Me todos Computacionais em Fı sica

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1 Me todos omputacionais em Fı sica s Jose Helder Lopes e Sandra Amato Instituto de Fı sica Universidade Federal do Rio de Janeiro Primeiro Semestre de 2017

2 Estruturas de Decisa o e lac os () s Ü Nos algoritmos que vimos ate agora, as instruc o es sa o seguidas sequencialmente usando os valores de varia veis definidos a cada passo. Ü Essa estrutura linear na o e adequada para a maioria das aplicac o es.

3 Estruturas de Decisa o e lac os () Ü Nos algoritmos que vimos ate agora, as instruc o es sa o seguidas sequencialmente usando os valores de varia veis definidos a cada passo. Ü Essa estrutura linear na o e adequada para a maioria das aplicac o es. s Ü Necessitamos de mecanismos que provoquem bifurcac o es, ou seja, que permitam que algumas instruc o es so sejam executadas se determinadas condic o es forem satisfeitas.

4 Estruturas de Decisa o e lac os () Ü Nos algoritmos que vimos ate agora, as instruc o es sa o seguidas sequencialmente usando os valores de varia veis definidos a cada passo. Ü Essa estrutura linear na o e adequada para a maioria das aplicac o es. s Ü Necessitamos de mecanismos que provoquem bifurcac o es, ou seja, que permitam que algumas instruc o es so sejam executadas se determinadas condic o es forem satisfeitas. Ü Tambe m precisamos de uma forma de forc ar a repetic a o de grupos de procedimentos.

5 Estruturas de Decisa o e lac os () Ü Nos algoritmos que vimos ate agora, as instruc o es sa o seguidas sequencialmente usando os valores de varia veis definidos a cada passo. Ü Essa estrutura linear na o e adequada para a maioria das aplicac o es. s Ü Necessitamos de mecanismos que provoquem bifurcac o es, ou seja, que permitam que algumas instruc o es so sejam executadas se determinadas condic o es forem satisfeitas. Ü Tambe m precisamos de uma forma de forc ar a repetic a o de grupos de procedimentos. Ü Estruturas condicionais existentes em linguagem de programac a o fornecem esses mecanismos.

6 Estruturas de Decisa o e lac os () Ü Nos algoritmos que vimos ate agora, as instruc o es sa o seguidas sequencialmente usando os valores de varia veis definidos a cada passo. Ü Essa estrutura linear na o e adequada para a maioria das aplicac o es. s Ü Necessitamos de mecanismos que provoquem bifurcac o es, ou seja, que permitam que algumas instruc o es so sejam executadas se determinadas condic o es forem satisfeitas. Ü Tambe m precisamos de uma forma de forc ar a repetic a o de grupos de procedimentos. Ü Estruturas condicionais existentes em linguagem de programac a o fornecem esses mecanismos. Ü O funcionamento delas depende da avaliac a o, como falsa ou verdadeira, de uma determinada afirmativa.

7 Estruturas de decisa o - exemplo 5 Algoritmo para calcular as raı zes de uma equac a o do segundo grau. Eq. 2o Grau Q Valor deq Q QQ Q s return

8 Estruturas de decisa o - exemplo 5 Algoritmo para calcular as raı zes de uma equac a o do segundo grau. Eq. 2o Grau Q Valor deq Q QQ Q >0 s return Duas raı zes reais

9 Estruturas de decisa o - exemplo 5 Algoritmo para calcular as raı zes de uma equac a o do segundo grau. Eq. 2o Grau Q Valor deq Q QQ Q >0 s =0 return Duas raı zes reais Uma raiz real

10 Estruturas de decisa o - exemplo 5 Algoritmo para calcular as raı zes de uma equac a o do segundo grau. Eq. 2o Grau Q Valor deq Q QQ Q >0 s =0 <0 return Duas raı zes reais Uma raiz real Duas raı zes complexas

11 Estruturas de decisa o - exemplo 5 Algoritmo para calcular as raı zes de uma equac a o do segundo grau. Eq. 2o Grau Q Valor deq Q QQ Q >0 s =0 <0 return Duas raı zes reais Uma raiz real Duas raı zes complexas 5 Para implementar este algoritmo precisamos de estruturas de decisa o.

