MODELO DE PROGRAMAÇÃO HORÁRIA DE UMA CÉLULA FLEXÍVEL DE MANUFATURA COM USO DE MÚLTIPLAS FERRAMENTAS

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1 MODELO DE PROGRAMAÇÃO HORÁRIA DE UMA CÉLULA FLEXÍVEL DE MANUFATURA COM USO DE MÚLTIPLAS FERRAMENTAS Evelin Maria Abreu Teixeira Fundação Centro Tecnológico para Informática (C.T.I.) Inst. de Automação (I.A.) Rodovia D. Pedro I (SP-65) Km 143,6 - Campinas - SP - Brazil - Caixa Postal CEP Alexandre de Sousa Mendes Fundação Centro Tecnológico para Informática (C.T.I.) Inst. de Automação (I.A.) sousa@ia.cti.br Rodovia D. Pedro I (SP-65) Km 143,6 - Campinas - SP - Brazil - Caixa Postal CEP Abstract: This paper presents a Mixed Integer Linear Programming model for the multiple tools scheduling problem. The model considers that each job can be processed by only one machine and that it needs one or a set of tools to be executed. It is also considered that there is one or more tools of each type. That is, there may be repeated tools. Also important is the transport device responsible for taking the workpieces from the buffer to the machines and viceversa. This transport device is unique and can only transport one workpiece at a time. On the other side there is no restriction to the number of tools in movement at the same time in the Flexible Manufacturing Cell. A small example was run with several tools configurations and the respective Gantt charts are shown. Keywords: Flexible Manufacturing Cell, Mathematical Programming, Job-Shop Scheduling 1. Introdução Um Sistema Flexível de Manufatura (SFM) pode ser definido como um sistema de máquinas-ferramentas integradas e controladas por computador, sendo interligadas por um veículo automatizado de transporte. Muitos experts na área definem a Célula Flexível de Manufatura (CFM) como a menor parte constituinte do SFM. O problema da programação horária em uma CFM consiste em determinar como e quando as peças devem utilizar os recursos da célula. A solução deve respeitar as restrições de tempos de transporte, tempos de processamento e disponibilidade de ferramentas, entre outras. Este artigo está organizado da seguinte forma: na Seção 2 o problema é descrito; na Seção 3 é apresentado o modelo matemático; na Seção 4 são apresentados os exemplos e finalmente na Seção 5 as conclusões. 2. Descrição do Problema A Célula Flexível de Manufatura em consideração é composta por m máquinas diferentes e w tipos diferentes de ferramentas, repetidas ou não. Estas ferramentas são armazenadas em um magazine central de ferramentas. Há ainda três buffers que são utilizados para armazenar as peças antes, durante e após o processo de produção.

2 Ao início da produção todas as peças estão posicionadas no buffer de entrada. Um robô é responsável pelo transporte das peças do buffer de entrada para a máquina que executará a primeira operação e depois para o buffer da célula. Então a peça é transportada para a máquina que executará a segunda operação e de volta para o buffer da célula, e assim por diante. Após todas as operações terem sido realizadas, a peça é então transportada para o buffer de saída. O modelo considera um fluxo multi-direcional (job-shop) e o objetivo é minimizar o makespan acrescido da soma de todos os tempos de início de processamento das operações. Assim, além dos recursos da célula serem usados o mais rápido possível, a própria célula será liberada o mais rápido possível. Considerando-se o trabalho anterior (Teixeira e Mendes, 1996), a diferença aqui introduzida foi a possibilidade de haver ferramentas repetidas no sistema. Isto diminui a possibilidade de uma dada operação ter que esperar por uma ferramenta que esteja ocupada no momento. 2.1 Outras considerações A sequência de operações, ou rota tecnológica, para cada peça é conhecida e uma operação de índice menor deve terminar antes que uma operação de índice maior comece. A máquina responsável por cada operação é conhecida. O problema de designação máquina/operação já foi resolvido e é um dos dados de entrada para o presente modelo. As ferramentas que são necessárias para cada operação são conhecidas e não há restrição quanto ao número de ferramentas em movimento ao mesmo tempo. O robô só pode movimentar uma única peça de cada vez. O conjunto de ferramentas que são necessários para processar cada operação é conhecido. As ferramentas estão carregadas no magazine central de ferramentas e prontas para serem utilizadas no instante zero. O tempo de processamento de cada operação em cada máquina para cada peça é conhecido. O tempo de transporte de cada par (peça, operação) é conhecido. Neste caso, o tempo de transporte é na realidade a soma de dois tempos de transporte: da máquina que executou a última operação para o buffer da célula e do buffer para a máquina que executará a operação em questão. As peças se movimentam pela célula em batches unitários. Isto aumenta a flexibilidade da produção. O tempo de transporte de cada ferramenta para cada operação em cada máquina é conhecido. A capacidade do buffer é ilimitada. Assim, considera-se que o número e o tamanho das peças envolvidas no processo são pequenos se comparados com o tamanho do buffer. Devido a característica multi-direcional consideram-se pares (peça, operação) e a cada par é associado uma máquina e o conjunto de ferramentas necessárias para realizar a operação. A demanda por cada peça já foi considerada em um nível mais alto de Planejamento de Produção. Deste modo já se sabe quais peças devem ser processadas. Tal como o problema de designação máquina/operação, o problema da decisão do que deve ser produzido já foi solucionado. Um diagrama da Célula Flexível de Manufatura considerada neste trabalho é mostrada a seguir na figura 1.

