SOLUÇÃO HEURÍSTICA PARA O PROBLEMA DE DIMENSIONAMENTO DE MÃO DE OBRA E ROTEIRIZAÇÃO ATRAVÉS DE UM ALGORITMO CLARKE E WRIGHT

Transcrição

1 SOLUÇÃO HEURÍSTICA PARA O PROBLEMA DE DIMENSIONAMENTO DE MÃO DE OBRA E ROTEIRIZAÇÃO ATRAVÉS DE UM ALGORITMO CLARKE E WRIGHT Victor Abu-Marrul Carneiro Da Cunha Leila Figueiredo Dantas Hugo Miguel Varela Repolho Luciana de Souza Pessoa Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro Departamento de Engenharia Industrial RESUMO O Problema de Roteirização de Veículos (VRP) tem sido amplamente estudado nas últimas décadas devido à sua aplicação prática como ferramenta de apoio à logística e transportes. Este artigo aplica um modelo de VRP a uma empresa de medição de energia brasileira. O objetivo é definir um conjunto de rotas de leitura de aparelhos e dimensionar o número de técnicos necessários tal que o custo de transporte seja minimizado. O modelo matemático foi adaptado a partir de formulações existentes na literatura e o problema foi resolvido usando uma heurística baseada no algoritmo de Clarke e Wright. A heurística foi validada, e então utilizada para gerar soluções para o problema real. A heurística se mostrou eficiente dado que instantaneamente gerou uma solução melhor do que a desenvolvida com anos de trabalho pela empresa, sendo o algoritmo capaz de obter novas alternativas no planejamento de contratação. ABSTRACT The Vehicle Routing Problem (VRP) has been widely studied in last decades because of its practical application in logistics and transport as support tool. This paper applies a VRP model to an energy company case, with the objective of dimensioning the number of technicians and optimizing routes to minimize the total cost of transport. The mathematical model was adapted from literature formulations and the problem was solved by using the Clarke and Wright heuristic. The heuristic has been validated and then it was applied to generate real solutions for the present problem of the company. The heuristic proved effective as it reached a better solution than the one developed through years of working by the company, and the algorithm was able to generate better alternatives in recruitment planning. 1. INTRODUÇÃO O Problema de Roteamento de Veículos (VRP a partir do acrônimo em inglês para Vehicle Routing Problem) envolve a concepção de melhores rotas de custo mínimo, com origem e destino em um depósito, que atendam um conjunto de clientes, respeitando-se algumas restrições (Osman, 1993). O VRP desempenha um papel central nos campos da distribuição física e logística (Laporte, 1992; Barbarosoglu e Ozgur, 1999). A logística pode ser definida como um conjunto de atividades funcionais onde matérias-primas são convertidas em produtos acabados, e a distribuição física corresponde ao canal entre os pontos de processamento da empresa e seus clientes. Os custos logísticos representam em média 12% do produto interno bruto mundial, e o transporte representa, em média, um ou dois terços desses custos (Ballou, 2006). Assim sendo, a boa gestão de transportes pode praticamente salvar uma empresa de uma porção considerável do seu custo total de distribuição devido a rotas otimizadas e distâncias mais curtas (Tan et al., 2001). Descobrir os melhores roteiros para os veículos ao longo de uma rede a fim de minimizar os tempos e as distâncias constituem problemas de tomada de decisão (Ballou, 2006). Sendo evidente a importância de se levar em conta os problemas de roteamento para a redução dos custos, o presente trabalho considera o problema de uma empresa terceirizada de medição de energia, com o intuito de dimensionar a mão de obra necessária e otimizar suas rotas. São

2 propostos uma formulação matemática de Programação Linear Inteira Mista (PLIM) para uma variante do VRP e uma heurística baseada no algoritmo de Clarke e Wright. Este trabalho está dividido da seguinte maneira: Na Seção 2, é discutida a literatura existente sobre o modelo do VRP e a heurística Clarke e Wright. A Seção 3 trata do estudo de caso em uma empresa prestadora de serviço de medição de fornecimento de energia e a formulação do modelo matemático. Na Seção 4 é apresentado o algoritmo de Clarke e Wright e sua validação. A Seção 5 discute os resultados computacionais obtidos. Finalmente, os comentários finais são apresentados na Seção REVISÃO DA LITERATURA 2.1. Problemas de Roteamento de Veículos