12 Estruturas de Decisa o - if s Executa um conjunto de instruc o es quando uma condic a o e satisfeita. if (condic a o){ comandos

13 Estruturas de Decisa o - if Exemplo Leia n e x s Q x > 0QQ QQ Q Imprime x incremente n Imprime n return Executa um conjunto de instruc o es quando uma condic a o e satisfeita. if (condic a o){ comandos

14 Estruturas de Decisa o - if Exemplo Leia n e x s Q x > 0QQ QQ Q Executa um conjunto de instruc o es quando uma condic a o e satisfeita. if (condic a o){ comandos int n = 0; int x = 2.; Imprime x incremente n Imprime n printf ("n = %d\n", n); return

15 Estruturas de Decisa o - if Exemplo Leia n e x s Q x > 0QQ QQ Q Imprime x incremente n Imprime n return Executa um conjunto de instruc o es quando uma condic a o e satisfeita. if (condic a o){ comandos int n = 0; int x = 2.; if ( x > 0 ) { printf ("n = %d\n", n);

16 Estruturas de Decisa o - if Exemplo Leia n e x s Q x > 0QQ QQ Q Imprime x incremente n Imprime n return Executa um conjunto de instruc o es quando uma condic a o e satisfeita. if (condic a o){ comandos int n = 0; int x = 2.; if ( x > 0 ) { printf ("x positivo %d\n", x) ; n = n + 1; printf ("n = %d\n", n);

17 Estruturas de Decisa o - if Exemplo Leia n e x s Q x > 0QQ QQ Q Imprime x incremente n Imprime n return Executa um conjunto de instruc o es quando uma condic a o e satisfeita. if (condic a o){ comandos int n = 0; int x = 2.; if ( x > 0 ) { printf ("x positivo %d\n", x) ; n = n + 1; printf ("n = %d\n", n); Repare no ;

18 Estruturas de Decisa o - if Exemplo Leia n e x s Q x > 0QQ QQ Q Imprime x incremente n Imprime n return Executa um conjunto de instruc o es quando uma condic a o e satisfeita. if (condic a o){ comandos int n = 0; int x = 2.; if ( x > 0 ) { printf ("x positivo %d\n", x) ; n = n + 1; printf ("n = %d\n", n); Repare no ; Repare na identac a o

19 Estruturas de Decisa o - 2 Se a instruc a o e simples (um so comando), as chaves sa o desnecessa rias: s int n = 0 ; int x = 2. ; if ( x > 0 ) n = n + 1; printf ("n = %d\n", n);

20 Estruturas de Decisa o - if-else s

21 Estruturas de Decisa o - if-else if (condic a o) { comandos s

22 Estruturas de Decisa o - if-else if (condic a o) { comandos s else { comandos

23 Estruturas de Decisa o - if-else if (condic a o) { comandos s else { comandos Exemplo x =...; if(x > 0){ y = sqrt(x); else { y = sqrt(-x);

24 Estruturas de Decisa o - if-else if (condic a o) { comandos s else { comandos Exemplo x =...; if(x > 0){ y = sqrt(x); else { y = sqrt(-x); Repare que na o pode haver condic a o para o else

25 Estruturas de Decisa o - Outro Exemplo s if (condic a o) { comandos if (media >= 9.0){ printf("grau A");

26 Estruturas de Decisa o - Outro Exemplo s if (condic a o) { comandos else if (condic a o) { comandos if (media >= 9.0){ printf("grau A"); else if (media >= 7.0){ printf("grau B");

27 Estruturas de Decisa o - Outro Exemplo s if (condic a o) { comandos else if (condic a o) { comandos if (media >= 9.0){ printf("grau A"); else if (media >= 7.0){ printf("grau B"); else if (media >= 5.0){... printf("grau ");