3 Buffer da Célula Robô Buffer de Buffer de Entrada Máquina 1 Máquina M Saída Sistema de Transporte Magazine Central de Ferramentas 3. Modelo Matemático Notação I = { i i = 1,..., n} conjunto de peças. Fig. 1: Diagrama da Célula Flexível de Manufatura J = { j j = 1,..., l } conjunto de operações. K = { k k = 1,..., m, m+1 } conjunto de máquinas da célula, acrescido de uma fictícia representando o buffer. P ={(i, j), i I, j J} conjunto dos pares (peça i, operação j). NO(i) = número de operações da peça i, duplicado para atender os transportes para o buffer. M(i, j) = máquina que processa a operação j da peça i, com M(i, j) K. tp(i, j) = tempo de processamento da operação j da peça i. tt(i, j) = tempo de transporte, feito pelo robô, da peça i para a operação j. G = constante arbitrariamente grande. F = { f f = 1,..., w} conjunto das w ferramentas diferentes. Nfer(f) = { n n = 1,..., b} Conjunto das b ferramentas do tipo f, com f F.

4 Fer(i, j) = { f f = 1,..., e} Conjunto das e ferramentas necessárias para a operação (i, j), com f F. Variáveis Mak = makespan. t(i, j) = horário de início do transporte, pelo robô, da peça i para a operação j. tfe(f, n, i, j) = horário de início da utilização da n-ésima ferramenta do tipo f para a operação j da peça i. D((i, j),(r, s)) = 1, se o robô transporta a peça i para a operação j antes de transportar a peça r para a operação s. D((i, j),(r, s)) = 0, em caso contrário. V(f, n, i, j) = 1, se a n-ésima ferramenta do tipo f for designada para o processamento da j- ésima operação da i-ésima peça. V(f, n, i, j) = 0, em caso contrário. Modelo Min Mak + t( i, j) s.a. i, j P Mak - t(i, NO(i)) tt(i, NO(i)), i I. (1) t(i,j+1) - t(i, j) tt(i, j) + tp(i, j), i I e j=1...no(i) -1. (2) t( r, s) t( i, j) tt( i, j) [1 D(( i, j),( r, s))]* G t( i, j) t( r, s) tt( r, s) D(( i, j),( r, s)) *G para i r e M(i, j) M(r, s), (i, j) P. t( r, s) t( i, j + 1) tt( i, j + 1) [1 D(( i, j),( r, s))]* G t( i, j) t( r, s + 1) tt( r, s + 1) D(( i, j),( r, s)) *G para i r e M(i, j) = M(r, s), (i, j) P. (3) (4) tfe(f, n, i, j) = t(i, j) + tt(i, j), n Nfer(f) e f Fer(i, j), (i, j) P. (5) tfe( f, n, r, s) tfe( f, u, i, j) tp( i, j) + ttfer( f, r, s) [1 D(( i, j),( r, s))]*g -[1- V( f, n, r, s)]*g -[1- V( f, u, i, j)]*g tfe( f, u, i, j) tfe( f, n, r, s) tp( r, s) + ttfer( f, i, j) D(( i, j),( r, s)) * G -[1- V( f, u, i, j)]*g -[1- V( f, n, r, s)]*g para i r, f Fer(r, s), f Fer(i, j), n Nfer(f), u Nfer(f), (i, j),(r, s) P. (6)

5 V( f, n, i, j) = 1, f Fer(i, j), (i, j) P. (7) n Nfer( f ) 4. Exemplo Para comparar a influência da inclusão de ferramentas múltiplas no resultado da programação horária, formulou-se um exemplo. Primeiramente considera-se uma única ferramenta de cada tipo. O número de ferramentas no sistema é então aumentado de forma gradual até chegar a duas ferramentas de cada tipo. O modelo foi implementado utilizandose a linguagem de modelagem GAMS (General Algebraic Modelling System) (Brooke et al., 1988). GAMS é uma linguagem de modelagem matemática que permite ao usuário definir restrições e variáveis, entre outros, de uma forma fácil e natural. O software então traduz esta informação para um formato que permite a interface com programas tipo solver. Para este trabalho foi utilizado o solver OSL, desenvolvido pela IBM. A seguir é mostrada a tabela com as entradas comuns a todos os exemplos: Peças Número de estágios a Operação (máquina) M1 M3 M2 Tempo de transporte Tempo de processamento Ferramenta associada F1 F1 F1,F2 Tempo de transporte a Operação (máquina) M2 M1 M3 Tempo de transporte Tempo de processamento Ferramenta associada F2 F1 F2 Tempo de transporte Tabela 1: Dados de entrada comuns a todos os exemplos apresentados. O gráfico de Gantt das peças mostra as operações sendo realizadas ao longo do tempo. No lado esquerdo, na vertical, estão as 3 máquinas (M1, M2 e M3) e o robô (R). As operações são representadas pelos retângulos e o número dentro de cada um deles informa a peça referente a operação em questão. Abaixo de cada transporte feito pelo robô há um caracter. Ele informa para onde a peça é levada: máquina 1, 2, 3 ou buffer (B). Na horizontal, por fim, está representada a escala de tempo. 4.1 Exemplo com 1 ferramenta do tipo F1 e 1 ferramenta do tipo F2. Dado de Saída makespan 17,5

