Estudo comparativo de algoritmos genéticos aplicados ao escalonamento de tarefas

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1 Estudo comparativo de algoritmos genéticos aplicados ao escalonamento de tarefas Cadernos de Daniela D'Andréa Santos Daniela Pasotto Alunas do Curso de Mestrado do Programa de em Engenharia da Universidade Presbiteriana Mackenzie Gina Maira Barbosa de Oliveira Professora da Universidade Federal de Uberlândia RESUMO Uma instância do problema de escalonamento é a alocação de diversas tarefas para serem executadas em processadores diferentes em uma estrutura paralela de hardware. Nesse caso, precisamos encontrar a melhor distribuição para essas tarefas entre os processadores de forma a minimizar o tempo total de processamento. Este artigo faz um estudo comparativo entre duas abordagens baseadas em algoritmos genéticos que resolvem esse problema. Os parâmetros e critérios utilizados em cada abordagem são apresentados e discutidos. Palavras-chave: Algoritmos Genéticos. Escalonamento de Tarefas e Inteligência Artificial. 1 INTRODUÇÃO O problema de escalonamento de tarefas consiste em encontrar a ordenação adequada de um conjunto de tarefas ao longo do tempo, obedecendo a restrições de precedências (tarefas) e recursos (processadores) (AZAMBUJA; SANTOS; BORGES, 2001). É um problema de otimização combinatória bem conhecido pertencente à classe de problemas intratáveis (NP completo) (MICHELI, 1994). Esse problema, normalmente, é formulado como um problema de minimização do tempo requerido para se executar um conjunto de tarefas com restrições. 99

2 Esse artigo demonstra como um Algoritmo Genético pode ser utilizado para determinar as prioridades relativas entre tarefas que competem por um mesmo recurso de hardware, permitindo assim, selecionar em que instante de tempo cada tarefa será executada em um determinado recurso. Dentre diversas simulações realizadas, duas abordagens foram as que encontraram os melhores resultados. Nesse trabalho, essas abordagens são apresentadas e é realizada uma comparação entre elas. 2 ESCALONAMENTO EM PROCESSADORES O problema de escalonamento de tarefas é basicamente um problema de otimização combinatória. Achar a solução ótima é obter a melhor combinação para a execução das tarefas nos processadores. Esse problema pertence à classe dos NP- Completos, ou seja, não é possível elaborar um algoritmo que garanta encontrar resultados sempre bons para qualquer instância do problema, em um tempo de processamento viável (CORREA; MELO, 2000). Para resolvê-lo é necessário, antes de tudo, obter informações sobre as tarefas a serem executadas no sistema. Para isso utiliza-se uma representação de relacionamento entre tarefas. Uma das representações mais comuns e a adotada nesse estudo é o Grafo Direcionado Acíclico, conhecido como GDA (GRAJGAR, 1999; KWOK; AHMAD, 1997). Um grafo direcionado é formado por vértices (ou nós) e arestas (ou links) direcionadas. Os vértices representam as tarefas a serem executadas e o custo de processamento de cada tarefa. As arestas representam as restrições de precedências entre as tarefas, bem como o custo de comunicação, que deve ser computado caso as tarefas sejam executadas em processadores diferentes. Caso contrário, esse custo é considerado nulo. O problema abordado nesse trabalho é um escalonamento de tarefas entre dois processadores de uma estrutura paralela, conhecido como Gauss 18. A Figura 1 apresenta o problema Gauss 18 que é um grafo direcionado composto de 18 tarefas. Os círculos (nós) representam as tarefas. Ao lado esquerdo de cada círculo vemos o tempo total de execução da tarefa. Os links entre os nós representam as precedências. Por exemplo, a tarefa 8 só pode ser iniciada após as execuções das tarefas 3 e 6. Os números ao lado de cada link apresentam o custo de comunicação entre as tarefas, caso estejam alocadas em processadores diferentes. Assim, se a tarefa 6 estiver alocada no mesmo processador da tarefa 8, esta última pode ser iniciada imediatamente após a realização de 6. Porém, se elas estiverem alocadas em processadores distintos, a tarefa 8 só poderá ser realizada 12 unidades de tempo após o término da tarefa 6. Neste programa, são especificadas: 100 as tarefas a serem realizadas; a precedência entre as tarefas; o tempo de execução de cada tarefa; o tempo de comunicação quando duas tarefas estão alocadas em processadores diferentes.