28 Estruturas de Decisa o - Outro Exemplo s if (condic a o) { comandos else if (condic a o) { comandos else { comandos if (media >= 9.0){ printf("grau A"); else if (media >= 7.0){ printf("grau B"); else if (media >= 5.0){... printf("grau "); else printf("grau D");

29 Estruturas de Decisa o - Outro Exemplo s if (condic a o) { comandos else if (condic a o) { comandos else { comandos if (media >= 9.0){ printf("grau A"); else if (media >= 7.0){ printf("grau B"); else if (media >= 5.0){... printf("grau "); else printf("grau D"); Pesquise tambe m o comando switch/case

30 Relacionais s > >= < <= ==!= maior maior ou igual menor menor ou igual igual diferente

31 Relacionais s > >= < <= ==!= maior maior ou igual menor menor ou igual igual diferente Os operadores relacionais tem precede ncia abaixo dos aritme ticos: x < y-1 x < (y-1)

32 Relacionais s > >= < <= ==!= maior maior ou igual menor menor ou igual igual diferente Os operadores relacionais tem precede ncia abaixo dos aritme ticos: x < y-1 x < (y-1) Atenc a o para a diferenc a entre if (a = = b) e if (a = b)

33 Relacionais s > >= < <= ==!= maior maior ou igual menor menor ou igual igual diferente Os operadores relacionais tem precede ncia abaixo dos aritme ticos: x < y-1 x < (y-1) Atenc a o para a diferenc a entre if (a = = b) e if (a = b) Uma expressa o lo gica tem valor nume rico 0 se for falsa e 6= 0 se for verdadeira

34 Lo gicos && e x > xmin && x < xmax ou x < xmin x > xmax s Expresso es lo gicas sa o avaliadas da esquerda para a direita A avaliac a o e interrompida assim que seja possı vel determinar se a expressa o e verdadeira ou falsa.

35 Lo gicos A avaliac a o de uma expressa o e feita de acordo com a tabela: && e x > xmin && x < xmax ou x < xmin x > xmax V V F F && && && && V F V F = = = = V F F F Expresso es lo gicas sa o avaliadas da esquerda para a direita A avaliac a o e interrompida assim que seja possı vel determinar se a expressa o e verdadeira ou falsa. V F V F V V F F = = = = V V V F s

36 Mais Sobre Ü O operador! e o operador de negac a o. Troca V por F:!(a < b) (a >= b) s

37 Mais Sobre Ü O operador! e o operador de negac a o. Troca V por F:!(a < b) (a >= b) s Ü Ordem de precede ncia de operadores! ; (*, /, % ) ; (+, - ) ; ( >, <, >=,<= ) ; ( = =,!= ) ; && ;

38 Mais Sobre Ü O operador! e o operador de negac a o. Troca V por F:!(a < b) (a >= b) s Ü Ordem de precede ncia de operadores! ; (*, /, % ) ; (+, - ) ; ( >, <, >=,<= ) ; ( = =,!= ) ; && ; Ü Procure sempre usar pare nteses

39 Mais Sobre Ü O operador! e o operador de negac a o. Troca V por F:!(a < b) (a >= b) s Ü Ordem de precede ncia de operadores! ; (*, /, % ) ; (+, - ) ; ( >, <, >=,<= ) ; ( = =,!= ) ; && ; Ü Procure sempre usar pare nteses Ü uidado com a igualdade entre reais: if(a==b) e igual a ?

40 Mais Sobre Ü O operador! e o operador de negac a o. Troca V por F:!(a < b) (a >= b) s Ü Ordem de precede ncia de operadores! ; (*, /, % ) ; (+, - ) ; ( >, <, >=,<= ) ; ( = =,!= ) ; && ; Ü Procure sempre usar pare nteses Ü uidado com a igualdade entre reais: if(a==b) e igual a ? Melhor escolher uma tolera ncia aceita vel, ex., 1e-10, e pedir: if(fabs(a-b) < 1e-10)...