Existe uma ampla variedade de VRPs e uma vasta literatura sobre esta classe de problemas. O VRP é um problema de otimização combinatória de natureza NP-hard (Barbarosoglu e Ozgur, 1999), e é um nome genérico dado a toda uma classe de problemas que envolvem a visita de "clientes" por "veículos" (Christofides, 1976). Estes problemas derivam seu nome a partir do problema prático básico de fornecimento de produtos com clientes geograficamente dispersos usando um número de veículos que operam a partir de um depósito de bens comuns. O problema é de encaminhamento dos veículos, de modo que a distância total percorrida (ou tempo tomado, custos incorridos, etc), seja mínima (Christofides, 1976). De acordo com Laporte (1992) o VRP consiste em definir rotas de menor custo tal que: Cada cidade em V\{0} é visitada apenas uma vez por exatamente um veículo; Todas as rotas de veículos começam e terminam no depósito; Algumas restrições de tamanho sejam satisfeitas: restrições de capacidade; de tempo total; janelas de tempo; precedência entre pares de cidades; dentre outras. O problema do VRP é definido em um grafo G = (V, A), onde o conjunto de nós V = V d U V c é composto por um depósito V d = {0} e n clientes V c = {1,...,n}, e o conjunto de arcos é A = {(i,j) i,j V, i j}. Sendo K = {1,...,k} o conjunto de veículos e c ij o custo associado ao arco {i,j}. Quando simétrico, para todo i, j V, c ij = c ji, caso seja assimétrico, c ij pode ser diferente de c ji. Cada i V c é um cliente com uma demanda não negativa. Assim, a solução para o VRP determina um conjunto de rotas de atendimento que satisfaça os requisitos dos clientes obtendo custo total mínimo. Ainda que o depósito seja único, na modelagem o mesmo aparece representado em duplicidade: uma como depósito inicial {0} e, outra, como depósito final {0 }. O problema pode ser modelado usando a variável x ijl, onde x ijl {0,1} assume valor 1 se, e somente se, o veículo l K percorrer o arco (i,j) A. Um modelo matemático para o VRP é: min c ij x ijl (1) Sujeito a: (i,j) A l K x 0jl = 1, l K (2) j V x i0 l = 1, l K (3) i V x ijl = 1, j V c (4) i V l K

3 x ijl = 1, i V c (5) j V l K x ijl S 1, (S V c ; S 2), l (6) i,j A x ijl {0,1}, (i, j) A, l K (7) A função objetivo (1) minimiza o custo das viagens. O conjunto de restrições (2) e (3) garante que todos os veículos l iniciam a rota no depósito e retornam a ele. As restrições (4) e (5) asseguram que todos os clientes sejam atendidos exatamente uma única vez. A equação (6) é utilizada para evitar sub-rotas, onde o S compreende o subconjunto de clientes que um técnico pode visitar. E finalmente, a (7) impõe que a variável seja binária. A atenção recebida pelo VRP é devida à sua ampla aplicabilidade e importância na determinação de estratégias eficientes para a redução dos custos operacionais nas redes de distribuição. Hoje em dia, os métodos exatos VRP tem um limite de tamanho de ordens, conforme sua variante e os requisitos de tempo de resposta (Kritikos et al., 2010). Assim sendo, métodos heurísticos são necessários na resolução da maioria dos casos reais em uma quantidade razoável de tempo. Esses algoritmos podem ser divididos em dois grupos principais: heurísticas clássicas e metaheurísticas (Laporte et al., 2000). Nas heurísticas estão incluídas as heurísticas construtivas como, por exemplo, a de Clarke e Wright (1964), que gradualmente constrói uma solução viável durante a tentativa de manter o custo da solução o mais baixo possível (Cordeau e Laporte, 2002). Essa heurística é uma das mais conhecidas para o VRP, e aplica-se aos problemas para os quais o número de veículos é uma variável de decisão (Laporte et al., 2000). Os métodos exatos encontram uma solução ótima, já as heurísticas são métodos aproximados que podem encontrar soluções de boa qualidade em um tempo razoável, porém não dão a garantia de que a solução ótima será encontrada Heurística de Clarke e Wright Este clássico algoritmo foi proposto pela primeira vez em 1964 por Clarke e Wright para resolver o VRP em que o número de veículos é livre. O método inicia com a rota do veículo contendo apenas o depósito e outro vértice, de modo que em cada etapa, duas rotas são mescladas de acordo com o maior ganho que pode ser gerado (Laporte, 1992). Ele é baseado na abordagem das economias, sendo relativamente rápido, em termos computacionais, para problemas com um número