Mecânica e Ondas fascículo 22

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1 Mecânica e Ondas fascículo 22 Copyright c 2008 Mario J. Pinheiro All rights reserved June 1, 2009 Contents 22.1 Teoria da Relatividade Restrita As inconsisteências entre o eletromagnetismo e a mecânica Reflexões sobre o tempo e o espaço nos finais do século XIX e início do XX Experiências de Michelson-Morley As soluções propostas por Lorentz e Poincaré Postulados da Teoria da Relatividade Especial (ou Restrita) Relatividade e medidas; ponto de vista operacional A transformação de Lorentz Invariantes de espaço-tempo O conceito de simultaneidade Medidas relativistas de comprimentos Dilatação do tempo Mario J. Pinheiro Departamento de Física e Instituto de Plasma e Fusão Nuclear Instituto Superior Técnico mpinheiro@ist.utl.pt 565

2 And I think that you too would call it propaganda when people are enticed into a change of opinion by promises of pleasure, or terrified into it by threats? Yes, propaganda and deceit always go together. - Platão, em a República I soon learned to scent out what was able to lead to fundamentals and to turn aside from everything else, from the multitude of things that clutter up the mind. - Albert Einstein 22.1 Teoria da Relatividade Restrita A missão do professor não deve restringir-se unicamente a transmitir conhecimento, mas sobretudo transmitir a arte da aquisição de conhecimentos, a arte da descoberta. A teoria da relatividade, tal como Einstein, Lorentz e Poicaré nos transmitiram, convida-nos a abandonar ideias antigas sobre o espaço, tempo e movimento. O problema da relatividade surge no trabalho de Newton. As descobertas de Galileu, Kepler e Huyghens levaram-nos a uma teoria do movimento compreensiva. Para que uma teoria da relatividade possa ser formulada é necessário definir o que se entende por movimento, de modo a que um observador possa decidir se um dado corpo se encontra em movimento ou não. As leis da Física necessitam de um sistema de coordenadas no espaço (ou de um referencial) de modo a poderem ser formuladas matematicamente. Se considerarmos dois referenciais em movimento um em relação ao outro, poderíamos esperar que as leis da física observadas num ou noutro referencial fossem diferentes; poderíamos esperar também que a forma mais simplificada das leis físicas se apresentasse no referencial que se encontra em repouso. Porém, saber ao certo qual o sistema de coordenadas que se encontra em repouso tem representado historicamente uma considerável dificuldade intelectual. Newton resolveu o problema à sua maneira, adoptando a hipótese do espaço absoluto. Ele sugeriu que as estrelas fixas fora do sistema solar (e aparentemente não perturbadas pelo seu movimento) poderiam ser usadas para definir o espaço absoluto. Na Mecânica Newtoniana usamos as transformações de Galileu para passarmos de um referencial de inércia para outro. Porém, existem eventos e fenómenos que não podem ser descritos por este tipo de transformações. Por exemplo, imagine que viaja numa nave que se move com a velocidade v = 3c/4 em relação ao solo. A nave dispara um raio laser para a direita. Qual é a velocidade do raio de luz na perspectiva de um observador que está no solo (Fig. 1)? Se for utilizada a transformação de Galileu, obtemos v x = v x + V = c c = 7 4 c (22.1) 566

3 Figure 1: Observador em Terra, referencial Oxy, e nave donde é disparado um feixe de raios laser, referencial O x y. praticamente o dobro da velocidade da luz. Se o feixe de luz for direcionado no sentido -x, teríamos v x = c c = 1 c, (22.2) 4 o que significa que a luz se apresentaria mais lenta. Na verdade, esta análise está incorrecta. As transformações de Galileu são unicamente válidas para baixas velocidades dos objectos quando comparadas com a velocidade da luz (v c). Elas admitem uma relatividade em relação ao observador das medidas das coordenadas espaciais e temporais, das distâncias entre dois pontos materiais, implicando assim que as velocidades relativas e as acelerações são invariantes pela transformação de coordenadas de um referencial de inércia para um outro referencial de inércia com movimento uniforme relativo. Destas invariâncias das acelerações resultam expressões idênticas do Princípio fundamental da dinâmica, F = m a. Destas invariâncias resulta a impossibilidade de determinar por meio de processos mecânicos se um dado sistema (por exemplo, o laboratório onde se executa uma experiência dada) se encontra em repouso absoluto ou em movimento rectilíneo e uniforme. Os princípios enunciados por Newton pressupõem um espaço absoluto e um tempo absoluto e o movimento dos corpos em relação a esse espaço absoluto As inconsisteências entre o eletromagnetismo e a mecânica A teoria ondulatória da luz, desenvolvida por Young apresentava a luz como uma onda, sujeita aos efeitos de interferência, difracção, polarização,...a luz apresenta características análogas às que são evidenciadas nos processos ondulatórios. Por exemplo, o som precisa de um meio material para se propagar, o ar. Consequentemente, foi com naturalidade que se supôs que a luz necessita igualmente de um meio, historicamente denominado o éter luminífero, tudo levando a crer que a rapidez da luz através desse meio deva ser independente da velocidade da fonte que a produz. 567