41 Mais Sobre Ü O operador! e o operador de negac a o. Troca V por F:!(a < b) (a >= b) s Ü Ordem de precede ncia de operadores! ; (*, /, % ) ; (+, - ) ; ( >, <, >=,<= ) ; ( = =,!= ) ; && ; Ü Procure sempre usar pare nteses Ü uidado com a igualdade entre reais: if(a==b) e igual a ? Melhor escolher uma tolera ncia aceita vel, ex., 1e-10, e pedir: if(fabs(a-b) < 1e-10)... Ü Lei de De Morgan:!(A && B)!A!B!(A B)!A &&!B Pense sobre essas relac o es!

42 Ü Prepare um algoritmo para encontrar as raı zes de uma equac a o do segundo grau Ü Implemente este algoritmo escrevendo um programa em com as seguintes caracterı sticas: 1 O programa deve solicitar a digitac a o dos coeficientes da equac a o; 2 Deve ser informado o tipo e o nu mero de raı zes existentes; 3 As raı zes devem ser claramente indicadas, inclusive as partes reais e imagina rias das soluc o es complexas. s

43 Ü Prepare um algoritmo para encontrar as raı zes de uma equac a o do segundo grau Ü Implemente este algoritmo escrevendo um programa em com as seguintes caracterı sticas: 1 O programa deve solicitar a digitac a o dos coeficientes da equac a o; 2 Deve ser informado o tipo e o nu mero de raı zes existentes; 3 As raı zes devem ser claramente indicadas, inclusive as partes reais e imagina rias das soluc o es complexas. s Ü Escreva um algoritmo para descobrir o maior nu mero em uma lista de n nu meros lidos do teclado. Ü Escreva um programa em que implemente o algoritmo acima para uma lista de tre s nu meros

44 Lac os () Os loops sa o muito u teis quando precisamos executar um conjunto de instruc o es va rias vezes. Exemplo : Suponha que queremos calcular o somato rio s s= N X 1 n=1 para um N digitado pelo usua rio. n

45 Lac os () Os loops sa o muito u teis quando precisamos executar um conjunto de instruc o es va rias vezes. Exemplo : Suponha que queremos calcular o somato rio s s= N X 1 n=1 n para um N digitado pelo usua rio. Sem uma estrutura de loop terı amos que fazer, para N = 4, por exemplo:

46 s #include <stdio.h> main() { double soma; int n; n = 1; soma = 1./n; n = n + 1; soma = soma + 1./n; n = n + 1; soma = soma + 1./n; n = n + 1; soma = soma + 1./n; printf("soma para N = 4 e %lf \n",soma);

47 s #include <stdio.h> main() { double soma; int n; n = 1; soma = 1./n; n = n + 1; soma = soma + 1./n; n = n + 1; soma = soma + 1./n; n = n + 1; soma = soma + 1./n; printf("soma para N = 4 e %lf \n",soma); E se N for 100?

48 s Dentro de um loop uma se rie de comandos e executada de forma repetida com a alterac a o de uma expressa o de controle ate que uma condic a o de parada seja preenchida.

49 tipo for Exemplo Ü A condic a o inicial e definida Define condic a o inicial s instruc o es a serem repetidas Q de ondic a oq Q QQ fim Q ontinuac a o return

50 tipo for Exemplo Ü A condic a o inicial e definida Define condic a o inicial s instruc o es a serem repetidas Q de ondic a oq Q QQ fim Q ontinuac a o return Ü As instruc o es sa o executadas

51 tipo for Exemplo Ü A condic a o inicial e definida Define condic a o inicial Ü A cada passo a expressa o de controle e atualizada e testada s Ü As instruc o es sa o executadas instruc o es a serem repetidas Q de ondic a oq Q QQ fim Q ontinuac a o return

52 tipo for Exemplo Ü A condic a o inicial e definida Define condic a o inicial Ü A cada passo a expressa o de controle e atualizada e testada s Ü As instruc o es sa o executadas instruc o es a serem repetidas Q de ondic a oq Q QQ fim Q ontinuac a o return

