Me todos Computacionais em Fı sica

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1 Me todos Computacionais em Fı sica Jose Helder Lopes e Sandra Amato Instituto de Fı sica Universidade Federal do Rio de Janeiro Segundo Semestre de 2017

2 Ü E toda te cnica de amostragem estatı stica empregada para se obter aproximac o es nume ricas para um problema Ü Sorteio de cartas ou lanc amento de dados eram utilizados para gerar amostras de distribuic o es. Ü Foi Stanislaw Ulam quem percebeu que o computador poderia ser utilizado para automatizar o processo de obtenc a o de amostras Ü Junto com John von euman e icholas Metropolis, comec ou a desenvolver algoritmos em 1946 Ü Primeiro artigo em 1949: icholas Metropolis and S. Ulam, The Method, Journal of the American Statistical Association, Vol. 44, o. 247 (Sep., 1949), pp

3 Ca lculo de Integral pelo Monte Carlo Ü a uma dimensa o Simpson ou Trape zio Simpson, k=5, calcula f (x) em 2k +1 = 64 pontos Ü multidimensionais = 3, Simpson, k=5 643 = pontos

4 Ca lculo de Integral pelo Monte Carlo Ü a uma dimensa o Simpson ou Trape zio Simpson, k=5, calcula f (x) em 2k +1 = 64 pontos Ü multidimensionais = 3, Simpson, k=5 643 = pontos Alternativa:

5 Ca lculo de Integral pelo Monte Carlo Ü a uma dimensa o Simpson ou Trape zio Simpson, k=5, calcula f (x) em 2k +1 = 64 pontos Ü multidimensionais = 3, Simpson, k=5 643 = pontos Alternativa: Se so podemos calcular f (x) um determinado nu mero de vezes, em certos casos o resultado e mais preciso se explorarmos o espac o de valores estatisticamente do que em intervalos iguais

6 Ca lculo de Integral pelo Monte Carlo Ü a uma dimensa o Simpson ou Trape zio Simpson, k=5, calcula f (x) em 2k +1 = 64 pontos Ü multidimensionais = 3, Simpson, k=5 643 = pontos Alternativa: Se so podemos calcular f (x) um determinado nu mero de vezes, em certos casos o resultado e mais preciso se explorarmos o espac o de valores estatisticamente do que em intervalos iguais Depende do problema. Geralmente melhor se > 5

7 Ca lculo de Integral pelo Monte Carlo Ü a uma dimensa o Simpson ou Trape zio Simpson, k=5, calcula f (x) em 2k +1 = 64 pontos Ü multidimensionais = 3, Simpson, k=5 643 = pontos Alternativa: Se so podemos calcular f (x) um determinado nu mero de vezes, em certos casos o resultado e mais preciso se explorarmos o espac o de valores estatisticamente do que em intervalos iguais Depende do problema. Geralmente melhor se > 5 Ü Estudaremos dois me todos ä (Acerto ou Erro) Como calcular uma a rea jogando objetos? ä Me todo da Z b f (x)dx = (b a)hf i a

8

9 Hit (Acerto)

10 Hit (Acerto) Miss (Erro)

11 Hit (Acerto) Miss (Erro)

12 Miss (Erro) Hit (Acerto) Acirculo acertos = Aretangulo total

13 Integrac a o - Z Ü O problema e calcular I = f (x)dx a b

14 Integrac a o - Z Ü O problema e calcular I = f (x)dx a b Ü Define-se um reta ngulo, de altura H, que contenha a a rea a ser calculada. Aretangulo = H(b a)

15 Integrac a o - Z Ü O problema e calcular I = f (x)dx a b Ü Define-se um reta ngulo, de altura H, que contenha a a rea a ser calculada. Aretangulo = H(b a) Ü Sorteia-se pontos uniformemente distribuı dos dentro do reta ngulo a xi b 0 yi H