4 Mas, se esse hipotético meio existe, deverá haver uma maneira de detectar o movimento através dele. Duas experiências ficaram célebres pela sua tentativa de determinar a velocidade absoluta da Terra em relação ao éter : o fenómeno da aberração estelar estudada por James Bradley (1726) e a experiência de Michelson-Morley Reflexões sobre o tempo e o espaço nos finais do século XIX e início do XX A filosofia mostra-nos que o que vemos à nossa volta não é o mundo real 1 A cultura Europeia nos finais do Séc. XIX e início do Séc. XX estava receptiva a novas ideias sobre o espaço e o tempo, impressionistas como Picasso quebravam a perspectiva convencional. Ciência e Arte interagiam constructivamente. A famosíssima peça de teatro de Samuel Beckett Waiting for Godot explora a nossa percepção do tempo: as nossas sensações e pensamento. Em 1895, H. G. Wells escreve aquela que se julga ser a primeira obra de ficção científica The Time Machine, explorando o conceito de viagem no tempo. Até cerca de 1880 muitos relógios das povoações eram acertados ao meio-dia. Com o advento dos comboios surgiu a necessidade do passageiro poder aceder a um relógio-padrão. Ao fim e ao cabo os relógios mecânicos facilmente podem atrasar-se ou adiantar-se. Surgiu assim o problema técnico da sincronia dos relógios. Para falarmos do tempo temos que sincronizar os relógios. O problema da sincronização dos relógios tornou-se um problema central das companhias rodoviárias, dos governos, dos militares. Em 1883, delegados de 27 nações encontram-se em Washington, D.C., numa conferência para estabelecer o tempo mundial. Acordaram num sistema semelhante ao actual, dividindo o planeta em fusos horários 2, divididos por 24 meridianos padrão de longitude, separados por 15 0, com partida em Greenwich, Inglaterra. Todos os fusos horários encontram-se à frente ou atrás uma hora, sendo que em alguns meia-hora. Nos Estados Unidos, todos os relógios são sincronizados com a ajuda de computadores, rádios e antenas, em Fort Collins, que transmitem o tempo preciso para todo o país, pois é de vital importaancia nos mercados de valores (stock market) e sinais de trânsito. 1 Em Immanuel Kant será a coisa em si, isto é, aquilo que existe para lá da experiência humana e não pode ser objecto de conhecimento. 2 Time zones, em inglês. 568

5 H. A Lorentz Henri Poincaré Albert Einstein Woman with a flower -Picasso Figure 2: Algumas figuras ilustres da ciência no Séc. XX e quadro de Picasso. 569