53 tipo for Exemplo Ü A condic a o inicial e definida Define condic a o inicial Ü A cada passo a expressa o de controle e atualizada e testada s Ü As instruc o es sa o executadas instruc o es a serem repetidas Q de ondic a oq Q QQ fim Q ontinuac a o return

54 tipo for Exemplo Ü A condic a o inicial e definida Define condic a o inicial Ü A cada passo a expressa o de controle e atualizada e testada s Ü As instruc o es sa o executadas instruc o es a serem repetidas Q de ondic a oq Q QQ fim Q ontinuac a o return Ü Repete comandos enquanto a condic a o for verdadeira

55 tipo for Exemplo Ü A condic a o inicial e definida Ü As instruc o es sa o executadas Define condic a o inicial Ü A cada passo a expressa o de controle e atualizada e testada s instruc o es a serem Ü Repete comandos enquanto a condic a o for verdadeira repetidas Q de ondic a oq Q QQ fim Q for ( ) { ontinuac a o comandos return

56 tipo for Exemplo Ü A condic a o inicial e definida Ü As instruc o es sa o executadas Define condic a o inicial Ü A cada passo a expressa o de controle e atualizada e testada s instruc o es a serem Ü Repete comandos enquanto a condic a o for verdadeira repetidas Q de ondic a oq Q QQ fim Q for ( atribuic a o inicial ; ) { ontinuac a o comandos return

57 tipo for Exemplo Ü A condic a o inicial e definida Define condic a o inicial Ü A cada passo a expressa o de controle e atualizada e testada s Ü As instruc o es sa o executadas instruc o es a serem repetidas Q de ondic a oq Q QQ fim Q ontinuac a o return Ü Repete comandos enquanto a condic a o for verdadeira for ( atribuic a o inicial ; expressa o de controle ; ) { comandos

58 tipo for Exemplo Ü A condic a o inicial e definida Define condic a o inicial Ü A cada passo a expressa o de controle e atualizada e testada s Ü As instruc o es sa o executadas instruc o es a serem repetidas Q de ondic a oq Q QQ fim Q ontinuac a o return Ü Repete comandos enquanto a condic a o for verdadeira for ( atribuic a o inicial ; expressa o de controle ; expressa o de atualizac a o ) { comandos

59 tipo for - Exemplos s #include <stdio.h> int main() { int i; for ( i = 0; i < 50; i = i + 1){ printf ("Aprendendo a contar %d \n", i); return 0; 8 omo no if, as chaves sa o dispensa veis se houver apenas uma linha de co digo... for ( i = 0; i < 50; i = i + 1) printf ("Aprendendo a contar %d \n",i);...

60 tipo for - Exemplos s #include <stdio.h> int main() { int i; for ( i = 0; i < 50; i = i + 1){ printf ("Aprendendo a contar %d \n", i); return 0; 8 omo no if, as chaves sa o dispensa veis se houver apenas uma linha de co digo... for ( i = 0; i < 50; i = i + 1) printf ("Aprendendo a contar %d \n",i);... 8 Observe novamente a identac a o!

61 Escreva um programa que calcule para N = 100, 1000 e PN 1 n=1 n e o execute Escreva 2 programas que calculem a me dia de notas de uma turma de acordo com os seguintes requisitos: s 1 Um que leia as notas do teclado, sendo que o primeiro nu mero fornecido deve ser o nu mero de alunos da turma 2 Outro que leia as notas do teclado, sendo que o fim da turma e indicado por uma nota negativa 3 Os programas devera o ler os dados do teclado e escrever o resultado na tela.

62 Redirecionamento de Entrada e Saı da em Unix s 8 O dispositivo padra o para entrada de dados (stdin) e o teclado. O dispositivo padra o para saı da de dados (stdout) e o monitor.

