Metaheurísticas de Otimização Bio-Inspiradas

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1 * Aula baseada nas notas de aula do prof. Fernando Von Zuben, da UNICAMP UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Metaheurísticas de Otimização Bio-Inspiradas Aula 14 Otimização por Colônia de Formigas* Prof. Dr. Hugo Valadares Siqueira

2 Swarm Intelligence Algoritmos em que agentes atuam localmente realizando alguma interação com o grupo; Características: Individualismo x Coletivo; Cada agente interage localmente com o ambiente; Essa iteração causa um padrão coerente de forma global resolvendo um problema; Não existe centralização; Coordenação sem comunicação evidente; Algoritmos populares: Ant Colony Optimization e Particle Swarm Optimization.

3 Formigas: UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Comportamentos inteligentes de insetos sociais Definição de trilhas até os locais fontes de comida através de trilhas de feromônios; Formam pontes com os próprios corpos para superarem obstáculos; Abelhas: Construção padronizada da colmeia; Regulação da temperatura da colmeia; Exploração das fontes de alimento de acordo com qualidade e distância; Cupins: Construção de túneis de comunicação; Construção de pilares de sustentação.

4 Formigas são insetos sociais Alguns comportamentos estudados: Organização para agrupar e ordenar larvas e corpos; Organização no transporte de materiais; Construção dos seus ninhos ou colmeias; Divisão de trabalho; Definição de rotas entre fonte de alimento e ninho.

5 Classificação: REINO: Animalia FILO: Arthropoda CLASSE: Insecta ORDEM: Hymenoptera SUBORDEM: Apocrita SUPERFAMÍLIA: Vespoidea FAMÍLIA: Formicidae Alguns fatos: Há > 9000 espécies conhecidas; Cada colônia pode ter de algumas dúzias até milhões de indivíduos, dependendo da espécie; O tempo de vida da rainha pode superar 20 anos; Formigas são praticamente cegas.

6 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Comunicação em colônias de formigas reais Direta: Contatos pelas antenas ou mandíbulas; Troca de comida ou líquido digerido; Indireta: através de stigmergia : Construção de ninhos; Interação microscópica através de substâncias deixadas no ambiente; Stigmergia : termo proposto por P. Grassé (1959): basicamente é um mecanismo de realimentação positiva pelo qual o comportamento de um indivíduo afeta o comportamento de outros.

7 Otimização por Colônia de Formigas Foi observado o comportamento das formigas na busca pelos alimentos; Inicialmente, cada formiga segue um caminho aleatório; Após algum tempo elas tendiam a seguir um único caminho, considerado ótimo; Cada formiga utiliza uma comunicação indireta para indicar para as outras o quão bom foi o caminho que ela escolheu; Para isso, elas espalham uma substância chamada feromônio.

8 Uma formiga durante a sua movimentação marca o caminho com uma dada quantidade de feromônio; Enquanto uma formiga isolada realiza movimentações essencialmente aleatórias, uma que encontra um caminho previamente percorrido pode detectá-lo e então decidir com uma alta probabilidade em segui-lo, reforçando assim o caminho com o seu próprio feromônio; O comportamento coletivo é da forma de um comportamento autocatalítico : Quanto mais formigas seguem um caminho, mais atrativo ele se torna.

9 Trilhas de feromônio À medida que as formigas se movem, depositam feromônio no solo; Assimetria: quando carregam alimento, depositam mais do que quando não carregam; As formigas têm preferência probabilística por caminhos com alta taxa de feromônio; Auto-organização: as formigas podem se adaptar a mudanças do ambiente.

10 Em um aquário devidamente adaptado para simular o ambiente natural das formigas, foram feitas as seguintes imposições: i) Um ninho de formigas foi colocado em uma ponta; ii) iii) Experimento real Uma fonte de alimentos na outra ponta; Para chegar até esse alimento foram criados dois caminhos, sendo um maior que o outro:

11 As formigas que escolhem o menor caminho fazem o percurso mais rapidamente que as outras; Elas acabavam depositando uma maior quantidade de feromônio nesse caminho em relação as outras, dado um intervalo de tempo; Logo, dado tempo suficiente, a intensidade de feromônio no caminho mais curto estará bem mais alta e atrairá a maior parte das formigas (mas não todas):

12 O experimento da ponte binária Experimento realizado por Denebourg et al., 1990, para estudar o comportamento forrageiro das formigas.

13 No início, as formigas são deixadas livres para escolher o caminho. Não há feromônio ainda: As formigas convergem para um dos caminhos com igual probabilidade; Devido a flutuações, uma das pontes terá mais feromônio e atrairá as formigas com maior probabilidade: ou

14 Usando pontes de tamanhos diferentes, as formigas convergem para a ponte mais curta; A ponte curta é percorrida em menos tempo, fazendo com que mais formigas atravessem ela; Logo, mais feromônio é depositado; As formigas escolhem, com maior probabilidade a ponte mais curta (com mais feromônio):

15 Em 1992, Dorigo percebeu que esse problema resolvido pelas formigas era muito similar ao TSP; Inspirado nesse comportamento, resolveu modelá-lo no computador e verificar como se comportava em algumas instâncias conhecidas do problema.