6 Figure 3: espaço. Características de uma onda electromagnética propagando-se no 22.4 Experiências de Michelson-Morley A experiência de Michelson e Morley é uma das experiências mais importantes (e das mais famosas) na história da física. Ela foi realizada durante o ano de 1887 por Albert Michelson (que acabou por receber o prémio Nobel em 1907 por esse trabalho) e Edward Morley, na que é hoje a Case Western Reserve University. É considerada como a primeira evidência experimental contra a teoria do éter luminífero. Referimos que a propagação das ondas sonoras ocorre num meio fluido ou sólido. Em particular, nos metais as ondas sonoras atingem valores mais elevados, tipicamente 5000 m/s, aumentando com o valor das constantes elásticas entre átomos vizinhos. A velocidade do som v s depende das propriedades do meio, podendo parecer maior ou menor conforme o meio em que se propaga se aproxima ou se afasta do observador. En analogia com este bem conhecido fenómeno, Maxwell acreditava que a velocidade da luz também teria um valor diferente quando medida num laboratório terrestre devido ao seu movimento em redor do Sol atravessando o éter à velocidade de m/s. Apesar da analogia com as ondas sonoras, que consistem em movimentos de compressão e rarefacção longitudinal dum fluido, a perturbação ondulatória de natureza electromagnética tem um carácter diferente, consistindo em oscilações transversais periódicas no espaço e propagando-se através dele (Fig. 3). Considere agora um feixe de luz propagando-se através do hipotético éter, que preenche o espaço inteiro. A Terra supostamente move-se através do éter com velocidade v. Portanto, todo o observador em movimento no éter, deverá estar sujeito a um vento de éter. Michelson imaginou um aparelho de grande sensibilidade, um interferómetro, capaz de medir o movimento da Terra através deste éter. Imaginemos que a luz descreve um trajecto de ida e volta: A B A, descrito entre entre dois pontos AB separados pela distância L (Fig. 4). Suponhamos que o conjunto AB (braço do interferómetro) move-se para a direita através do éter com velocidade v (Fig. 4-(a)). Por simetria, podemos supor 570

7 Figure 4: Trajecto de ida e volta descrito pela luz. que o éter se move para a esquerda com a mesma velocidade. Quando o feixe de luz se propaga para a direita, a sua velocidade é c v, enquanto que será c + v quando o feixe se propaga para a esquerda (Fig. 4-(b)). Podemos pois assim determinar os tempos de trânsito seguintes: tempo de transito A B : t 1 = tempo de transito B A : t 2 = L c v L c+v Se o aparelho estivesse em repouso, v = 0 : t o = L c O movimento de translacção da Terra provoca um atraso no retorno do feixe de luz t, que se estima assim: t = t 1 + t 2 2t o = [ L c v + L c+v 2L c = L 1 c 1 v/c + 1 [ ] 1+v/c ] 2 = 2L 1 c 1 v 2 /c 2 1 2L v 2 c c 2 (22.3) A órbita terrestre corresponde a v/c = 10 4, e se suposermos como valor razoável, como dimensão típica de um aparato experimental, L = 1 m, obtemos t = 2 1/( ) s, na verdade um valor excessivamente pequeno para ser mensurável. Porém, Michelson não se desencorajou, imaginando em 1881 a seguinte solução. 571

8 Figure 5: (a) Versão simplificada do interferómetro de Michelson mostrando o feixe provindo da fonte S dividido em dois feixes por um espelho semitransparente M. Os feixes são reflectidos pelos espelhos M 1 e M 2, retornando ao espelho semi-transparente. Os feixes são depois transmitidos ao telescópio T onde interferem, dando como resultado um padrão de franjas de interferência. Na Figura v é a suposta velocidade do éter relativamente ao interferómetro. A luz provinda de uma fonte luminosa é dividida em dois feixes por meio de um espelho semi-transparente 3 colocado em M, como ilustra a Fig. 5-(a). Metade do feixe propaga-se até ao espelho M 1 antes de ser reflectida de volta ao espelho M e depois até ao observador. A outra medade do feixe é desviado para o segundo braço do interferómetro atingindo o espelho M 2, sendo reflectido de volta para o observador. O observador verá um padrão de interferências resultando da subreposição dos dois feixes e que dependerá do atraso temporal t entre ambos. Se t = 0, o que corresponde a um número inteiro de o observador verá uma franja brilhante. Se t = T/2, o que corresponde a exactamente metade de um ciclo, as ondas chegam ao observador em oposição de fase (180 o ) e cancelam-se uma à outra. O observador terá o campo de visão obscurecido. Medidas precisas e cuidadosas permitem medir variações da ordem dos λ/100, fazendo de Michelson um precursor no campo das medidas de alta precisão. Alinhando o interferómetro de modo que M M 1 esteja orientado ao longo da velocidade da Terra, verifica-se que o tempo de percurso de ida e volta do feixe 3 Em inglês, beam-splitter. 572