moderado de clientes, e capaz de gerar soluções que são quase ótimas (Ballou, 2006). Sua aplicação pode ser observada, por exemplo, no trabalho de Hashi et al., (2015). A abordagem adotada na maioria dos estudos que utilizam Clarke e Wright é a abordagem em paralelo. Deste modo, quando uma ligação não pode ser feita em uma rota existente, um novo percurso é imediatamente criado com essa ligação (i,j). Porém, há uma alternativa a essa abordagem, que é a abordagem sequencial, em que um percurso de cada vez é desenvolvido (Rand 2009). Uma versão sequencial do algoritmo, descrita em Cordeau e Laporte (2002), consiste na combinação de sub rotas a uma mesma sub rota inicialmente escolhida, até que não seja mais possível a combinação desta com nenhuma outra, passando então para outra sub rota que será tomada como referência. Na versão sequencial, cada vez que uma ligação é estabelecida entre um par de pontos, deve-se percorrer todos os pontos novamente a partir do

4 topo da lista (uma vez que as combinações que não eram viáveis até o momento possam vir a ser), enquanto que a versão paralela requer apenas uma passagem através da lista (Lysgaard, 1997). Segundo Laporte et al. (2000), o algoritmo funciona seguindo os dois passos a seguir: Passo 1: Calcular as economias segundo a equação s ij = c i0 + c 0j c ij para i = 1,, n com i j. Criar n rotas de veículos (0, i, 0) onde i = 1, n. Ordenar em uma lista os ganhos em ordem decrescente, onde: s ij = Ganho em atender o cliente j depois do cliente i c i0 = Custo do cliente i até o depósito 0 c 0j = Custo do depósito 0 até o cliente j c ij = Custo de viagem entre um cliente i e um cliente j Inicialmente, cada cliente é servido por um veículo, constituindo rotas entre o depósito e cada cliente. Porém, esta solução é infactível, uma vez que exige um veículo para cada rota. Duas rotas contendo os clientes i e j podem ser combinadas considerando a economia/ganho (s ij ), que pode ser conseguido servindo dois clientes na mesma via, em vez de deixá-los separados. O ganho é obtido visitando clientes i e j em sequência na mesma rota (Liu e Shen, 1999). Passo 2: Para a abordagem sequencial, considera-se uma rota de cada vez (0, i,, j, 0). Seguindo a ordem da lista de ganhos, determinar o arco (i, j) que pode ser introduzido na rota atual, observando também se a mesclagem torna a rota viável devido às restrições. Se for possível a introdução, excluir os arcos (i, 0)e(0, j), e introduzir o arco (i, j). Repetir essa operação para a rota atual, até não haver mais nenhum arco viável na lista para ser introduzido. Se não houver mais arcos viáveis, abre-se um novo percurso/rota, repetindo as mesmas operações. Este passo é replicado até não haver mais arcos para serem introduzidos. Vários autores propuseram a evolução do algoritmo, e uma das variações é aquela em que se reconhece que a rede rodoviária não é simétrica, e isso vale principalmente para áreas urbanas, onde as distâncias podem ser afetadas pelos sistemas de sentido único (Rand, 2009), ou seja, as distâncias entre (0, i) e (i, 0) são diferentes. A extensão do algoritmo de Clarke e Wright para instâncias assimétricas não representa qualquer dificuldade. Na verdade, também neste caso, a economia pode ser calculada usando a mesma equação. A única diferença em relação ao caso simétrico é que as rotas são agora orientadas. Por conseguinte, uma ligação (i, j) só pode ser considerada para a união de duas rotas apenas se i (ou j) do cliente é o último cliente de um percurso e o vértice j (ou i) é o primeiro da outra, dividindo assim as possibilidades de união quando comparado com a situação simétrica (Vigo, 1996). 3. ESTUDO DE CASO EM UMA EMPRESA DE MEDIÇÃO DE ENERGIA O presente trabalho é realizado na Empresa X, localizada no Rio de Janeiro/RJ, e que presta serviço de medição de consumo para os clientes de uma companhia fornecedora de energia para residências, comércios e indústrias. Esse processo de medição é feito ao final de cada mês, onde técnicos devem realizar leitura nos medidores instalados nos clientes. Os medidores de energia são largamente empregados na medição de consumo, o que pode ser feito de modo manual ou automático. A medição automática é contínua e com nenhuma ou mínima interferência do operador. Já a manual necessita de técnicos para a leitura do nível, e é esta última que será tratada no presente trabalho.