63 Redirecionamento de Entrada e Saı da em Unix s 8 O dispositivo padra o para entrada de dados (stdin) e o teclado. O dispositivo padra o para saı da de dados (stdout) e o monitor. 8 Para redirecionar a entrada de dados para um arquivo, usamos o <

64 Redirecionamento de Entrada e Saı da em Unix s 8 O dispositivo padra o para entrada de dados (stdin) e o teclado. O dispositivo padra o para saı da de dados (stdout) e o monitor. 8 Para redirecionar a entrada de dados para um arquivo, usamos o < 8 Para redirecionar a saı da de dados para um arquivo, usamos o >

65 Redirecionamento de Entrada e Saı da em Unix s 8 O dispositivo padra o para entrada de dados (stdin) e o teclado. O dispositivo padra o para saı da de dados (stdout) e o monitor. 8 Para redirecionar a entrada de dados para um arquivo, usamos o < 8 Para redirecionar a saı da de dados para um arquivo, usamos o > O arquivo notas.dat conte m a lista das notas de uma turma, podemos ler a partir deste arquivo com o mesmo programa media que le a partir do teclado com o comando:./media < notas.dat

66 Redirecionamento de Entrada e Saı da em Unix s 8 O dispositivo padra o para entrada de dados (stdin) e o teclado. O dispositivo padra o para saı da de dados (stdout) e o monitor. 8 Para redirecionar a entrada de dados para um arquivo, usamos o < 8 Para redirecionar a saı da de dados para um arquivo, usamos o > O arquivo notas.dat conte m a lista das notas de uma turma, podemos ler a partir deste arquivo com o mesmo programa media que le a partir do teclado com o comando:./media < notas.dat O resultado sera escrito na tela do monitor. Se quisermos salvar estes resultados num arquivo resultados.dat:./media < notas.dat > resultados.dat

67 Redirecionamento de Entrada e Saı da em Unix s 8 O dispositivo padra o para entrada de dados (stdin) e o teclado. O dispositivo padra o para saı da de dados (stdout) e o monitor. 8 Para redirecionar a entrada de dados para um arquivo, usamos o < 8 Para redirecionar a saı da de dados para um arquivo, usamos o > O arquivo notas.dat conte m a lista das notas de uma turma, podemos ler a partir deste arquivo com o mesmo programa media que le a partir do teclado com o comando:./media < notas.dat O resultado sera escrito na tela do monitor. Se quisermos salvar estes resultados num arquivo resultados.dat:./media < notas.dat > resultados.dat Agora rode o programa que calcula as me dias lendo as notas do arquivo notas.dat disponı vel na pa gina do curso

68 do tipo while s

69 do tipo while s while (condic a o) { instruc o es

70 do tipo while s while (condic a o) { instruc o es 8 Executa as instruc o es enquanto a condic a o for satisfeita.

71 do tipo while s while (condic a o) { instruc o es 8 Executa as instruc o es enquanto a condic a o for satisfeita. 8 Deve-se tomar cuidado em inicializar o valor testado em condic a o, e em atualizar essa condic a o dentro do loop.

72 s #include <stdio.h> main() { int n; int soma = 0; scanf ("%d", &n); while ( n!= 0) { soma = soma + n; scanf ("%d", &n); printf("%d\n", soma);

73 s #include <stdio.h> main() { int n; int soma = 0; scanf ("%d", &n); while ( n!= 0) { soma = soma + n; scanf ("%d", &n); printf("%d\n", soma); 8 Note a identac a o!

74 s #include <stdio.h> main() { int n; int soma = 0; scanf ("%d", &n); while ( n!= 0) { soma = soma + n; scanf ("%d", &n); printf("%d\n", soma); 8 Note a identac a o! 8 Note tambe m a inicializac a o da varia vel soma

75 do tipo do while s #include <stdio.h> main() { int n; int soma = 0; do { scanf ("%d", &n); soma = soma + n; while ( n!= 0) { printf("%d\n", soma);

76 do tipo do while s do { instruc o es while (condic a o); #include <stdio.h> main() { int n; int soma = 0; do { scanf ("%d", &n); soma = soma + n; while ( n!= 0) { printf("%d\n", soma);

