Me todos Computacionais em Fı sica

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1 Me todos Computacionais em Fı sica Sandra Amato Instituto de Fı sica Universidade Federal do Rio de Janeiro Primeiro Semestre de 2011

2 Me todos Computacionais em Fı sica 1 2 Ca lculo de Me todo da Estimativa da

3 Ü toda te cnica de amostragem estatı stica empregada para se obter aproximac o es nume ricas para um problema Ü sorteio de cartas ou lanc amento de dados era utilizado para gerar amostras de distribuic o es. Ü foi Stanislaw Ulam quem percebeu que o computador poderia ser utilizado para automatizar o processo de obtenc a o de amostras Ü junto com John von Neuman e Nicholas Metropolis, comec ou a desenvolver algoritmos em 1946 Ü primeiro artigo em 1949: Nicholas Metropolis and S. Ulam, The Method, Journal of the American Statistical Association, Vol. 44, No. 247 (Sep., 1949), pp

4 Ü toda te cnica de amostragem estatı stica empregada para se obter aproximac o es nume ricas para um problema Ü sorteio de cartas ou lanc amento de dados era utilizado para gerar amostras de distribuic o es. Ü foi Stanislaw Ulam quem percebeu que o computador poderia ser utilizado para automatizar o processo de obtenc a o de amostras Ü junto com John von Neuman e Nicholas Metropolis, comec ou a desenvolver algoritmos em 1946 Ü primeiro artigo em 1949: Nicholas Metropolis and S. Ulam, The Method, Journal of the American Statistical Association, Vol. 44, No. 247 (Sep., 1949), pp Ü Utilizaremos o me todo de para: ä ca lculo de integrais ä simulac o es

5 Ca lculo de Integral pelo Monte Carlo Ü a uma dimensa o Simpson ou Trape zio Ü multidimensionais Ü Estudaremos dois me todos ä (Acerto ou Erro) Como calcular uma a rea jogando objetos? ä Me todo da Z b f (x)dx = (b a)hf i a m simples m usando importance sampling Amostragem por

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7 Hit (Acerto)

8 Hit (Acerto) Miss (Erro)

9 Hit (Acerto) Miss (Erro)

10 Miss (Erro) Hit (Acerto) Acirculo Nacertos = Aretangulo Ntotal

11 Integrac a o - Z Ü O problema e calcular I = f (x)dx a b

12 Integrac a o - Z Ü O problema e calcular I = b f (x)dx a Ü Define-se um reta ngulo, de altura H, que contenha a a rea a ser calculada. Aretangulo = H(b a)

13 Integrac a o - Z Ü O problema e calcular I = b f (x)dx a Ü Define-se um reta ngulo, de altura H, que contenha a a rea a ser calculada. Aretangulo = H(b a) Ü Sorteiam-se N pontos dentro do reta ngulo a xi b 0 yi H

14 Integrac a o - Z Ü O problema e calcular I = b f (x)dx a Ü Define-se um reta ngulo, de altura H, que contenha a a rea a ser calculada. Aretangulo = H(b a) Ü Sorteiam-se N pontos dentro do reta ngulo a xi b 0 yi H Ü Contando-se os acertos (yi f (xi )) obte m-se o valor da integral Nacertos I = Aretangulo N

15 Exercı cio Ü Escreva um algoritmo para calcular uma integral usando o me todo hit or miss. Ü Escreva uma func a o em C que implemente o algoritmo do item anterior Z 1 Ü use essa func a o para calcular I = x 3 dx 0 Ü Utilize um reta ngulo de altura H = 1 Ü O nu mero de pontos sorteados deve ser lido do teclado Ü imprima: o nu mero de sorteios a diferenc a entre o resultado obtido com o me todo e o valor exato Ü Rode o programa algumas vezes modificando o nu mero de sorteios e observe como muda o valor da diferenc a

16 Integrac a o - Me todo da Ü Podemos aproximar o valor de uma integral por: Z b I= f (x)dx = (b a)hf i a

17 Integrac a o - Me todo da Ü Podemos aproximar o valor de uma integral por: Z b I= f (x)dx = (b a)hf i a Ü Como calcular a me dia? Se tivermos uma lista de nu meros aleato rios uniformemente distribuı dos entre a e b podemos obter a me dia atrave s de: hf i = N 1 X f (xi ) N i=1

18 Integrac a o - Me todo da Ü Podemos aproximar o valor de uma integral por: Z b I= f (x)dx = (b a)hf i a Ü Como calcular a me dia? Se tivermos uma lista de nu meros aleato rios uniformemente distribuı dos entre a e b podemos obter a me dia atrave s de: hf i = N 1 X f (xi ) N i=1 Ü Enta o: Z N b f (x)dx I= a b a X f (xi ) N i=1