9 Figure 6: (a) Sobreposição de ondas em fase: máximo de intensidade; (b) Sobreposição de ondas em oposição de fase: mínimo de intensidade. Figure 7: O interferómetro está orientado de modo que um dos seus braços está orientado ao longo da direcção do movimento da Terra. de luz dispendido no trajecto M M 1 é: T 1 [ = = L c = 2L c 2L c L c v + L c+v 1 1 v/c + 1 [ 1+v/c 1 1 v 2 /c 2 ] 1 + v2 c, 2 ] (22.4) onde L é o comprimento do braço AM 1 do interferómetro (Fig. 7). Ocorre igualmente um atraso no braço-2. O espelho M 2 move-se para a direita e a luz deve propagar-se no trajecto mostrado na Fig. 8. Seja τ o tempo de percurso do feixe de luz (ou da frente de onda) dispendido no trajecto M M 2. A distância percorrida pelo feixe de luz é calculado sem dificuldade: L = L 2 + v 2 τ 2 L = cτ τ = L 2 +v 2 τ 2 (22.5) c τ = L 1 c. 1 v 2 /c 2 573

10 Figure 8: Trajecto curvo em direcção ao espelho M 2. O tempo total para a luz viajar do espelho A até M 2 e voltar ao ponto de partida é: T 2 = 2τ = 2L 1 c ( ) 1 v 2 /c 2 (22.6) T 2 2L c v 2 2 c T = T 2 1 T 2 = L v 2 c c 2 onde T representa o atraso temporal devido ao movimento de translacção da Terra. Como é evidente, torna-se muito difícil construir na prática um interferómetro com dois braços exactamente iguais. Michelson teve a ideia engenhosa de rodar de 90 o os braços do seu interferómetro. Assim, o atraso temporal total deverá ser 2 T, e o deslocamento do padrão das franjas é rapidamente calculado. Se a diferença de percurso dos dois feixes é um número integral de comprimentos de onda λ, a interferência é construtiva. Se um dos espelhos se desloca de meiocomprimento de onda λ/2, a distância percorrida pela luz nesse braço varia no total de λ e o padrão de interferência atinge um máximo, desde que δ = mλ. Esse incremento eventual de λ num dos braços, corresponde ao deslocamento de uma franja. No total passarão N franjas se o deslocamento total do espelho for de δ δ = nλ. (22.7) Assim, ao rodar os braços do iterferómetro de 90 o o atraso temporal total é 2 T, dando origem ao deslocamento de N franjas no padrão de interferências dos dois feixes: N = δ λ = 2 T c λ = 2L λ v 2 c 2. (22.8) Apesar de todo o cuidado e complexidade da experiência não foi detectado qualquer deslocamento das franjas de interferência, isto é, a velocidade de 574

11 propagação da luz é a mesma em todas as direcções, não se podendo demonstrar a existência de um éter em repouso, logo não fazendo sentido supô-lo existente. Exemplo 1: Seja um interferómetro de Michelson-Morley cujos braços têm o comprimento de 10 m cada um, um deles estando orientado ao longo do movimento que a Terra supostamente faz através do éter. Supondo que a velocidade da Terra através do éter é igual à sua velocidade orbital v = 10 4 c, calcule a diferença de tempo de percurso ao longo dos braços do interferómetro dos dois feixes luminosos. Vimos anteriormente que T L c v 2 c 2 = 2(10 4 c) 2 ( )c 2 = s (22.9) Exemplo 2: O interferómetro usado por Michelson e Morley tinha braços de 11 m e usava a luz de uma lâmpada de sódio emitindo no comprimento de onda λ = 5900 Å. Esta aparelhagem teria permitido observar um deslocamento de franjas. Qual é o limite superior da velocidade da Terra através do éter que este interferómetro permite detectar? (Suponha o comprimento dos braços iguais). O número de franjas que podemos observar a desfilar no retículo é dado por N = v2 c 2 λ (2L) = 2Lv2 λc 2 2(11)v 2 ( m)( m/s) = v = m/s. (22.10) Como a velocidade orbital da Terra é v = m/s, o interferómetro usado era perfeitamente sensível para detectar o movimento através do éter. Porém, Michelson e Morley reclamaram ter sido impossível detectar tal movimento As soluções propostas por Lorentz e Poincaré Hendrik Lorentz na sua obra intitulada Theory of electrons, propôs uma teoria hoje chamada Teoria do Éter de Lorentz (TEL) e que constitui o desenvolvimento final das teorias clássicas do éter muito em voga nos finais do Séc. XIX e início do Séc. XX. O matemático e físico francês Henri Poincaré desenvolveu essa teoria, que nomeou de Nova Mecânica. O aspecto característico fundamental destas novas teorias reside na explicação da impossibilidade de se detectar qualquer movimento relativo ao éter imóvel, com a introdução das transformações de Lorentz. Estas teorias foram desenvolvidas entre 1892 e 1906, baseando-se na teoria do éter de Augustin-Jean Fresnel, nas equações de Maxwell do campo electromagnético e na teoria do electrão de Rudolf Clausius. 575