3 Figura 1: Grafo Gauss 18 Há vários trabalhos propondo soluções diferentes para esse problema, sendo que a maioria das técnicas encontradas para resolvê-los estão baseadas em métodos heurísticos, nos quais o algoritmo garante encontrar uma solução próxima da ótima em um tempo inferior ao polinomial (ZOMAYA; WARD; MALEY, 1999). Esses trabalhos, em sua maioria, utilizam técnicas de inteligência artificial, tais como os autômatos celulares e os algoritmos genéticos, para resolver o problema de escalonamento de tarefas. As abordagens que adotam autômato celular têm como maior desafio encontrar a melhor regra para resolver o problema, que são geradas utilizando técnicas de algoritmo genético. Uma vez encontrada a regra, o autômato celular é capaz de obter a solução ótima (SEREDYNKI; ZOMAYA, 2002; SWECICK; SEREDYNKI, 2002). As abordagens que adotam a técnica de Algoritmo Genético para resolução desse problema, foco de estudo desse trabalho, adaptam o algoritmo genético para encontrar a solução ótima do problema de escalonamento de tarefas (GOLDBERG, 1989; VENKATARAMAN; REDDY; POMERANZ, 2001). A técnica de algoritmo genético para resolver esses problemas consiste em gerar possíveis soluções codificadas na forma de indivíduos, que interagem com outros na mesma população, procurando através de operações genéticas, gerar indivíduos mais aptos, ou seja, obter a solução ótima (COSTA; MELO, 2000). Os métodos propostos que utilizam algoritmo genético mostram que seu desempenho pode ter grande dependência do número de processadores e tarefas que serão executadas, bem como, dos parâmetros internos (CORREA; MELO, 2000). 101

4 3 ALGORITMO GENÉTICO Publicados inicialmente em 1975, pelo professor John Holland, da Universidade de Michigam, os algoritmos genéticos procuram solucionar problemas complexos de otimização e aprendizado computacional, de uma forma probabilística, sem exigir muito conhecimento prévio destes. Trata-se de um método de resolução de propósitos gerais, cujo princípio é independente da natureza do problema específico. Essencialmente, tais algoritmos baseiam-se na Teoria da Seleção Natural, descrita no livro On the Origin of Species By Means of Natural Selection, publicado em 1858 pelos naturalistas ingleses Charles Darwin e Alfred Wallace, o qual condensa também contribuições de diversos outros naturalistas como Lamark, Linnaeus e Malthus sobre o processo de classificação biológica (MICHELI, 1994). A Teoria da Evolução supõe que a evolução das espécies está diretamente ligada à capacidade dos indivíduos se adaptarem ao seu habitat, onde apenas os mais aptos sobrevivem e deixam descendentes. Nesse processo seletivo são gerados indivíduos com algumas características que os destacam (positivamente) dos demais de sua espécie. Com isso aumentam suas probabilidades de sobrevivência e geram descendentes ainda melhores, evoluindo a espécie quanto à sua adaptação ao meio ambiente. Por outro lado, indivíduos que não se destacam tendem a não sobreviverem e a não gerar descendentes, sendo gradativamente eliminados. Os algoritmos genéticos procuram imitar, de uma forma computacional, algumas etapas desse processo evolutivo das espécies. Recebem esse nome porque assumem como referência a codificação de DNA, encontrada no núcleo da célula de cada indivíduo. Esse código genético é representado por cromossomos, que são cadeias de genes. Durante a reprodução, aplicada através das operações genéticas de cruzamento (crossover), mutação e seleção, os genes dos pais são misturados, gerando novos cromossomos que de uma forma organizada, combinando as características dos seus progenitores. O processo de seleção aproveita informações históricas dos melhores elementos (PINTO; MONTEIRO, 1998). O Fluxograma 1 mostra um fluxograma básico dos passos de execução em um algoritmo genético típico. Ele consiste basicamente de um laço de repetição dentro do qual são executadas as operações genéticas até um determinado critério de parada (MICHELI, 1994). Os algoritmos genéticos são utilizados para a resolução de problemas complexos de otimização e aprendizagem computacional, independentemente da natureza específica de um problema e sem exigir muito conhecimento prévio dele. O acoplamento entre o método da resolução de propósitos gerais (algoritmo genético) com o problema específico - no nosso caso, o escalonamento das tarefas - ocorre através da representação de uma solução na estrutura de cromossomo e da 102