16 Integrac a o - Z Ü O problema e calcular I = f (x)dx a b Ü Define-se um reta ngulo, de altura H, que contenha a a rea a ser calculada. Aretangulo = H(b a) Ü Sorteia-se pontos uniformemente distribuı dos dentro do reta ngulo a xi b 0 yi H Ü Contando-se os acertos (yi f (xi )) obte m-se uma estimativa para a integral Acurva acertos acertos = I = Aretangulo Aretangulo

17 Exercı cio Ü Escreva um algoritmo para calcular uma integral usando o me todo hit or miss. Ü Escreva uma func a o em C que implemente o algoritmo do item anterior Z 1 Ü Use essa func a o para calcular I = x 3 dx 0 Ü Utilize um reta ngulo de altura H = 1 Ü O nu mero de pontos sorteados deve ser lido do teclado Ü imprima: o nu mero de sorteios a diferenc a entre o resultado obtido com o me todo e o valor exato Ü Rode o programa algumas vezes modificando o nu mero de sorteios e observe como muda o valor da diferenc a

18 Integrac a o - Me todo da Ü Podemos obter o valor de uma integral pela relac a o: Z b I= f (x)dx = (b a)hf i a

19 Integrac a o - Me todo da Ü Podemos obter o valor de uma integral pela relac a o: Z b I= f (x)dx = (b a)hf i a b Z f (x)dx = lim I= a X i=1 f (xi ) x = lim x X X f (xi ) f (xi ) = (b a) lim i=1 i=1

20 Integrac a o - Me todo da Ü Podemos obter o valor de uma integral pela relac a o: Z b I= f (x)dx = (b a)hf i a b Z f (x)dx = lim I= a X i=1 f (xi ) x = lim x X X f (xi ) f (xi ) = (b a) lim i=1 i=1 Ü Como calcular a me dia? Se tivermos uma amostra de valores aleato rios de f (x), para x uniformemente distribuı dos entre a e b, podemos obter uma aproximac a o da me dia atrave s de: hf i ' 1 X f (xi ) i=1

21 Integrac a o - Me todo da Ü Podemos obter o valor de uma integral pela relac a o: Z b I= f (x)dx = (b a)hf i a b Z f (x)dx = lim I= a X f (xi ) x = lim x i=1 X X f (xi ) f (xi ) = (b a) lim i=1 i=1 Ü Como calcular a me dia? Se tivermos uma amostra de valores aleato rios de f (x), para x uniformemente distribuı dos entre a e b, podemos obter uma aproximac a o da me dia atrave s de: hf i ' 1 X f (xi ) i=1 Ü Enta o: Z b f (x)dx ' I= a b a X f (xi ) i=1

22 Exercı cio Ü Escreva um algoritmo para calcular uma integral usando o me todo da me dia. Ü Escreva uma func a o em C que implemente o algoritmo do item anterior Z 1 Ü Use essa func a o para calcular I = x 3 dx 0 Ü O nu mero de pontos sorteados deve ser lido do teclado Ü imprima: o nu mero de sorteios a diferenc a entre o resultado obtido com o me todo e o valor exato

23 Estimativa da Ü Como relacionar nu mero de sorteios com a precisa o do resultado obtido?

24 Estimativa da Ü Como relacionar nu mero de sorteios com a precisa o do resultado obtido? Um dos principais problemas dos me todos de

25 Estimativa da Ü Como relacionar nu mero de sorteios com a precisa o do resultado obtido? Um dos principais problemas dos me todos de Ü Podemos usar as leis da estatı stica para estimar a incerteza Ü Uma seque ncia de nu meros (pseudo-)aleato rios qualquer possui uma me dia µ = hx i e uma dispersa o σ, medida por sua varia ncia, σ 2 = h(x µ)2 i hx 2 i hx i2

26 Estimativa da Ü Como relacionar nu mero de sorteios com a precisa o do resultado obtido? Um dos principais problemas dos me todos de Ü Podemos usar as leis da estatı stica para estimar a incerteza Ü Uma seque ncia de nu meros (pseudo-)aleato rios qualquer possui uma me dia µ = hx i e uma dispersa o σ, medida por sua varia ncia, σ 2 = h(x µ)2 i hx 2 i hx i2 Ü O desvio padra o, σ, define um intervalo em torno da me dia onde ha uma certa concentrac a o dos nu meros, 68% se a distribuic a o for gaussiana