12 Uma das características mais salientes introduzidas por Lorentz na sua teoria foi a separação entre matéria (em especial os electrões supostos os portadores do fluido eléctrico ) e o éter, suposto completamente imóvel e não susceptível de ser arrastado pela matéria. De acordo com estas teorias, o estado físico do éter pode ser descrito pelo campo eléctrico E e o campo de excitação magnético H. Com esta nova abordagem, o éter electromagnético substitui os velhos modelos mecanísticos do éter. Como se pode depreender, muitos aspectos da Teoria da Relatividade Especial de Einstein (TREE) contêm a Teoria de Lorentz-Poicaré. Os efeitos da contracção dos comprimentos ou da dilatação do tempo são referidos a um referencial preferido (o éter) e não é possível distinguir-se a TREE da TEL. A diferença fundamental entre a TREE e a TEL está em que a TEL assume-se a impossibilidade de se detectar o éter (sendo todo o movimento relativo a esse espaço absoluto agora apelidado de éter) e a validade do princípio da relatividade é apenas pura coincidência, enquanto que a TREE assume que o éter é supérfluo pois que não existem meios de se detectar o movimento em relação a ele Postulados da Teoria da Relatividade Especial (ou Restrita) A experiência de Michelson-Morley deu um resultado nulo na tentativa de determinação da velocidade da Terra através do éter - o meio transmissor das ondas electromagnéticas. O resultado da experiência de Michelson-Morley significa que dois observadores, A e B, em movimento relativo um ao outro com velocidade v, ambos vêm uma onda esférica provinda dos seus respectivos pontos de observação. Mas este resultado da observação encontra-se em contradição com as transformações de Galileu: x = x vt y = y z (22.11) = z t = t Ora vejamos. No sistema Oxyz, onde se encontra o observador A é válida a expressão x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2, (22.12) como equação da superfície de onda decorrido o intervalo de tempo t, enquanto que a equação da mesma superfície de onda no referencial O x y z deveria ser dada, aplicando as transformações de Galileu, pela expressão: (x + vt) 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2. (22.13) 576

13 Porém, o resultado da experiência de Michelson-Morley exige que se tenha igualmente uma esfera com centro em O, ou seja, que se tenha x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2. (22.14) A experiência de Michelson-Morley obriga a descrever o movimento no referencial O x y z atribuindo um tempo local t, que se relaciona com o tempo t através duma relação de transformação ainda por definir. Einstein resolveu, de certa forma, este problema enunciando dois postulados que constituem o cerne do celebérrimo artigo publicado em 1905 e intitulado On the electrodynamic of moving bodies 4 : 1. Postulado 1: As leis da física têm a mesma forma (são invariantes) em todos os referenciais de inércia; 2. Postulado 2: A rapidez da luz no vácuo é a mesma em qualquer referencial de inércia, e igual a c = 1 ɛo µ o = m/s. A expressão matemática do princípio da relatividade encontra-se materializada nas Transformações de Lorentz (TL) Relatividade e medidas; ponto de vista operacional A questão de capital importância da existência (ou não) do éter continua a suscitar muio debate, diga-se em abono da verdade. E se nos é permitido dizer, continua ainda sem uma respota definitiva, satisfatória. Como reconheceu Einstein, não existe nada na Teoria da Relatividade Especial que seja incompatível com o éter, muito embora Einstein defenda a inutilidade da sua existência. Tal não significa que o éter (ou o espaço absoluto) não exista. O movimento relativo ao éter poderá estar escondido por que a velocidade com que o éter transmite as ondas é praticamente igual, ou mesmo igual, à velocidade que aparece nas fórmulas relativísticas. Existindo o éter ou não, no ponto de vista de Einstein, o seu conceito é inútil. A essênia da relatividade reside no carácter universal de evento e no carácter subordinado de espaço, tempo e matéria. A aplicação da álgebra simples das transforções de Lorentz requer uma definição prévia de alguns conceitos elementares, em acordo com o ponto de vista operacional de Einstein é considerado o anno mirabilis de Einstein, e da física, tendo Einstein publicado 5 notáveis artigos, cada um por si merecendo o prémio Nobel