5 O foco do estudo será no segmento industrial, onde a empresa trabalha, atualmente, atendendo cerca de 800 clientes. Esses clientes são subdivididos em áreas de acordo com a proximidade geográfica, sendo selecionada para a solução apenas uma das áreas, com 127 clientes. O modelo leva em consideração as seguintes premissas: o trânsito não será levado em conta, visto que o meio de transporte utilizado é a motocicleta; as distâncias são assimétricas; o tempo médio de leitura e a jornada de trabalho deve ser igual para todos os clientes e todos os técnicos, respectivamente; não existe particularidades no processo de medição entre um cliente e outro; e ao final do serviço, os dados das leituras são descarregados, pelo técnico, no próprio sistema da empresa, e podem assim ser acessados pela contratante. O presente trabalho possui algumas particularidades como, por exemplo, a falta de conhecimento do número de veículos (técnicos, para o problema em questão) necessários. Assim sendo, alterações são feitas na função objetivo do modelo VRP, visto que esse dimensionamento de técnicos deverá ser incluído, objetivando minimizar a quantidade de técnicos necessária para a realização do serviço contratado, cada qual percorrendo uma rota ótima. Este trabalho possui os seguintes objetivos tático e operacional, respectivamente: Definir a quantidade mínima de técnicos necessários para a leitura dos medidores de energia ao final de cada mês nos clientes industriais; e Definir a roteirização ótima que minimize o custo total de deslocamento. Os técnicos do segmento industrial recebem treinamento especializado e custam mais caro para a terceirizada, custo esse repassado à contratante. Todos os técnicos são aptos a realizar medições e outras tarefas em clientes de outros segmentos com demanda diária, não existindo ociosidade ao longo do mês nos dias em que não estão realizando serviço do segmento industrial. Caso seja verificada a possibilidade de redução de mão de obra para esse segmento, diminui-se a necessidade de técnicos que recebem o treinamento diferenciado e que consequentemente custam mais para a empresa. Ao minimizar também o custo total de deslocamento, minimiza-se o custo total da operação, ou seja, o valor pago para a terceirizada pela operação nesse segmento diminui. Levando em consideração alterações na formulação dada na Seção 2 e restrições adicionais, o novo modelo sugere criar roteiros, onde cada roteiro representa a necessidade de contratação de um funcionário para realização do serviço, evitando-se que a empresa tenha custos com mão de obra além do que realmente é necessário para o objetivo, respeitando todas as restrições do problema. O número total de mão de obra não é fixo, e portanto, varia de acordo com o número de rotas necessárias. Os dados de entrada são: Tempo Total (TT) disponível por técnico; Tempos de Deslocamento (TD) entre a base (empresa) e o cliente, e entre um cliente e o outro; Tempo de atendimento médio para leitura (TAM) Formulação do modelo Nesta seção, uma formulação matemática de programação linear inteira mista é proposta para a empresa em estudo.

6 O problema é definido em um grafo G = (V, A), igual ao modelo original explicado na Seção 2.1. O TD ij é o tempo de deslocamento para o arco {i,j}, sendo assimétrico, visto que para todo i, j V, TD ij TD ji. Supõe-se que todos os técnicos têm limite de tempo de trabalho (TT), e um tempo igual de atendimento para cada cliente (TAM). O problema é modelado usando as variáveis X ijt, Y t, H it e Q t, onde X ijt {0,1} tem valor 1 se, e somente se, o técnico t K usar o arco (i,j) A, Y t {0,1} tem valor 1 se, e somente se, o técnico t K for alocado em alguma rota, H it é o horário de início de atendimento do cliente i pelo técnico t e Q t é o tempo total gasto por um técnico. O problema em questão não envolve janelas de tempo. O fator peso μ é introduzido no problema para conseguir resolver os dois objetivos em uma única função objetivo. O μ terá um valor muito pequeno, de forma que a resultante do somatório do tempo total gasto nunca chegue a um inteiro, visto que é de maior importância para este trabalho em específico, primeiro minimizar o número de rotas, e depois otimizá-la. O modelo matemático para o VRP do estudo de caso é: Sujeito a: min Y t + μ Q t t K t K (8) X ijt = 1, i V c (9) j V t K X ijt = 1, j V c (10) i V t K X 0jt = Y t, t K (11) j V X i0 t = Y t, t K (12) i V X ijt TD ij + (( X ijt ) (1Y t )) TAM = Q t, t K (13) (i,j) A (i,j) A Q t TTY t, t K (14) H i + (TD ij + TAM) X