5 definição de uma função de avaliação ou fitness. Na próxima seção discutiremos duas abordagens diferentes que foram implementadas na solução do grafo Gauss 18, ambas baseadas em AGs. Cadernos de 4 DUAS ABORDAGENS BASEADAS EM ALGORITMOS GENÉTICOS O modelo genérico do Algoritmo Genético foi adaptado para resolver o problema do escalonamento de tarefas, ou seja, encontrar a melhor distribuição de tarefas entre os dois processadores de acordo com o programa Gauss 18. Para este fim, foi utilizada a linguagem C e diversas abordagens foram implementadas e posteriormente analisadas. Examinaremos a seguir as duas abordagens que tiveram maior êxito na solução desse problema. Para cada passo do AG, serão descritas as soluções e parâmetros adotados em cada abordagem. A) Representação Cromossômica Os indivíduos ou cromossomos, em ambas as abordagens, são representados através de uma matriz 2 18, onde para cada tarefa existe um processador associado. Essa matriz é composta por 18 tarefas variando de 0 à 17, sem repetições, que podem ser executadas no processador 0 ou no processador 1. Como o problema é bem conhecido e limitado a 18 tarefas, opta-se por um cromossomo estático, ou seja, com um tamanho conhecido e pré-determinado. A Figura 3. mostra um exemplo da representação adotada. B) População Inicial A população inicial é formada por um conjunto de indivíduos que podem representar soluções para o problema. Para as duas abordagens, a geração dessa população inicial é aleatória, porém sempre garantindo que as tarefas sorteadas não sejam repetidas em um mesmo indivíduo e seguindo as respectivas restrições de precedências. A rotina para essa função sorteia aleatoriamente um número entre 0 e 17 que representam as tarefas a serem executadas. Para cada tarefa, há um sorteio também aleatório do processador em que deve ser executada, nesse caso, processador 1 ou 2. Apesar de ambas as abordagens validarem as precedências, há uma diferença na estratégia adotada na implementação dessa função: 103