6 Fig. 2: Gráfico de Gantt das Peças para o exemplo Exemplo com 2 ferramentas do tipo F1 e 1 ferramenta do tipo F2. Dado de Saída makespan 16,5 Fig. 3: Gráfico de Gantt das Peças para o exemplo Exemplo com 1 ferramenta do tipo F1 e 2 ferramentas do tipo F2. Dado de Saída makespan 17,5 Fig. 4: Gráfico de Gantt das Peças para o exemplo Exemplo com 2 ferramentas do tipo F1 e 2 ferramentas do tipo F2. Dado de Saída makespan 13,5 Fig. 5: Gráfico de Gantt das Peças para o exemplo 4.4

7 5. Conclusão Este artigo apresentou um novo modelo para o problema de programação horária de peças considerando-se múltiplas ferramentas. Isto é, podem existir uma ou múltiplas ferramentas do mesmo tipo no sistema. A motivação para este trabalho surgiu da relativa falta de modelos para o problema aqui abordado. Grande parte dos trabalhos presentes na literatura tratam principalmente o problema de designação, não o de programação horária. Este modelo permite ainda avaliar se uma certa configuração de ferramentas é boa ou não, e com isso pode-se decidir, quantas e quais ferramentas devem ser utilizadas no processo produtivo de modo a minimizar sua duração. Na seção 4, pode-se notar que ambos os exemplos 4.2 e 4.3 possuem 3 ferramentas envolvidas no processo. O melhor resultado entre os dois, porém, foi obtido com duas ferramentas do tipo 1 e uma do tipo 2. O caso com uma ferramenta do tipo 1 e duas do tipo 2 apresentou o mesmo makespan do caso em que só havia uma ferramenta de cada tipo, o que caracteriza uma sub-utilização dos recursos disponíveis. Convém ressaltar também que à medida em que mais ferramentas são adicionadas ao sistema, o makespan tende a melhorar, porém somente até um certo limite. Com isso, tendo em vista os testes feitos, nota-se que o modelo pode realmente contribuir para a análise de possíveis configurações do sistema. A formulação apresentada na seção 3 foi a melhor encontrada após um longo período de experimentação considerando-se formulações alternativas. Assim como Ashford e Daniel (1993), acreditamos que sem o uso da linguagem de modelagem GAMS este projeto não teria tido êxito pois alterar uma formulação sem o auxílio de uma ferramenta como esta implica em excessivo tempo dispendido na alteração. 6. Bibliografia ASHFORD, R. and DANIEL, R Mixed Integer Programming in Production Scheduling: A Case Study Optimization in Industry, Edited by T. A. Ciriani and R. C. Leachman, Jonh Wiley&Sons Ltd. AZANA, R. A. e TEIXEIRA, E Aperfeiçoamento do Modelo de Programação Horária em uma Célula Flexível de Manufatura Anais do XVIII CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada. Curitiba, PR, Brasil. BAKER, K. P Introduction to Sequencing and Scheduling John Wiley&Sons, Inc, N.Y. BROOKE, A. et al Generic Algebraic Modeling System: A User Guide The Scientific Press, Redwood City, California. GRAVES, S A Review of Production Scheduling Op. Res., vol. 24, 4, pp

8 RANKY, P Computer Integrated Manufacturing Prentice Hall International. TEIXEIRA E. e MENDES A Modelo de Programação Horária em uma Célula Flexível de Manufatura com Uso de Ferramentas: Análise da Constante G na Convergência Anais do XIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada. Goiânia, GO, Brasil. TEIXEIRA, E., YAMAKAMI, A. and STANGE, P A General Model for the Problem of Workpieces Scheduling in a Flexible Manufacturing Cell IFAC Workshop on CIM in Process and Manufacturing Industries. Espoo, Finlândia. TEIXEIRA, E Programação Horária de Peças em uma Célula Flexível de Manufatura Tese de Doutorado. FEE. UNICAMP, SP, Brasil. TEIXEIRA, E. and YAMAKAMI, A Workpieces Scheduling in a Flexible Manufacturing Cell IFIP Transactions "Production Management Methods". Editors: C. Walter, F. J. Kliemann, J. P. M. de Oliveira. TEIXEIRA, E. and AZANA, R. A Rethinking Mixed Integer Linear Model for the Problem of Workpieces Scheduling in a Flexible Manufacturing Cell Proceedings of the 11th ISPE/IEE/IFAC International Conference on CAD/CAM, Robotics and Factories of the Future. Pereira, Colômbia.