MODELOS DE MATRIZES DE MASSA PARA QUARKS COM SIMETRIAS DISCRETAS. Mailema Celestino dos Santos (IC); Mauro Donizeti Tonasse (PQ)

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1 MODEOS DE MATIZES DE MASSA PAA QUAKS COM SIMETIAS DISCETAS Mailema Celestino dos Santos (IC); Mauro Donizeti Tonasse (PQ) Divisão de Engenharia Aeronáutica Instituto Tecnológico de Aeronáutica São José dos Campos, SP. esumo As matrizes de massa fermiônicas fornecidas pelas teorias de gauge usuais contêm mais parâmetros que massas físicas. Isso sugere que alguma simetria adicional deva ser satisfeita pelos modelos. Até agora na literatura especializada podem ser encontrados trabalhos que aplicam as simetrias de permutação, (Sn), An e Zn em matrizes que são função de apenas um parâmetro com dimensão de massa. Nesse trabalho vamos aplicá-las para uma classe de modelos para os quarks, cujas matrizes de massa dependem de dois parâmetros com dimensão de massa. Abstract The fermionic mass matrices provided by the usual gauge theories have more parameters than physical masses. This suggests that the models should satisfy some additional symmetry. Until now in the specialized literature, we can find works that apply the permutation, (Sn), An and Zn symmetries in matrices that are function of just one parameter with dimension of mass. In this work, we will apply them to a class of models for quarks whose mass matrices depend on two parameters of mass. 1- INTODUÇÃO: A proposta deste trabalho é utilizar simetrias discretas para justificar certos ansatz para matrizes de massa fermiônicas [1]. Em física de partículas elementares as massas aparecem na lagrangeana da simetria na forma de termos de massa, que envolvem todos os termos bilineares entre os campos permitidos pela simetria original do modelo. Portanto, esses termos formam matrizes que em geral não são diagonais e então não podem ser associadas com nenhum observável da teoria. Para que lhes possa ser atribuído algum significado físico, essas matrizes de massa precisam ser diagonalizadas, isto é, precisamos encontrar seus autovalores. Esses autovalores são os parâmetros físicos que podem ser medidos em laboratório e, portanto, são interpretados como as massas das partículas. Dentro do enorme zoológico de partículas elementares previstas pelos modelos, neste trabalho estamos interessados apenas nos seis quarks do modelo padrão. Eles se apresentam na natureza na forma de três sabores para cada setor de carga elétrica: up (u), charm (c) e top (t) com carga 2e/3 e down (d), strange (s) e bottom (b) com carga e/3, onde e é a carga elétrica elementar. ogo, as matrizes de massa associadas têm dimensão 3 x 3. Desta forma, cada matriz possui nove parâmetros livres adimensionais. Como cada uma delas representa três massas físicas, existe um excesso de seis parâmetros em cada setor. Os modelos não fornecem nenhum mecanismo pelo qual parâmetros sem dimensão em excesso possam ser eliminados. É usual em física de partículas impor ansatz, como já foi discutido por vários autores [1], mas esse procedimento ad hoc não pode ser justificado por nenhum princípio físico fundamental. Uma maneira mais elegante de abordar este problema é procurar justificativas para anular os parâmetros em termos de simetrias discretas. Simetrias discretas (ou a quebra delas) podem ser associadas com alguns fenômenos fundamentais em partículas elementares como violação da paridade e violação CP [2]. Isso pode sugerir que ainda existem outros fenômenos em que essas simetrias exercem papel relevante, sendo que um deles pode ser o problema da origem das massas. Simetrias contínuas muitas vezes têm significado físico bem definido. O melhor exemplo é o da simetria U(1) do eletromagnetismo que está relacionada com a conservação da carga elétrica [2]. Para simetrias discretas, entretanto, associações desse tipo são mais difíceis. Embora pareça ser natural que