6 Gera-se a População Inicial com T P indivíduos. Avaliam-se todos os indivíduos da População Inicial. População atingiu Critério de Término? NÃO Selecionam-se p rec indivíduos que formarão os pares do crossover. SIM Melhor Indivíduo da População é apresentado como Solução FIM Para cada par, sorteia-se um Ponto de Crossover e 2 novos indivíduos são gerados por crossover. Submetem-se os novos indivíduos a uma mutação com probabilidade p mut Avalia-se o desempenho dos novos indivíduos formados após os processos de Crossover e Mutação. Selecionam-se os T P melhores indivíduos dentre a população original e os novos indivíduos. Fluxograma 1: Fluxograma Básico dos Algoritmos Genéticos Tarefa Processador Figura 2: Exemplo da representação do indivíduo 104 Estratégia 1: a abordagem 1 verifica cada posição do indivíduo e escolhe quais as tarefas que poderão ser inseridas naquela posição, o indivíduo possui 18 posições, ou seja, 18 tarefas, para cada posição existe uma ordem das tarefas, conforme mostrado na Figura 1 (Grafo Gauss 18). Por exemplo, a tarefa de número 6 só pode ser executada depois da tarefa 2, então essa tarefa nunca poderia ficar na segunda posição, pois a primeira posição obrigatoriamente é a tarefa 0 e depois para a segunda posição poderiam ser as tarefas de número 1,2,3,4 e 5, ou seja, essas tarefas irão participar do sorteio para a segunda posição, e assim por diante, até chegar na última posição. Estratégia 2: a abordagem 2 testa cada tarefa sorteada para garantir as restrições do problema. Para cada tarefa sorteada deve-se verificar se as tarefas que são precedentes à sua execução, já fazem parte do indivíduo (já tenham sido selecionadas anteriormente). Se essa condição é satisfeita, a tarefa passa a compor o indivíduo, ou seja, passa a ser um gene desse indivíduo, e é retirada das possíveis tarefas a serem sorteadas. Caso contrário, a tarefa é desconsiderada para esse sorteio, mas continua sendo uma tarefa possível de ser selecionada. Essa função continua sorteando tarefas até que o indivíduo esteja completo e, garante que todas as tarefas serão executadas sem repetição e que os indivíduos sejam válidos, ou seja, respeitam as precedências de tarefas indicadas no problema.

7 C) Avaliação da População Em ambas as abordagens, o tempo total de execução de um escalonamento de tarefas é utilizado para a avaliação de cada indivíduo: FITNESS = TEMPO EXE- CUÇÃO. Os indivíduos são avaliados de acordo com o custo de processamento de todas as tarefas, considerando custos adicionais caso seja necessária a comunicação de tarefas entre processadores. Por exemplo, de acordo com a Figura 1, a tarefa 6 possui um custo de 6 unidades de tempo para o seu processamento e tem como precedente a tarefa 2, portanto tem que aguardar o término da execução da tarefa 2 para iniciar o seu processamento. Se a tarefa 2 executar em um processador diferente da tarefa 6, será somado um custo de comunicação de 8 unidades de tempo no custo total do indivíduo, ou seja, a tarefa 2 terá um custo de 4 unidades de tempo para execução e mais um custo de comunicação de 8 unidades de tempo. Então a tarefa 6 precisará aguardar 12 unidades de tempo para iniciar sua execução. O melhor indivíduo é aquele que distribuir todas as tarefas entre os dois processadores com o menor custo de tempo de execução. Cadernos de D) Método de Seleção As duas abordagens utilizam o método de seleção conhecido como Torneio. Esse método foi escolhido por apresentar uma baixa pressão seletiva e, assim, tentar evitar uma convergência prematura, uma vez que os critérios para a geração da população inicial são extremamente direcionados. Além disso, é um método simples para implementação e o mais fácil de realizar alterações. A implementação do Torneio Simples com tour de três significa que 3 indivíduos da população são sorteados aleatoriamente (por isso o nome "tour 3") e seus respectivos custo total de execução, calculados na avaliação da população, são comparados entre si. O indivíduo que possuir o menor custo na comparação, é selecionado para participar da nova etapa do algoritmo genético, o crossover. Porém há uma diferença entre as duas abordagens: após a disputa entre os três indivíduos sorteados, na abordagem 1, o vencedor sempre retorna para participar dos próximos sorteios, enquanto, na abordagem 2, uma vez que o indivíduo tenha vencido a disputa, ele é retirado e não pode mais participar da seleção de outro pai. E) Crossover O método utilizado em ambas as abordagens é o Crossover Cíclico, que previne o indivíduo de ter tarefas repetidas. Conforme demonstrado na Figura 3, esse método consiste no seguinte processo: após a seleção de dois indivíduos (os pais), sorteia-se uma posição no indivíduo chamado de Pai 1 para passar a sua respectiva tarefa para a mesma posição no novo indivíduo, o Filho 2. Para garantir que não haja repetição de tarefas nesses novos indivíduos, identifica-se no Pai 2, a tarefa que foi selecionada no Pai 1, e transfere-se essa tarefa para o Filho 1, na mesma posição em 105

