limitar o número de intervalos entre 5 a 15 2) evitar intervalos abertos (que contenham <, >,, ou ) 3) criar intervalos de mesma amplitude, definindo L como o número de intervalos e A como a amplitude dos intervalos; dado o valor de L, obtém-se A: A= máx mín L

11 * não é necessário que o máximo e o mínimo da fórmula sejam os extremos observados * há duas fórmulas sugestivas na literatura para determinar o valor de L, que dependem de n, o número de unidades observadas: 1) Fórmula de Sturges L = 1 + 3,3log 10 (n) 2) L= n

12 Exemplo Variável: nível de estresse Foram observados 70 valores que variaram de 0 a 13 Determine L e A para construir uma tabela de frequências com intervalos para este conjunto de dados; use a fórmula de Sturges e apresente os intervalos L = 1 + 3,3log 10 (n) = 1 + 3,3log 10 (70) = 7,09 7 intervalos A= máx mín L = =1,86 2 intervalos: 0 2; 2 4; ; amplitude de cada intervalo

13 Exercício Foram realizados 100 testes para medição linear Valores observados variam de 2m a 49m Determine o número de intervalos pela fórmula de Sturges e represente-os

14 Tabela 5 Distribuição da distância entre as residências do aluno universitário e de seus pais Distância (km) Frequência % Densidade ,0 40, ,1 0, ,9 0, ,1 0, ,9 0,06 Total ,0

15 Os intervalos da Tabela 5 não tem mesma amplitude, dificultando a interpretação das frequências e porcentagens solução: Calcular a densidade das porcentagens, dividindo cada porcentagem pelo tamanho (amplitude) do intervalo correspondente No caso da Tabela 5: amplitude de cada intervalo, do primeiro ao último: 1, 19, 30, 50 e 500 km, respectivamente (considerando diferença das fronteiras do intervalo) interpretação da densidade: percentual por km

16 ESTATÍSTICAS DA TABELA DE FREQUÊNCIAS COM INTERVALOS i i-ésimo intervalo (i = 1, 2,, L ) n i = número de valores enquadrados no intervalo i frequência absoluta de i (ou simplesmente, frequência de i) r n= i=1 n i frequência total (ou só total) f i = n i n frequência relativa de i i fa = i j=1 f j frequência relativa acumulada de i *pode ser calculada alternativamente a frequência absoluta acumulada (sobre n i ), e a porcentagem acumulada (ou somente, acumulada) de i: fa i 100

17 Para uma tabela com intervalos de diferentes amplitudes, calcular: d i = f i A i densidade da frequência relativa de i sendo A i : amplitude do intervalo i *pode ser calculada alternativamente a densidade da frequência absoluta (sobre n i ), e a densidade da porcentagem (ou somente, densidade) de i: d i 100 *É melhor calcular A i pela diferença das fronteiras do intervalo, e não pela diferença dos limites do intervalo

18 GRÁFICOS DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS Gráfico de Setores (ou Gráfico de Pizza) para variável qualitativa nominal (se poucas categorias distintas)

19 Gráfico 1 - Distribuição das queixas sobre desconforto em aviões (%) 29,5 15,7 2,4 8,9 Espaço insuficiente para as pernas Assentos desconfortáveis Corredores estreitos 6,0 Espaço insuficiente p/ bagagem de mão Banheiros insuficientes 37,5 Outras queixas

20 Gráfico de Barras para variável qualitativa ordinal para variável quantitativa discreta Não recomendado para variável qualitativa nominal: - exceto se há muitas categorias distintas - pode induzir a uma ordenação não existente das categorias

21 % Gráfico 2 - Distribuição da escolaridade dos chefes 57,5 27,5 15,0 0 Nenhum grau completo Primeiro grau Segundo grau

22 % Gráfico 3 - Distribuição das ausências dos alunos 30,2 18,6 16,3 11,6 7,0 4,7 4,7 4,7 2, número de dias ausentes

23 Histograma para variável quantitativa contínua

24

25

26 Grafico 5 - Distância entre residências aluno/pais densidade de frequência relativa histograma pouco informativo pois densidades extremamente diferentes distância (km)

27 em todos os gráficos de distribuição de frequências, pode-se optar em apresentar a frequência absoluta, relativa ou porcentagem EXCEÇÃO: histograma com intervalos de diferentes amplitudes, deve-se apresentar a densidade Qual a melhor forma de apresentar a distribuição de frequências? Depende: tabela detalhamento das estatísticas gráfico maior impacto visual e melhor assimilação

28 Exemplo de emissão de óxido de enxofre no R Script do R # Leitura dos dados pelo teclado oxido <- c(15.8, 26.4, 17.3, 11.2, 23.9, 24.8, 18.7, 13.9, 9.0, 13.2, 22.7, 9.8, 6.2, 14.7, 17.5, 26.1, 12.8, 28.6, 17.6, 23.7, 26.8, 22.7, 18.0, 20.5, 11.0, 20.9, 15.5, 19.4, 16.7, 10.7, 19.1, 15.2, 22.9, 26.6, 20.4, 21.4, 19.2, 21.6, 16.9, 19.0, 18.5, 23.0, 24.6, 20.1, 16.2, 18.0, 7.7, 13.5, 23.5, 14.5, 8.3, 21.9, 12.3, 22.3, 13.3, 11.8, 19.3, 20.0, 25.7, 31.8, 25.9, 10.5, 15.9, 27.5, 18.1, 17.9, 9.4, 24.1, 20.1, 28.5) # Tabela table (cut(oxido, breaks = c(5,9,13,17,21,25,29,33), right = FALSE)) # Grafico 4a hist(oxido, breaks = c(5,9,13,17,21,25,29,33), right=f, col="blue", main="gráfico 4a - Emissão diária de óxido de enxofre", xlab="quantidade de óxido de enxofre (toneladas)", ylab="frequência", xlim=c(0,35))

29 função hist não tem a opção de apresentar porcentagem no histograma, somente frequência absoluta ou densidade de frequência relativa função histogram do pacote latticeextra permite apresentar porcentagem no histograma Script do R para o Gráfico 4b require(latticeextra) #carrrega o pacote; precisa ter instalado o pacote # Grafico 4b histogram(oxido, breaks = c(5,9,13,17,21,25,29,33), col="blue", type="percent", main="gráfico 4b - Emissão diária de óxido de enxofre", xlab="quantidade de óxido de enxofre (toneladas)", ylab="%", scales=list(x=list(at=c(5,9,13,17,21,25,29,33))))

30 Exemplo de distância entre as residências do aluno e pais Como os dados da variável não estavam disponíveis foi primeiramente criado um vetor com dados equivalentes distancia <- c(rep(0,112), rep(10,20), rep(35,22), rep(75,48), rep(350,78)) hist(distancia, breaks = c(0,1,20,50,100,600), col="blue", main="gráfico 5 - Distância entre residências aluno/pais", xlab="distância (km)", ylab="densidade de frequência relativa", ylim=c(0,0.41))