2 elas possam ser reduzidas à alguma lei fundamental é difícil encontrar essas relações. Nesse trabalho, entretanto, pretendemos apenas aplicar simetrias discretas para eliminar termos indesejáveis das matrizes de massa dos quarks. A determinação das possíveis relações dessas simetrias com princípios físicos fundamentais dependerão de estudos posteriores. Como estamos interessados em diminuir o número de parâmetros nas matrizes de massa, as simetrias apropriadas são as de permutação (Sn) [3] e as dos grupos discretos Zn [4] (algumas vezes os An também são empregados [5]). Em resumo, o trabalho consiste em tentar justificar a ausência de alguns termos de massa permitidos pela simetria de gauge dos modelos empregando simetrias discretas ao invés de eliminá-los à mão, isto é, através de ansatz. Trabalharemos com o modelo eletrofraco [6], cujas matrizes de massa dependem de dois parâmetros com dimensão de massa e não apenas um, como nos outros modelos [7]. 2- AS MATIZES DE MASSA E A APICAÇÃO DAS SIMETIAS: Como já foi comentado na Introdução, estamos trabalhando com as matrizes do modelo eletrofraco [6]. Essas matrizes foram estudadas no nosso trabalho anterior, mas com o emprego de ansatz. A característica interessante das matrizes de massa fornecidas por esse modelo é que elas contêm dois parâmetros com dimensão de massa, o que é proibido nos outros modelos eletrofracos [7]. Isso nos dá uma maior liberdade para ajustar os resultados teóricos aos dados experimentais. Nos setores de carga elétrica 2/3 e 1/3 as duas matrizes originais são dadas por Gv G12v G13v G 12u Gu 13 MU = Fu F22u Fu 23, MD = Fv F 22v F 23v, (1) Fu 31 Fu 32 Fu Fv 31 F 32v Fv nas bases u; c; t e d; s; b, respectivamente, onde G 1j, F αj, G, 1j são as constantes de Yukawa adimensionais e v e u são parâmetros com dimensão de massa. Estamos utilizando a convenção que os índices latinos assumem os valores 1, 2 e 3 e os gregos são 2 e 3. Primeiramente aplicamos simetria de permutação S 2 nos índices das constantes Yukawa para cada para de termos simétrico em relação à diagonal principal das matrizes (1). Portanto, aplicamos uma simetria S 2 S 2 S 2 de forma que as constantes de Yukawa se tornam simétricas em relação à diagonal principal da matriz. O próximo passo é diagonalizar a matriz e verificar se podemos encontrar valores razoáveis para as constantes adimensionais e também para v e u que satisfaçam os resultados experimentais. De acordo com uma previsão da teoria os parâmetros v e u são vinculados por v 2 +u 2 = GeV 2. Os resultados estão apresentados nas tabelas 1 e 2. Aplicamos também simetrias do tipo Zn. Sob Zn os campos se transformam como ψ ω i ψ, com ω i = e i π k / n e n = 1, 2, Nós estudamos os casos com n = 2, 3, 6. A simetria Z 2 foi aplicada para cada campo de quarks atribuindo-se um valor de ω i para cada componente quiral de cada sabor, isto é, aplicamos Z 2 Z 2s Z 2s para cada setor de carga elétrica, onde os índice s representam o sabor. Para esclarecer lembramos que as matrizes (1) são formadas tomando-se os coeficientes dos termos de interação das componentes quirais dos campos. Então, por exemplo, o termo M U(1, 1) é o coeficiente da interação ente u e u, M U (1, 2) o coeficiente do termo correspondente com u e c e assim por diante, onde os índices e representam estados de mão esquerda e direita, respectivamente. A simetria Z 3 foi aplicada separadamente nas componentes quirais de cada setor de carga, ou seja, Z 3 Z 3. No caso de Z 6, que tem seis elementos, foi possível atribuir um valor de ω i para cada campo quiral. Os resultados estão apresentados nas tabelas 1 e 2. Os valores das massas dos quarks dados nessas tabelas devem ser comparados com os valores experimentais fornecidos pelo Particle Data Group : m u = (,51 ±,15) GeV, m c = (1,35 ±,5) GeV, m t = (174 ± 7) GeV, m d = (,89 ±,26) GeV, m s = (,175 ±,55) GeV, m b = (5,3 ±,1) GeV [8]. F α j

3 Tabela 1: esultados da diagonalização das matrizes de massa u, c, t. Note que a simetria de permutação foi aplicada sobre os índices das constantes de Yukawa. Simetria Matriz Constantes de Acoplamento Permutação u e u c = e c c = e c = u e u c = e c c = e c = u = e u c = e c c = e c u u Z 3 com c = e c c e c = Gv G12v G13v G12u F22u Fu 23 Gu 13 F23u Fu Gv F22u Fu 23 Fu 32 Fu Gu 13 F22v Fv 31 Fv G12u Fv F22v Fv Gv F22u Fu G =,16855; G 12 =,3; G 13 =,5; F 22 =,127; F 23 =,1; F 33 = 1,5 G = 3; F 22 =,6; F 23 =,1; F 32 =,1; F 33 =,19. G =,16; G 13 =,1; F 22 = 1,35; F 31 =,55; F 33 =,55. G =,12; G 12 =,1; F =,15; F 22 =,15; F 33 = 1,35. G = 3; F 22 =,6; F 33 =,4; Valor esperado do vácuo v (GeV) 177 Autovalores ou Massas (GeV) 286,9179;, ; 1, , ; 1, ; 3., ; 1, ; 33, , ;, ; 33, , , ; 3.

4 Tabela 2: esultados da diagonalização das matrizes de massa d, s e b. A permutação foi aplicada da mesma forma que na tabela 1. Simetria Matriz Constantes de Acoplamento Permutação u = e u c = e c c = e c G12u Gu 13 G12v F22v F23v G13v F23v Fv F22v F23v F32v Fv G =,235; G 12 =,1; G 13 =,1; F 22 =,1; F 23 =,8; F 33 =,81. G =,8; F 22 =,51; F 23 =,1; F 32 =,1; F 33 =,25. Valor esperado do vácuo v (GeV) Autovalores ou Massas (GeV) ;, ;,99655, ;, ; 5, u = e u c = e c c = e c Gu 13 F22v Fv 31 Fv G =,14; G 13 =,1; F 22 =,175; F 31 =,5; F 33 =,5., ; 5, ;,175. u = e u c = e c c = e c G12u Fv F22v Fv G =,7; G 12 =,1; F =,3; F 22 =,3; F 33 =,5., ; 5, ;,175. Z 3 com Gv F22u Fu G =,235; F 22 =,175; F 33 =,89;,89;,175; 5,