8 que foi encontrada, formando assim um ciclo, onde todos os genes dentro desse ciclo são transferidos da mesma maneira. Os que permanecem fora desse ciclo, são transferidos do Pai 1 e Pai 2, sem alterações, para as mesmas posições do Filho 1 e Filho 2, respectivamente. Há uma diferença na utilização desse método entre as abordagens aqui estudadas: na abordagem 1, os processadores acompanham o ciclo de transferência das tarefas para os novos filhos, enquanto na abordagem 2, os processadores apesar de também acompanharem o ciclo de transferência das tarefas, eles sofrem uma mutação (alteração do processador) para que o crossover não fique muito conservador. F) Mutação Em ambas as abordagens foi utilizado o processo de Permutação Simples, onde uma quantidade de indivíduos são sorteados de acordo com a taxa de mutação e, para cada um desses indivíduos, são escolhidas aleatoriamente 2 posições, ou 2 genes, para a transferência do código genético, conforme exemplificado na Figura 4. Nessa etapa, após os processos de crossover e mutação, a abordagem 1 verifica todos os novos indivíduos e, para os que não são válidos, os indivíduos são corrigidos, para evitar que existam novos indivíduos inválidos. O processo de correção verifica se existe alguma precedência entre as tarefas que não esteja sendo atendida e altera os genes até que todas as posições sejam corrigidas, sendo que, no final do processo, todos os indivíduos são válidos. Já na abordagem 2, não há validação das precedências e indivíduos inválidos podem ser gerados pela mutação. Pai 1 Pai 2: Indivíduos selecionados para participar do Crossover Pai 1: Posição sorteada = 3 Pai 1: Filho 1 : Pai 2: Filho 2: Figura 4: Crossover Cíclico Figura 3: Crossover Cíclico Figura 4: Mutação - Permutação Simples 106

9 G) Condição de término Ambas as abordagens utilizaram como condição de término o número máximo de gerações da população. Porém, enquanto a primeira abordagem limitou a execução em 200 gerações, a segunda abordagem utilizou 300 gerações para atender essa condição. Cadernos de H) Parâmetros utilizados Os parâmetros utilizados são diferentes para cada abordagem, com exceção da taxa de indivíduos selecionados para o processo de crossover, igual a 60%. Na primeira abordagem, a população inicial é formada por 50 indivíduos e a taxa de mutação por indivíduo é de 100%. Já na segunda abordagem, os parâmetros são 250 e 40%, respectivamente. I) Comparação das duas abordagens A Tabela 1 sintetiza os métodos e parâmetros utilizados nas duas abordagens, na qual são destacados os pontos em que as abordagens diferem. Podemos concluir: As duas abordagens adotam a mesma representação cromossômica e a mesma função de avaliação. As duas abordagens são similares na geração da população inicial, mas a estratégia para validação dos indivíduos da abordagem 2 é menos direcionada. Na seleção, embora ambas empreguem o torneio de 3, a abordagem 1 permite repetição no sorteio dos pais e a abordagem 2, não. Apesar de ambas utilizarem o método de crossover cíclico e a mesma taxa, a abordagem 1 valida as precedências e não altera as tarefas, enquanto a abordagem 2 não valida precedências e aplica uma mutação nas tarefas. Na mutação, as duas abordagens fazem permutação simples, porém a abordagem 1 valida as precedências e a abordagem 2 não valida. Gerações: A abordagem 2 usa mais gerações que a abordagem 1. População: A abordagem 2 usa mais indivíduos que a abordagem 1. Taxa de mutação: A abordagem 1 emprega mais mutação que a abordagem