ijt TT (1 X ijt ) H j, i V, j V c (15) (t) K H 0 = 0, i V c, t K (16) Y t {0,1}, t K (17) X ijt {0,1}, (i, j) A, t K (18) H it 0, i V c, t K (19) Q t 0, t K (20) A função objetivo (8) minimiza o número necessário de técnicos, ao mesmo tempo que otimiza a rota realizada por ele, minimizando assim o custo com mão-de-obra e viagem, respectivamente. As restrições (9) e (10) asseguram que todos os clientes sejam atendidos exatamente uma única vez, e o conjunto de restrições (11) e (12) garante que todos os técnicos t deixem o depósito e retornem a ele. A restrição (13) afirma que a duração total para cada técnico deve ser igual à soma dos tempos de deslocamento mais o tempo de atendimento em cada cliente. A equação (14) assegura que cada rota não ultrapasse o tempo total da jornada de trabalho. A restrição (15) evita subrotas e a (16) exige a saída dos técnicos da base no instante (t) K

7 0. Finalmente, a (17) e (18) impõem que a variável seja binária e a (19) e (20) são restrições de não negatividade. 4. MÉTODOS DE SOLUÇÃO Inicialmente o modelo foi resolvido de forma exata com o uso do software CPLEX na plataforma AIMMS. Devido à natureza combinatória do problema, a busca por uma solução ótima em problemas práticos de dimensões usuais se torna inviável em um intervalo de tempo razoável. Desta forma, foi desenvolvido um algoritmo baseado no de Clarke e Wright. A codificação do código foi feita em Python versão e executado em um 2.40 GHz PC (Intel Core i7) com memória de 8.00 GB. A nova heurística foi validada, e então utilizada para gerar as soluções do problema real estudado neste trabalho. Os tempos de deslocamento da empresa para os clientes e entre os clientes foram calculadas através da API (Application Programming Interface) Google Maps Distance Matrix, disponibilizada pelo Google Heurística baseada no algoritmo de Clarke e Wright Como o objetivo principal é minimizar o número de rotas, a heurística utiliza a abordagem do tipo sequencial, onde o algoritmo desenvolve uma rota de cada vez, limitando a jornada de trabalho dos técnicos. As distâncias são assimétricas, e o algoritmo é resumido como segue: 1) Calcular todos os ganhos entre os nós (clientes) e listá-los, segundo a equação g ij = d i0 + d 0j d ij para i = 1,, n, com i j, onde: g ij = Ganho em atender o cliente j depois do cliente i d i0 = Duração da viagem do cliente i até o depósito 0 d 0j = Duração da viagem do depósito 0 até o cliente j d ij = Duração da viagem partindo de um cliente i a um cliente j 2) Testar a viabilidade de todos os arcos (i, j) de acordo com as restrições. Se for viável, manter o arco; caso contrário, elimina-o da lista; 3) Ordenar os arcos da lista em ordem decrescente de ganho; 4) Alocar o arco de maior ganho em uma nova rota e retirá-lo da lista; 5) Do início da lista e seguindo de cima para baixo, tentar alocar na rota criada o 1º arco. Para que o arco seja apto, o mesmo deve possuir exatamente um dos clientes alocado à rota, de outra forma ele é inviável. Se possuir, o arco pode ser mesclado, se as suas extremidades se encaixam, ou seja, se for possível posicioná-lo à esquerda ou à direita da rota, de forma que o i do arco seja igual ao último cliente da rota, ou o j do arco seja igual ao primeiro cliente da rota. Se um dos encaixes for viável, verificar se as restrições do problema permitem a inclusão deste arco na rota. Se o arco for incluído, passar para a etapa 6, caso contrário, testar o próximo arco sob as mesmas condições, até que todos os arcos tenham sido testados. Ao final da lista, seguir para o passo 7; 6) Para o arco incluído, eliminá-lo da lista e voltar ao passo 5 imediatamente; 7) Gravar a rota gerada e eliminar da listagem todos os arcos com nós já alocados; 8) Se ainda existem arcos na lista, voltar para o passo 4. Caso contrário, ir para o passo 9; 9) Observar se ainda existe algum nó não alocado. Se sim, gerar uma rota exclusiva entre a base e cada um dos nós individuais. Caso contrário, ir para o passo 10; 10) FIM Validação do algoritmo O algoritmo foi validado através da comparação com o método exato. As diferenças observadas na Figura 1 mostram que as soluções obtidas pelo método heurístico se aproximam das obtidas