14 Figure 9:... Evento: qualquer fenómeno que acontece é definido por meio de 4 coordenadas; Os referenciais são referidos na seguinte forma: S: (x, y, z, t). S : (x, y, z, t ) Coordenadas espaciais: Sistema de coordenadas preenchido com um sistema denso de réguas, orientadas ao longo de cada um dos eixos; as réguas fornecem a localização precisa de cada evento. Coordenadas temporais: Cada ponto na intersecção de cada régua contém um relógio; Os relógios são colocados no seu lugar e simultaneamente sincronizados no instante inicial t = 0 por meio de sinais luminosos (propagando-se à velocidade da luz). Todos os relógios são perfeitamente iguais e trabalham ao mesmo ritmo. Quando um evento ocorre, as coordenadas do evento no espaço-tempo ficam determinadas fazendo a medida das distâncias com o auxílio das réguas e do relógio mais pertos do evento (Fig. 9). Para dois eventos, a diferença temporal é calculada como sendo a diferença registada pelos relógios mais próximos do evento; a separação espacial é obtida a partir das diferenças das coordenadas registadas pelas réguas próximas de cada evento. 578

15 22.8 A transformação de Lorentz O postulado da invariância da velocidade da luz em todos os referenciais de inércia torna necessário substituir as transformações de Galileu pelas transformações de Lorentz. Estas consistem num conjunto de equações que relacionam (x, y, z, t) em S com (x, y, z, t ) em S movendo-se com velocidade v relativamente a S. Requer-se, em particular, que se verifiquem os seguintes contrangimentos: a transformação deve ser linear. Um único evento em S deve ser transformado num único evento em S ; Quando v c, a transformação deve tender para a transformação de Galileu; A rapidez da luz deve ser c em qualquer referencial de inércia. Na verdade, as transformações de Lorentz (TL) verificam todos esses requerimentos. Por hipótese, admite-se que para x = x = 0 tem-se também t = t = 0. Para dois observadores em S e S, as TL exprimem-se assim: onde x = γ(x vt) y = y z = z t = γ(t vx c 2 ) γ = 1 1 β 2 (22.15) (22.16) sendo β v c. (22.17) Nestas expressões v conta-se como positivo se O desloca-se no sentido positivo, e conta-se como negativo no caso contrário. Na Fig. 10 mostra-se a variação muito rápida de γ quando o rácio v/c 1. Por simetria, temos x = γ(x + vt ) y = y z = z t = γ(t + vx c 2 ) (22.18) Na verdade, estas equações foram propostas ad-hoc por Lorentz de modo a explicar o resultado nulo da experiência de Michelson-Morley. 579

16 Figure 10: Gráfico de γ versus v/c Invariantes de espaço-tempo Considere o evento E: (x, t) em S; (x, t ) em S. Temos Podemos verificar o seguinte: x = γ(x vt) t = γ(t vx c 2 ) (22.19) (ct ) 2 (x ) 2 = γ 2 [(ct vx c ) 2 (x vt) 2 ] 2 = γ 2 [(c 2 v 2 )t 2 (1 v2 c x 2 )] (22.20) 2 = (ct) 2 (x) 2 = s 2 A quantidade s 2 chama-se de it invariante. Exemplo 3: Um comboio de comprimento 1 km (medido por um observadorpassageiro) desloca-se com a velocidade de 200 km/h. Dois clarões atingem simultaneamente as duas extremidades do comboio no ponto de vista de um observador no solo. Qual será o intervalo de tempo entre os dois clarões, medidos pelo observador-passageiro? Temos 1h (200km/h)( 3600s ) = km/s. (22.21) 580