19 Integrac a o - Me todo da Ü Podemos aproximar o valor de uma integral por: Z b I= f (x)dx = (b a)hf i a Ü Como calcular a me dia? Se tivermos uma lista de nu meros aleato rios uniformemente distribuı dos entre a e b podemos obter a me dia atrave s de: hf i = N 1 X f (xi ) N i=1 Ü Enta o: Z N b f (x)dx I= a b a X f (xi ) N i=1 Ü Para calcular a integral, basta calcular a me dia do valor da func a o

20 Exercı cio Ü Escreva um algoritmo para calcular uma integral usando o me todo da me dia. Ü Escreva uma func a o em C que implemente o algoritmo do item anterior Z 1 Ü use essa func a o para calcular I = x 3 dx 0 Ü O nu mero de pontos sorteados deve ser lido do teclado Ü imprima: o nu mero de sorteios a diferenc a entre o resultado obtido com o me todo e o valor exato

21 Estimativa da Ü Como relacionar nu mero de sorteios com a precisa o do resultado obtido?

22 Estimativa da Ü Como relacionar nu mero de sorteios com a precisa o do resultado obtido? Um dos principais problemas dos me todos de

23 Estimativa da Ü Como relacionar nu mero de sorteios com a precisa o do resultado obtido? Um dos principais problemas dos me todos de Ü Uma seque ncia de nu meros pseudo-aleato rios possui uma me dia µ = hx i e uma dispersa o, medida por sua varia ncia, σ 2 = h(x µ)2 i hx 2 i hx i2

24 Estimativa da Ü Como relacionar nu mero de sorteios com a precisa o do resultado obtido? Um dos principais problemas dos me todos de Ü Uma seque ncia de nu meros pseudo-aleato rios possui uma me dia µ = hx i e uma dispersa o, medida por sua varia ncia, σ 2 = h(x µ)2 i hx 2 i hx i2 Ü O desvio padra o, σ, define um intervalo onde ha uma certa concentrac a o dos nu meros, 68% se a distribuic a o for gaussiana

25 Estimativa da Ü Como relacionar nu mero de sorteios com a precisa o do resultado obtido? Um dos principais problemas dos me todos de Ü Uma seque ncia de nu meros pseudo-aleato rios possui uma me dia µ = hx i e uma dispersa o, medida por sua varia ncia, σ 2 = h(x µ)2 i hx 2 i hx i2 Ü O desvio padra o, σ, define um intervalo onde ha uma certa concentrac a o dos nu meros, 68% se a distribuic a o for gaussiana Ü Se calcularmos uma se rie de me dias, poderemos ter ide ia da dispersa o das me dias

26 Estimativa da Ü Como relacionar nu mero de sorteios com a precisa o do resultado obtido? Um dos principais problemas dos me todos de Ü Uma seque ncia de nu meros pseudo-aleato rios possui uma me dia µ = hx i e uma dispersa o, medida por sua varia ncia, σ 2 = h(x µ)2 i hx 2 i hx i2 Ü O desvio padra o, σ, define um intervalo onde ha uma certa concentrac a o dos nu meros, 68% se a distribuic a o for gaussiana Ü Se calcularmos uma se rie de me dias, poderemos ter ide ia da dispersa o das me dias. Realizar uma se rie de experimentos

27 Estimando a de uma Ü Realizando M experimentos independentes, cada um com N amostras, temos:

28 Estimando a de uma Ü Realizando M experimentos independentes, cada um com N amostras, temos: {µ1, µ2,... } e {σ1, σ2,... }

29 Estimando a de uma Ü Realizando M experimentos independentes, cada um com N amostras, temos: {µ1, µ2,... } e {σ1, σ2,... } Ü Combinando medidas independentes ä O valor mais prova vel da medida e a me dia: P µi µ = µn = M

30 Estimando a de uma Ü Realizando M experimentos independentes, cada um com N amostras, temos: {µ1, µ2,... } e {σ1, σ2,... } Ü Combinando medidas independentes ä O valor mais prova vel da medida e a me dia: P µi µ = µn = M ä Pode-se mostrar que σµ2

31 Estimando a de uma Ü Realizando M experimentos independentes, cada um com N amostras, temos: {µ1, µ2,... } e {σ1, σ2,... } Ü Combinando medidas independentes ä O valor mais prova vel da medida e a me dia: P µi µ = µn = M ä Pode-se mostrar que (se todas as seque ncias sa o equivalentes) σ2 σµ2 = N

32 Estimando a de uma Ü Realizando M experimentos independentes, cada um com N amostras, temos: {µ1, µ2,... } e {σ1, σ2,... } Ü Combinando medidas independentes ä O valor mais prova vel da medida e a me dia: P µi µ = µn = M ä Pode-se mostrar que (se todas as seque ncias sa o equivalentes) σ2 σµ2 = N σ σµ = N