10 Tabela 1: Comparação entre as abordagens desenvolvidas. CRITÉRIO ABORDAGEM 1 ABORDAGEM 2 Matriz com tarefas e processadores na Matriz com tarefas e processadores REPRESENTAÇÃO ordem de execução. na ordem de execução. POPULAÇÃO INICIAL Sorteio das tarefas e processadores, respeitando as precedências. Estratégia 1 na validação. Sorteio das tarefas e processadores, respeitando as precedências. Estratégia 2 na validação. AVALIAÇÃO SELEÇÃO CROSSOVER MUTAÇÃO CONDIÇÃO TÉRMINO População com 50 indivíduos. População com 250 indivíduos. Custo total da execução do Custo total da execução do processamento. processamento. Método Torneio com Tour 3. Método Torneio com Tour 3. Re-integração do indivíduo vencedor Não re-integra indivíduo vencedor nos outros sorteios. nos outros sorteios. Cíclico para processador e tarefa. Cíclico para processador e tarefa. 60% de taxa de crossover. 60% de taxa de crossover. O processador acompanha a tarefa. O processador acompanha a tarefa, mas sofre mutação. Validação de restrições de Sem validação de restrições de precedências dos novos indivíduos. precedências dos novos indivíduos. Permutação de 1 tarefa e 1 Permutação de 1 tarefa e 1 processador. processador. 100% de taxa de mutação. 40% de taxa de mutação. Validação de restrições de Sem validação de restrições de precedências. precedências. 200 gerações. 300 gerações. Tabela 2: resultados obtidos. RESULTADOS ABORDAGEM 1 ABORDAGEM 2 MÉDIA APTIDÃO CONVERGÊNCIA 3 indivíduos obtidos em 10 7 indivíduos obtidos em 10 execuções com custo 44. execuções com custo RESULTADOS OBTIDOS NAS DUAS ABORDAGENS Cada abordagem foi implementada em C, resultando em dois programas para o escalonamento do Gauss 18. Cada programa foi executado 10 vezes e em algumas execuções foi possível encontrar uma solução ótima. Existem diferentes soluções ótimas para esse problema, com o custo total de tempo igual a 44 unidades. Além disso, diferentes soluções ótimas foram encontradas, conforme apresentado na Figura 6. Na abordagem 1, o algoritmo genético convergiu 3 vezes para a solução ótima, enquanto na abordagem 2, o algoritmo convergiu 7 vezes para a solução ótima, conforme apresenta a Tabela 2. O Gráfico 1 apresenta a evolução, através das gerações, da média da avaliação da população, em duas execuções que atingiram uma solução ótima, uma para cada abordagem. 108

11 ABORDAGEM 1 Tarefa Processador Cadernos de Tarefa Processador ABORDAGEM 2 Tarefa Processador Tarefa Processador Figura 6: Soluções ótimas obtidas 6 CONCLUSÃO Este estudo conclui que a abordagem 1 é mais direcionada, já que executa a validação das restrições de precedências no crossover e na mutação. Com isso, ela consegue convergir mais rápido para a solução ótima, conforme o gráfico apresentado. Por isso, a abordagem 1 precisa de um número menor de indivíduos e de gerações. Em compensação, essa abordagem corre um risco maior de convergência prematura e, talvez por isso, tenha que utilizar uma taxa de mutação maior. A abordagem 2, por adotar critérios no algoritmo genético menos rigorosos, converge mais lentamente, mas com menor chance de ocorrer convergência prematura. Assim, a segunda abordagem apresenta uma taxa de convergência maior para o ótimo. Por outro lado, a abordagem 1 utiliza parâmetros mais modestos (número de indivíduos e número de gerações) correspondendo a um tempo menor de execução. Essa análise sugere que a partir de parâmetros e critérios diferentes no algoritmo genético para resolução de um mesmo problema, as duas abordagens podem encontrar a solução ótima, nesse caso, o menor custo para execuções das tarefas, sendo que a primeira abordagem é mais eficiente em relação ao tempo de processamento e a segunda é mais eficiente em relação à taxa de convergência ao ótimo. 109