77 do tipo do while s do { instruc o es while (condic a o); #include <stdio.h> main() { int n; 8 Executa as instruc o es int soma = 0; enquanto a condic a o for do { scanf ("%d", &n); satisfeita soma = soma + n; while ( n!= 0) { printf("%d\n", soma);

78 do tipo do while s do { instruc o es while (condic a o); #include <stdio.h> main() { int n; 8 Executa as instruc o es int soma = 0; enquanto a condic a o for do { scanf ("%d", &n); satisfeita soma = soma + n; 8 A avaliac a o da condic a o while ( n!= 0) { e feita no final de cada passo, logo as instruc o es printf("%d\n", sa o executadas ao menos uma vez. soma);

79 - omenta rios 8 A instruc a o continue faz com que as pro ximas instruc o es sejam puladas, a expressa o de atualizac a o e executada e a expressa o de controle e testada. O programa na o sai do loop. s for ( i = 0; i < 10; i = i + 1){ if ( i == 5) continue; printf ( "i = %d \n", i);

80 - omenta rios 8 A instruc a o continue faz com que as pro ximas instruc o es sejam puladas, a expressa o de atualizac a o e executada e a expressa o de controle e testada. O programa na o sai do loop. s 8 A instruc a o break interrompe o loop, a execuc a o passa para a primeira instruc a o logo apo s a chave for ( i = 0; i < 10; i = i + 1){ if ( i == 5) break; printf ( "i = %d \n", i);

81 - omenta rios 8 A instruc a o continue faz com que as pro ximas instruc o es sejam puladas, a expressa o de atualizac a o e executada e a expressa o de controle e testada. O programa na o sai do loop. s 8 A instruc a o break interrompe o loop, a execuc a o passa para a primeira instruc a o logo apo s a chave for ( i = 0; i < 10; i = i + 1){ if ( i == 5) break; printf ( "i = %d \n", i); 8 Ao te rmino do loop, as varia veis de controle preservam o u ltimo valor que lhes foi atribuı do. Estas varia veis na o precisam ser do tipo inteiro.

82 s ÜReescreva o programa que calcula a me dia das notas de uma turma usando um loop do tipo WHILE. s ÜEscreva um algoritmo e um programa que calcule o fatorial de N.

83 s Seja f (x) uma func a o diferencia vel n vezes no intervalo (a, b) Seja f n (x0 ) sua n-e sima derivada no ponto x0 (a, b) Podemos escrever a Se rie de : 1 2 f (x) = f (x0 ) + f 1 (x0 )(x x0 ) + 2! f (x0 )(x x0 ) n n n! f (x0 )(x x0 ) +... Se as derivadas de f (x) sa o finitas, a contribuic a o relativa de cada termo e determinada principalmente pelo fatorial de n. Assim se truncamos a se rie no termo de ordem n, a soma dos termos desprezados sera dominada pelo termo de ordem n + 1 e o erro nesta aproximac a o para f (x) sera da ordem de (x x0 )(n+1) /(n + 1)!: δf = O((x x0 )(n+1))

84 - Exemplos f (x) = ex, em torno de x0 = 0: f 1 (x) = ex f 1 (0) = 1, f 2 (x) = ex f 2 (0) = 1, n x + + n! x +... ex = 1+x + 12 x 2 + 3! n = 1, 2, 3,... s f (x) = cos(x), em torno de x0 = 0: f 1 (x) = sen(x) f 1 (0) = 0, f 2 (x) = cos(x) f 2 (0) = 1, f 3 (x) = sen(x) f 3 (0) = 0, f 4 (x) = cos(x) f 2 (0) = 1,... (n/2) 1 4 cos(x) = 1 12 x 2 + 4! x + + ( 1)n! 2, 4, 6,... xn +... n=

85 - cos(x) Serie de - cos(x) 2 cos(x), 1 termo, 2 termos, 3 termos 1 s cos(x) x(graus)