8 Função Objetivo pelo método exato, mas não necessariamente se igualam. A tabela com todos os dados da validação pode ser observada no apêndice A, e para cada experimento três resultados são registrados: O tempo gasto; O número de rotas necessário para atender todos os clientes, ou seja, o número necessário de técnicos; O resultado da função objetivo, que engloba os dois resultados anteriores. 4,5 5 3,5 4 2,5 3 1,5 2 0,5 1 0 Resultado da Função Objetivo para diferentes instâncias Método exato x Heurística 5 (150) 5 (200) 5 (360) 10 (150) 10 (200) 10 (360) 15 (150) 15 (200) 15 (360) 20 (360) Número de clientes (tempo total disponível por técnico em minutos) Método Exato Heurística Figura 1: Validação do método heurístico Nas representações gráficas dos dados, o algoritmo exato e a heurística de Clarke e Wright são representados pelas barras, e a comparação foi feita variando o tempo máximo da jornada de trabalho para cada técnico, como também o número de clientes a serem atendidos. Para efeitos de compreensão, a componente inteira, no resultado encontrado da função objetivo (F.O.), é a quantidade de rotas necessárias, ou seja, quantos técnicos serão necessários para atender todos os clientes ( t K Y t ). O valor decimal é o tempo total gasto por todos os técnicos ( t K Q t ), multiplicado pelo fator μ. Para validação, o tempo considerado de atendimento foi de 10min e o μ=0,001. O fator μ precisa ser pequeno o suficiente para que o custo das rotas nunca se equivalha ao custo de um técnico, ou seja, o maior custo possível com deslocamento deve sempre valer menos do que 1. Percebe-se com o gráfico que, quando a solução ótima gera n roteiros com cada um quase no limite do tempo disponível, o algoritmo não gera bons resultados. Isso se dá porque é necessária uma sequência muito específica para que aquele número ótimo de roteiros seja gerado, não existindo outras soluções para aquele mesmo número de roteiros. Quando isso não ocorre, o algoritmo gera resultados com desvios, na maior parte das vezes, menores que 1% em relação ao ótimo. Depois de validar o algoritmo, foram geradas as soluções para o problema real Resultado computacional O caso real consiste em número livre de técnicos, tempo de atendimento e tempo total de trabalho conhecidos, 127 clientes e fator μ igual a 0,0001. As informações de distância usadas na otimização são calculadas a partir do aplicativo do Google Maps já apresentado anteriormente, e o roteiro atual que a empresa realiza é conhecido. Nenhum critério de tempo de execução é dado, o que se dá pelo fato da heurística terminar quando todos os clientes são atendidos, independentemente do tempo de solução necessário.

9 O primeiro experimento, resumido na Tabela 1, tenta melhorar os resultados da empresa ao permitir que a heurística resolva o seu VRP. O algoritmo é executado para a jornada de trabalho de 480 minutos e tempo de atendimento de 5 minutos, que é o tempo disponível no cenário atual, fornecendo a solução da heurística para o problema dado. Tabela 1: Comparação da solução heurística com o roteiro atual Roteiro Atual Solução Heurística Rotas Duração (min) Rotas Duração (min) 1 524, , , , , , ,85 Duração Total 1540,15 Duração Total 1528,6 F.O 4,154 F.O 4,152 A heurística se mostrou eficaz em gerar uma boa solução em pouco tempo, e a solução compôs um roteiro com 4 rotas e duração total aproximadamente 12 minutos menor do que o roteiro atual utilizado pela empresa. A solução ficou similar ao utilizado pela companhia, desenvolvida após anos de trabalho através de tentativa e erro, com o diferencial do cumprimento de todas as restrições inerentes ao problema, dado que todos os tempos das rotas cumprem as 8 horas disponíveis de trabalho por técnico, enquanto nos roteiros utilizados, a rota 1 extrapola esse limite em mais de 44 minutos. Como a heurística é capaz de gerar instantaneamente uma melhor solução para o problema, ela pode ser usada também no âmbito operacional Análise de cenários Com o intuito de obter outras alternativas de soluções para uma melhor tomada de decisão quanto ao planejamento de contratação, diferentes cenários são gerados e seus resultados obtidos. Lembrando que, além de respeitar os tempos disponíveis de cada técnico, deve-se levar em conta também a importância do equilíbrio entre os roteiros. O equilíbrio das cargas de trabalho objetiva a qualidade do trabalho e satisfação do técnico. Como visto no cenário da solução heurística, um colaborador trabalharia quase 8 horas, enquanto o outro estaria trabalhando apenas 2 horas, com mesma remuneração. O roteiro atualmente utilizado possui uma das rotas com tempo excedente, ultrapassando em aproximadamente 44 minutos o tempo limite estipulado em 8 horas por rota. Tendo em vista que a empresa já lida com isso mensalmente, uma das possibilidades seria a de incluir em algum dos roteiros gerados o cliente que ficou em uma rota individual (rota 4), não limitando a jornada de trabalho deste técnico/rota. Assim, só seriam necessárias 3 rotas. Os resultados dos testes para a inclusão desse cliente em cada roteiro podem ser observados na Tabela 2. Tabela 2: Resultados ao inserir o cliente individual nas rotas 1, 2 e 3 Inserindo o Cliente da rota individual Na rota 1 Na rota 2 Na rota 3 Rotas Duração (min) 1 530,54 475,39 475, ,92 563,32 479, ,44 457,44 633,42 Duração Total 1467,9 1496, ,73 F.O 3,146 3,149 3,158