5 u u c = e c c = e c Estudamos todas as possibilidades de atribuição dos elementos de Z 2, Z 3 e Z 6. Todos os casos recaem numa das matrizes apresentadas nas tabelas 1 e 2. Podemos perceber então que as simetrias discretas Sn e Zn podem ser usadas para reduzir o número de parâmetros das matrizes de massa dos quarks dando os valores das massas compatíveis com os resultados experimentais. Certamente, procedimentos análogos podem ser implementados para os léptons carregados e para os neutrinos. Note que os valores da massa do quark top apresentados na tabela 1 diferem do valor fornecido pelo Particle Data Group. Entretanto, devemos lembrar que a massa do quark top é altamente dependente do modelo. O valor do Particle Data Group vale apenas para o modelo eletrofraco padrão. O valor da massa do top no modelo é ainda desconhecido. 3- CONCUSÕES E PESPECTIVAS: Como se pode perceber através das tabelas 1 e 2, simetrias discretas podem ser empregadas para eliminar o excesso de parâmetros das matrizes de massa dos quarks. ealizamos um estudo de como eliminar termos usando essas simetrias, mas no fomos rigorosos a ponto de exigir que cada massa corresponda a apenas uma constante adimensional, como seria ideal. Como pode ser visto nas tabelas 1 e 2 algumas matrizes apresentam ainda mais de três parâmetros adimensionais. Por simplicidade, consideramos apenas os campos dos quarks se transformando não trivialmente. Numa situação mais geral os Higgs também poderiam ser incluídos e, neste caso, utilizaríamos uma simetria maior. Além disso, na teoria ainda existem os léptons, os quais não foram levados em conta neste trabalho. Portanto, o trabalho pode ser aperfeiçoado. Outro assunto não menos interessante, o qual não foi possível tratar aqui, é o problema das outras interações, tais como decaimentos e espalhamentos, que também são afetadas pelas simetrias impostas. Na verdade, quando impomos simetrias adicionais no modelo 3-3-1, obtemos um outro modelo com nova fenomenologia e novas conseqüências. As simetrias são úteis em física em duas situações: a primeira quando não são conhecidos os princípios fundamentais da teoria, e a segunda quando apesar dos princípios serem conhecidos, o problema precisa ser simplificado. O nosso caso se encaixa na primeira situação. Isso significa que uma grande quantidade de trabalho teórico e experimental precisa ainda ser realizado para se saber se essas simetrias se realizam na Natureza. AGADECIMENTOS: Agradeço ao Professor e Orientador deste projeto MAUO DONIZETI TONASSE, aos demais alunos e orientados de bolsa de iniciação científica e/ou teses de mestrado e doutorado e, finalmente ao CNPQ, pelo seu incentivo e amparo à pesquisa e desenvolvimento tecnológico do país e sem o qual não seria exequível uma iniciação científica como tal.

6 EFEÊNCIAS BIBIOGÁFICAS: [1] Exemplos podem ser encontrados em T. Ito, N. Okamura e M. Tanimoto, Phys. ev. D 58, 7731 (1998);. Peccei e K. Wang, Phys. ev. D 53, 2712 (1996); H. Fritzsch e Z. Z. Xing, Phys. ett. B 353, 4 (1995); Phys. ett. B 166, 423 (1986). [2] C. Quigg, Gauge Theories of the Strong, Weak and Electromagnetic Interactions, Benjamin/Cummings Publishing Co., Inc., (1983); F. Halzen e A. D. Martin, Quarks and eptons, John Willey & Sons, (1984). [3] Ver, por exemplo, K. S. Babu e. N. Mohapatra, Phys. ev. ett., 64, 2747 (199); E. Ma, Permutation Symmetry for Neutrino and Charged-epton Mass Matrices, hep-ph/ [4] Alguns exemplos são M. S. Berger e K. Siyeon, Phys. ev. D 62, 334 (22); P. K. Mohapatra e. N. Mohapatra, Phys. ev. D, 34, 231 (1986); A. Soddu e N. -K. Tran, Democratic Mass Matrices from Five Dimension, hep-ph/3843. [5] Para exemplos recentes ver K. S. Babu, E. Ma e J. W. F. Valle, Phys. ett. B, 552, 27 (23); E. Ma e G. ajasekaran, Softly Broken A4 Symmetry for Nearly Degenerate Neutrino Masses, hep-ph/ [6] V. Pleitez e M. D. Tonasse, Phys. ev. D 48, 2353 (1993); F. Pisano e V. Pleitez, Phys. ev. D 46, 41 (1992). [7] Este problema foi discutido por M. C. Santos, Diagonalização de Matrizes de Massa Fermiônicas, em proceedings do VIII ENCITA, São José dos Campos, 22. pp. 23 [8] K. Hagiwara et al. (Particle Data Group), Phys. ev. D 66, (22).\