12 Média da Aptidão da População Média: Gerações (a) Média da Aptidão da População Média: Gerações (b) Gráfico 1: Evolução da média da avaliação da população: (a) abordagem 1 (b) abordagem 2. A comparative study of genetic algorithms applied to a scheduling task ABSTRACT 110 An instance of the scheduling problem is the allocation of multiple tasks to be executed in different processors in a parallel structure. In this case, we need to find out the best tasks distribuition on the processors to minimize the total processing time. This paper does a comparative study of two different models based in genetic algorithms used to solve this problem. The parameters and criteria used in each model are presented and argued. Keywords: Genetic algorithms. Scheduling task. Artificial inteligence.

13 REFERÊNCIAS AXELSSON, J. Architecture synthesis and partitioning of real time systems: a comparison of three heuristic search strategies Trabalho apresentado no Workshop Hardware/Software Codesign, AZAMBUJA, Rogério X.; SANTOS, Luiz Claudio V.; BORGES, Paulo Sérgio S. Escalonamento com restrição de recursos utilizando algoritmo genético Trabalho apresentado no I Congresso Brasileiro de Computação, BRIGHT, Marc S.; ARSLAN, Tughrull. Synthesis of low power DSP systems using a genetic algorithm. IEEE Transactions on evolutionary Computation, [S.l.], v. 5, no. 1, Feb CORREA, Jan Mendonça; MELO, Alba Cristina. Algoritmos genéticos para escalonamento de processadores Trabalho apresentado no Workshop LAICO - Laboratório de Sistemas Integrados e Concorrentes, COSTA, Luciano V.; MELO, Alba Cristina. PSS: Serviço de suporte ao escalonamento de processadores em sistemas DSM Trabalho apresentado no Workshop LAICO - Laboratório de Sistemas Integrados e Concorrentes, GOLDBERG, David. Genetic Algorithms in search, optimization and machine learning. [S.l.]: Addison-Wesley Publishing Company, GRAJCAR, Martin. Genetic list scheduling algorithm for scheduling and allocation on a loosely coupled heterogeneous multiprocessor system Trabalho apresentado na DAC - 36 th Design Automation Conference, HOLLAND, John H. Adaptation in natural and artificial systems. Ann Arbor: University of Michigam Press, KWOK, Yu-Kwong; AHMAD, Ishfaq. Efficient Scheduling of arbitrary task graphs to multiprocessors using a parallel genetic algorithm. Journal of Parallel and Distributed Computing, [S.l.], v. 47, no. 1, p , Nov MICHELI, Giovani de. Synthesis optimization of digital circuits. [S.l.]: Mc Graw-Hill, PINTO, Ivan Guedes; MONTEIRO, Victor Santos. Algoritmos genéticos distribuídos. Lisboa: Universidade Técnica de Lisboa, SEREDYNKI, Franciszek; ZOMAYA, Hebert Y. Sequential and parallel Cellular Automata: based scheduling algorithms. IEEE Transactions on Parallel and Distributed Systems, local, v. 3, no. 10, p , Oct SWIECICKA, Anna; SEREDYNKI, Franciszek. Applying cellular Automata in multiprocessor scheduling. [S.l], Trabalho apresentado na PARELEC - International Conference on Parallel Computing in Electrical Engineering, VENKATARAMAN, Ganesh; REDDY, Sudhakar M.; POMERANZ, Ireth. Gallop: genetic algorithm based low power FSM synthesis by simultaneous partitioning and state assignment. IEEE Transactions on Evolutionary Computation, [S.l.], v. 5, no. 1, Feb Cadernos de 111

14 ZOMAYA, Albert Y.; WARD, Chris; MACEY, Bem. Genetic scheduling for parallel processor systems: comparative studies and performance issues. IEEE Transactions on Parallel and Distributed Systems, New York, v. 10, no. 8, p , Aug