10 Os testes indicaram que a melhor inclusão desse cliente seria na primeira rota, aumentando seu custo em 50 minutos, e necessitando de apenas três rotas. Cabe à empresa decidir se é viável trabalhar com um roteiro que exige horas extra, ou se é preferível respeitar em todas as rotas a restrição de tempo de cada funcionário. Outros cenários foram criados, agora com o tempo total de trabalho variável, considerando 515, 460, 440, 420 e 400 minutos para cada técnico, todos centrados em torno do mesmo tempo real de visita, com os resultados observados na Tabela 3. Tabela 3: Resultados dos cenários com o tempo total de trabalho variável Tempo disponível Rotas Duração (min) 1 514,01 458,56 438,83 419,78 399, ,1 458,77 439,46 416,27 394, , ,34 417,89 398, ,14 227,55 278,2 376,69 Duração Total 1525, ,5 1545, , ,08 F.O 3,152 4,154 4,154 4,153 4,156 Ao diminuir o tempo disponível para 400 min, dado que abaixo disso o modelo indica a necessidade de mais um técnico, percebe-se uma piora quanto à solução original. Porém, com o limite de 400 min, os 4 técnicos necessários trabalham com tempos mais equilibrados em relação aos demais, aumentando o tempo total em 40 min, o que pode ser um fator de decisão para a empresa, caso considere o incremento na duração total insignificante. Quanto ao aumento de tempo para que o modelo utilizasse 3 técnicos, foi necessário mudar o limite para 515 min, dado que qualquer tempo menor que esse, continuava indicando a necessidade de pelo menos 4 técnicos. O resultado para 515 min não foi melhor do que a solução gerada com a inclusão do cliente individual na rota 1 sugerida na primeira rodada do algoritmo, porém os roteiros ficaram melhor balanceados, fazendo com que o funcionário com maior tempo de trabalho gastasse aproximadamente 34 min a mais do que o tempo total de 8 horas de trabalho. 5. CONCLUSÃO O presente trabalho propôs uma formulação matemática de programação linear inteira mista para o problema de uma empresa, trazendo contribuições para a modelagem a partir de adaptações em formulações existentes na literatura do VRP, com o objetivo de dimensionar o número necessário de mão de obra e otimizar as rotas. Devido ao tamanho do problema, tornouse inviável encontrar a solução utilizando métodos exatos, e para isso foi desenvolvido um algoritmo de Clarke e Wright utilizando a abordagem sequencial e distâncias assimétricas. A heurística foi validada, e utilizada para gerar soluções para o real problema da empresa. A heurística proposta se mostrou eficiente, dado que a solução gerada instantaneamente foi melhor do que a solução desenvolvida com anos de trabalho pela empresa, sendo útil não somente no planejamento como também pelo tempo de processamento, passível de ser utilizada de forma operacional. Isso pode ser muito útil para contratos futuros, visto que a empresa pode vir a ganhar novas licitações, e começar a trabalhar com áreas novas, o que acarretaria em perda de tempo e custos desnecessários com recursos até encontrar uma boa solução. Outro fator importante é que, como a empresa trabalha com múltiplas áreas, o algoritmo poderia gerar uma boa solução ao mesclá-las. Atualmente, a empresa lida com áreas separadas justamente para não perder o histórico de roteirização em caso de perda de contrato em algumas áreas

11 específicas. Afim de obter alternativas para a empresa, facilitando uma melhor tomada de decisão sobre o processo e o planejamento de contratações, diferentes cenários foram gerados. Desses cenários, os melhores resultados computacionais obtidos foram: a inclusão do cliente que ficou em uma rota individual na rota 1, aumentando o tempo dessa rota em 50 minutos, e necessitando de apenas três técnicos, diminuindo em um da solução inicial; diminuição do tempo disponível para 400 minutos, que mesmo com a necessidade de quatro técnicos, eles trabalham com tempos mais equilibrados em relação aos demais cenários; e aumento do tempo para 515 minutos, utilizando apenas três técnicos, tendo custo pior do que