27 Estimativa da Ü Como relacionar nu mero de sorteios com a precisa o do resultado obtido? Um dos principais problemas dos me todos de Ü Podemos usar as leis da estatı stica para estimar a incerteza Ü Uma seque ncia de nu meros (pseudo-)aleato rios qualquer possui uma me dia µ = hx i e uma dispersa o σ, medida por sua varia ncia, σ 2 = h(x µ)2 i hx 2 i hx i2 Ü O desvio padra o, σ, define um intervalo em torno da me dia onde ha uma certa concentrac a o dos nu meros, 68% se a distribuic a o for gaussiana Ü Pode-se mostrar que o desvio padra o da me dia vale σ σµ =, que pode ser tomada como a incerteza estatı stica sobre hf i

28 Estimativa da Ü o caso da integral pelo me todo da me dia, temos: µ = hf i, {f1, f2, f3,..., f } q σ σf = hf 2 i hf i2, σµ = f onde fi = f (xi ). Ü Sendo I = (b a)hf i δi = (b a)σµ σ δi = (b a) f

29 Estimando a de uma Podemos verificar este resultado diretamente, realizando M experimentos independentes, cada um com eventos {xi }:

30 Estimando a de uma Podemos verificar este resultado diretamente, realizando M experimentos independentes, cada um com eventos {xi }: Ü Sorteamos valores xi, calculamos os correspondentes fi = f (xi ). Calculamos I, (b a)σf, δi = (b a)σµ Se soubermos o resultado exato Io, calculamos tambe m o erro I Io

31 Estimando a de uma Podemos verificar este resultado diretamente, realizando M experimentos independentes, cada um com eventos {xi }: Ü Sorteamos valores xi, calculamos os correspondentes fi = f (xi ). Calculamos I, (b a)σf, δi = (b a)σµ Se soubermos o resultado exato Io, calculamos tambe m o erro I Io Ü Repetimos este procedimento M vezes, com seque ncias de eventos {xi } independentes

32 Estimando a de uma Podemos verificar este resultado diretamente, realizando M experimentos independentes, cada um com eventos {xi }: Ü Sorteamos valores xi, calculamos os correspondentes fi = f (xi ). Calculamos I, (b a)σf, δi = (b a)σµ Se soubermos o resultado exato Io, calculamos tambe m o erro I Io Ü Repetimos este procedimento M vezes, com seque ncias de eventos {xi } independentes Ü Calculamos a me dia hii e o desvio padra o σi das M estimativas de I

33 Estimando a de uma Podemos verificar este resultado diretamente, realizando M experimentos independentes, cada um com eventos {xi }: Ü Sorteamos valores xi, calculamos os correspondentes fi = f (xi ). Calculamos I, (b a)σf, δi = (b a)σµ Se soubermos o resultado exato Io, calculamos tambe m o erro I Io Ü Repetimos este procedimento M vezes, com seque ncias de eventos {xi } independentes Ü Calculamos a me dia hii e o desvio padra o σi das M estimativas de I Observamos que cada δi e da mesma ordem da dispersa o σi, ou dos erros Quanto maior, melhor conhecemos I, e portanto menor e δi Obs.: σf mede a dispersa o dos fi e na o das M me dias hf i

34 Estimando a de uma Podemos verificar este resultado diretamente, realizando M experimentos independentes, cada um com eventos {xi }: Ü Sorteamos valores xi, calculamos os correspondentes fi = f (xi ). Calculamos I, (b a)σf, δi = (b a)σµ Se soubermos o resultado exato Io, calculamos tambe m o erro I Io Ü Repetimos este procedimento M vezes, com seque ncias de eventos {xi } independentes Ü Calculamos a me dia hii e o desvio padra o σi das M estimativas de I Observamos que cada δi e da mesma ordem da dispersa o σi, ou dos erros Quanto maior, melhor conhecemos I, e portanto menor e δi Obs.: σf mede a dispersa o dos fi e na o das M me dias hf i Experimentos independentes = Sementes diferentes