17 Defenimos os eventos A e B pelos instantes em que os clarões atingem o comboio. Para o observador O no solo, verificam-se as seguintes medidas: t B t A = (t B t A )+ v c 2 (x B x A ) 1 v 0 = (t B t A c )+ c 2 (10 3 m) 1 v c 2 t B t A = s (22.22) O sinal negativo indica que o evento A precede o evento B O conceito de simultaneidade Dois eventos aparecem como simultâneos a um observador se ele os observar no mesmo instante de tempo. Suponhamos que dois eventos A e B são simultâneos para um observador O, de modo que t A = t B. De acordo com as transformações de Lorentz a diferença de tempo para o observador O será t B t A = v c 2 (x B x A ) 1 v2 c 2 (22.23) Se os dois eventos se produzem no mesmo lugar, x A = x B, e eles serão simultâneos igualmente para O; de outro modo, se x a x B, os dois eventos A e B não serão simultâneos para o observador O Medidas relativistas de comprimentos Se um objecto está em repouso em relação a um observador, o seu comprimento avalia-se medindo a diferença entre as coordenadas espaciais das suas extremidades. O comprimento determinado é chamado comprimento próprio do objecto considerado. Se o objecto encontra-se em movimento, o procedimento de medida é mais complexo na medida em que as extremidades do objecto devem ser medidas no mesmo instante. Consideremos então uma régua orientada na direcção x x, e no repouso relativamente a O. Queremos estabelecer uma relação entre as medidas efectuadas pelos observadores O e O quando O se desloca com velocidade v na direcção x x. Sejam A e B as duas extremidades da régua. De acordo com as transformações de Lorentz, tem-se x b x A = (x B x A ) + v(t B t A ) (22.24) 1 v2 c 2 581

18 A diferença x B x A = L o é o comprimento próprio da régua medido por O. Se x B e x A forem medidos no mesmo instante, t B = t A, a diferença x B x A = L será o comprimento da régua medido por O: L = L o 1 v2 c 2. (22.25) Atendendo a que 1 v2 c < 1, tem-se L < L 2 o, o comprimento da régua em movimento será menor, a régua estará contraída, um resultado que se designa por contracção de Lorentz-Fitzgerald. Exemplo 4: Qual deve ser a velocidade atingida por um foguetão para que o seu comprimento represente 99% do seu comprimento próprio? Dilatação do tempo L = 0.99 = 1 v2 v = 0.141c. (22.26) L o c2 Vamos agora investigar o efeito do movimento no tempo. Coloquemos um relógio em repouso no referencial em movimento (x, y ) e consideremos dois eventos A e B ocorrendo em momentos distintos t A e t B no mesmo ponto x 0: A : x 0 t A B : x 0 t B (22.27) O intervalo de tempo lido τ = t B t A entre os dois eventos A e B no referencial em repouso é o que se chama interval de tempo próprio. Queremos agora encontrar o intervalo de tempo lido no referencial do laboratório usando t = γ(t + x v/c 2 ): t A = γ(t A + vx 0 c ) 2 t B = γ(t B + (22.28) vx 0 c ) 2 O tempo que decorre entre os dois eventos é T = t B t A : T = γ(t B t A ) T = γτ τ T =. (22.29) 1 v 2 /c 2 O intervalo de tempo lido no referencial do laboratório é maior do que o que é lido no referencial próprio; este efeito chama-se dilatação do tempo. Exemplo: O decaimento do mesão. O tempo de vida médio do mesão µ é τ = s. O decaimento radioactivo tem como resultado o surgimento de novas partículas: µ ± e ± + ν + ν, 582

19 o muão positivo (negativo) decai num positrão (electrão) e em dois neutrinos. Os muões são formados em abundância a alta altitude quando raios cósmicos constituídos por protões altamente energéticos entram na alta atmosfera. O tempo de vida médio dos muões lido no seu referencial próprio (onde estão em repouso) não lhes permitiria alcançar a superfície terrestre de modo a serem detectados 5. Sabe-se que se num instante t = 0 há N(0) muões, num instante posterior t deverá existir nessa amostra N(t): N(t) = N(0) exp( t τ ) (22.30) a) Os muões percorrem a distância d = 6000 m à (aproximadamente) a velocidade da luz, 0.998c, sendo c a velocidade da luz no vácuo. Não considerando o fenómeno relativista, qual a distância média percorrida pelo muão antes de se desintegrar? d = vτ = = 599m (22.31) b) Considerando a dilatação do tempo, qual a distância percorrida, medida por um observador terrestre? τ = γτ = c) Qual é a distância percorrida? τ 1 v2 /c = (0.998) 2 = s. (22.32) d = vτ = ( )( ) = 9470m. (22.33) Para um observador na Terra, a probabilidade de detectar um mesão µ é relativamente elevada. Esta é uma demostração clássica da dilatação do tempo. 5 Parando-os por meio de absorsores densos e em seguida detectando o seu decaimento. 583