16 ACO - Introdução Criada por Marco Dorigo em sua tese de doutorado defendia em 1992; Apresentada mais formal e detalhadamente em 1996; É uma heurística baseada em probabilidade, criada para solução de problemas computacionais que envolvem a procura de caminhos em grafos; Inspirada na observação do comportamento das formigas ao saírem de sua colônia para encontrar comida; Principal aplicação em otimização discreta.

17 ACO é uma metaheurística de propósito geral que pode ser usada para problemas de otimização combinatorial; Possui as seguintes características: Versatilidade: pode ser aplicado a versões ligeiramente modificadas de um mesmo problema (e.g. TSP e ATSP); Robustez: pode ser aplicado com mínimas modificações de forma a tratar de outros problemas de otimização combinatorial;

18 Um sistema que utiliza informações derivadas do estudo de colônias de formigas reais é chamado de Ant System (AS), já os algoritmos são chamados de Ant Algorithms (AA); A ideia não é simular as colônias de formigas, mas usar colônias de formigas artificiais como ferramenta de otimização; Diferenças entre o AS e o sistema biológico: - Formigas artificiais possuem alguma memória; - Não são completamente cegas; - Vivem em um ambiente onde o tempo é discreto.

19 Semelhanças com o formigas reais: - Colônia de indivíduos (agentes) que cooperam entre si; - Trilhas de feromônio artificiais para comunicação local; - Preferência probabilística por caminhos com maior quantidade de feromônio: caminhos curtos tendem a ter alta taxa de feromônio; Diferenças com formigas reais: - Possuem memória das ações passadas; - O mundo em que vivem é discreto; - Depositam quantidades de feromônio em função da qualidade da solução encontrada.

20 O processo é caracterizado pela existência de laço de retroalimentação positivo, onde a probabilidade a partir da qual uma formiga escolhe um caminho aumenta com o número de formigas que previamente escolheram o mesmo caminho; Considerando um caminho ao longo do qual formigas saem do ninho A para a fonte alimentação E e vice-versa; Subitamente um obstáculo surge e interrompe o caminho; No início todas as formigas possuem as mesmas probabilidades usadas na tomada de decisão; A partir do momento que os traços de feromônios são reforçados as probabilidades também mudam;

21 ACO Dado um grafo com n vértices, colocar uma formiga artificial em cada um destes: Cada formiga traça um caminho seguindo uma fórmula probabilística em função do feromônio depositado em cada aresta do grafo:

22 Após a construção de todos os caminhos, a intensidade de feromônio em cada aresta é acrescida de acordo com a qualidade da solução gerada: As novas soluções são então construídas seguindo uma função de densidade de probabilidade proporcional ao nível de feromônio em cada aresta.

23 Metodologia para o ACO Define-se o problema através de um grafo e uma função de transição de estados baseada em uma informação local e uma distância; As formigas são inicializadas em posições aleatórias no grafo; Executa-se a função de transição para todos os nós conectados ao atual e não visitados; Cada formiga, a cada instante de tempo, tende a deslocar-se para o nó com o melhor atratividade; Ao final de um caminho, atualiza-se a matriz de feromônios; Repita-se o procedimento para todas as formigas por um determinado número de ciclos.

24 Definições preliminares: Algoritmo ACO Uma representação apropriada do problema; Uma função heurística ( ) (semelhante ao fitness); Um método para forçar a construção de soluções válidas; Uma regra para atualização do feromônio ( ); Uma regra probabilística de transição: em função dos valores da heurística e da quantidade de feromônio.

25 Pseudocódigo

26 Algoritmo ACO para o problema do - Representação do problema: Grafo (N, E): Caixeiro Viajante (TSP) - N é o conjunto de cidades (itens componentes das soluções); - E é o conjunto de caminhos entre as cidades ; Função heurística (informação local): ij = 1/dij, sendo dij é a distância entre as cidades i e j (como o fitness); Matriz de feromônios ( ): aprendizado coletivo.

27 Dado um conjunto de N cidades, o problema do caixeiro viajante (TSP) pode ser definido como uma busca pelo menor caminho que considera todas as cidades; Escolhem a próxima cidade com uma função de probabilidade que leva em conta a distância e a quantidade de feromônio presentes numa aresta; Transições para cidades já visitadas não são permitidas até que uma rota completa seja encontrada; Quando uma rota completa é encontrada, uma quantidade de feromônio é colocada em cada aresta visitada; Em uma instância usual do problema, qualquer cidade não visitada pode ser escolhida a partir do ponto atual, já que as posições das mesmas são dadas em coordenadas no plano xy (não há vias diretas de ligação).