a solução gerada com a inclusão do cliente individual na primeira rota, porém com roteiros mais balanceados. Com esses resultados, cabe à empresa decidir em qual cenário ela deve trabalhar, e quais são suas prioridades e objetivos na contratação dos técnicos. Estudos futuros podem servir como evolução deste trabalho, utilizando meta heurísticas mais avançadas com a aplicação de buscas locais partindo da solução construída inicialmente utilizando o algoritmo de Clarke e Wright, com o objetivo de obter melhores resultados para o caso prático e chegar mais próximo ao ótimo nas instâncias em que esse valor é conhecido. Além disso, pode-se incluir, em um trabalho futuro, o equilíbrio das cargas horárias dos técnicos na formulação matemática e heurística. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS API Google Maps Distance Matrix. Web page. maps/documentation/distancematrix/intro/. Acessado: Ballou, R. H. (2006). Gerenciamento da Cadeia de Suprimentos/logística Empresarial. Bookman, Porto Alegre. Barbarosoglu, G. e Ozgur, D. (1999). A Tabu Search Algorithm for the Vehicle Routing Problem. Computers & Operations Research, v.26, n.3, p Christofides, N. (1976). The Vehicle Routing Problem. Revue française d'automatique, d'informatique et de recherche opérationnelle. Recherche opérationnelle, v. 10, n. 1, p Clarke, G. U. e Wright, J. W. (1964). Scheduling of Vehicles from a Central Depot to a Number of Delivery Points. Operations research, v. 12, n. 4, p Cordeau, JF. e Laporte, G. (2002). Tabu Search Heuristics for the Vehicle Routing Problem. Canada Research Chair in Distribution Management and GERAD. Montreal, Canadá. Hashi, E. K.; Hasan, M. R. e Zaman, M. S. U (2015). A Heuristic Solution of the Vehicle Routing Problem to Optimize the Office Bus Routing and Scheduling using Clarke & Wright's Savings Algorithm. In 1st International Conference on Computer & Information Engineering, Bangladesh. Kritikos, M. N. e Ioannou, G. (2010). The Balanced Cargo Vehicle Routing Problem with Time Windows. International Journal of Production Economics, v. 123, n. 1, p Laporte, G. (1992). The vehicle Routing Problem: An Overview of Exact and Approximate Algorithms. European Journal of Operational Research, v. 59, n. 3, p Laporte, G.; Gendreau, M.; Potvin, J. Y. e Semet, F. (2000). Classical and Modern Heuristics for the Vehicle Routing Problem. International Transactions in Operational Research, v. 7, n. 4 5, p Liu, F. H. e Shen, S. Y. (1999). A Method for Vehicle Routing Problem with Multiple Vehicle Types and Time Windows. Proceedings-National Science Council Republic Of China Part A Physical Science And Engineering, v. 23, p Lysgaard, J. (1997). Clarke & Wright s Savings Algorithm. Department of Management Science and Logistics, The Aarhus School of Business, 44. Osman, I. H. (1993). Metastrategy Simulated Annealing and Tabu Search Algorithms for the Vehicle Routing Problem. Annals of operations research, v. 41, n. 4, p Rand, G. K. (2009). The Life and Times of the Savings Method for Vehicle Routing Problems. ORION: The Journal of ORSSA, v. 25, n. 2. Tan, K. C.; Lee, L. H.; Zhu, Q. L. e Ou, K. (2001). Heuristic methods for Vehicle Routing Problem with Time Windows. Artificial intelligence in Engineering, v. 15, n. 3, p Vigo, D. (1996). A Heuristic Algorithm for the Asymmetric Capacitated Vehicle Routing Problem. European Journal of Operational Research, v. 89, n. 1, p

12 Nós APÊNDICE A VALIDAÇÃO DO MODELO Tempo Disponível (min) AIMMS (MÉTODO EXATO) ROTAS Sequência Função Objetivo Tempo gasto por rota (min) Tempo total (min) 1, ,76 334,76 1 1, ,36 274,36 1 HEURÍSTICA ROTAS Sequência Função Objetivo Tempo gasto por rota (min) Tempo total (min) 1, ,03 351,03 1,27% 1, ,46 279,46 0,39% , ,38 322, ,34 191,27 340,48 0,78% , , , ,86 385, , ,48 409,23 30,25% , , , , , , ,61 245, , ,55 256,55 0,88% , ,37 311, ,32 199,88 320,79 0,39% , , , ,84 374, , ,01 411,2 1,10% , , , , , ,67 215, , ,83 225,83 0,82% , ,38 268, , ,12 277,07 0,40% , , , ,58 292, , ,98 346,06 45,99% , , , , ,85 153, , ,85 153,85 0,00% , ,9 204, , ,25 206,53 0,09% , , ,274 90,55 274, ,274 90,55 274,23 0,00% , , , ,05 Victor Abu-Marrul Carneiro Da Cunha (victorabu@gmail.com) Leila Figueiredo Dantas (leilaffdantas@gmail.com) Hugo Miguel Varela Repolho (hugorepolho@puc-rio.br) Luciana de Souza Pessoa (lucianapessoa@esp.puc-rio.br) Departamento de Engenharia Industrial, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (PUC-Rio) R. Marquês de São Vicente, 225, Gávea - Rio de Janeiro, RJ, Brasil Discrepância