33 Exercı cio Ü Escreva um programa que calcule a integral I = me todo da me dia. R1 0 x 3 dx usando o Ü Rode duas vezes o programa: 50 experimentos com N = 100 e 50 experimentos com N = Ü imprima em um arquivo (tudo na mesma linha): o ı ndice do experimento o valor da integral calculado com po me todo o desvio padra o da func a o σ = hf 2 i hf i2 a diferenc a entre o resultado obtido com o me todo e o valor exato σµ = σ/ N Ü imprima na tela, ao final do programa, a me dia e o desvio padra o do valor das integrais obtidas em cada experimento Ü Usando o gnuplot fac a um gra fico de σµ X ı ndice do experimento. Superponha no mesmo gra fico os valores para a diferenc a e veja se esta o de acordo.

34 - Importance Sampling Ü Como I = (b a)hf i

35 - Importance Sampling Ü Como I = (b a)hf i, temos que σi = (b a)σf

36 - Importance Sampling Ü Como I = (b a)hf i, temos que σi = (b a)σf o erro da integral pelo me todo de Monte carlo e proporcional a varia ncia do integrando, isto e, ao quanto f (x) varia.

37 - Importance Sampling Ü Como I = (b a)hf i, temos que σi = (b a)σf o erro da integral pelo me todo de Monte carlo e proporcional a varia ncia do integrando, isto e, ao quanto f (x) varia. Ü Como minimizar as incertezas:

38 - Importance Sampling Ü Como I = (b a)hf i, temos que σi = (b a)σf o erro da integral pelo me todo de Monte carlo e proporcional a varia ncia do integrando, isto e, ao quanto f (x) varia. Ü Como minimizar as incertezas: ä A func a o f (x) ter naturalmente uma pequena dispersa o.

39 - Importance Sampling Ü Como I = (b a)hf i, temos que σi = (b a)σf o erro da integral pelo me todo de Monte carlo e proporcional a varia ncia do integrando, isto e, ao quanto f (x) varia. Ü Como minimizar as incertezas: ä A func a o f (x) ter naturalmente uma pequena dispersa o. ä Fazer muitos sorteios

40 - Importance Sampling Ü Como I = (b a)hf i, temos que σi = (b a)σf o erro da integral pelo me todo de Monte carlo e proporcional a varia ncia do integrando, isto e, ao quanto f (x) varia. Ü Como minimizar as incertezas: ä A func a o f (x) ter naturalmente uma pequena dispersa o. ä Fazer muitos sorteios ä Realizar uma mudanc a de varia vel, de forma a tornar o integrando em algo mais uniforme

41 Z I= b f (x)dx a

42 Z I= b Z f (x)dx = a a b f (x) p(x)dx p(x)

43 Z I= b Z f (x)dx = a a b f (x) p(x)dx = p(x) Z p(b) g(y )dy p(a)

44 Z I= b Z f (x)dx = a a b Z f (x) p(x)dx = p(x) p(b) g(y )dy p(a) f (x) onde g(y) =, dy = p(x)dx e p(x) Z b p(x)dx = 1 a

45 Z I= b Z f (x)dx = a a b Z f (x) p(x)dx = p(x) p(b) g(y )dy p(a) f (x) onde g(y) =, dy = p(x)dx e p(x) Z b p(x)dx = 1 a Ü O problema e encontrar p(x) (na o ha receita), deve ser uma func a o que se comporta como f (x), de forma a tornar o integrando aproximadamente uniforme

46 Exemplo R1 Queremos resolver I = 0 x 3 dx Uma func a o parecida e : p(x) = x 2 Z 1 3 x I= (x 2 ) dx com dy = (x 2 )dx 2 x 0 Z x x3 y= (x 02 )dx 0 = 3 0 x3 3 1 y = 0 = x = (3y) 3 para x = 0 = y = 0 para x = 1 = y = 1/3 Gera-se uniformemente um nu mero aleato rio y entre 0 e 1/3 e calcula-se Z I= 1 (3y ) 3 dy 0 pelo me todo da me dia 1/3

47 Exercı cio Ü Escreva um programa em C (integral.c) que calcule Z 1 I= x 3 dx usando o me todo da me dia. Use 0 N = 1000 Ü Use a func a o peso p(x) = x 2 para calcular a mesma integral pelo me todo da me dia com importance sampling. Ü Para cada caso imprima a integral e sua incerteza. Compare os resultados.

48 Exercı cios Ü Escreva um programa em C (integral.c) que calcule Z 1 2 I= e x dx usando o me todo da me dia. Use 0 N = 1000 Ü Use a func a o peso p(x) = Ae x onde A e escolhido de R1 forma a satisfazer 0 p(x)dx = 1. Mostre que a integral a ser calculada agora e 1 A Z A/e e x 2 +x dy A com x = ln( y/a) Ü Para cada caso imprima a integral e sua incerteza. Compare os resultados.