28 Inicialização No tempo t = 0, uma fase de inicialização posiciona as formigas em diferentes cidades e define o mesmo valor de τ ij (0) para todas as arestas; O primeiro elemento da lista tabu (lista que contém as cidades visitadas) de cada formiga é definido como o ponto de início do percurso; Para cada movimento da cidade i para a j utiliza-se a função de probabilidade de transição; Com o tempo t = 0 tem-se um algoritmo guloso de múltiplos pontos;

29 Para construir a solução, cada formiga utiliza iterativamente uma função probabilística para decidir se incluirá ou não determinada aresta na solução: onde: p k i,j(t) é a probabilidade da formiga k optar pela aresta (i,j) na iteração t; J k é a lista de vértices ainda não visitados; i,j é a quantidade de feromônio na aresta (i,j); η i,j é a informação de qualidade dessa aresta (inverso da distância entre as cidades i e j); α e β são parâmetros que definem o grau de importância de e η, respectivamente.

30 A partir de uma cidade i, a escolha da cidade candidata j é feita de acordo com a probabilidade de transição, com ideia similar à escolha por roleta de algoritmos genéticos.

31 Regra de atualização do feromônio em cada aresta: evaporação depósito onde ρ é um coeficiente tal que (1 - ρ) representa a evaporação da pegada entre o tempo t e t + n e: sendo onde Δτ k ij é a quantidade de substância (feromônio) deixada na aresta (i, j) pela k-ésima formiga entre o tempo t e t + n, que é dado por: Q/L k (t) se a k-ésima formiga usa a aresta (i, j) na rota; caso contrário é 0. Q é uma constante e L k (t) é o tamanho da rota completa realizada por cada formiga na iteração t. O parâmetro ρ intensidade da retroalimentação possui um valor <1 para evitar a acumulação ilimitada de pegadas;

32 Após n iterações todas a formigas terminam encontrando um caminho, as listas tabus estão cheias, computa-se o Δτ k ij para cada L k na lista; O algoritmo é executado até o número máximo de iterações ou até atingir uma situação de estagnação; Parâmetros: α: importância relativa da pegada α >= 0; β: importância relativa da visibilidade β >=0; Se α = 0, a cidade mais próxima tem mais chance de ser selecionada; Se β =0 só o feromônio é considerado; A probabilidade de transição é um trade-off entre visibilidade (cidade mais próximas devem ser escolhidas com alta probabilidade) e intensidade da pegada (um alto tráfico indica uma alta probabilidade de seguir o caminho).

33 Evaporação de feromônio permite esquecer caminhos mais longos ou pouco utilizados; Realimentação negativa que serve para equilibrar a realimentação positiva (estabilidade); Q: uma constante relacionada à qualidade da pegada deixada pelas formigas; Q depende da qualidade do caminho: neste caso, a distância total percorrida; Cada formiga somente atualiza a trilha por onde passa; Q é um parâmetro definido normalmente com valores >100 e possui pouca influência sob o modelo;

34 Cada formiga vai caminhar sozinha; Cada uma deve fazer uma rota completa passando por todas as cidades; A próxima cidade a ser visitada na iteração corrente t depende de p k i,j(t); Avalie a qualidade de cada solução (como se fosse o fitness) pela distância percorrida após o tour completo; Atualize cada aresta com as trilhas de feromônio: a) Com a quantidade deixada por cada formiga pela aresta i,j; b) A evaporação correspondente; Sugestão Dirigo: N=e (número de formigas igual ao de cidades).

35 Constantes típicas: α = 1, β = 5, ρ = 0.5, N = e, Q = 100, τ0 = 10 6, e b = 5. Um termo bδτ b ij pode ser inserido na atualização do feromônio considera o melhor resultado já encontrado.

36 Comparativo entre as atualizações de Feromônio

37 Problemas Para a aplicação do algoritmo autocatalítico a problemas de otimização combinatorial é necessário: Uma representação em grafo apropriada que permita a busca usando muitos e simples agentes para o problema; Um processo autocatalítico (positivo) de retroalimentação; Uma heurística que permita uma definição construtiva de soluções; Um método de satisfação de restrições (e.g. lista tabu).

38 Comparado a AG: Retém toda a memória da colônia ao invés da geração anterior somente; Pouco afetado por uma inicialização pobre (random path selection and colony memory); Pode ser utilizado em aplicações dinâmicas; É continuamente empregado a uma vasta variedade de aplicações; É uma boa escolha para problemas de restrições discretas;

39 Vantagens Para o TSP (Traveling Salesman Problem) é relativamente eficiente: Para um pequeno número de nós, TSPs podem ser resolvidos através de buscas exaustivas; Para um grande número de nós, TSPs são computacionalmente muito difíceis de resolver (NP-hard) tempo exponencial para a convergência; Possui um melhor desempenho do que outras técnicas de otimização (AG, simulated annealing, etc);

40 Desvantagens A análise teórica é complicada: sequências aleatórias, distribuição de probabilidade, etc.; A codificação pode ser complicada: Necessidade de criar mecanismos para adição/remoção de feromônios e atualizações locais e globais; Existe um grande número de algoritmos ACO para explorar diferentes tipos de problemas.