35 Estimando a de uma f (x) = 4x 3 /81, x [0, 3] I= R3 0 f (x)dx = experimentos com =10000 sorteios cada Exp I hii = Erro (b a)σf σi = δi = (b a)σf / h Erro i = ' 1% δi e uma boa estimativa do Erro para um dado I

36 Exercı cio Ü Modifique o seu programa que calcula a integral pelo me todo da me diappra incluir o ca lculo do desvio padra o da func a o σf = hf 2 i hf i2. Ü Imprima o valor de (b a)σf e σi = (b a)σf /. Compare este u ltimo com a diferenc a entre o resultado obtido com o me todo e o valor exato da integral. Ü Fac a M ca lculos independentes de I para um dado nu mero de sorteios e veja como σi e a diferenc a com o valor exato se comportam.

37 - Importance Sampling Erro da integral pelo me todo de : σ δi = (b a) f Ü Depende do tamanho da amostra {fi } Ü Proporcional a varia ncia do integrando, isto e, ao quanto f (x) varia

38 - Importance Sampling Erro da integral pelo me todo de : σ δi = (b a) f Ü Depende do tamanho da amostra {fi } Ü Proporcional a varia ncia do integrando, isto e, ao quanto f (x) varia Como minimizar as incertezas?

39 - Importance Sampling Erro da integral pelo me todo de : σ δi = (b a) f Ü Depende do tamanho da amostra {fi } Ü Proporcional a varia ncia do integrando, isto e, ao quanto f (x) varia Como minimizar as incertezas? ä Fazer muitos sorteios

40 - Importance Sampling Erro da integral pelo me todo de : σ δi = (b a) f Ü Depende do tamanho da amostra {fi } Ü Proporcional a varia ncia do integrando, isto e, ao quanto f (x) varia Como minimizar as incertezas? ä Fazer muitos sorteios ä Realizar uma mudanc a de varia vel, de forma a tornar o integrando em algo mais uniforme

41 - Importance Sampling Erro da integral pelo me todo de : σ δi = (b a) f Ü Depende do tamanho da amostra {fi } Ü Proporcional a varia ncia do integrando, isto e, ao quanto f (x) varia Como minimizar as incertezas? ä Fazer muitos sorteios ä Realizar uma mudanc a de varia vel, de forma a tornar o integrando em algo mais uniforme

42 Dado um p(x), tal que Z b Rb a Z b f (x)dx = I= a p(x)dx = 1, temos a f (x) p(x)dx = p(x) Z p(b) g(y)dy p(a) onde g(y ) = f (x), p(x) dy = p(x)dx Ü O problema e encontrar p(x) (na o ha receita) Deve ser uma func a o que se comporta como f (x), de forma a tornar o integrando g(y ) aproximadamente uniforme

43 Exemplo R1 Queremos resolver I = 0 x 3 dx Uma func a o parecida e : p(x) = x 2 Z 1 3 x I= (x 2 ) dx g(y) = x, dy = (x 2 )dx 2 0 x Temos de determinar g(y) = x em termos de y : Z x 1 x3 2 dy = (x )dx y = (x 02 )dx 0 = x = (3y) Limites: x = 0 = y = 0, x = 1 = y = 1/3 Enta o: Ü Gera-se uniformemente um nu mero aleato rio y entre 0 e 1/3 Z 1/3 1 Ü Calcula-se I= (3y ) 3 dy 0 pelo me todo da me dia

44 Exercı cio Ü Escreva um programa em C (integral.c) que calcule Z 1 I= x 3 dx usando o me todo da me dia. Use 0 = 1000 Ü Use a func a o peso p(x) = x 2 para calcular a mesma integral pelo me todo da me dia com importance sampling. Ü Para cada caso imprima a integral e sua incerteza. Compare os resultados.